高中數(shù)學(xué) 函數(shù)圖象與性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 精選習(xí)題詳細(xì)答案

1、課程星級(jí)：知能梳理一、函數(shù)的定義、定義域、值域設(shè)是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合中的每一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)叫做從到的一個(gè)函數(shù)，通常記為在函數(shù)中，叫做自變量，的取值范圍叫做的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合稱(chēng)為函數(shù)的值域。函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則二、函數(shù)的性質(zhì)（一）函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈， 數(shù)集XÌD。 如果存在數(shù)K1， 使對(duì)任一xÎX， 有f(x)£K1， 則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有上界， 而稱(chēng)K1為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)上界。 圖形特點(diǎn)是y=f(x)的圖形在直線y=K

2、1的下方。 如果存在數(shù)K2， 使對(duì)任一xÎX， 有f(x)³ K2， 則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有下界， 而稱(chēng)K2為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)下界。 圖形特點(diǎn)是， 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方。 如果存在正數(shù)M， 使對(duì)任一xÎX， 有| f(x) |£M， 則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有界; 圖形特點(diǎn)是， 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y= - M和y = M的之間。如果這樣的M不存在， 則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上無(wú)界。函數(shù)f(x)無(wú)界， 就是說(shuō)對(duì)任何M， 總存在x1ÎX， 使| f(x) | > M。例如（1） f(x)=sin x在(-&

3、#165;， +¥)上是有界的： |sin x|£1。 （2） 函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(0， 1)內(nèi)是無(wú)上界的。 或者說(shuō)它在(0， 1)內(nèi)有下界，無(wú)上界。 這是因?yàn)椋?對(duì)于任一M>1， 總有x1： ， 使， 所以函數(shù)無(wú)上界。 （3）函數(shù)在(1， 2)內(nèi)是有界的。（二）函數(shù)的單調(diào)性（1）設(shè)函數(shù)y = f(x)的定義域?yàn)镈， 區(qū)間I ÌD。 如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2， 當(dāng)x1<x2時(shí)， 恒有 f(x1)< f(x2)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的。 如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2， 當(dāng)x1<x2時(shí)， 恒有 f(x1)> f(

4、x2)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的。 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù)。 舉例：函數(shù)y = x2在區(qū)間(-¥， 0上是單調(diào)增加的， 在區(qū)間0， +¥)上是單調(diào)減少的， 在（-¥， +¥）上不是單調(diào)的。（2）證明方法和步驟：設(shè)元：設(shè)是給定區(qū)間上任意兩個(gè)值，且；作差：；變形：（如因式分解、配方等）；定號(hào)：即；根據(jù)定義下結(jié)論。（3）二次函數(shù)的單調(diào)性：對(duì)函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)單調(diào)減小，右側(cè)單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)單調(diào)增加，右側(cè)單調(diào)減小。（4）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)在區(qū)間具有單調(diào)性的規(guī)律見(jiàn)下表：增 減 增 減 增 減 增 減 減

5、 增 以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”。（5）函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用：判斷函數(shù)的單調(diào)性；比較大??；解不等式；求最值（值域）。需要更多內(nèi)容，見(jiàn)文檔最后表格介紹。在淘.寶.上搜.索.“高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答)”（三）函數(shù)的奇偶性（1）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(即若xÎD， 則-xÎD)。 如果對(duì)于任一xÎD， 有f(-x) = f(x)，則稱(chēng)f(x)為偶函數(shù)。 如果對(duì)于任一xÎD， 有f(-x) = -f(x)，則稱(chēng)f(x)為奇函數(shù)。 舉例： y=x2， y=cos x 都是偶函數(shù)。 y=x3，

6、 y=sin x都是奇函數(shù)， y=sin x+cos x是非奇非偶函數(shù)。（2）一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的一個(gè)必須具備的必要的條件是：這個(gè)函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的實(shí)數(shù)?？芍?，如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)就不具有奇偶性。（3）判斷函數(shù)的奇偶性的等價(jià)命題：若對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，有f(x)-f(-x)=0成立，或（f(x)0）成立，則f(x)為偶函數(shù)。若f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(x)=;若對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，有f(x)+f(-x)=0成立，或（f(x)0）成立，則f(x)為奇函數(shù)。（4）在幾個(gè)函數(shù)的共同定義域上，若f i(x)為奇函數(shù)，g i(x)是偶函數(shù)，可

