風(fēng)花雪月數(shù)學(xué)之三十六計

1、風(fēng)花雪月數(shù)學(xué)之三十六計（一）數(shù)學(xué)是美麗的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是一種智慧的享受，我們在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的過程中不能僅僅看重數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，也許今天我們的學(xué)生都可以考試得130，甚至140，150的高分，結(jié)果到了大學(xué)及更高層次學(xué)習(xí)空間時大都不選擇數(shù)學(xué)，更放棄了對數(shù)學(xué)的追求與探索，這也是我們這些數(shù)學(xué)老師不想看到的吧!下面還望我們老師們努力探索，積極引導(dǎo)，不僅提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，更調(diào)動學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)更多的“數(shù)學(xué)”人才！楊振寧認(rèn)為中國近代科技的落后主要原因是“數(shù)學(xué)”的落后！因此，從祖國發(fā)展的角度看，我們數(shù)學(xué)老師和學(xué)生身上有義不容辭的責(zé)任。盡管目前來看很多學(xué)生在社會，家長等因素的作用下都比較現(xiàn)實(shí)，很少有學(xué)生

2、愿意深入研究數(shù)學(xué)，但是我們不可否認(rèn)，只要我們多灌輸，人才就會涌現(xiàn)！舉個簡單的例子：中國足球。我們承認(rèn)中國足球水平不高，但我們更要承認(rèn)我們足球土壤過于貧瘠，到底有多少人沒有真正踢過足球！也許我們可以有很多“馬拉多納”，可是這些“馬拉多納”可能一生都沒有踢過足球！而且我個人認(rèn)為，盡管從某種角度看，數(shù)學(xué)是比較枯燥，嚴(yán)謹(jǐn)，辛苦的；但換個角度我們也能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的很多美妙之處！就像1990年意大利世界杯足球賽場上，阿根廷隊(duì)的球員卡尼吉亞一頭長發(fā)，可能有人感覺大男人留長發(fā)不太合適；但換個角度欣賞“長發(fā)在風(fēng)中飛舞，讓人感受到了風(fēng)的速度！”因此卡尼吉亞得名“風(fēng)之子”，從此很多中國球迷心中多了一種情結(jié)叫“風(fēng)的情結(jié)”

3、！數(shù)學(xué)方法，思想處處體現(xiàn)著智慧，體現(xiàn)著美，在我看來數(shù)學(xué)就是一幅畫，一首詩，一支歌。將這首詩獻(xiàn)給美麗的數(shù)學(xué)。漂著綠葉小舟劃過河中暫緩?fù)Ｋ宄憾姷褂坝骋r畫中央美景搭西湖高歌遍山林船夫蕩悠悠回音進(jìn)谷底風(fēng)起樹鳥聲悅耳月陶醉沙下魚餌當(dāng)餌耳作詩對詞以休閑讓清晨有笛樂以傍晚作賞月獨(dú)享風(fēng)景1 / 27一， 混水摸魚-代入法品味1：若關(guān)于不等式的解集是，則實(shí)數(shù)的值是 解析：此題具體解比較麻煩!然則巧用“代入法”可以輕松“搞定”！將x=2代入迅速求得a=4.品味2：已知數(shù)列共有項(xiàng)，定義的所有項(xiàng)和為，第二項(xiàng)及以后所有項(xiàng)和為，第三項(xiàng)及以后所有項(xiàng)和為，第n項(xiàng)及以后所有項(xiàng)和為，若是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則

4、當(dāng)時，等于A B C D 解析：有題知，從而輕易算出，并且答案四個均不同，必定迅速完成！品味3：在數(shù)列中， ，則 AA B C D解析：此題顯然就是考察“巧做”！直接做還是感覺比較復(fù)雜！然則，利用“代入法”可求出進(jìn)而可以迅速確定答案！品味4：解析：此題若直接做會耗費(fèi)諸多時間，而且不一定能做對，如果將答案找錯，不難發(fā)現(xiàn)C中左面大于0，右面小于零！將答案代入榨出錯誤！事半功倍，妙不可言！注意這是2007山東高考數(shù)學(xué)理科10題！品味5：已知函數(shù)，當(dāng)時，恒有，則的取值范圍為（ ）A B C D且解析：此類求范圍的題目往往運(yùn)用“代入法”可以將其變成純運(yùn)算的題目！這一點(diǎn)相信很多同學(xué)會總結(jié)發(fā)現(xiàn)！如此題中，令

