2021屆高考數(shù)學(xué)圓錐曲線壓軸題專題03圓錐曲線與垂心問題(通用版解析版)

1、專題3、111錐曲線與垂心問題從近幾年圓錐曲線的命題風(fēng)格看，既注重知識又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征。而現(xiàn)在圓錐 曲線中面積、弦長、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題?！八男摹眴栴}進(jìn)入圓錐曲線，讓我們更是耳目一新。 因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過讓學(xué)生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué) 解題能力，增強學(xué)生的信心，備戰(zhàn)高考.三角形的垂心：三角形三條高線的交點（1 ）、H是 A43C的垂心=HA- BC = HB - AC = HC AB = 0 0（2）、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離得2倍。經(jīng)典例題：例L （2020 浙江高三）記橢圓C：/+2/=1

2、的左右焦點為鳥，尸2,過F?的直線/交橢圓于A , B, A， 3處的切線交于點夕，設(shè)”入。的垂心為，則P的最小值是（）A.屈B. 73C. "D."【答案】D【分析】先根據(jù)題意，得到",o）,設(shè)直線/的方程為y = k X一5，根據(jù)題意，得到8（“，乃），求出在點A，8處的切線方程，聯(lián)立切線方程，得出點P軸，得出H的橫坐標(biāo)為72，再由耳"，P鳥求出H的縱坐標(biāo)為yH =晅k，得出歸川二¥% +噂 22 2k結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】橢圓=1的左右焦點為 由題意，易知直線/的斜率存在，（若斜率不存在，則寫，工,P三點共線,不能構(gòu)成三角

3、形），設(shè)直線/的方J2 I程為y = & x-半，3（肛），對爐+ 2/2=1兩邊同時求關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)，得2x + 4»' = 0,則 y' = 一2y則橢圓在點A（x, X）處的切線斜率為k2M則橢圓在點A（x，y）處的切線方程為N- M = -，；（'一不），即工尸+ 2片y = x； + 2y2 即玉工+ 2%丁 = 1 ；3橢圓在點3a2,%）處的I為/工+2為），=1,品+2杵1得產(chǎn)2升，則工通一看乃女（吃一七）x2x + 2y2y = 1 1巧凹工 + 2)1%) = >i又aE死尸的垂心為，則P"，"工，"

4、;"，尸乙，即P”J_X軸，則”的橫坐標(biāo)也為正，記的縱_V2坐標(biāo)為 ,山丹“_L PF)得 ku -k. = 1, Ivi.'1, 一ll = 1 ,則 y.=支匚攵, 應(yīng)+正式.近222因此|。"| = |劃一力|= 孚攵+ * .因為/過點尸2,所以直線/叮橢圓必有兩個交點，故AwRIL&rO,W欄考即女=±立時，等號成立.故選：D. 3【點睹】本題主要考查橢I別中的最值問題，考查橢圓的切線方程，涉及基本不等式求最值，屬于跨章行綜 合題.例2. （2020.江蘇省高三期中）已知耳，凡是雙曲線二-"=1（“>0力>0）的左、

5、右焦點，過點E且垂直于 a lr實軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于8兩點，則坐標(biāo)原點O可能為AA84的（）A.垂心B.內(nèi)心C.夕卜心D.重心【答案】A【分析】根據(jù)三角形四種心的性質(zhì)，即可得答案:【洋】MB.若。為A4BK的內(nèi)心，則。到直線的距離等于O6=c,顯然不可能，。到直線河 的距離恒小于0石.故B鎧 時C. ?；。為MB耳的外心，則。耳=。6=。4,二4耳，4鳥，和已知矛盾.故B ： 對D,若。為AA%的重心,則因=2?，?這也顯然錯誤,c根據(jù)排除法，。可能為AA8片的垂心，故選：A.【點睛】本題考查雙曲線中三角形的幾種心的性質(zhì)，考查邏輯推理能力，求解時注意三角形各種心的定義.X2