7、知以下幾個(gè)結(jié)論：f1(x)+f2(x)是奇函數(shù)，g1(x)。+g2(x)是偶函數(shù)，f1(x) f2(x2)是偶函數(shù)，g1(x)。g2(x)是偶函數(shù)，f(x)g(x)是奇函數(shù)。（5）偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)， 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。（6）函數(shù)奇偶性的判定中”六點(diǎn)”： 勿忘定義域；勿忘化簡(jiǎn)解析式；勿忘分段討論；勿忘分類(lèi)討論；勿忘等價(jià)性；勿忘個(gè)別值的特殊性。需要更多內(nèi)容，見(jiàn)文檔最后表格介紹。在淘.寶.上搜.索.“高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答)”（7）確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性）：定義法：先求定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);

8、 再判斷或 是否恒成立。利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：， 或（）。圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。反過(guò)來(lái),如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)。賦值法（8）函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反。即：奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性。如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù)。若為偶函數(shù)，則。若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有。故是為奇函數(shù)的既不充

9、分也不必要條件。定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和（或差）”。復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”。既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)（，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意一個(gè)數(shù)集）。常用結(jié)論：(1)奇偶性滿足下列性質(zhì)：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。（四）函數(shù)的周期性（1） 對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)，就把這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周

10、期。周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)： 在函數(shù)的定義域內(nèi)， 每個(gè)長(zhǎng)度為T(mén)的區(qū)間上， 函數(shù)的圖形有相同的形狀。（2）常見(jiàn)結(jié)論 (約定a>0) ，則的周期T=a；，或或，或,則的周期T=2a（五）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性偶函數(shù)關(guān)于y（即x=0）軸對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)有關(guān)系式 奇函數(shù)關(guān)于（0，0）對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)有關(guān)系式探討：（1）函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)也可以寫(xiě)成 或 簡(jiǎn)證：設(shè)點(diǎn)在上，通過(guò)可知，即點(diǎn)上，而點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)。得證。若寫(xiě)成：，函數(shù)關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)（2）函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 或 簡(jiǎn)證：設(shè)點(diǎn)在上，即，通過(guò)可知，所以，所以點(diǎn)也在上，而點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱(chēng)。得證。若寫(xiě)成：，函數(shù)關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)（3）函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng):假設(shè)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即關(guān)于任一個(gè)值，都有

11、兩個(gè)y值與其對(duì)應(yīng)，顯然這不符合函數(shù)的定義，故函數(shù)自身不可能關(guān)于對(duì)稱(chēng)。但在曲線c(x,y)=0，則有可能會(huì)出現(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，比如圓它會(huì)關(guān)于y=0對(duì)稱(chēng)。需要更多內(nèi)容，見(jiàn)文檔最后表格介紹。在淘.寶.上搜.索.“高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答)”精講精練【例】 下列判斷正確的是（ ）A. 函數(shù)是奇函數(shù) B. 函數(shù)是偶函數(shù)C. 函數(shù)是非奇非偶函數(shù) D. 函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)答案：C 選項(xiàng)A中的而有意義，非關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，選項(xiàng)B中的而有意義，非關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，選項(xiàng)D中的函數(shù)僅為偶函數(shù)【例】已知函數(shù) 判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明； 求函數(shù)的最大值和最小值解： 設(shè)任取且 即 在上為增函數(shù). 由

12、知，在上為增函數(shù)，則 【例】一已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且有+， 求,.解：為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，,不妨用-代換+= 中的,即顯見(jiàn)+即可消去, 求出函數(shù)再代入求出需要更多內(nèi)容，見(jiàn)文檔最后表格介紹。在淘.寶.上搜.索.“高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答)”【例】在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且.若在區(qū)間上是減函數(shù)，則 ( )A.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)B.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)答案：B解：由可知圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng).又因?yàn)闉榕己瘮?shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，可得到為周期函數(shù)且最小正周期為2，結(jié)合在區(qū)間上是減