5、a=2,可以判斷是否成立，從而確定A是否正確！令a=0,可以判斷C是否正確！若還不能完全解出，可令a=1,必定可以選出答案！ 回味：應(yīng)該說“代入”“特值”“排除”經(jīng)常聯(lián)手，充分利用選擇題的特點(diǎn)，充分利用選項(xiàng)作為條件，避實(shí)就虛，從側(cè)面解決問題，尤其是在一些正面處理較困難的時候，不僅事半功倍，而且大大提高正確率并節(jié)約寶貴時間！實(shí)現(xiàn)“混水摸魚”！二， 以逸待勞-特值法品味1：如圖已知A、D、B、C分別為過拋物線焦點(diǎn)F的直線與該拋物線和圓的交點(diǎn)，則_ 解析：此題考查圓的幾何性質(zhì)（數(shù)形結(jié)合）及拋物線的定義！若直接求解，有一定運(yùn)算量！但采用特值：令A(yù)D與x軸垂直，可以迅速解出結(jié)果！品味2：已知關(guān)于x的不等

6、式有唯一的整數(shù)解，則方程實(shí)數(shù)根的個數(shù)為( )A,0 B,1 C,2 D,3解析：此題正確率不到百分之十五，毫無疑問很難！但是巧用特值法可以節(jié)省時間并且提高正確率！大膽猜想a的值（找一個最好算的），不難想到2，3，10，e等！令a=2知滿足不等式，代入方程可輕松搞定！品味3：解析：此題直接處理設(shè)計較多運(yùn)算，公式等，并且不易做對！但采用特值，將四個答案均很好判斷，這樣的題目學(xué)生一般想不到間接處理，而直接處理多數(shù)同學(xué)很困難，要麼做不出，要麼浪費(fèi)大量時間！可見“特值法”不僅巧，而且必不可少！品味4：在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，對于任意為唯一確定的實(shí)數(shù)，且對于任意具有以下性質(zhì)：（1）；（2）；（3）

7、。關(guān)于的性質(zhì)，有如下說法：1函數(shù)f(x)的最小值為3；2函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；3函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為。其中正確的個數(shù)為（ ）解析：此題很多學(xué)生難以入手，對于f(x)始終停留在抽象的程度上。其實(shí)，不難分析：f(x)必須求出，其中（1）（2）顯然不能完成。因此必須令（3）中c=0就可以輕松解決，得來全不費(fèi)工夫！回味：由以上的題目可見“特值法”決不僅僅是節(jié)省時間，它是一種重要的做題方法！用的合理就可以做到“以逸待勞”！ 三，瞞天過海-數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是一種體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化化歸”思想的方法，常用于與n,n有關(guān)的題目，其本質(zhì)是不從正面與要證明的結(jié)論交手，轉(zhuǎn)而利用一種遞推加一次驗(yàn)證來側(cè)面解決戰(zhàn)斗！即

8、先驗(yàn)證第一個值時命題成立，再假設(shè)實(shí)際上感覺是在用“假設(shè)”證明問題，然而有十分嚴(yán)密，有“避實(shí)就虛”之功效！例1：2009山東高考理科20題（2）問等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 已知對任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時，記 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 證明：（2）當(dāng)b=2時，, 則,所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立. 當(dāng)時,左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時不等式成立,即成立.則當(dāng)時,左邊=所以當(dāng)時,不等式也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由、可得不等式恒成立.（也可以用比

