高一基本初等函數(shù)復(fù)習(xí)

1、基本初等函數(shù)一【課標(biāo)要求】1指數(shù)函數(shù)（1）通過具體實例（如細(xì)胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景；（2）理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算。（3）理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；（4）在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型2對數(shù)函數(shù)（1）理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用；（2）通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所

2、刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；3知道指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（a0，a1）。4.冪函數(shù)（1）了解冪函數(shù)的概念（2）結(jié)合函數(shù)y=x, ,y=, y=,y=,y=的圖象，了解它們的變化情況二【命題走向】指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類常見的重要函數(shù)，在歷年的高考題中都占據(jù)著重要的地位。從近幾年的高考形勢來看，對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運算推理，能運用它們的性質(zhì)解決具體問題。為此，我們要熟練掌握指數(shù)、對數(shù)運算法則，明確算理，能對常見

3、的指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)進行變形處理。預(yù)測2010年對本節(jié)的考察是：1題型有兩個選擇題和一個解答題；2題目形式多以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)來考察函數(shù)的性質(zhì)。同時它們與其它知識點交匯命題，則難度會加大三【要點精講】1指數(shù)與對數(shù)運算（1）根式的概念：定義：若一個數(shù)的次方等于，則這個數(shù)稱的次方根。即若，則稱的次方根，1）當(dāng)為奇數(shù)時，次方根記作；2）當(dāng)為偶數(shù)時，負(fù)數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個次方根且互為相反數(shù)，記作性質(zhì)：1）；2）當(dāng)為奇數(shù)時，；3）當(dāng)為偶數(shù)時，。（2）冪的有關(guān)概念規(guī)定：1）N*；2）； n個3）Q，4）、N* 且性質(zhì)：1）、Q）；2）、 Q）；3） Q）。（注）上述性質(zhì)

4、對r、R均適用。（3）對數(shù)的概念定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對數(shù)，記作其中稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)1）以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，記作；2）以無理數(shù)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，記作；基本性質(zhì)：1）真數(shù)N為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無對數(shù)）；2）；3）；4）對數(shù)恒等式：。運算性質(zhì)：如果則1）；2）；3）R）換底公式：1）；2）。2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù)稱指數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域為R；2）函數(shù)的值域為；3）當(dāng)時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時函數(shù)為增函數(shù)。函數(shù)圖像：1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（0，1），且圖象都在第一、二象限；2）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時，圖象向左無限接近軸，當(dāng)時，圖

5、象向右無限接近軸）；3）對于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱 ， ， ， ， ，函數(shù)值的變化特征：（2）對數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù)稱對數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域為；2）函數(shù)的值域為R；3）當(dāng)時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時函數(shù)為增函數(shù)；4）對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)函數(shù)圖像：1）對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（0，1），且圖象都在第一、四象限；2）對數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時，圖象向上無限接近軸；當(dāng)時，圖象向下無限接近軸）；4）對于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。函數(shù)值的變化特征：，.，.（3）冪函數(shù)1）掌握5個冪函數(shù)的圖像特點2）a>0時，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)恒為增函數(shù)，a<0時在第一象限恒為減函數(shù)3）過定點（1

6、，1）當(dāng)冪函數(shù)為偶函數(shù)過（-1,1）,當(dāng)冪函數(shù)為奇函數(shù)時過（-1，-1）當(dāng)a>0時過（0，0）4）冪函數(shù)一定不經(jīng)過第四象限四【典例解析】題型1：指數(shù)運算例1（1）計算：；（2）化簡：。解：（1）原式=；（2）原式=。點評：根式的化簡求值問題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解，對化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式保留；一般的進行指數(shù)冪運算時，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運算，同時兼顧運算的順序。例2（1）已知，求的值解：，又，。點評：本題直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡變形，創(chuàng)造條件簡化運算。題型2：對數(shù)運算（2）.(江蘇省南通市20

7、08屆高三第二次調(diào)研考試)冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則滿足27的x的值是 .答案 例3計算（1）；（2）；（3）解：（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。點評：這是一組很基本的對數(shù)運算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運算要求并不高，但是數(shù)式運算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過這樣的運算練習(xí)熟練掌握運算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧例4設(shè)、為正數(shù)，且滿足 （1）求證：；（2）若，求、的值。證明：（1）左邊；解：（2）由得，由得 由得由得，代入得， 由、解得，從而。點評：對于含對數(shù)因式的證明和求值問題，還是以對數(shù)運算法則為主，將代數(shù)式化簡到最見形式再來處理即可。題型3：指數(shù)、對數(shù)方程例5(