6、 y2例3、（山東高考理）平而直角坐標(biāo)系八0，中，雙曲線G：r-=1（。0力 。）的漸近線與拋物線 a"" b'G：£=2y（0）交于點O,A,8,若AOAB的垂心為g的焦點，則G的離心率為.3【答案】-2【解析】設(shè)。4所在的直線方程為y = 2工，則03所在的直線方程為），=一2工，aa解方程組卜V = 7"，所以點A的坐標(biāo)為二也拋物線的焦點尸的坐標(biāo)為o，S .因為尸是A4BC的垂心，所以心火"=一1、b, => CT-所以/=二=1+土= 4a" cr【名師點睛】本題考查了雙曲線，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，意在考查

7、學(xué)生對圓錐曲線基本問題的把 握以及分析問題解決問題的能力以及基本的運算求解能力，三角形的垂心的概念以及兩直線垂直的條件是突破此題的關(guān)鍵.例4、（2020年福建省高三聯(lián)考16題）已知：橢圓+ = 1的右焦點為F.M為上頂點，。為坐標(biāo)原點，84直線/交橢圓于尸,。兩點，當(dāng)F為"QM的垂心時，則"QM的面積為答案三也27【解析】 F為"QM的垂心，. MF 1 PQ,PF 1QMHi : 1 Zli M（0,2）, 77（2,O）,kyjp = 1, kPQ = 1,二匯=1設(shè)直線尸。方程為）' = x+f,尸（內(nèi),）,。（馬，）聯(lián)立彳84得3/+4儀+ 2產(chǎn)一

8、8 = 0，y = x + t可得 = 8產(chǎn)+96>0,即，e（2326）,且可得再+占=一%，玉石=3產(chǎn)，：PF 工QM , ：.pKqM =（x2,y）（為 必 -2） = 0,即 xAx2 -2x2 + yy2 -2y, = 2xtx2 +（f-2）（xt +x2） + r-2t=,_ = 3r + 2f-16=（）解得f = 一|或f = 2，q3256'11 = 2時,P,Q,M 三點共線（舍去）,； f = § ,此時 n +x2 = j -Vj%2 = 5y , _14|PQ| = Jl + A Qq +）二例看二1而，點M到宜線尸。的距離行 7卮.S M

9、p（=LPQ.d = - y22.小 PQ 2 ”77【點儲】本題主要考查了根據(jù)a，c的值求橢圓的方程以及利用弦長公式求三角形的面積，涉及了三角形垂 心的性質(zhì)、韋達(dá)定理、點到直線的距離公式，屬于較難題.2例5、已知點。,0）在橢圓C： = 1上，過點尸（?,0）作直線交橢§于點4,8, &48。的垂心為T,若垂心丁在y軸上.則實數(shù)機的取值范圍是【答案】(1)/+二=1： 223【解析】當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)X (切，)，B(7W, 此時 T (0, 0).則行麗=0, ：.)r+ni (1 - w) =0，99又一+m2 = 1，聯(lián)立解得 nF 下或 m= 1、)，J nF

10、-.2§。當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)T (0, t)(悻0), A (xi, yi), B (x2t y2),設(shè)直線方程為：y=k(x-m),則直線QT的斜率為-t, ,ABLQT,，攵=一!又.BT_LAQ, /. (-X2, t - yz) (1 - xi, - yi)=0,即 xiX2+yiy2=X2-tyi，化為(2*+l) x2 - 2mx+m2 - 2*=0, 1聯(lián)立2 x； XX2+了2二天2十七 gx -in)， xix2+yiy2=xi+x2 - m, (*) d(XF)22V A>0, /.2t2+l - m2>0, /. x + x n=5, x-i x

11、n-七2t 1 2 2t2+l玉一MU I"7(3+W) + "/= 等J,代入(*)可得23，_in 2)八22廣=-3i - 2,*.* 2廣 > 0,m < I-/723.,.m2+3m+l<0,解得三立<m<_三叵，22綜上可知：實數(shù)m的取值范惘為一 上正 7底2 .23【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到（）及根。系數(shù)的 關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系等是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.2例6、（2020年浙江省紹興市期末15題）己知橢圓;+ V=1的上頂點為M ,直線/與該橢圓交于只。兩 點，且點

