江西省南昌市2012年中考數(shù)學(xué)研討會(huì)資料 幾何變換

1、幾 何 變 換初中數(shù)學(xué)教師學(xué)科素養(yǎng)之四 一、輔助元素法 通過(guò)添設(shè)輔助元素（輔助線(xiàn)、輔助變量、輔助函數(shù)等）以使數(shù)學(xué)問(wèn)題化或易于求解的方法，叫做輔助元素法，它與待定系數(shù)法并列為數(shù)學(xué)題的兩種最重要的方法。 前面討論的換元法，就是常見(jiàn)的輔助元素法之一，它是通過(guò)設(shè)置輔助變量來(lái)求解代數(shù)、三角函數(shù)問(wèn)題的；在解題過(guò)程中，還經(jīng)常用引入中間變量（或稱(chēng)參數(shù)），它們通常與消元法結(jié)合運(yùn)用，這里主要介紹其他幾種添設(shè)輔助元素解題方法。(一) 添設(shè)輔助線(xiàn)靈活而合理的添作輔助線(xiàn),以使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)潔的解法,是平面幾何解題中的重要技巧,通常可以通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析,從已知條件與求證結(jié)認(rèn)論之間的聯(lián)系出發(fā)去尋求合理的輔助線(xiàn),添作輔助線(xiàn)也是初

2、中幾何教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。 過(guò)幾何圖形中的一些特殊點(diǎn)，如：1頂點(diǎn)； 2中點(diǎn)；垂線(xiàn)（或高）；各種交點(diǎn)；平行線(xiàn)（平移）；截長(zhǎng)（截?。┭a(bǔ)短（延長(zhǎng)）7圓心；8切點(diǎn)；9兩圓相交的公共弦；10旋轉(zhuǎn)；11對(duì)稱(chēng)。下面我們?cè)倥e一部分例題例1 已知， AD是的中線(xiàn)，AE是的中線(xiàn)，求證：例2在中,D為BC上的一點(diǎn),E為AD上一點(diǎn),連B,E,并延長(zhǎng)交AC于F, 求: (用a ,b表示).例3已知在圓O上，順次有A，B，C，D 四點(diǎn)，AB=BD，垂足為M，求證：AM=CD+CM（證明一條線(xiàn)段等于兩條線(xiàn)段的和，可通過(guò)“延長(zhǎng)”或“截取”，轉(zhuǎn)化為證明兩條線(xiàn)段相等）例4在中，AP是的平分線(xiàn)，D，E分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且BD

3、=CE，又G，H分別BC，DE的中點(diǎn)。求證：HG/AP例5圓O交圓O1于A，B，PE為 圓O直徑，PA 的延長(zhǎng)線(xiàn)交圓O1于C，PB交圓O1于D，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交PE于F。求證：（二）構(gòu)造法 “構(gòu)造”是建設(shè)、制作的意思，在數(shù)解題過(guò)程中，有許多問(wèn)題在用一般的思路分析受阻，用通常的方法解決有困難時(shí)，可在原有的條件和結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)行引申，拓展、聯(lián)想和類(lèi)比，在已知和未知間搭成一座橋梁，即通過(guò)學(xué)習(xí)構(gòu)造一定的數(shù)學(xué)模型（或背景）來(lái)完成解題這種方法稱(chēng)為構(gòu)造法。 現(xiàn)主要介紹構(gòu)造幾何圖形、構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)三個(gè)問(wèn)題1.構(gòu)造幾何圖形。不僅是幾何學(xué),就是代數(shù)問(wèn)題,三角問(wèn)題都可以利用構(gòu)造幾何圖形來(lái)解決。例6已知，求證：例7

4、 P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)， ，求：（1）的度數(shù)；（2）正方形的邊長(zhǎng)；（3）求PD的長(zhǎng)。2構(gòu)造方程。通過(guò)作出問(wèn)題中所涉及的元素的輔助方程，并利用方程或方程組的理論以及諸如判別式；韋達(dá)定理知識(shí)幫助解題，可以與“方程思想”及“判別式”聯(lián)系。例8在正方形ABCD中，N是DC的中點(diǎn)，M是AD上異于D的點(diǎn)，且，求的值。3構(gòu)造函數(shù)。從數(shù)學(xué)問(wèn)題本身的特點(diǎn)出發(fā)，構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的特征、性質(zhì)等來(lái)進(jìn)求解，對(duì)于有關(guān)方程、不等式、函數(shù)最大最小值等問(wèn)題，均可構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決，可以與“方程函數(shù)思想”、“解析法”相聯(lián)系。例9在直角坐標(biāo)中有四個(gè)點(diǎn)，求 ：當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小時(shí)的值。二、等積變換 幾何學(xué)的產(chǎn)生，源于

5、人們測(cè)量土地面積的需要，故有關(guān)面積計(jì)算，應(yīng)用面積法證題是平面幾何中的一個(gè)重要內(nèi)容，用不同的方法計(jì)算同一塊面積得到一個(gè)面積等式，再對(duì)這個(gè)面積等式進(jìn)行整理或變換，所獲得的證題方法稱(chēng)為等積變換，主要體現(xiàn)在面積法割補(bǔ)法，它們沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別。（一）面積法例10（三角形內(nèi)角平分線(xiàn)性質(zhì)）在中，AD為的平分線(xiàn)，求證：例11正三角形所在平面上有一點(diǎn)P，確定P到三邊的距離與正三角形高之間的關(guān)系。（二）割補(bǔ)法例12將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至的位置，求 兩個(gè)正方形重疊部分的面積。例13在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（15，6），直線(xiàn)恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，求b的值。例

6、14已知M、N是直角三角形ABC斜邊上的三等分點(diǎn)，且，試求：斜邊AB的長(zhǎng)。三、關(guān)于一題多解問(wèn)題 在解題過(guò)程中，人們對(duì)解決問(wèn)題的原則、方案、途徑和方法存在著不同的思維形式，因此，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)命題要采用不同方法給予解答，一題多解問(wèn)題主要體現(xiàn)在添加不同的輔助元素，然后應(yīng)用各個(gè)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)去解決。例15.在中，于D，于E，求證：例16.已知中，AD是高，BD=3，DC=2，求的面積。體驗(yàn)習(xí)題如圖所示，PC/；，若PC=4，求PD已知在中，平分，求證：3已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，且求的取值范圍4已知，是四個(gè)不同的有理數(shù)且，求5設(shè)，為整數(shù)，且方程的兩個(gè)不同的正根都小于，求的最小值6如圖所示，點(diǎn)和三等分，點(diǎn)和三等分，與，分別交于點(diǎn)，求四邊形的面積與的面積比7某同學(xué)把一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形剪成塊，然后拼成一個(gè)矩形，如圖所示， 你認(rèn)為這樣的方法正確嗎？用一句話(huà)說(shuō)明理由8如圖，求多邊形的面積（自己測(cè)量長(zhǎng)度）9拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)（，），（，），（，）（）求函數(shù)解析式；（）為的中點(diǎn)，有一甲蟲(chóng)從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過(guò)軸上某一點(diǎn)到拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的某點(diǎn)，再到點(diǎn)，求甲蟲(chóng)爬行的最短時(shí)，求E，F(xiàn)的坐標(biāo)。（3）在（1）、（2）的基礎(chǔ)上，