8、江西師大附中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中)已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求a,b的值；（2）若對任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍.解 （1） 因為是R上的奇函數(shù)，所以從而有 又由，解得（2）解法一：由（1）知由上式易知在R上為減函數(shù)，又因是奇函數(shù)，從而不等式等價于 因是R上的減函數(shù)，由上式推得即對一切從而解法二：由（1）知又由題設(shè)條件得即 整理得，因底數(shù)2>1，故 上式對一切均成立，從而判別式例6（2008廣東 理7）設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則（ B ）ABCD【解析】，若函數(shù)在上有大于零的極值點，即有正根。當(dāng)有成立時,顯然有,此時，由我們馬上就能得到參數(shù)的范圍為.點評：

9、上面兩例是關(guān)于含指數(shù)式、對數(shù)式等式的形式，解題思路是轉(zhuǎn)化為不含指數(shù)、對數(shù)因式的普通等式或方程的形式，再來求解。題型4：指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)例7設(shè)（ ）A0 B1 C2 D3解：C；，。點評：利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念，求解函數(shù)的值例8已知試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。解：令，則x=，tR。所以即，（xR）。因為f(x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故只需討論f(x)在0，+）上的單調(diào)性。任取，且使，則（1）當(dāng)a>1時，由，有，所以，即f(x)在0，+上單調(diào)遞增。（2）當(dāng)0<a<1時，由，有，所以，即f(x)在0，+上單調(diào)遞增。綜合所述，0，+是f(x)的單調(diào)增區(qū)間，（，0

10、）是f(x)的單調(diào)區(qū)間。點評：求解含指數(shù)式的函數(shù)的定義域、值域，甚至是證明函數(shù)的性質(zhì)都需要借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來處理。特別是分兩種情況來處理。題型5：指數(shù)函數(shù)的圖像與應(yīng)用例9若函數(shù)的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是（ ）Am1 B1m<0 Cm1 D0<m1解：，畫圖象可知1m<0。答案為B。點評：本題考察了復(fù)雜形式的指數(shù)函數(shù)的圖像特征，解題的出發(fā)點仍然是兩種情況下函數(shù)的圖像特征。例10設(shè)函數(shù)的取值范圍。解：由于是增函數(shù)，等價于1)當(dāng)時，式恒成立；2)當(dāng)時，式化為，即；3)當(dāng)時，式無解；綜上的取值范圍是。點評：處理含有指數(shù)式的不等式問題，借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將含有指數(shù)式的不等

11、式轉(zhuǎn)化為普通不等式問題（一元一次、一元二次不等式）來處理題型6：對數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)例11（1）函數(shù)的定義域是（ ）A B C D（2）（2006湖北）設(shè)f(x)，則的定義域為（ ）A B(4,1)(1，4) C(2,1)(1，2) D(4,2)(2，4)解：（1）D（2）B。點評：求函數(shù)定義域就是使得解析是有意義的自變量的取值范圍，在對數(shù)函數(shù)中只有真數(shù)大于零時才有意義。對于抽象函數(shù)的處理要注意對應(yīng)法則的對應(yīng)關(guān)系。例12（2009廣東三校一模）設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若當(dāng)時,(其中)不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(3)試討論關(guān)于的方程:在區(qū)間上的根的個數(shù).解 （1）函數(shù)的定義域為.

12、 1分由得; 2分 由得, 3分則增區(qū)間為,減區(qū)間為. 4分(2)令得,由(1)知在上遞減,在上遞增, 6分由,且, 8分時, 的最大值為,故時,不等式恒成立. 9分(3)方程即.記,則.由得;由得.所以g(x)在0,1上遞減，在1，2上遞增.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，g(0)g(2)g(1) 10分所以，當(dāng)a1時，方程無解；當(dāng)3-2ln3a1時，方程有一個解，當(dāng)2-2ln2aa3-2ln3時，方程有兩個解；當(dāng)a=2-2ln2時，方程有一個解；當(dāng)a2-2ln2時，方程無解. 13分字上所述，a時，方程無解；或a=2-2ln2時，方程有唯一解；時，方程有兩個