12、。,。）恰為的垂心，則直線/的方程為.4【答案】y = X 【解析】上頂點M（。），右焦點F為垂心（1,0） 因為勺川=7,且尸“，/，所以h = L所以設(shè)尸。直線），=升爪y = x + m且設(shè)尸81）, Q（刈，竺）由x2 , 消 y,得 3x44心+2加-2=0-+）= 12 ' = 16?722 - 12 < 27rr - 2） >0, m2<3 ,x1+x = -9 xx1 =-）1V2= （Xl+?r； ） （T2+?n ） =XlX2+w （xi+x：） +加2 =2nr -2 4m2nr 一 2+ nr =33又下為MP。的垂心，尸£1_河0

13、, ：.PF MQ = 0 PF =（-xf-yl）,MQ = （x2f y2-l）, PF-MQ = x2 + y -xx2 -yy2 =x2 +% +m-xlx2-yiy242m2 - 2 nr - 2 八.2 4 八= ？ + m = 0 - nr + = 0 ,33333，3nr + m - 4 = 0, m = 土 m = 1 經(jīng)檢驗滿足"戶3 3存在滿足條件直線/方程為：x-yH = 0, 3x - 3y - 4=0x-y+l=0過M點即MP重合 不構(gòu)成三角形，.3x-3y-4 = 0滿足題意.4故答案為y=X一大【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查垂心的幾何性質(zhì)，

14、考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.例7、（2020.遼寧省高三期末）已知"，F(xiàn)）分別是雙曲線二一二=1（。0力0）的左、右焦點，過點g且 cr lr垂直于實軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于4 B兩點，若坐標(biāo)原點。恰為ABF2的垂心（三角形三條高的交點），則雙曲線的離心率為（）A. WB. V2C. 6D. 3【答案】C【解析】”（-g°），E（c，。），則雙曲線的漸近線為y = ±2x,abbebebe則當(dāng)x = -c時，y = ±-'C = ±一；設(shè)A（c,一）,8（一g一一） aaaa若坐標(biāo)原點。恰為ABF?的垂心，OA，BF2

15、,即。48X=0，即（c,） , （2c,-） =0 ,則2。2+（）' = 0» . （）2= 2a2 a aab2 = 2a2 = c a2-* c2 = 3a2 則。=/54,則離心率e = £ = "" =,故選 C.a a點俯：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于為,。的方程或不等式，再根 據(jù)a,"c的關(guān)系消掉b得到&c的關(guān)系式，而建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的 幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.例8、（2019云南省曲靖二中模擬16題）己知A3O內(nèi)接于拋物線）*=4x,

16、其中。為原點，若此內(nèi)接三 角形的垂心恰為拋物線的焦點，則aABO的外接圓方程為.【答案】x2-9x+y2=0【解析】拋物線關(guān)于x軸對稱，內(nèi)接三角形的垂心恰為拋物線的焦點，三邊上的高過焦點，.另兩個頂點4 B關(guān)于x軸對稱，即，鋁。是等腰三角形，作乂。的中垂線交x軸與C點，而6是,四的中垂線，故C點即為ZU5O的外接圓的圓心，OC是外接圓的半徑，設(shè)X （xi，2后），B（X1，-2百），連接8巴 則B產(chǎn)L4O,2a/xT4玉 _*.* k3F = - N，匕。=- , , kBF9k.4O = , 7：7 二 一 1,一玉X,（1_為）玉整理，得XI（XI-5） =0,則x】 = 5, （xi=0

17、不合題意，舍去）,F。的中點為（今. "），且MV曲.,.宜線MV的方程為丁一百=羋（X-:當(dāng)xi=5代入得2百x+4y-9有=0, TC是MAT與"軸的交點,：.C（ - > 0）,29Q9而人4。的外接圓的半徑。c=鼠 于是得到三角形外接圓方程為（X-）2+=（5）-。空的外接圓方程為：爐-9.葉儼=0,故答案為N-9盧鏟=0.【點睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查了兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是中檔題 22例9、（2018年福建預(yù)賽）已知兄、馬分別為橢圓=的左、右焦點，點。在橢圓。上，且片PA的垂心為"一，一；.則橢圓C的方程為；一33【答案】+ = 1

