階微分方程解的存在定理

1、第三章 一階微分方程解的存在定理教學(xué)目標(biāo)1. 理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次逼近法，熟練近似解的誤差估計式。2. 了解解的延拓定理及延拓條件。3. 理解解對初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。教學(xué)重難點 解的存在唯一性定理的證明，解對初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。教學(xué)方法 講授，實踐。教學(xué)時間 12學(xué)時教學(xué)內(nèi)容 解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，解的延拓概念及延拓條件，解對初值的連續(xù)性、可微性定理及其證明?？己四繕?biāo) 1.理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論，能用逐次逼近法解簡單的問題。2.熟練近似解的誤差估計式，解對初值的連續(xù)性及可微性公式。3.利用解的存在唯

2、一性定理、解的延拓定理及延拓條件能證明有關(guān)方程的某些性質(zhì)。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程來源于生產(chǎn)實踐際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)律，能動解釋所出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)測未來的可能情況。在第二章介紹了一階微分方程初等解法的幾種類型，但是，大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。而實際問題中所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解。因此初值問題的研究就顯得十分重要，從前面我們也了解到初值問題的解不一定是唯一的。他必須滿足一定的條件才能保證初值問題解的存在性與唯一性，而討論初值問題解的存在性與唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理論

3、，穩(wěn)定性理論以及其他理論的基礎(chǔ)。例如方程 過點的解就是不唯一，易知是方程過的解，此外，容易驗證，或更一般地，函數(shù) 都是方程過點而且定義在區(qū)間上的解，其中是滿足的任一數(shù)。 解的存在唯一性定理能夠很好地解釋上述問題，它明確地肯定了方程的解在一定條件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精確解的微分方程為數(shù)不多，微分方程的近似解法具有重要的意義，而解的存在唯一性是進(jìn)行近似計算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意義；如果存在不唯一，不能確定所求的是哪個解。而解的存在唯一性定理保證了所求解的存在性和唯一性。1存在性與唯一性定理：（1）顯式一階微分方程2 / 19 （3.1）這里是在矩形域： （3.

4、2）上連續(xù)。 定理1：如果函數(shù)滿足以下條件：1）在上連續(xù)：2）在上關(guān)于變量滿足李普希茲（Lipschitz）條件，即存在常數(shù)，使對于上任何一對點，均有不等式成立，則方程（3.1）存在唯一的解，在區(qū)間上連續(xù)，而且滿足初始條件 （3.3）其中,稱為Lipschitz常數(shù).思路：1） 求解初值問題(3.1)的解等價于積分方程 的連續(xù)解。2） 構(gòu)造近似解函數(shù)列 任取一個連續(xù)函數(shù)，使得，替代上述積分方程右端的，得到 如果，那么是積分方程的解，否則，又用替代積分方程右端的，得到 如果，那么是積分方程的解，否則，繼續(xù)進(jìn)行，得到 （3.4）于是得到函數(shù)序列.3） 函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂于，即 存在，對(3.

5、4)取極限,得到 即.4) 是積分方程在上的連續(xù)解.這種一步一步求出方程解的方法逐步逼近法.在定理的假設(shè)條件下,分五個命題來證明定理. 為了討論方便,只考慮區(qū)間,對于區(qū)間的討論完全類似.命題1 設(shè)是方程(3.1)定義于區(qū)間上,滿足初始條件 （3.3）的解,則是積分方程 (3.5)的定義于上的連續(xù)解.反之亦然.證明 因為是方程(3.1)滿足的解,于是有 兩邊取到的積分得到 即有 所以是積分方程定義在區(qū)間上的連續(xù)解.反之,如果是積分方程(3.5)上的連續(xù)解,則 （3.6）由于在上連續(xù),從而連續(xù),兩邊對求導(dǎo),可得 而且 ,故是方程(3.1)定義在區(qū)間上,且滿足初始條件的解.構(gòu)造Picard的逐次逼近

