高三橢圓教師

1、教師姓名學(xué)生姓名上課時間 輔導(dǎo)學(xué)科數(shù)學(xué)年 級 高三教材版本人教版課 題學(xué)生課時計劃教學(xué)目標(biāo)大致了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。解析幾何橢圓精煉專題一、 選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中有只有一項是符合題目要求的） 1橢圓的焦距是（ A ）A2BCD2F1、F2是定點，|F1F2|=6，動點M滿足|MF1|+|MF2|=6，則點M的軌跡是（ C ）A橢圓B直線C線段D圓3若橢圓的兩焦點為（2，0）和（2，0），且橢圓過點，則橢圓方程是（ D ）ABCD4方程表示焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（ D ）AB（0，2）C（1，+）D（0，1）5 過橢圓的一個焦點的

2、直線與橢圓交于、兩點，則、與橢圓的另一焦點構(gòu)成，那么的周長是（ A ）A B 2 C D 16已知橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，離心率為，長軸長為12，則橢圓方程為（ ）A 或 B C 或 D 或7 已知4，則曲線和有（ ）A 相同的短軸 B 相同的焦點 C 相同的離心率 D 相同的長軸8橢圓的焦點、，P為橢圓上的一點，已知，則的面積為（ ） A9 B12 C10 D89橢圓的焦點為和，點P在橢圓上，若線段的中點在y軸上，那么是的（ ）A4倍 B5倍 C7倍 D3倍10橢圓內(nèi)有一點P（3，2）過點P的弦恰好以P為中點，那么這弦所在直線的方程為（ B ）ABCD 11橢圓上的點到直線的最大距離是（ D

3、） A3BCD12過點M（2，0）的直線M與橢圓交于P1，P2，線段P1P2的中點為P，設(shè)直線M的斜率為k1（），直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為（ ）A2 B2 C D二、 填空題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上）13橢圓的離心率為，則 3或 14設(shè)是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，則的最大值為 4 ；最小值為 1 15直線y=x被橢圓x2+4y2=4截得的弦長為 16已知圓為圓上一點，AQ的垂直平分線交CQ于M，則點M的軌跡方程為 三、解答題：（本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟）17已知三角形的兩頂點為，它的周長為,求頂點軌

4、跡方程18橢圓的一個頂點為A（2，0），其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：（1）當(dāng)A(2,0)為長軸端點時，a=2 , b=1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；（2）當(dāng) 為短軸端點時， ， ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；19點P到定點F（2，0）的距離和它到定直線x=8的距離的比為1：2，求點P的軌跡方程，并指出軌跡是什么圖形解：設(shè)P（x，y），根據(jù)題意，|PF|=,d=|x-8|,因為=,所以= .化簡，得3x2+4y2=48,整理，得=1,所以，點P的軌跡是橢圓。20中心在原點，一焦點為F1（0，5）的橢圓被直線y=3x2截得的弦的中點橫坐標(biāo)是，求此橢圓的方程解：解法一：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為

5、=1,設(shè)交點坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2)將橢圓方程與直線y=3x-2聯(lián)立，消去y，得：=1,化簡，整理，得：(10a2-450)x2+(600-12a2)x+(-a4+54a2-200)=0,所以，x1,x2為這個方程的兩根，因為相交線段中點橫坐標(biāo)為,所以x1+x2= = -1,解得，a2=75.于是，因為c=5,所以，b2=25，所以橢圓的方程為=1.解法二：設(shè)橢圓：（ab0），則a2-b2=50 又設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中點（x0，y0） x0=，y0=2= 由 解，得：a2=75，b2=25，橢圓為：=121.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在坐標(biāo)軸

6、上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程 解 設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2 又22,將m+n=2,代入得m·n=由、式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1 22橢圓與直線交于、兩點，且，其中為坐標(biāo)原點（1）求的值；（2）若橢圓的離心率滿足，求橢圓長軸的取值范圍 （1）設(shè)，由OP OQ x 1 x

7、 2 + y 1 y 2 = 0 又將，代入化簡得 . (2) 又由（1）知，長軸 2a .橢圓練習(xí)題參考答案題號123456789101112答案ACDDABD13、3或 14、 4 ， 1 15、 16、 17、18、解：（1）當(dāng)A(2,0)為長軸端點時，a=2 , b=1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；（2）當(dāng) 為短軸端點時， ， ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；19解：設(shè)P（x，y），根據(jù)題意，|PF|=,d=|x-8|,因為=,所以= .化簡，得3x2+4y2=48,整理，得=1,所以，點P的軌跡是橢圓。20. 解：解法一：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為=1,設(shè)交點坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y

8、2)將橢圓方程與直線y=3x-2聯(lián)立，消去y，得：=1,化簡，整理，得：(10a2-450)x2+(600-12a2)x+(-a4+54a2-200)=0,所以，x1,x2為這個方程的兩根，因為相交線段中點橫坐標(biāo)為,所以x1+x2= = -1,解得，a2=75.于是，因為c=5,所以，b2=25，所以橢圓的方程為=1.解法二：設(shè)橢圓：（ab0），則a2-b2=50 又設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中點（x0，y0） x0=，y0=2= 由 解，得：a2=75，b2=25，橢圓為：=121.解 設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(