9、較法算出的大小，只需平方一次就能算出?。┍绢}主要考查了運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.但是用歸納法的思維難度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于放縮法，而且歸納法還可以固定的步驟分，在2005年21題（3）問共有4分若用歸納法最關(guān)鍵一步僅一分！即使考試說明也對這兩者平等對待，要求都是了解！下面我們看一下放縮法，以下略，故原式成立，步驟略！看似運(yùn)算量小，但是思維量絕對不低！下面再舉一例（超級經(jīng)典）：已知函數(shù)求證：對于大于1的任意正整數(shù)解：（法一）首先：當(dāng)a=1時，易證在上為增函數(shù)，當(dāng)故此法需要較強(qiáng)的構(gòu)造思想，并且涉及利用函數(shù)證明不等關(guān)系問題！但是構(gòu)造的“思維”難度較大，并且很多學(xué)生會問：“為甚

10、麼？怎麼能想到？”往往老師很難回答?。ǚǘ┥衿娴臄?shù)學(xué)歸納法（1） n=2,易證，在此略?。?） n=k,假設(shè)則當(dāng)n=k+1時，=，下面證明下面展開精彩換元（相比較法一，法二的換元是明確的，順理成章的！可見歸納法從側(cè)面化簡了問題?。┓绞揭唬?，以下涉及極限問題！如何處理呢？巧用換元！方式二：故此題充分展示了“數(shù)學(xué)歸納法”的神奇魅力，如果不用歸納法而直接處理的思維難度極大，關(guān)鍵在于如何找到需要構(gòu)造的函數(shù)！但歸納法卻“避實(shí)就虛”尋到了問題構(gòu)造的關(guān)鍵-如何構(gòu)造函數(shù)！當(dāng)然，此題也涉及到如何“換元”！正是歸納法“瞞天過?！敝圃斐隽巳绾巍皳Q元“的條件，才是問題解決的前提！ 四， 無中生有-“歸納，猜想，證明

11、”引入2009山東高考數(shù)學(xué)理科卷（22）設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。分析: 本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.應(yīng)該說這道題是考前我認(rèn)為的必考題！今年解析集合大題很可能形式上是“園與橢圓”理由：解析幾何只有“橢圓與拋物線”是要求

12、掌握！而2008已經(jīng)考察了“拋物線”！至于為甚麼會將圓交匯，原因之一“考試說明”最后一句“通過解析幾何理解數(shù)形結(jié)合思想”而圓與向量是數(shù)形結(jié)合的絕好載體！原因之二青島一摸理科21題給我們一種強(qiáng)烈的預(yù)感！可以說今年的壓軸題是“意料之中”！而且相對于“向量的較深數(shù)形結(jié)合考察”來說繼續(xù)沿著“圓和橢圓”甚至“圓和圓錐曲線”的方向發(fā)展的概率也很大！解（2）（法一）由于題目中“使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且”，故可以先通過特殊情況（直線斜率不存在時候）將圓的方程先解出，利用此時直線與圓的交點(diǎn)分別為（r,r）,(r,-r)即為A,B兩點(diǎn)，由于，故由圓的數(shù)形結(jié)合知：，可迅速解出，之后在明確

13、圓的情況下，再證明對于一般情況下是否能滿足：1直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，2是。這兩點(diǎn)在明確了圓的方程之后不難“驗(yàn)證”！這種做法優(yōu)勢在于“早早明確了目標(biāo)”，而且結(jié)合后面求的范圍，故此圓必須存在，因此即使“算”不出來也應(yīng)該“編上”，繼續(xù)往下做！可以說利用“特殊情況”歸納，“猜出”所要探索的值（其實(shí)是算出來的），然后根據(jù)情況選擇合適的方法去證明這個值滿足一般情況。這種做法可以說是“無中生有”！如果這種“探究性問題”直接做的話并不知道“值”是多少，只能一步一步往下做；而“歸納，猜想，證明”卻早早確定了方向！這種思想絕不等價于“數(shù)學(xué)歸納法”因?yàn)樗摹白C明”時并非必須用“歸納法”來證，適應(yīng)的范圍也要廣得多。很

14、多“探究性”題目都可以采用，在高考越來越重視“探究性問題”的現(xiàn)在，“歸納，猜想，證明”是值得重視的。BAOT下面再看法二，（2）（法一）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點(diǎn)為

