音叉的受迫振動與共振實驗

1、音叉的受迫振動與共振實驗華中科技大學(xué)一、預(yù)備問題1、 實驗中策動力的頻率為200Hz時，音叉臂的振動頻率為多少？ 2、實驗中在音叉臂上加砝碼時，為什么每次加砝碼的位置要固定？二、引言實際的振動系統(tǒng)總會受到各種阻力。系統(tǒng)的振動因為要克服內(nèi)在或外在的各種阻尼而消耗自身的能量。如果系統(tǒng)沒有補充能量，振動就會衰減，最終停止振動。要使振動能持續(xù)下去，就必須對系統(tǒng)振子施加持續(xù)的周期性外力，以補充因各種阻尼而損失的能量。振子在周期性外力作用下產(chǎn)生的振動叫做受迫振動。當(dāng)外加的驅(qū)動力的頻率與振子的固有頻率相同時，會產(chǎn)生共振現(xiàn)象。音叉是一個典型的振動系統(tǒng)，其二臂對稱、振動相反，而中心桿處于振動的節(jié)點位置，凈受力為

2、零而不振動，我們將它固定在音叉固定架上是不會引起振動衰減的。其固有頻率可因其質(zhì)量和音叉臂長短、粗細而不同。音叉廣泛應(yīng)用于多個行業(yè)，如用于產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)的“純音”、鑒別耳聾的性質(zhì)、用于檢測液位的傳感器、用于檢測液體密度的傳感器、以及計時等等。本實驗借助于音叉，來研究受迫振動及共振現(xiàn)象。用帶鐵芯的電磁線圈產(chǎn)生不同頻率的電磁力，作為驅(qū)動力，同樣用電磁線圈來檢測音叉振幅，測量受迫振動系統(tǒng)振動與驅(qū)動力頻率的關(guān)系，研究受迫振動與共振現(xiàn)象及其規(guī)律。具有不直接接觸音叉，測量靈敏度高等特點。三、實驗原理1、音叉的電磁激振與拾振將一組電磁線圈置于鋼質(zhì)音叉臂的上下方兩側(cè)，并靠近音叉臂。對驅(qū)動線圈施加交變電流，產(chǎn)生交變磁場

3、，使音叉臂磁化，產(chǎn)生交變的驅(qū)動力。接收線圈靠近被磁化的音叉臂放置，可感應(yīng)出音叉臂的振動信號。由于感應(yīng)電流, 代表交變磁場變化的快慢,其值大小取決于音叉振動的速度,速度越快,磁場變化越快,產(chǎn)生的電流越大,從而使測得的電壓值越大。所以,接收線圈測量電壓值獲得的曲線為音叉受迫振動的速度共振曲線。相應(yīng)的輸出電壓代表了音叉的速度共振幅值。1、簡諧振動與阻尼振動物體的振動速度不大時，它所受的阻力大小通常與速率成正比，若以F表示阻力大小，可將阻力寫成下列代數(shù)式： （1）式中是與阻力相關(guān)的比例系數(shù)，其值決定于運動物體的形狀、大小和周圍介質(zhì)等的性質(zhì)。物體的上述振動在有阻尼的情況下，振子的動力學(xué)方程為：其中m為振

4、子的等效質(zhì)量，為與振子屬性有關(guān)的勁度系數(shù)。令，代入上式可得： （2）式中是對應(yīng)于無阻尼時的系統(tǒng)振動的固有角頻率，為阻尼系數(shù)。當(dāng)阻尼較小時，式（2）的解為： （3）式中。由公式(3)可知，如果=0，則認(rèn)為是無阻尼的運動，這時，成為簡諧運動。在0，即在有阻尼的振動情況下，此運動是一種衰減運動。從公式可知，相鄰兩個振幅最大值之間的時間間隔為： （4）與無阻尼的周期相比，周期變大。2、受迫振動實際的振動都是阻尼振動，一切阻尼振動最后都要停止下來要使振動能持續(xù)下去，必需對振子施加持續(xù)的周期性外力，使其因阻尼而損失的能量得到不斷的補充振子在周期性外力作用下發(fā)生的振動叫受迫振動，而周期性的外力又稱驅(qū)動力實際

