第五講解析幾何新題型的解題技巧

1、第五講解析幾何新題型的解題技巧金堂中學(xué)劉際成選編【命題趨向】 解析幾何例 命題趨勢：1. 注意考查直線的基本概念，求在不同條件下的直線方程，直線的位置關(guān)系，此類題大多都屬中、低檔 題，以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，每年必考2. 考查直線與二次曲線的普通方程，屬低檔題，對稱問題常以選擇題、填空題出現(xiàn)3. 考查圓錐曲線的基礎(chǔ)知識和基本方法的題多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時會出現(xiàn)有一定靈活性和綜合性較強(qiáng)的題，如求軌跡 ，與向量結(jié)合，與求最值結(jié)合，屬中檔題分值一般在17- -22分之間，題型一般為 1個選擇題，1個填空題，1個解答題?！究键c透視】一. 直線和圓的方程1 理解直線的斜率的概念，掌握過兩點

2、的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程.2 .掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系.3 .了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.4 .了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用.5.了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法.6 .掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程.二. 圓錐曲線方程1.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì).2 .掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì).3 .掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì).4 .了解圓錐曲線的初步

3、應(yīng)用.【例題解析】考點1求參數(shù)的值求參數(shù)的值是高考題中的常見題型之一，其解法為從曲線的性質(zhì)入手，構(gòu)造方程解之2 2例1.若拋物線y 2px的焦點與橢圓 乂 1的右焦點重合，貝y p的值為（）6 2A.2B. 2 C.4D . 4考查意圖：本題主要考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線、橢圓的基本幾何性質(zhì)。2 2解答過程：橢圓 二y_ 的右焦點為（2, 0）,所以拋物線y 2px的焦點為（2，0）,則p 4,故選D。6 2考點2。求線段的長求線段的長也是高考題中的常見題型之一，其解法為從曲線的性質(zhì)入手，找出點的坐標(biāo)，利用距離公式解之例2.已知拋物線y x2+3上存在關(guān)于直線 x+y=0對稱的相異兩點

4、 A、B，則|AB |等于A。 3B。 4C.3 2D.4 2考查意圖：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和距離公式的應(yīng)用。yx2 3解：設(shè)直線 AB的方程為y x b,由x2 x b 3 0 x1 x21,進(jìn)而可求出y x bAB的中點M（丄，1 b），又由M（丄,2 2 21 b）在直線x y 0上可求出b 1 ,2 x2 x 20，由弦長公式可求出 AB| Ji 12尸故選C2 2例3如圖，把橢圓工丄的長軸5 16AB分成8等份，過每個分點作 X軸的垂線交橢圓的上半部 分于P1,P2,P3, P4, F5,P6,F7七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，4 ( 2)3、-2 則 |PF| RF

5、PF |P4F PF I 冃F| F7F 考查意圖：本題主要考查橢圓的性質(zhì)和距離公式的靈活應(yīng)用2 2解答過程：由橢圓 Z 1_ 1的方程知a2 25, a 5.2516 |PF| |BF| RF RF| P5F |RF| P7F7 a 7 5 35.故填35.考點3.曲線的離心率曲線的離心率是高考題中的熱點題型之一，其解法為充分利用：（1）橢圓的離心率e= c （0,1） （e越大則橢圓越扁）；a（2）雙曲線的離心率e= £ （ 1, +s ）（e越大則雙曲線開口越大）.a結(jié)合有關(guān)知識來解題.例4已知雙曲線的離心率為2，焦點是（4,0） , （4,0），則雙曲線方程為4 12 112

6、2 2c. x_ y_ 110 610考查意圖：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點等基本概念解答過程：丁 e c 2,c 4,所以a 2,b2 12.故選（A）。a小結(jié)：對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點等基本概念，要注意認(rèn)真掌握。尤其對雙曲線的 焦點位置和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中分母大小關(guān)系要認(rèn)真體會。例5已知雙曲線3x2 y2 9,則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準(zhǔn)線的距離之比等于A。2B. L2Co 2D.43考查意圖：本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和離心率e= c （ 1, +s ）的有關(guān)知識的應(yīng)用能力。a解答過程：依題意可知a J3,c彳a2 b2 v'

7、;39 23.考點4.求最大（小）值求最大（?。┲?，是高考題中的熱點題型之一.其解法為轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題或利用不等式求最大（?。┲担禾貏e是，一些題目還需要應(yīng)用曲線的幾何意義來解答。例6已知拋物線 y2=4x,過點P （4,0）的直線與拋物線相交于A（X1, y1）, B（X2,y2）兩點，則y12+y22的最小值是（小）值的方法考查意圖：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及利用不等式求最大解:設(shè)過點P(4, 0 )的直線為y k X 42 2k x 8x 164x,k2x2 8k2 4 x 16k20,2228k 41y!y24 x! x24216 2232.kk故填32?？键c5圓錐曲線的

8、基本概念和性質(zhì)圓錐曲線第一定義中的限制條件、圓錐曲線第二定義的統(tǒng)一性，都是考試的重點內(nèi)容，要能夠熟練運(yùn)用；常用的解題技巧要熟記于心橢圓x!a210.例7在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,已知圓心在第二象限、半徑為2 2的圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點 O.蘭=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為9(1)求圓C的方程；(2)試探究圓C上是否存在異于原點的點 Q,使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段 OF的長。若存在, 請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。考查目的本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力.解答過程(1)設(shè)圓C的圓心為