15、或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且.這種直接探究的方式往往運(yùn)算量較大，而且不能預(yù)知“方向”，結(jié)果對不對都不知道！尤其是這種“方向模糊”情況下的前進(jìn)往往需要大得多的思維量,經(jīng)常還需要“技巧”，而“歸納，猜想，證明”則是“方向明確”情況下的“運(yùn)算”驗(yàn)證！舉例1:分析：此題熟練的同學(xué)可以迅速反映出來c只能是9，因?yàn)橹挥羞@樣通項(xiàng)才可能是一次函數(shù)！可是如何描述步驟呢？在具體做的過程中大部分學(xué)生都表達(dá)不好或不充分！可是如果采用“歸納，猜想，證明”便輕松“搞定”！解：令可得c=6,然后在證明舉例2：，是否存在分析：若此題直接做倒難度不是很大，但運(yùn)算化簡有

16、一定技巧，需使的系數(shù)為0！若換個題目可能比較難整理（如后面的超級經(jīng)典）。若采用“歸納，猜想，證明”則如下：由可求可求出下面只需證明，這不就是運(yùn)算驗(yàn)證嗎！舉例3：分析：當(dāng)L與x軸重合時，構(gòu)不成；當(dāng)L與x軸垂直時，直線的方程為代入得，而所以，下面證明一般情況：設(shè)直線，運(yùn)算驗(yàn)證即可！下面輕松“搞定”！超級經(jīng)典：已知橢圓過點(diǎn)的動直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：當(dāng)L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：當(dāng)L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：由即兩圓相切于點(diǎn)（0，1），所求的點(diǎn)T如果存在，只

17、能是（0，1）證明如下當(dāng)直線L垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（0，1）若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L：由記點(diǎn)、 所以TATB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（0，1）所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點(diǎn)T（0，1）滿足條件分析：此題若直接做運(yùn)算量很大容易算錯或算不出來，并且有化簡技巧容易找不出來！因?yàn)楸仨氃O(shè)點(diǎn)，結(jié)果變量較多，關(guān)系較復(fù)雜，可謂十之八九算不出來！但采用“歸納，猜想，證明”來處理，很早就可以知道,之后就成了驗(yàn)證，其實(shí)就是沒有技巧的“純”運(yùn)算。前者盡管運(yùn)算時需要很大運(yùn)算量以及化簡技巧，但是“小巧”，后者化繁為簡，把整個過程變成了“純運(yùn)算”，是“大巧”！真是“無中生有”！讓人嘆服不已。數(shù)學(xué)真

18、的是“美不勝收”，“風(fēng)情萬種”！五， 偷梁換柱-換元法品味一：(2009山東卷理21)兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時，對城A和城B的總影響度為0.065.（1）將y表示成x的函數(shù)；（11）討

19、論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最??？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在，說明理由。分析:此題的分析建模難度不大，當(dāng)學(xué)生進(jìn)行求導(dǎo)分析單調(diào)性等時，據(jù)我的了解最主要問題是絕大部分同學(xué)未算出或算對，暴漏了運(yùn)算能力的不足，“運(yùn)算能力”是考試說明要求的第一能力，甚至于常見的運(yùn)算技巧如“換元”“分式最值”等必須不斷強(qiáng)化，我個人感覺“運(yùn)算”的強(qiáng)化必須滲透于平時不間斷！如2008年山東文22題，今年反復(fù)讓學(xué)生做了三遍！結(jié)果今年理科22題有在第2問考察了幾乎一樣的運(yùn)算問題！除了純運(yùn)算，很多學(xué)生想不到另通過換元簡化運(yùn)算，也是運(yùn)算技巧不足的表現(xiàn)！當(dāng)然對

20、分式問題的運(yùn)算其實(shí)平時學(xué)生應(yīng)該早就暴露出來了，因?yàn)橥鶎W(xué)生只會求導(dǎo)直接算，很少考慮化簡，換元等!估計在這點(diǎn)高考是會繼續(xù)的！A B C x 解法一:（1）如圖,由題意知ACBC,其中當(dāng)時，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函數(shù)為（2）,令得,所以,即,當(dāng)時, ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時, ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)時, 即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時, 函數(shù)有最小值.解法二：（2）中,令則=，之后便是一馬平川！解法三: （1）同上.（2）設(shè),則,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時取”=”.下面證明函數(shù)在(0,160)為減函數(shù), 在(160,400)為增函數(shù).利用定義，略！所以當(dāng)m=160即時取”=”,