18、43（2 J6 5、【解析】設(shè)E（-C,O）, A（c,。）,H ”尸尸2的垂心為H ，得耳"，尸鳥.X/5所以H9一2，解得/=. + C -C33由點尸生,11在橢圓C上，得士+ 1 = 1.結(jié)合"2一 =°2=1，解得2=4,*=3.3 9（r b-)7所以橢圓C的方程為工+t=1.4 3例10. (2020.成都市高三期中)若。四的垂心恰是拋物線yMx的焦點，其中。是原點，H、3在拋物線 上，則。43的而積驊.【答案】10>/5【詳解】拋物線的焦點為尸(1，0).因尸為015的垂心，則。尸L",故可設(shè)兒方的坐標(biāo)為皿2,功),時,一川3>

19、;0).于是。4的方科W，% =2aBF的斜率氏防=-，據(jù)卜打., kOA =-1,得。=下,a -1因此 A B = 4"，h=a2=5,所以 SOAB = 1075 .故答案為：10例11.如圖所示，己知圓O： 乂2+=4與y軸的正方向交于A點，點B在直線y=2上運動，過點B作圓O的切線，切點為C,則回：的垂心H的軌跡方程為.rA B【答案】/+(>-2)2=4(-0)【分析】設(shè)垂心的坐標(biāo)，根據(jù)條件，建立方程關(guān)系，即可求出H的軌跡方程.【詳解】設(shè) H(x, y), C(x /),由題意知 AHJ_BC, CH±AB, BC 是切線，OC_LBC,y9 = y -

20、2所以O(shè)CAH. CHOA. OA = OC,所以四邊形AOCH是菱形.所以CH=|OA| = 2,則/ x =x又C(x'，y)滿足/+y=4,所以x?+(y2)?=4(x網(wǎng))即是所求的軌跡方程.【點睛】本題主要考查軌跡的求解方法，考查學(xué)生的計算能力.例12.平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線土一二= l(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線C： a- trx2=2py(p>0)交于o, A, B三點，若.OAB的垂心為C?的焦點，則C1的離心率為()L35AB. C 2D.V22【答案】B【分析】由三角形垂心的性質(zhì)，得BF_LOA,即kBFk°A=l,由此可

21、得C1的離心率.【解析】聯(lián)立漸近線與拋物線方程得A（弛，駕Bf 2pb 2pb_y拋物線焦點為F（O,q）,<3 a / a a7/由三角形垂心的性質(zhì)，得BF_LOA,即kBFk°A=l， 所以（三一？2 = -1,所以b = a,所以c = ?a,所以Cj的離心率為故選B.14b a ；a222【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，聯(lián)立方程組，根據(jù)三角形垂心的性質(zhì)，得BF_LOA是解決本題的關(guān)他. 考查學(xué)生的計算能力.課后訓(xùn)練：1. （2020浙江高三月考）若曲線C： y2 = 4x.上一點X（x0,4）,是否存在直線m與拋物線C相交于兩不同的 點B,C,使21/8C的垂心為H（8,

22、0）.則直線m的方程為.【答案】y = x - 16.仆析：求出點4的坐標(biāo)，然后假設(shè)存在直線加叮拋物線C相交于兩不同的點EC,使助C的垂心為日(&°),再根據(jù)垂心的性質(zhì)可得力c 1BH,即就四=0,于是聯(lián)立直線加。拋物線的方程并由韋達(dá)定理得到% +為，以 »2,將其代入就 BH = 0即可求出直線方的方程，最后檢驗其是否滿足題意即可.【解析】易求出拋物線。上的點力(4,4),假設(shè)存在直線配與拋物線C相交于兩不同的點瓦C ,使A43C的 垂心為設(shè)8(4，%),。(&72)，顯然直線為H的斜率為一 1，則直線切的斜率為1，設(shè)宜線冽的方程是 y = x + b,由

23、y_,消去x化簡得：4y +4b = 0, . %+%=4,% 丫2 = 4b,4= 1616b > 0, (y = x 十 b即b < 1.因為，必。的垂心為笈(&0),所以4C 1 BH, ：.AC-BH =( 一 8)(%2 - 4) + %優(yōu) 一 4) = 0.即X/2 - 8& +y1y2 4% + 32 = 0, 1一 4(% b) 8(y2 - b) + y1y2 - 4yl + 32 = 0 ：IO)工”. + y1y2 - 8(yx +y2) + 12b + 32 = 0，a b2 + 16b = 0f /. b = °或b = -16.