13、函數(shù)，可得如右草圖.故選B【例】定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個(gè)正周期.若將方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)記為，則可能為（ D ） A.0 B.1C.3D.5 答案：D解：， ，則可能為5，選D.【例】已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，.求的值.解： 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，即，同樣，滿足，知是以4為周期的函數(shù).，同時(shí)還知是偶函數(shù)，所以.【例】已知函數(shù)yf (x)是定義在上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)是奇函數(shù)又知yf (x)在0,1上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值. 證明：；求的解析式；求在4,9上的解析式.解：f (x)是以為周期的周期函數(shù)，又是

14、奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由題意可設(shè)，由得，是奇函數(shù)，又知yf (x)在0,1上是一次函數(shù)，可設(shè)，而，當(dāng)時(shí)，f (x)=-3x，從而當(dāng)時(shí)，故時(shí)，f (x)= -3x，.當(dāng)時(shí)，有，0. 當(dāng)時(shí)，【例】已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則( ).A. B. C. D. 答案：D解：因?yàn)闈M足,所以,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù), 則,又因?yàn)樵赗上是奇函數(shù)， ,得,而由得,又因?yàn)樵趨^(qū)間0,2上是增函數(shù),所以,所以,即,故選D.考點(diǎn):本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等性質(zhì),運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題.需要更多內(nèi)容，見(jiàn)文檔最后表格介紹。在淘.寶.上搜.索.“高考復(fù)習(xí)資料

15、 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答)”【例】已知,對(duì)一切實(shí)數(shù)、都成立，且,求證為偶函數(shù)。證明：令=0, 則已知等式變?yōu)樵谥辛?0則2=2 0 =1 為偶函數(shù)?！纠科婧瘮?shù)在定義域（-1，1）內(nèi)遞減，求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由得，為奇函數(shù)，又在（-1，1）內(nèi)遞減， 【例】設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。證明是周期函數(shù)。證明：由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，得，又是定義在R上的奇函數(shù)，所以，則由周期函數(shù)的定義可知4是它的一個(gè)周期?？偨Y(jié)：一般地，,均可斷定函數(shù)的周期為2T?！纠恳阎嵌x在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的，都滿足：。判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論。解：令，則，得； 令

16、，則，得；令，得，得因此函數(shù)為奇函數(shù)?？偨Y(jié)：賦值是解決多變量抽象函數(shù)的重要手段?！纠恳阎瘮?shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有，且當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間2，1上的值域。解：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即，為增函數(shù)在條件中，令yx，則，再令xy0，則， ，故，為奇函數(shù)，又，的值域?yàn)?，2?！纠吭O(shè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意，恒有，當(dāng)時(shí)，有 求證：，且當(dāng)時(shí)，； 證明：在上單調(diào)遞減解： 令得 當(dāng)時(shí)，有， 當(dāng)時(shí)，有， ，又 設(shè)且 又 在上單調(diào)遞減.需要更多內(nèi)容，見(jiàn)文檔最后表格介紹。在淘.寶.上搜.索.“高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答)”【例】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m、n，總有，且時(shí)。（1）證明：f(0)=1，且x<0時(shí)f(x)>1；（2）證明：f(x)在R 上單調(diào)遞減；（ 3 ）設(shè)，若，確定a 的范圍。（4）試舉出一個(gè)滿足條件的函數(shù)解：（1）證明：令，已知時(shí)，設(shè)，即當(dāng)x<0時(shí)f(x)>1（2），則f(x)在R 上單調(diào)遞減。（3）f(x)在R上單調(diào)遞減 （單位圓內(nèi)部分） （一條直線）（4）如【例】已知函數(shù)滿足定義域在上的函數(shù)，對(duì)于任意的，都有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，（1）設(shè)，求證；（2）設(shè)，若，試比較與的大??；（3）解關(guān)于的不等式分析：本題是以對(duì)數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)，可以參考對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)解題證明：（1），（2），即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，（3）令代