13、不等的解.14分 例13當(dāng)a>1時，函數(shù)y=logax和y=(1a)x的圖象只可能是( )解：當(dāng)a>1時，函數(shù)y=logax的圖象只能在A和C中選，又a>1時，y=(1a)x為減函數(shù)。答案：B點評：要正確識別函數(shù)圖像，一是熟悉各種基本函數(shù)的圖像，二是把握圖像的性質(zhì)，根據(jù)圖像的性質(zhì)去判斷，如過定點、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性例14設(shè)A、B是函數(shù)y= log2x圖象上兩點, 其橫坐標(biāo)分別為a和a+4, 直線l: x=a+2與函數(shù)y= log2x圖象交于點C, 與直線AB交于點D。（1）求點D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)ABC的面積大于1時, 求實數(shù)a的取值范圍解：（1）易知D為線段AB的中

14、點, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)，所以由中點公式得D(a+2, log2 )。（2）SABC=S梯形AACC+S梯形CCBB- S梯形AABB= log2, 其中A,B,C為A,B,C在x軸上的射影。由SABC= log2>1, 得0< a<22。點評：解題過程中用到了對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，注意底數(shù)分類來處理，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來處理復(fù)雜問題。題型8：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合問題例15在xOy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn)，對每個自然數(shù)n點Pn位于函數(shù)y=2000()x(0<a<1)的圖象上，且點Pn

15、,點(n,0)與點(n+1,0)構(gòu)成一個以Pn為頂點的等腰三角形。(1)求點Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；(2)若對于每個自然數(shù)n，以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形，求a的取值范圍；(3)設(shè)Cn=lg(bn)(nN*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列Cn前多少項的和最大？試說明理由解：(1)由題意知：an=n+,bn=2000()。(2)函數(shù)y=2000()x(0<a<10)遞減，對每個自然數(shù)n,有bn>bn+1>bn+2。則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn，即()2+()1>0，

16、解得a<5(1+)或a>5(1)。 5(1)<a<10。(3)5(1)<a<10，a=7bn=2000()。數(shù)列bn是一個遞減的正數(shù)數(shù)列，對每個自然數(shù)n2,Bn=bnBn1。于是當(dāng)bn1時，Bn<Bn1，當(dāng)bn<1時，BnBn1，因此數(shù)列Bn的最大項的項數(shù)n滿足不等式bn1且bn+1<1，由bn=2000()1得：n20。n=20。點評：本題題設(shè)從函數(shù)圖像入手，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，最終還是根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合數(shù)列知識，以及三角形的面積解決了實際問題。例16已知函數(shù)為常數(shù)）（1）求函數(shù)f(x)的定義域；（2）若a=2，試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù)f

17、(x)的單調(diào)性（3）若函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，求a的取值范圍。解：（1）由a0，x0 f(x)的定義域是。（2）若a=2，則設(shè) ， 則故f(x)為增函數(shù)。（3）設(shè) f(x)是增函數(shù)，f(x1)f(x2)即 聯(lián)立、知a1，a(1，+)。點評：該題屬于純粹的研究復(fù)合對函數(shù)性質(zhì)的問題，我們抓住對數(shù)函數(shù)的特點，結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路，對“路”處理即可題型9：課標(biāo)創(chuàng)新題例17對于在區(qū)間上有意義的兩個函數(shù)f(x)與g(x)，如果對任意的，均有，則稱f(x)與g(x)在上是接近的，否則稱f(x)與g(x)在上是非接近的，現(xiàn)有兩個函數(shù)與，給定區(qū)間。（1）若與在給定區(qū)間上都有意義，求a的取值范

18、圍；（2）討論與在給定區(qū)間上是否是接近的。解：（1）兩個函數(shù)與在給定區(qū)間有意義，因為函數(shù)給定區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在給定區(qū)間上恒為正數(shù)，故有意義當(dāng)且僅當(dāng)；（2）構(gòu)造函數(shù)，對于函數(shù)來講， 顯然其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。且在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)由于，得所以原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，只需保證當(dāng)時，與在區(qū)間上是接近的； 當(dāng)時，與在區(qū)間上是非接近的點評：該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對含有對數(shù)式的函數(shù)的是否“接近”進行研究，轉(zhuǎn)化成含有對數(shù)因式的不等式問題，解不等式即可。例18設(shè)，且，求的最小值。解：令 ，。 由得， ，即， ， ，當(dāng)時，。點評：對數(shù)函數(shù)結(jié)合不等式知識處理最值問題，這是出題的一個亮點。同時考察了學(xué)生的變形能力。例19.（2009陜西卷文）設(shè)曲線在點（