24、 16當(dāng)b = 0時，直線方的方程是、=工，過點5(4,4),不合題意，舍去，所以存在這樣的直線橫，其方程是y = x-16.考點：1、拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程；2直線與拋物線的相交問題.222.雙曲線£：:一今=1(>0)的漸近線與拋物線。2：/=2小(2>0)相交于O, 4, 3,若及9A3的垂心為。2的焦點,則/?=()A. 2B. 3【答案】C9Ir【分析】設(shè)。A： y = -'x,O8: y = /x,解儲 4 -pb，W,222，根據(jù)AF ±OB計算得到答案.【詳解】設(shè)。4:)= 一。08:)=梟，則，乙乙x2 = 2py/b 解得：A -1也

25、 )' = 一$xb/b?P,根據(jù)/J_歷得到P>b Jr p=0解得。=行故選:【點睛】本題考查了雙曲線和拋物線的綜合題型，意在考查學(xué)生的計算能力.3.已知雙曲線G：一二=1（>0, >0）的漸近線與拋物線?！癰'/=2），（>。）交于點。、A、3,若OAB的垂心為拋物線G的焦點，則雙曲線G的離心率為（A-1B.空2D.25/3【答案】A析104所在的宜合方程為y = 2x a,則OB所在的直線方程為y = -，bv = x'。，求得x2 = 2 py點A的坐標(biāo),再根據(jù)尸是AOAB的乖心，由8次”=-1求解.【詳解】rOA所設(shè)的匕J v = 2

26、，則03所在的I工方方為為y = -X ,aa解方程組，b y = xa 得： x2 = 2py5 2Pbx、則點A的坐標(biāo)為（亞,警7,拋物線的焦點F的坐標(biāo)為（0,4）.2pZra cr2y =/ F是AQAB的垂心，.二攵（犯k" = - 12pb2 p干一哼qc2ba3，/=： = l + r = J,解得6 =大，故選：A. aa42224. （2020武邑高三（理）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線G :二-二=1（。> 0力> 0）的漸近線與拋物 cC b1線G：V=2/»（>0）交于點O,A,8,若AOW的垂心為G的焦點，則G的離心率為（）A 3

27、 r后 3"迷A - Jd . vDC L） 252【答案】C【解析】設(shè)A。/） ,一x） , C2焦點為尸,由題意FA OB = 0 ,即印，y J G，-y J=o ,所以為司一號 一寸=0,又）'；=2p， / 7X,X,"2-2Pxi =0,b2 4 c2-a2），；=2pxi = 2px- p = 5/r , y =#p. ifij y, = xl, HP y/5p = - , - =2aala 5二=2.所以e = £ =姐.故_c.cr 5a 55. （2019浙江高三期末）已知點4（玉,）,3（%,%）在拋物線C：/=4y上，點尸是拋物線C

28、的焦點, 線段A8的中點為N.若點M的坐標(biāo)為（1,一1）,且尸是A4Z加的垂心，則直線A3的方程：【答案】y = ；x + 2+而：乙【分析】求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，求得M尸的斜率，可得的斜率,設(shè)A8的方程，聯(lián)立拋物線方 程，運用判別式大于0和書達(dá)定理，運用兩直線垂直的條件，可得小的方程，求得m的值，即可得到所求 直線方程：【詳解】f=4y的焦點尸（0,1）,準(zhǔn)線方程為y = -l,砥=-2,/為A4BM的垂心，可得A8JLM/，即有心8=；，設(shè)A8的方程為y = gx + ？，代入拋物線方程可得： 一 2X一4加=0，可得 = 4 + 166>0,演+/ = 2,>又=4m

29、,由可得十 一,q-+l_ ,+ l（x； -x/）- 1 + x, （x, -1） = 0 »X x2-l164.,1L化筒 U 省廠 + （X勺 - 2*） + XjX2 - 1 = 01 l!|J 為尸4/” 一 2 = 0 , 解得? = 2 土 J8 , 211iili > 可得? = 2 + #,則 A3 的方程為 y =+2 +«；【點睛】本題考查拋物線的定義、方程和性演、三點共線取得最小值和三角形的垂心的定義，考查函數(shù) 與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意直線方程和拋物線方程 聯(lián)立，運用韋達(dá)定理求解.6 .如圖，已知直