6、函數(shù)序列. （3.7）命題2 對于所有的，（3.6）中的函數(shù)在上有定義，連續(xù)且滿足不等式 （3.8）證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)時，顯然在上有定義、連續(xù)且有 即命題成立. 假設(shè)命題2成立，也就是在上有定義、連續(xù)且滿足不等式 當(dāng)時， 由于在上連續(xù),從而在上連續(xù)，于是得知在上有定義、連續(xù),而且有 即命題2對時也成立.由數(shù)學(xué)歸納法知對所有的均成立.命題3 函數(shù)序列在上是一致收斂的.記,證明 構(gòu)造函數(shù)項級數(shù) (3.9)它的部分和為 于是的一致收斂性與級數(shù)(3.9)的一致收斂性等價. 為此，對級數(shù)(3.9)的通項進(jìn)行估計. (3.10)由Lipschitz條件得知設(shè)對于正整數(shù),有不等式 成立,則由Lips

7、chitz條件得知,當(dāng)時,有 于是由數(shù)學(xué)歸納法可知, 對所有正整數(shù),有 (3.11)由正項級數(shù) 的收斂性,利用Weierstrass判別法,級數(shù)(3.9)在上一致收斂.因而序列在上一致收斂. 設(shè),則也在上連續(xù),且 命題4 是積分方程(3.5)的定義在上的連續(xù)解.證明 由Lipschitz條件 以及在上一致收斂于,可知在上一致收斂于.因此 即 故是積分方程(3.5)的定義在上的連續(xù)解.命題5 設(shè)是積分方程(3.5)的定義在上的一個連續(xù)解,則,.證明 設(shè),則是定義在的非負(fù)連續(xù)函數(shù),由于 而且滿足Lipschitz條件,可得 令,則是的連續(xù)可微函數(shù),且,即,于是在上, 故,即,命題得證.對定理說明幾

8、點:(1)存在唯一性定理中的幾何意義.在矩形域中,故方程過的積分曲線的斜率必介于與之間,過點分別作斜率為與的直線.當(dāng)時，即,（如圖(a)所示），解在上有定義；當(dāng)時,即,（如圖(b)所示），不能保證解在上有定義，它有可能在區(qū)間內(nèi)就跑到矩形外去，只有當(dāng)才能保證解在內(nèi)，故要求解的存在范圍是. (2)、 由于李普希茲條件的檢驗是比較費事的，而我們能夠用一個較強的，但卻易于驗證的條件來代替他，即如果函數(shù)在矩形域上關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)存在并有界，即，則李普希茲條件條件成立. 事實上 這里. 如果在上連續(xù)，它在上當(dāng)然滿足李普希茲條件.但是,滿足李普希茲條件的函數(shù)不一定有偏導(dǎo)數(shù)存在.例如函數(shù)在任何區(qū)域都滿足李普希茲條

9、件,但它在處沒有導(dǎo)數(shù). (3)、設(shè)方程(3.1)是線性的,即方程為 易知,當(dāng)在區(qū)間上連續(xù)時,定理1的條件就能滿足,且對任一初值所確定的解在整個區(qū)間上有定義、連續(xù). 實際上,對于一般方程(3.1),由初值所確定的解只能定義在上,是因為在構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列時,要求它不越出矩形域,此時,右端函數(shù)對沒有任何限制,只要取. (4)、Lipschitz條件 是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件. 例如 試證方程 經(jīng)過平面上任一點的解都是唯一的. 證明 時, ,在上連續(xù), 也在上連續(xù),因此對軸外的任一點,方程滿足的解都是唯一存在的.又由 可得方程的通解為 ,其中為上半平面的通解, 為下半平面的通解

10、,它們不可能與相交.注意到是方程的解,因此對軸上的任一點,只有通過,從而保證平面上任一點的解都是唯一的. 但是 因為,故不可能存在,使得 所以方程右端函數(shù)在的任何鄰域并不滿足Lipschitz條件. 此題說明Lipschitz條件 是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件. 2)考慮一階隱方程 (3.12)由隱函數(shù)存在定理,若在的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且,而,則必可把唯一地表為的函數(shù) (3.13)并且于的某一鄰域連續(xù),且滿足如果關(guān)于所有變元存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則對也存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),并且 (3.14)顯然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)滿足初始條件的解存在且唯一.從而得到下面的定理.定理2 如果在點的某一鄰域中:) 關(guān)于所有變元連續(xù),且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；）則方程（3.12）存在唯一的解 （為足夠小的正數(shù)）滿足初始條件 （3.15）1、 近似計算和誤差估計求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法 對方程的第次近似解和真正解在內(nèi)的誤差估計式 （3.16）此式可用數(shù)學(xué)歸納法證明. 設(shè)有不等式 成立,則