21、函數(shù)y有最小值,可見，巧用“換元法”解決大問題，尤其是在山東考試說明要求的第一能力就是“運(yùn)算能力”！可以對換元法說：“冰雪不語寒夜的你難隱藏的光彩！”品味二（2009山東理科22）設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。分析:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以

22、及方程的根與系數(shù)關(guān)系.應(yīng)該說這道題是考前我認(rèn)為的必考題！我在考前多次與同學(xué)們分析：今年解析集合大題很可能形式上是“園與橢圓”理由：解析幾何只有“橢圓與拋物線”是要求掌握！而2008已經(jīng)考察了“拋物線”！至于為甚麼會將圓交匯，原因之一“考試說明”最后一句“通過解析幾何理解數(shù)形結(jié)合思想”而圓與向量是數(shù)形結(jié)合的絕好載體！原因之二青島一摸理科21題給我們一種強(qiáng)烈的預(yù)感！由于考前多次強(qiáng)調(diào)圓的處理方式與橢圓不同，相信學(xué)生會在此題受益，只是可惜這是22題，很多學(xué)生時間不多了！盡管答案未給出，實(shí)際上最后一問在求是充分利用圓及等條件結(jié)合“射影定理”很簡單就能算出！說明了圓的問題盡量用“數(shù)形結(jié)合”！可以說今年的壓

23、軸題是“意料之中”！可以說圓就是“運(yùn)算”之王，如果運(yùn)用圓的“數(shù)形結(jié)合”運(yùn)算較靈活；若將圓當(dāng)成橢圓則成為代數(shù)運(yùn)算量較大！解: （2）中求（法一）, 當(dāng)時因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)時,. 當(dāng)AB的斜率不存在時, 兩個交點(diǎn)為或,所以此時,綜上, |AB |的取值范圍為即: （2）（法二）由于題目中“使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且”，故可以先通過特殊情況（直線斜率不存在時候）將圓的方程先解出，利用此時直線與圓的交點(diǎn)分別為（r,r）,(r,-r)即為A,B兩點(diǎn)，由于，故由圓的數(shù)形結(jié)合知：，可迅速解出，之后在明確圓的情況下，再

24、證明對于一般情況下是否能滿足：1直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，2是。這兩點(diǎn)在明確了圓的方程之后不難“驗(yàn)證”！這種做法優(yōu)勢在于“早早明確了目標(biāo)”，而且結(jié)合后面求的范圍，故此圓必須存在，因此即使“算”不出來也應(yīng)該“編上”，繼續(xù)往下做！再求是如果巧用“圓”的“數(shù)形結(jié)合”特性，也會是問題得到大大化簡！通過題目不難發(fā)現(xiàn)，設(shè)直線與圓相切于T點(diǎn)，在直角三角形OAB中，,設(shè)，由射影定理知，又?？梢越獾孟旅媲蠓秶鷳?yīng)該較法一簡單不少！此題充分體現(xiàn)出“巧妙換元”的巨大美麗！說明“圓”與“橢圓”處理方式的區(qū)別，圓是“數(shù)形結(jié)合的精靈”，橢圓是體現(xiàn)“代數(shù)方法（坐標(biāo)）研究幾何問題的載體！”兩者在高考考察是有明確體現(xiàn)的！因?yàn)閺钠綍r來

25、看，多數(shù)學(xué)生對于“圓的數(shù)形結(jié)合”認(rèn)識不夠，更對“考試說明”沒有分析，應(yīng)該說在考前重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了“圓與橢圓”的問題，如果此題不是最后一題，相信學(xué)生會有“更好”表現(xiàn)！應(yīng)該說，對于圓的“數(shù)形結(jié)合”的特點(diǎn)，沒有老師的引領(lǐng)和適當(dāng)?shù)闹匾暸c訓(xùn)練是很難掌握的，因?yàn)椤皵?shù)形結(jié)合”較橢圓中的方程處理更靈活，若處理不當(dāng)又很容易運(yùn)算復(fù)雜！品味三;（2008山東文22）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為記為以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線是上異于橢圓中心的點(diǎn)（1）若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若是與橢圓的交點(diǎn)，