9、m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2 又22,將m+n=2,代入得m·n=由、式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1 22、（1）設(shè)，由OP OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 又將，代入化簡得 . (2) 又由（1）知，長軸 2a .橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題例1 已知橢圓的一個焦點為（0，2）求的值分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由，根據(jù)關(guān)系可求出的值解：方程變形為因為焦點在軸上，所以，解得又，所以，適合故

10、例2 已知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：因橢圓的中心在原點，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和（或和）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：當(dāng)焦點在軸上時，設(shè)其方程為由橢圓過點，知又，代入得，故橢圓的方程為當(dāng)焦點在軸上時，設(shè)其方程為由橢圓過點，知又，聯(lián)立解得，故橢圓的方程為例3 的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求解（2）由的軌跡方程、坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求的軌跡方程解： （1）以所在的直線為軸，中點為原點建立直角坐標(biāo)系設(shè)點坐標(biāo)為，由，知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，且除去軸上兩點因

11、，有，故其方程為（2）設(shè)，則 由題意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點）例4 已知點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程解：設(shè)兩焦點為、，且，從橢圓定義知即從知垂直焦點所在的對稱軸，所以在中，可求出，從而所求橢圓方程為或例5 已知橢圓方程，長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限由余弦定理知： ·由橢圓定義知： ，則得 故 例6 已知動圓過定點，且在

12、定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點P滿足的關(guān)系式解：如圖所示，設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點動點到兩定點，即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點的軌跡是以，為兩焦點，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法例7 已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程 分析：此題中四問都跟弦中點有關(guān)，

13、因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點分別為，線段的中點，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（4）由得 ： ， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決例8 已知橢圓及直線（1）當(dāng)為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得（2）設(shè)直線與橢圓的兩個

14、交點的橫坐標(biāo)為，由（1）得，根據(jù)弦長公式得 ：解得方程為說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式用弦長公式，若能合理運用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡化運算過程例9 以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應(yīng)在何處？并求出此時的橢圓方程分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓的定義，本題實際上就是要在已知直線上找一點，使該點到直線同側(cè)的兩已知點（即兩焦點）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決解：如圖所示，橢圓的焦點為，點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為

15、（9，6），直線的方程為解方程組得交點的坐標(biāo)為（5，4）此時最小所求橢圓的長軸：，又，因此，所求橢圓的方程為例10 已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：由得，故的取值范圍是出錯的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個條件，當(dāng)時，并不表示橢圓例11 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍分析：依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍解：方程可化為因為焦點在軸上，所以因此且從而說明：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，這是容易忽視的地方(2)由焦點在軸上，知， (3)求的取值范圍時，應(yīng)注意題目中的條件例12求中心在原點，

16、對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過和兩點的橢圓方程分析：由題設(shè)條件焦點在哪個軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計算簡便起見，可設(shè)其方程為(，)，且不必去考慮焦點在哪個坐標(biāo)軸上，直接可求出方程解：設(shè)所求橢圓方程為(，)由和兩點在橢圓上可得即所以，故所求的橢圓方程為例13 知圓，從這個圓上任意一點向軸作垂線段，求線段中點的軌跡分析：本題是已知一些軌跡，求動點軌跡問題這種題目一般利用中間變量(相關(guān)點)求軌跡方程或軌跡解：設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，則，因為在圓上，所以將，代入方程得所以點的軌跡是一個橢圓說明：此題是利用相關(guān)點法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設(shè)動點的坐標(biāo)為，設(shè)已知軌跡上的點的坐標(biāo)

17、為，然后根據(jù)題目要求，使，與，建立等式關(guān)系，從而由這些等式關(guān)系求出和代入已知的軌跡方程，就可以求出關(guān)于，的方程，化簡后即我們所求的方程這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌握例14 已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長分析：可以利用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因為，所以因為焦點在軸上，所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設(shè)，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則，在中

18、，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半徑求解先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標(biāo)再根據(jù)焦半徑，從而求出例15橢圓上的點到焦點的距離為2，為的中點，則（為坐標(biāo)原點）的值為A4B2 C8 D解：如圖所示，設(shè)橢圓的另一個焦點為，由橢圓第一定義得，所以，又因為為的中位線，所以，故答案為A說明：(1)橢圓定義：平面內(nèi)與兩定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓(2)橢圓上的點必定適合橢圓的這一定義，即，利用這個等式可以解決橢圓上的點與焦點的有關(guān)距離例16 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱分析：若設(shè)橢圓上，兩點關(guān)于直線對稱，則已知條件等價于：(1)直線；(2)弦的中點在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點關(guān)于直線對稱，直線與交于點的斜率，設(shè)直線的方程為由方程組消去得。于是，即點的坐標(biāo)為點在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點，解得(法2)同解法1得出，即點坐標(biāo)為，為橢圓上的兩點，點在橢圓的內(nèi)部，解得(法3)設(shè)，是橢圓上關(guān)于對稱的兩點，直線與的交點的坐標(biāo)為，在橢圓上，兩式相減得