高三數(shù)學基礎回顧

1、2012屆高三數(shù)學基礎回顧第一節(jié) 集合與邏輯1集合中元素的特征：確定性，互異性，無序性。如：已知集合，且，則 ；2區(qū)分集合中元素的形式如函數(shù)的定義域；函數(shù)的值域；圖象上的點集；如：（1）設集合，集合N，則_ ；（2）設集合，則_ _ ；3集合的交、并、補運算； ,;如：已知，如果，則的取值范圍是 4條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況空集是指不含任何元素的集合，（注意和的區(qū)別）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。含個元素的集合的子集個數(shù)為，真子集個數(shù)為；如：滿足集合有_個； 5補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題。如：已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)，使，則實數(shù)的取值范圍

2、為 6原命題：；逆命題: ；否命題：；逆否命題：；互為逆否的兩個命題是等價的；7若且則是的充分非必要條件，或是的必要非充分條件； 如： 是的 條件；8注意命題的否定與它的否命題的區(qū)別: 命題的否定是；否命題是命題“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”；如： “若和都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題是 它的否定是 函數(shù)與導數(shù)9指數(shù)式、對數(shù)式，；如：的值為_10基本初等函數(shù)類型（1）一次函數(shù)（2）二次函數(shù)三種形式：一般式；頂點式；零點式區(qū)間最值：配方后一看開口方向，二討論對稱軸與區(qū)間的相對位置關系；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下：如：若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間，則

3、 根的分布：畫圖，研究>0、軸與區(qū)間關系、區(qū)間端點函數(shù)值符號；）若，則方程在區(qū)間內至少有一個實根；）設，則（1）方程在區(qū)間內有根的充要條件為或；）方程在區(qū)間內有根的充要條件為、；）方程在區(qū)間內有根的充要條件為或；（3）反比例函數(shù):平移(對稱中心為，兩條漸近線)（4）對勾函數(shù)：是奇函數(shù)。當時，在遞減遞增；當時，函數(shù)為區(qū)間上的增函數(shù)；11函數(shù)的單調性定義法 設那么上是增函數(shù)；上是減函數(shù).導數(shù)法；注意能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調遞增，但，是為增函數(shù)的充分不必要條件。復合函數(shù)由同增異減的判定法則來判定；如（1）已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，則實數(shù)的取值范圍為 （2）已知函數(shù)在

4、區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_ _（3）如函數(shù)的單調遞增區(qū)間是_12函數(shù)的奇偶性是偶函數(shù)； 是奇函數(shù)定義域含0的奇函數(shù)滿足；定義域關于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分的條件；多項式函數(shù)的奇偶性多項式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.13周期性（1）類比“三角函數(shù)圖像”得：若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為；若圖像有兩個對稱中心，則是周期函數(shù)，且一周期為；如果函數(shù)的圖像有一個對稱中心和一條對稱軸則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為；如定義在上的函數(shù)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程在上至少有_個實數(shù)根（2）由周期函數(shù)的定

5、義“函數(shù)滿足，則是周期為的周期函數(shù)“得：函數(shù)滿足，則是周期為2的周期函數(shù)；若成立，則；若恒成立，則.如（1）設是上的奇函數(shù)，當時，則等于_（2）定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，若是銳角三角形的兩個內角，則的大小關系為_14常見的圖象變換（1）函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左或向右平移個單位得到的。（2）函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上或向下平移個單位得到的；（3）函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。（4）函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的。如：（1）要得到的圖像，只需作關于_軸對稱的圖像，再向_平移3個單位而得到（2）若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對稱軸方程是_（3

6、）函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)有_個（4）將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再將此圖像沿軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應的函數(shù)為_15函數(shù)的對稱性（1）滿足條件的函數(shù)的圖象關于直線對稱。（2）若，則圖象關于直線對稱；兩函數(shù)與圖象關于直線對稱；如（1）已知二次函數(shù)滿足條件且方程有等根，則_ _（2）已知函數(shù)。求證：函數(shù)的圖像關于點成中心對稱圖形。（3）的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關于軸的對稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關于軸的對稱圖形得到。如（1）作出函數(shù)及的圖象；（2）若函數(shù)是定義在R

7、上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關于_對稱 16函數(shù)定義域、值域、單調性等題型方法總結（1）判定相同函數(shù):定義域相同且對應法則相同（2）求函數(shù)解析式的常用方法：待定系數(shù)法已知所求函數(shù)的類型如已知為二次函數(shù)，且 ，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,則的解析式為 ； 代換（配湊）法已知形如的表達式，求的表達式。如（1）已知求的解析式；（2）若，則函數(shù)=_；（3）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，那么當時，=_；這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即的定義域應是的值域。方程的思想對已知等式進行賦值，從而得到關于及另外一個函數(shù)的方程組。如（1）已知，則的解析式 （2）已知是奇函數(shù)，是偶