30、線，：X = my + 1 + 2與拋物線V = x相交于兩點A3, C 1,1 ,且AC1.BC.設(shè)動點尸 滿足PA8的垂心恰好是磯1，0），記點。到直線4距離為d，若小|尸耳=1,求實數(shù)”的值.【答案】?=生點，或加=0. 2【分析】先求行d，由石是/尸48的正心，得A£_LP3.設(shè)尸（玉），No） . ,通過向量的坐標(biāo)運算求得/一1 =竺1，九 = ”（1）,進(jìn)而求得歸目，再由小|尸同=1求得加即可."7 + 1m + 12in + 【詳解】易得" =!因為E是尸48的垂心，所以A石，且8E_LPA x/l + /w2由AE_L必得,小產(chǎn)總=0，即西屁=包麗

31、設(shè)戶（事,%）,則瓦麗=&-1）（為一 1）+%,又 X + x2 = y： + y; = （y + y2）2 2yy2 = nr + 2m+4 , x,x2 = y： y；=（加 + 2）2,所以 £>-而=(工_1)(42 _l)+y/'2 =xix2 _(X +)+ +)'1)'=?_，由得：(1)(玉)- 1) +y、0=加一1,即(玉)- 1)玉+先凹=%+"? 2,同理：；8E_LF4可得：(曲一1)文2+%)'2 =7)+?一2所以(內(nèi)，M)，(,%)是方程(1)%+%> =%+機-2的兩組解,故此方程表示直

32、線L/Vox(l + m-2-又因為直線(? + 2)= 0,所以一=-？， = + 2, 工0 140 1解得：/一1 ='二，九=>"二""=".所以 = J(x()- 1十 '=F j5+ 1 .|(77z-l)(2/n + l)|所以小 PE = 一-一= 1.|加+1|© 當(dāng)(71) (2?+1) = HJ +1 時，?？ 一 ? 一 1 = 0，解得 m = 1 - J- -當(dāng)( - 1) (2? +1) = ("? +1)時，/ = o,解 f j m = 0綜卜.所述：m ="二，或?

33、= 0. 2【點睛】本題主要考查直線與拋物線位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于綜合題.7 .己知點P(l,2)是拋物線)J=4x上的一點，過點。作兩條直線4與/2,分別與拋物線相交于異于點P的A,8兩點.若直線A8的斜率為1且.PAB的垂心在工釉上，則直線A8的方程.【答案】x-y-9 = 0.【分析】分類討論，根據(jù)韋達(dá)定理和斜率公式即可求出.【詳解】若直線ab的斜率為1,則直線ph的方程是y 2 = （x 1）,所以H（3,0）,若直線AB的斜率為1，則設(shè)直線AB的方程為* = 丫 + 1 ,將直線AB代入拋物線y2 = 4x方程可得：y2-4y-4t=0,所以 丫1+丫2=4，y： =-4

34、t .且WG+IGt。，因為BH_LAP,所以一三三| = 一1（*）,將=%+3 X2=y?+t代入（*）得2丫,2+。-3）（%+丫2）+12-4+3 = 0,將丫1 + 丫2=4,%丫2 = -41代入上面方程可得：t2-8t-9 = 0.由此方程解得：t=9或t = -l（舍），所以直線AB的方程是x - y 9 = 0.【點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因宜線的方程是一次的，圓 錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問 題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長

35、問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用.8.在平面直角坐標(biāo)系xQv中，橢圓c： +:= 1（。 cr /頂點連線的斜率之積為-L若橢圓C上存在兩點。,R , 2標(biāo)原點。，則直線QR的方程.yR>o）經(jīng)過點且點尸與橢圓的左、右使得aPOR的垂心（三角形三條高的交點）恰為坐【答案】（），= -企工-21, + TT = 1【分析1根據(jù)題意，得到< 二 八求出涉，即可得出橢圓方程:設(shè)0（%,）1），氏（，%），1 U1 U1、鼻-a >j2+a2根據(jù)題意，得到kQR=-,設(shè)直線2R的方程為y =-5+小，聯(lián)立直線叮橢圓方程，根據(jù)判別式，以及根與系數(shù)關(guān)系，由題意，得