5、發(fā)生的許多振動都屬于受迫振動例如聲波的周期性壓力使耳膜產(chǎn)生的受迫振動，電磁波的周期性電磁場力使天線上電荷產(chǎn)生的受迫振動等。為簡單起見，假設(shè)驅(qū)動力有如下的形式：式中為驅(qū)動力的幅值，為驅(qū)動力的角頻率。振子處在驅(qū)動力、阻力和線性回復(fù)力三者的作用下，其動力學(xué)方程成為 （5）仍令，得到： （6）微分方程理論證明，在阻尼較小時，上述方程的解是： （7）式中第一項為暫態(tài)項，在經(jīng)過一定時間之后這一項將消失，第二項是穩(wěn)定項在振子振動一段時間達到穩(wěn)定后，其振動式即成為： （8）應(yīng)該指出，上式雖然與自由簡諧振動式（即在無驅(qū)動力和阻力下的振動）相同，但實質(zhì)已有所不同首先其中并非是振子的固有角頻率，而是驅(qū)動力的角頻率，

6、其次A 和不決定于振子的初始狀態(tài)，而是依賴于振子的性質(zhì)、阻尼的大小和驅(qū)動力的特征。事實上，只要將式（8）代人方程（6) ，就可計算出 （9） （10） 其中：在穩(wěn)態(tài)時，振動物體的速度 （11）其中 （12）3、共振在驅(qū)動力幅值固定的情況下，應(yīng)有怎樣的驅(qū)動角頻率才可使振子發(fā)生強烈振動？這是個有實際意義的問題。下面分別從振動速度和振動位移兩方面進行簡單分析。3.1 速度共振從相位上看，驅(qū)動力與振動速度之間有相位差，一般地說，外力方向與物體運動方向并不相同，有時兩者同向，有時兩者反向。同向時驅(qū)動力做正功，振子輸人能量；反向時驅(qū)動力做負(fù)功，振子輸出能量。輸人功率的大小可由計算。設(shè)想在振子固有頻率、阻尼

7、大小、驅(qū)動力幅值均固定的情況下，僅改變驅(qū)動力的頻率，則不難得知，如果滿足最大值時，振子的速度幅值就有最大值。由可得：，這時，由此可見，當(dāng)驅(qū)動力的頻率等于振子固有頻率時，驅(qū)動力將與振子速度始終保持同相，于是驅(qū)動力在整個周期內(nèi)對振子做正功，始終給振子提供能量，從而使振子速度能獲得最大的幅值。這一現(xiàn)象稱為速度共振。速度幅值隨的變化曲線如圖1所示。顯然或值越小，關(guān)系曲線的極值越大。描述曲線陡峭程度的物理量一般用銳度表示，其值等于品質(zhì)因素： （13）其中為對應(yīng)的頻率，、為下降到最大值的0.707倍時對應(yīng)的頻率值。 圖1 速度共振曲線 圖2 位移共振曲線3.2、位移共振驅(qū)動力的頻率為何值時才能使音叉臂的振

8、幅A 有最大值呢？對式（9）求導(dǎo)并令其一階導(dǎo)為零，即可求得A的極大值及對應(yīng)的值為： （14） （15）由此可知，在有阻尼的情況下，當(dāng)驅(qū)動力的圓頻率時，音叉臂的位移振幅A 有最大值，稱為位移共振，這時的0。位移共振的幅值A(chǔ)隨的變化曲線如圖2所示。由（14）式可知，位移共振幅值的最大值與阻尼有關(guān)。阻尼越大，振幅的最大值越小；阻尼越小，振幅的最大值越大。在很多場合，由于阻尼很小，發(fā)生共振時位移共振幅值過大，從而引起系統(tǒng)的損壞，這是我們需要十分重視的。 比較圖1和圖2可知，速度共振和位移共振曲線不完全相同。對于有阻尼的振動系統(tǒng)，當(dāng)速度發(fā)生共振時，位移并沒有達到共振。其原因在于，對于作受迫振動的振子在平

