求極限13種方法

1、 求極限的13種方法（簡(jiǎn)敘） 龘龖龍 極限概念與求極限的運(yùn)算貫穿了高等數(shù)學(xué)課程的始終，極限思想亦是高等數(shù)學(xué)的核心與基礎(chǔ)，因此，全面掌握求極限的方法與技巧是高等數(shù)學(xué)的基本要求。本篇較為全面地介紹了求數(shù)列極限與函數(shù)極限的各種方法，供同學(xué)參考。1、 利用恒等變形求極限 利用恒等變形求極限是最基礎(chǔ)的一種方法，但恒等變形靈活多變，令人難以琢磨。常用的的恒等變形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函數(shù)的恒等變形、某些求和公式與求積公式的利用等。例1、求極限 ，其中分析 由于積的極限等于極限的積這一法則只對(duì)有限個(gè)因子成立，因此，應(yīng)先對(duì)其進(jìn)行恒等變形。解 因?yàn)?= = =當(dāng)時(shí)，而，故=2、 利用變量代換求極

2、限利用變量代換求極限的主要目的是化簡(jiǎn)原表達(dá)式，從而減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算效率。常用的變量代換有倒代換、整體代換、三角代換等。例2、求極限，其中m,n為正整數(shù)。分析 這是含根式的（）型未定式，應(yīng)先將其利用變量代換進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)一步計(jì)算極限。解 令 原式=3、 利用對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換求極限利用對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換求極限主要是通過(guò)公式進(jìn)行恒等變形，特別的情形，在（）型未定式時(shí)可直接運(yùn)用例3、求極限解 原式=4、 利用夾逼準(zhǔn)則求極限利用夾逼準(zhǔn)則求極限主要應(yīng)用于表達(dá)式易于放縮的情形。例4、求極限分析 當(dāng)我們無(wú)法或不易把無(wú)窮多個(gè)因子的積變?yōu)橛邢迺r(shí)，可考慮使用夾逼準(zhǔn)則。解 因?yàn)椋也坏仁絻啥水?dāng)趨于無(wú)窮時(shí)都以0為極限，所以=05、

3、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限主要應(yīng)用于給定初始項(xiàng)與遞推公式的數(shù)列極限。在確定存在的前提下，可由方程A=f(A)解出A，則=A。例5、設(shè)，（n=1,2,）,求極限。分析 由于題中并未給出表達(dá)式，也無(wú)法求出，故考慮利用單調(diào)有界準(zhǔn)則。解 由易知0。根據(jù)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系，有所以，數(shù)列有下界，即對(duì)一切n1,有又 所以即數(shù)列單調(diào)減少。由單調(diào)有界準(zhǔn)則知數(shù)列有極限。現(xiàn)設(shè)=A,則由極限的保號(hào)性知A0.對(duì)式子兩邊同時(shí)取極限得解得 A=,即=（已舍去負(fù)根）6、 利用等價(jià)無(wú)窮小求極限利用等價(jià)無(wú)窮小求極限是求極限極為重要的一種方法，也是最為簡(jiǎn)便、快捷的方法。學(xué)習(xí)時(shí)不僅要熟記常用的等價(jià)無(wú)窮小，

4、還應(yīng)學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用。同時(shí)應(yīng)注意：只有在無(wú)窮小作為因式時(shí)，才能用其等價(jià)無(wú)窮小替換。例6、求極限分析 此題中sin(x-1),sinsin(x-1),lnx均為無(wú)窮小，而均作為因式，故可以利用等價(jià)無(wú)窮小快速求出極限。解 當(dāng)時(shí)，故原式=7、 利用導(dǎo)數(shù)定義求極限利用導(dǎo)數(shù)定義求極限適用于型極限，并且需要滿足存在。例7、求，其中。分析 初步可判斷此題為（）型未定式，先通過(guò)公式進(jìn)行恒等變形，再進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)定義求得極限。解 =而 由導(dǎo)數(shù)的定義知，表示函數(shù)lnsinx在x=a處的導(dǎo)數(shù)。即。8、 利用洛必達(dá)法則求極限利用洛必達(dá)法則求極限適用于型未定式，其它類(lèi)型未定式也可通過(guò)恒等變形轉(zhuǎn)化為型。洛必達(dá)法則使用十分方便

5、，但使用時(shí)注意檢查是否符合洛必達(dá)法則的使用條件。例8、求極限解 原式=注：連續(xù)兩次使用洛必達(dá)法則9、 利用微分中值定理求極限利用微分中值定理求極限的重點(diǎn)是學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用拉格朗日中值定理，即。例9、求極限分析 若對(duì)函數(shù)，在區(qū)間上使用拉格朗日中值定理則：解 由分析可知又 所以=10、 利用泰勒公式（麥克勞林公式展開(kāi)式）求極限利用泰勒公式（麥克勞林公式展開(kāi)式）求極限是求極限的又一極為重要的方法。與其它方法相比，泰勒公式略顯繁瑣，但實(shí)用性非常強(qiáng)。例10、求極限分析 若使用洛必達(dá)法則，計(jì)算起來(lái)會(huì)相當(dāng)麻煩；同時(shí)分子并非兩因式之積，等價(jià)無(wú)窮小也不適用，此時(shí)可以考慮用泰勒公式。解 故 原式=11、 利用定積分的

6、定義求極限由定積分的定義知，如果f(x)在上可積，那么，我們可以對(duì)用特殊的分割方法（如n等分），并在每一個(gè)子區(qū)間特殊地取點(diǎn)（如取每個(gè)子區(qū)間的左端點(diǎn)或右端點(diǎn)），所得積分和的極限仍是f(x)在上的定積分。所以，如果遇到某些求和式極限的問(wèn)題，能夠?qū)⑵浔硎緸槟硞€(gè)可積函數(shù)的積分和，就能用定積分來(lái)求極限。這里關(guān)鍵在于根據(jù)所給和式確定被積函數(shù)和積分區(qū)間。例11、求極限解 從和式看，若選被積函數(shù)為,則因分點(diǎn)：原式=12、 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限級(jí)數(shù)具有以下性質(zhì)：若級(jí)數(shù)收斂，則。所以對(duì)于某些極限可以將函數(shù)f(n)作為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，只需證明級(jí)數(shù)收斂，便有=0.例12、求極限解 令 故=013、 利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限當(dāng)數(shù)列本身就是某個(gè)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列時(shí)，求該數(shù)列的極限就成了求相應(yīng)級(jí)數(shù)的和。此