36、到，忍求出洲，即可得出結(jié)果【詳解】由題意，得21/+廬=1-01-01，解得a2 =4x2 v22,所以橢圓C的方程為L + 2_ = 1.b2 = 242設(shè)。（x，x），R（%2，）2）因為而即。=，所以k0R=-母, 故可設(shè)直線QR的方程為_y = _0x + m.；2=£2' 消去.一4"心 +2/-4 =。，首先，出/0得32m20（2/4）0,解得/io. （*）且為+9=塢"，為=五二f 又QOtPR,所以勺。攵柳=一1,得=一1，整理得，3x2 -尬1(% +x1)+nr -，7 = 0 ,所以3、丁 一萬“字+ j = 0.4即3加一5加一

37、12 = 0,解得2 = 3或加=一一（均適合（*）式）.3當(dāng)7 = 3時，宜線QR恰好經(jīng)過點P，不能構(gòu)成三角形，不合題意，故舍去.所以直線。R的方程為），=一岳-【點睛】本題主要考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及求橢圓中滿足題意的直線方程問題，熱記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 以及橢圓的簡單性質(zhì)即可，屬于常考題型，計算量較大.9 . （2020 江西高三（理）已知拋物線E： / =2x.若直線A3是經(jīng)過定點。（2,0）的一條直線，且與拋物線E交于A，4兩點，過定點。作A8的垂心與拋物線交于G, O兩點，則四邊形AG3。面積的最小【答案】20分析：先求出四邊形AG3D面幟的S = 2j"/+E2j4/+

38、 17 .再換元求函數(shù)的最小值.【解析】設(shè)直線A8的方程為x = my + 2 (加工0),設(shè)3(,乃)，y2 2X'得)32一4 = 0,則耳+為=2機，力力二-4， x = my + 2,|AB| = J1 + J 舊-y2| = Jl + 川 J4J + 16 = 2jl + /W/+4，設(shè) GQq,)、)，。(冷 乂).同理得 |GZ)| = 2+ 1 -ym2 + 4 = 2j?2+r+ 2in + +17 ,"廣7則四邊形AGBQ的ifh枳S = L令m2+' = (/>2),則S = 2j( + 2)(4 + 17)=4,42+25 + 34,S

39、= 2j42+25 + 34是關(guān)于4的增函數(shù),故5疝“=20，、.僅、1? = ±1時取得最小值20.點俯：解答本題的關(guān)鍵有二，其一是求出四邊形AGBD面枳的表達(dá)式S,這里計算量比較大，所以要求il算準(zhǔn)確，其.是怒么求5 = 2?2+ 214(?2+31+17的最小仇，這里需要換元，利用復(fù)合函數(shù)和二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解答.210 .己知A8分別是雙曲線C/2 一二=1的左、右頂點，0為C上一點，且P在第一象限.記直線AP8 的斜率分別為4次2，當(dāng)2仁+質(zhì)取得最小值時，PA3的垂心到x軸的距離為.【答案】2【分析】外亂(1<2=母=2,利用基本不等式求解2K+k2取最小值時K=l

40、,進(jìn)而得PA的方程為 丫 = 乂 + 1,與雙曲線聯(lián)立解得。的坐標(biāo)為(3,4),設(shè)PAB的垂心的坐標(biāo)為(3,y),由PALBH,得APHB =0，向量坐標(biāo)化解得y即可【詳解】易證kK=： = 2（k >0*,>0），則21+卜22網(wǎng)已=4,當(dāng)且僅當(dāng)2% = k? ,即 = 1時， a-2等號成立，此時直線PA的方程為y = x + l, Ox?-± = 1聯(lián)、工，f'Jx2-2x-3 = 0,解得x = 3.或一1（舍2去），則P的坐標(biāo)為（3,4）,設(shè)aPAB的垂心的坐標(biāo)為（3,y）,由PAJ_BH，得&由§ = 8 + 4y = 0,解得y =