9、衡點有最大幅值的速度時，其運動時受到的阻力也達到最大，于是在平衡點上的最大動能并沒有能全部轉(zhuǎn)變?yōu)榛剞D(zhuǎn)點上的勢能，以致速度幅值的最大并不對應(yīng)位移振幅的最大這就是位移共振與速度共振并不發(fā)生在同一條件下的原因顯然，如果阻尼很小，兩種共振的條件將趨于一致，這一點也可從圖2的位移共振曲線清楚地看出來。4、音叉的振動周期與質(zhì)量的關(guān)系從公式（4）可知，在阻尼較小、可忽略的情況下有： （16）這樣我們可以通過改變質(zhì)量m，來改變音叉的共振頻率。我們在一個標(biāo)準(zhǔn)基頻為256Hz的音叉的兩臂上對稱等距開孔，可以知道這時的變小，共振頻率變大；將兩個相同質(zhì)量的物塊mX對稱地加在兩臂上，這時的變大，共振頻率變小。從式（16

10、）可知這時： (17) 其中k為振子的勁度系數(shù)，為常數(shù)，它與音叉的力學(xué)屬性有關(guān)。m0為不加質(zhì)量塊時的音叉振子的等效質(zhì)量，mX為每個振動臂增加的物塊質(zhì)量。 由式（17）可見，音叉振動周期的平方與質(zhì)量成正比。由此可由測量音叉的振動周期來測量未知質(zhì)量，并可制作測量質(zhì)量和密度的傳感器。四、實驗儀器音叉受迫振動與共振實驗儀包括260Hz左右基頻的鋼質(zhì)音叉，2個電磁激振線圈、阻尼裝置、4對加載質(zhì)量塊（由小到大為5g一對、10g兩對、15g一對,其中一對10g的可以作為未知質(zhì)量塊）、測試架、音頻信號發(fā)生器、三位半2V交流數(shù)字電壓表等。 音叉受迫振動與共振實驗儀實驗裝置連線圖五、實驗步驟1、將實驗架上的驅(qū)動器

11、連線接至實驗儀的驅(qū)動信號的“輸出”端，實驗架上的接收器接至實驗儀的測量信號“輸入”端。驅(qū)動波形和接收波形的輸出可以連接到示波器觀測。測量信號“輸入”端內(nèi)部與交流電壓表相連。連接好儀器后接通電源，使儀器預(yù)熱10分鐘。2、測量不同狀態(tài)下音叉的速度幅頻特性、以及相應(yīng)的共振頻率和輸出電壓Umax。 音叉的不同狀態(tài)包括自由（無阻尼）狀態(tài)和不同阻尼狀態(tài)（要求至少測量兩種不同的阻尼狀態(tài)）。測量時應(yīng)先找到大概的共振頻率，同時選擇一個合適的驅(qū)動信號輸出幅度（選定后整個實驗過程中保持不變），然后按照頻率由低到高，測量數(shù)字電壓表示值U與驅(qū)動信號的頻率f之間的關(guān)系（數(shù)據(jù)表格如下圖所示），注意在共振頻率附近數(shù)據(jù)應(yīng)密集一

12、些，確保找準(zhǔn)共振頻率。 驅(qū)動信號輸出幅度： 阻尼大?。篺 (Hz)U（V）3、在無阻尼狀態(tài)下，將不同質(zhì)量塊（5g、10g、15g、20g、25g）分別加到音叉雙臂指定的位置上，并用螺絲旋緊。測出音叉雙臂對稱加相同質(zhì)量物塊時，相對應(yīng)的共振頻率。記錄mf關(guān)系數(shù)據(jù)，（數(shù)據(jù)表格如下圖所示）。m（g）f (Hz)六、數(shù)據(jù)處理 1、找出音叉在不同阻尼下（包括零阻尼）作受迫振動時的共振頻率及相應(yīng)的Umax。 2、在同一個坐標(biāo)系中繪制不同阻尼下（包括零阻尼）的Uf關(guān)系曲線。求出兩個半功率點f2和f1，計算音叉的銳度（Q值）。并對結(jié)果進行分析。 3、繪制周期平方T2與質(zhì)量m的關(guān)系圖，分析其特點和意義。七、注意事項 1、實驗中所測量的共振曲線是在策動力恒定的條件下進行的，因此實驗中手動測量共振曲線或者計算機自動測量共振曲線時，都要保持信號發(fā)生器的輸出幅度不變。2、加不同質(zhì)量砝碼時注意每次的位置一定要固定，因為不同的位置會引起共振頻率的變化。3、驅(qū)動線圈和接收線圈距離音叉臂的位置要合適，距離近