8、函數(shù)，且+= ,則= （3）求定義域使函數(shù)解析式有意義(如：分母、偶次根式被開方數(shù)、對數(shù)真數(shù)、底數(shù)、零指數(shù)冪的底數(shù)、實際問題有意義；若f(x)定義域為a,b,復合函數(shù)fg(x)定義域由ag(x)b解出；若fg(x)定義域為a,b,則f(x)定義域相當于xa,b時g(x)的值域；如：（1）函數(shù)定義域為，則定義域為_（2）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_（4）求值域方法配方法；如：函數(shù)的值域 逆求法（反求法）；如：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍為 換元法；如（1）的值域為_ _（2）的值域為_三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；

9、如：的值域 ；不等式法：利用基本不等式求函數(shù)的最值。如設成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是_ _ 單調性法：函數(shù)為單調函數(shù)，可根據函數(shù)的單調性求值域。如求，的值域分別為_， ， ；數(shù)形結合：根據函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結合的方法來求值域。如（1）已知點在圓上，則及的取值范圍分別為_， （2）求函數(shù)的值域；判別式法如（1）求的值域 ；（2）求函數(shù)的值域 ；（3）求的值域 ；導數(shù)法、分離參數(shù)法；如（1）求函數(shù)，的最小值 。（2）用2種方法求下列函數(shù)的值域：；（5）解應用題:審題(理順數(shù)量關系)、建模、求模、驗證；（6）恒成立問題：分離參數(shù)法、最值法、化為一次或二次方程根的分布問題恒成立；恒成立

10、（7）任意定義在R上函數(shù)f（x）都可以唯一地表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和；即其中是偶函數(shù)，是奇函數(shù)（8）利用一些方法（如賦值法（令0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進行邏輯探究。如（1）若，滿足，則的奇偶性是_；（2）若，滿足，則的奇偶性是_；（3）已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，的圖像如右圖所示，那么不等式的解集是_；（4）設的定義域為，對任意，都有，且時，又，求證為減函數(shù)；解不等式.17（1）函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應的切線方程是.（2）導數(shù)幾何物理意義:k=f/(x0)表示曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處切線的斜率。Vs

11、/(t)表示t時刻即時速度,a=v(t)表示t時刻加速度。如一物體的運動方程是，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在時的瞬時速度為_18幾種常見函數(shù)的導數(shù)(1) （C為常數(shù)）. (2) .(3) . (4) .(5) ；. (6) ; .19導數(shù)的運算法則（1）.（2）.（3）.20復合函數(shù)的求導法則 設函數(shù)在點處有導數(shù)，函數(shù)在點處的對應點U處有導數(shù)，則復合函數(shù)在點處有導數(shù)，且，或寫作.21判別是極大（?。┲档姆椒ǎ寒敽瘮?shù)在點處連續(xù)時，（1）如果在附近的左側，右側，則是極大值；（2）如果在附近的左側，右側，則是極小值.22導數(shù)應用過某點的切線不一定只有一條; 如：已知函數(shù)，過點作曲線的切線，

12、求此切線的方程研究單調性步驟:分析y=f(x)定義域;求導數(shù);解不等式f/(x)0得增區(qū)間;解不等式f/(x)0得減區(qū)間;注意f/(x)=0的點; 如：設函數(shù)在上單調函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_求極值、最值步驟:求導數(shù);求的根;檢驗在根左右兩側符號,若左正右負,則f(x)在該根處取極大值;若左負右正,則f(x)在該根處取極小值;把極值與區(qū)間端點函數(shù)值比較,最大的為最大值,最小的是最小值. 如：（1）函數(shù)在0，3上的最大值、最小值分別是_；（2）已知函數(shù)在區(qū)間1,2 上是減函數(shù)，那么bc有最_值_ （3）方程的實根的個數(shù)為_特別提醒：（1）是極值點的充要條件是點兩側導數(shù)異號，而不僅是0，0是為極值點

13、的必要而不充分條件。（2）給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！如：函數(shù)處有極小值10，則a+b的值為_第三節(jié) 數(shù)列24等差數(shù)列中an=a1+(n-1)（疊加法）Sn=（倒序相加法）等比數(shù)列中an= a1 qn-1;（疊乘法）當q=1,Sn=na1 當q1,Sn=（錯位相減法）25常用性質、結論：（1）等差數(shù)列中, an=am+ (nm)d, ;當m+n=p+q,am+an=ap+aq；等比數(shù)列中，an=amqn-m; 當m+n=p+q ，；如在等比數(shù)列中，公比q是整數(shù)，則=_；各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若