41、 -2 ,則H到x軸的即離為2 .故答案為2【點睛】本題考查雙曲線的綜合，考察抽象概括能力與運算求解能力，掌握雙曲線的常見二級結(jié)論，轉(zhuǎn)化垂心為垂直關(guān)系是關(guān)鍵，是中檔題2211.平面直角坐標(biāo)系X。，中，雙曲線G：二一二= 1（40, 6>0）的漸近線與拋物線G：爐=2必Q>0）交 a- 1T于點。，/區(qū)若。宓的垂心為C2的焦點，且點僅雙曲線上，則雙曲線的方程為：o2）【答案】= 145【解析】雙曲線的漸近線為y = ±2r ay = -x iA（2bP ib-p .y = -xJ 徹 2bMx2=2py a a x2 = 2py ，" a2P P,VF 0,4為空

42、的垂心，k,火力=一1 .即建一一勺=一1,解得 = *, 2）也二0 V4a因為點（2&,式）雙曲線上，所以得到：“2=4, =5 22即雙曲線方程為：二一二=145【點睛】本題考查了雙曲線的離心率，將垂心轉(zhuǎn)化為斜率相乘為-1是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算能力.12 .雙曲線G： * = 1S>O)的漸近線與拋物線G：/=2py (，>0)相交于。，4，B,若AOAB的垂心為G的焦點，則/?=()C. 75D. "A. 2B. 3【答案】C【解析】設(shè)。4：y = 乙乙X2 = 2py 則I b y = -x C 2,blp 解得：A -pb，U <乙)根

43、據(jù)赤_L麗得到，之1 4同理3 pb,?尸(%)解得6 =正故選：C 【點睛】本題考查了雙曲線和拋物線的綜合題型，意在考查學(xué)生的計算能力.13 .已知橢圓C:59 = 1 直線'與橢圓0交于知，N兩點.若橢圓C的右焦點F恰好為&BMN的垂心, 則直線/的方程為.【答案】尸X-。【解析】易知直線8/；的斜率為T,從而直線)的斜率為1.設(shè)直線的方程為 y = x + m , (內(nèi)，yf) , N(x2, y2)» 尸(1,0),由l了 +)=L 得3x?+4"lx + 2(J -1) = 0 .y = .v + m,a7>w2根據(jù)韋達(dá)定理，xx + a2

44、= -/ , x,x2 =八§ 一 .于是 NF - BM = (l-x2)xl - y2(y -1) =xx + y2 -xx2 - yxy2 = x1 + x2 + m - xyx2 - (% + m)(x2 +)=-2x1x2 + (1 -?)(m + %) + in-nr = -2 - - + (1 /?)() + m-M = ° 解之褥 ?=1或,？ = 一?.333小帆=1時，點5即為直線/ Lj橢圓的交點，不合題意：當(dāng). = 時.經(jīng)檢驗知/和橢圓相宣,延意.3所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線/的方程為），=工-9時，點/是MMN的垂心. 3214 . （2019河北省邯鄲市

45、一模16題）已知A, B分別是雙曲線C ：一二=1的左、右頂點，夕為。上一點， 2且P在第一象限.記直線PB的斜率分別為kk2,當(dāng)2k + k2取得最小值時，4PAB的垂心到x軸的距 離為.【答案】2卜2【解析】易證Kk2=F = 2（k>0,k2>0），則2k|+k2N2j2k|k2 = 4.當(dāng)且僅當(dāng)2l=k2,即k】=l時，27,此時直線PA的方程為y = x + l,*jx2=1聯(lián)立，得x22x3 = O,解得x = 3或T ；去），則2的坐標(biāo)為（3,4）, 設(shè).PAB的垂心的坐標(biāo)為（3,y）,由PA_LBH，得APRS = 8 + 4y = 0 ,解得y = -2 ,則H到

46、X軸的距離為2.故答案為2【點睛】本題考查雙曲線的綜合，考察抽象概括能力與運算求解能力，掌握雙曲線的常見二級結(jié)論，轉(zhuǎn)化垂心為垂直關(guān)系是關(guān)鍵，是中檔題15 .數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次在同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱為三角形的歐拉線.己知ZU5c的頂點工（2, 0）3（0, 4）, 若其歐拉線方程為x-y+2=0,則頂點C的坐標(biāo)是.【答案】（-4,0）【解析】設(shè)C（/兒），由重心坐標(biāo)公式得,AA3C的重心為代入歐拉線方程得：2土一土!± + 2 = 0,整理得：7+4 = 0 334-0AB 的中點為(1,2) , kAB = 2，0 2AB的中垂線方程