26、求的面積的最小值解：（）（2）當(dāng)存在且時，由（1）得，由解得，所以，解法一：由于，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時等號成立，此時面積的最小值是當(dāng)，當(dāng)不存在時，綜上所述，的面積的最小值為解法二：由于 ，令則，此題轉(zhuǎn)化至二次函數(shù)最值問題。此時面積的最小值是當(dāng)，當(dāng)不存在時，綜上述，的面積的最小值為分析：此題中的第二問中涉及的分式最值運(yùn)算，甚至于在2009山東理科21題出現(xiàn)的類型，這樣的題目，考察方式非常常見！可以說是極好的考察運(yùn)算的載體！其中涉及“換元”，“化簡”等技巧，以及“轉(zhuǎn)化化歸”等思想！可以說運(yùn)算能力包含了數(shù)學(xué)的多種思想方法技巧，絕非一日之功，必須不斷強(qiáng)化訓(xùn)練！更深刻的美味（2007山東高考理科22

27、）設(shè)函數(shù)，其中（）當(dāng)時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（）證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立解：（III） 當(dāng)時，令則在上恒正，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，恒有.即當(dāng)時，有，對任意正整數(shù)，取得最深刻的美味已知函數(shù)求證：對于大于1的任意正整數(shù)解：（法一）首先：當(dāng)a=1時，易證在上為增函數(shù)，當(dāng)故此法需要較強(qiáng)的構(gòu)造思想，并且涉及利用函數(shù)證明不等關(guān)系問題！但是構(gòu)造的“思維”難度較大，并且很多學(xué)生會問：“為甚麼？怎麼能想到？”往往老師很難回答?。ǚǘ┥衿妗皳Q元”，下面通過“數(shù)學(xué)歸納法”來體現(xiàn)“換元”的迷人芬芳?。?） n=2,易證，在此略?。?） n=k,假設(shè)則當(dāng)n=k+1時，=，下面證明下面

28、展開精彩換元（相比較法一，法二的換元是明確的，順理成章的！可見歸納法從側(cè)面化簡了問題?。┓绞揭唬海韵律婕皹O限問題！如何處理呢？巧用換元！方式二：故此題充分展示了“換元”的神奇魅力，通過如何“換元”順利解決！六， 苦肉計-易錯集錦這是一摸考試前的易錯集錦1（知識點(diǎn)）復(fù)數(shù)中0在虛軸上！正態(tài)分布中的大小與圖象的矮胖，瘦高的關(guān)系？命題否定與否命題！向量夾角范圍及夾角問題，零向量問題，優(yōu)化方案112頁例2及示例連接！線面角的向量求法！等比數(shù)列討論，數(shù)列討論！及迭加，迭乘公式！拋物線（非標(biāo)準(zhǔn)）的方程如：！圓錐曲線中K是否存在，判別式大于零，聯(lián)立后二次方程系數(shù)是否可能為零！函數(shù)定義域遺漏（尤其是真數(shù)大于0）！導(dǎo)數(shù)等于0與極值點(diǎn)問題！零點(diǎn)存在定理0只能判斷存在零點(diǎn)不能確定零點(diǎn)個數(shù)！誘導(dǎo)公式！二項(xiàng)式定理小心通項(xiàng)中r對應(yīng)是第r+1項(xiàng)！直方圖的中縱坐標(biāo)是頻率/組距！了解排列組合：重視分類討論思想，不要遺漏！分布列概率和為1，其中最后一個概率易錯！數(shù)列最值如求：的最大值！統(tǒng)計的諸多概念如數(shù)據(jù)的方差，標(biāo)準(zhǔn)差如何求！二項(xiàng)分布的識別！互斥，獨(dú)立，和事件，積事件，商事件（條件概率），幾何概型等！概率為零一