14、則 。（2）常見數(shù)列：an、bn等差則kan+tbn等差;an、bn等比則kan(k0)、anbn、等比;an等差,則(c>0)成等比.bn(bn>0)等比,則logcbn(c>0且c1)等差。（3）在等差數(shù)列中：若項數(shù)為，則 ， 若數(shù)為則， ， ，在等比數(shù)列中：若項數(shù)為，則若數(shù)為則（4）等差數(shù)列an的任意連續(xù)m項的和構成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍為等差數(shù)列；等比數(shù)列an的任意連續(xù)m項的和且不為零時構成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍為等比數(shù)列。如：公比為-1時，、-、-、不成等比數(shù)列26等差三數(shù)為a-d,

15、a,a+d;四數(shù)a-3d,a-d,a+d,a+3d；等比三數(shù)可設,a,aq；四個數(shù)成等比的錯誤設法：,aq,aq3 (為什么？) 如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求此四個數(shù)。27等差、等比數(shù)列的判定：（1） （2）如若是等比數(shù)列，且，則 28首項正的遞減(或首項負的遞增)等差數(shù)列前n項和最大(或最小)問題,轉化為解不等式,或用二次函數(shù)處理;(等比前n項積?)，由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？如（1）等差數(shù)列中，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。（2）若是等差數(shù)列，首項，則使前n項和成立的最大正整數(shù)n是

16、 29求和常法:公式、分組、裂項相消、錯位相減、倒序相加.關鍵找通項結構.分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n 、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n、裂項法求和：如求和： 倒序相加法求和：如求證： ；已知，則_30求數(shù)列an的最大、最小項的方法（函數(shù)思想）：an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an>0) 如an= an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 如an=31求通項常法（1）已知數(shù)列的前n項和,求通項，可利用公式如：數(shù)列滿足，求（2）先猜后證（3）遞推式為f(n) (采用累加法)；×f(n) (采用累積法)；如已知數(shù)列滿足，則=_（4）構造法形如、

17、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列如已知，求 （5）涉及遞推公式的問題，常借助于“迭代法”解決，適當注意以下3個公式的合理運用 an（anan-1）+(an-1an-2)+（a2a1）a1 ； an（6）倒數(shù)法形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。如已知，求 已知數(shù)列滿足=1，求 (7)、常見和：，第四節(jié) 三角函數(shù)32終邊相同(=2k+);弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度(1rad)如：已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。33函數(shù)y=b（）五點法作圖;振幅?相位?初相?周期T=,頻率；如（1）函數(shù)的奇偶性是_ ；（2）已知函數(shù)為常數(shù)），且，則_（3）函數(shù)的圖象的對稱中心和對

18、稱軸分別是_、_；（4）已知為偶函數(shù)，求的值。變換:正左移負右移；b正上移負下移;34正弦定理:2R=; 內切圓半徑r=余弦定理：a=b+c-2bc,;術語:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基準方向為起點（一般為北方），依順時針方式旋轉至指示方向所在位置，其間所夾的角度稱之。方位角的取值范圍是：0°360°35同角基本關系：如：已知，則 _；_ _；36誘導公式簡記：奇變偶不變，符號看象限（看作第一象限）37重要公式： ； 如：函數(shù)的單調遞增區(qū)間為_巧變角：如，等），如：（1）已知，那么的值是_；（2）已知為銳角，則與的函數(shù)關系為_ 38輔助角公式中輔助角的確定：(其中)如

19、：（1）當函數(shù)取得最大值時，的值是_；（2）如果是奇函數(shù)，則=；第五節(jié) 平面向量39向量定義、向量模、零向量、單位向量、相反向量(長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。)、共線向量、相等向量注意:不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）40加、減法的平行四邊形與三角形法則:;41如：在中，M為BC的中點，則_。（用表示） 42向量數(shù)量積的性質：設兩個非零向量，其夾角為，則：；當，同向時，特別地，；當與反向時，；當為銳角時，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；。如（1）已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_；43向量b在方向上的投影bcos44和是平面一組基底,則該平面任一向量(唯一)特別：. 則是三點P、A、B共線的充要條件如平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_；45在中，為的重心，特別地為的重心；為的垂心； 向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；如：（1）若O是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為_；（2）若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為_；（3）若點是的外心，且，則的內角為_ ；46P分的比為,則=,0內分;0且-1外分，;若1 則(+);設P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)