9、(m, n)則m n,n 22 2,解得m 2 n 2.2 .2 cos242 2 2 sin '4 整理得sin3cos2 2 , 代入2 sin2 cos1 得：10cos12 2 cos7 0,cos12.2.812 2 2 21010使 QF| |0F ,1 -因此不存在符合題意的Q點.所求的圓的方程為(x 2)2 (y 2)2 8(2)由已知可得2a10,a 5 2橢圓的方程為02y1,右焦點為 F ( 4,0)259假設(shè)存在 Q點 2 2 2 cos ,2 2 2 sin例&如圖，曲線G的方程為2x(y0)。以原點為圓心，以t(t為半徑的圓分別與曲線AB與x軸相交于

10、點(I)求點A的橫坐標(biāo)(H)設(shè)曲線G上點D的橫坐標(biāo)為a 2 ,G和y軸的Coa與點C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式； 求證：直線CD的斜率為定值。正半軸相交于 A與點B.直線0)考查目的本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面直角坐標(biāo)素中的兩點間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點與曲線方程的關(guān)系,考查運(yùn)算能力與思維能力，綜合分析問題的能力.解答過程(I)由題意知，A(a,腹).因為 |OA| t,所以a2 2a t2.由于t 0,故有 t a2 2a.(1)由點B(0，t),C(c，0)的坐標(biāo)知，直線 BC的方程為x y 1.c t又因點A在直線BC上,將(1)代入上式，得ac故有ac2aa(a

11、 2)2a 11解得c a 22(a 2).(II)因為 D(a 2 2(a 2)，所以直線CD的斜率為2(a 2)2(a2)2(a2)2(a 2)kCDa 2 c a 2 (a 2$2(a2)所以直線CD的斜率為定值。2 2例9已知橢圓E:冷 與 1(a b 0), AB是它的一條弦，M(2,1)是弦AB的中點，若以點M(2,1)為a b焦點橢圓E的右準(zhǔn)線為相應(yīng)準(zhǔn)線的雙曲線C和直線AB交于點N(4,1)，若橢圓離心率 e和雙曲線離心率e1之間滿足ee 1,求:(1)橢圓E的離心率；(2)雙曲線C的方程。解答過程：(1)設(shè)A、B 坐標(biāo)分別為 A(x1,y1),B(X2,V2)，22則乞比，2o

12、1ab22X2akAB討1科2X1 X2(X1b>1，X2)b2二式相減得:所以2 2a 2b2(y1 y2)a2b2akMN1 ( 1)2 42(a2 c2)，a2c2，c v2 ea 22(2)橢圓E的右準(zhǔn)線為Xa_c(2c)2c2c,雙曲線的離心率設(shè)P(x, y)是雙曲線上任一點,|PM| (x 2)2 (y 1)2|x 2c |x 2c |兩端平方且將 N(4,1)代入得：c 1或c 3，當(dāng)c 1時,雙曲線方程為：(X 2)2 (y 1)2 0，不合題意，舍去；當(dāng)c 3時，雙曲線方程為：(x 10)2 (y 1)2 32，即為所求.小結(jié)：(1) “點差法”是處理弦的中點與斜率問題

13、的常用方法；(2 )求解圓錐曲線時，若有焦點、準(zhǔn)線，則通常會用到第二定義 考點6禾U用向量求曲線方程和解決相關(guān)問題利用向量給出題設(shè)條件，可以將復(fù)雜的題設(shè)簡單化，便于理解和計算。典型例題：2 2 例10.雙曲線C與橢圓L L 有相同的焦點，直線 y= 3x為C的一條漸近線.84(1)求雙曲線C的方程；(2)過點P( 0，4)的直線丨，交雙曲線C于A, B兩點，交x軸于Q點(Q點與C的頂點不重合)。當(dāng)解答過程I)設(shè)雙曲線方程為x22 y b22 由橢圓x_82y 1,求得兩焦點為(2,0),(2,0),4對于雙曲線C:c 2，又y 3x為雙曲線C的一條漸近PQ 1QA2qb,且1 28時，求Q點的

14、坐標(biāo).3考查意圖：本題考查利用直線、橢圓、雙曲線和平面向量等知識綜合解題的能力，以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，方程和轉(zhuǎn)化的思想解決問題的能力。b 3 解得 a21,b23,a2雙曲線C的方程為x2仝13(n)解法一：由題意知直線丨的斜率k存在且不等于零.設(shè)丨的方程：y kx 4,A(X1,y)， B(x2,y2),則 Q( 4,o)丫 PQ1QA,(4Jk4)1(x1冷)k44X144心)k 1kkk4$y141 A(X1,yJ在雙曲線C上，16 .12 (1)2 16 1 0。k21 116 32 1 16 1216以 kk2 20.2 2 16 2(16 k2 ) 12 32 1 16k2 033

15、同理有：(16 k2)；32 2“ 16,216k0.若16 k2 0,則直線丨過頂點，不合題意。16 k2 0,1, 2是二次方程(16 k2)x2 32x 16 16 k20.的兩根。3!28 , k24，此時 0, k 2。k 163所求Q的坐標(biāo)為(2,0).解法二：由題意知直線丨的斜率k存在且不等于零設(shè)丨的方程,y kx 4, A(x, yi), B(x2, y2)，則 Q( - ,0)。ktPQ iQA，Q分PA的比為i.由定比分點坐標(biāo)公式得4iXik i i01 1Xi匸(i Jk i4yii下同解法一解法三：由題意知直線的斜率k存在且不等于零設(shè) 1 的方程:y kx 4,A(Xi

16、,yJ,B(X2,y2),則 Q( 4,0). kiQA2QB，4（K，4）4i(X ik，yi)42(X2, y2).kdi2 y24?yiy2yiy2尹 3(yikx4代入x2i得(3 k2)y2 24y 4833k20。k2yiy20 ,否則l24k7yy與漸近線平行.248 3k o3 k2243 k2248 3k3 k2Q( 2,0).解法四：由題意知直線l得斜率k存在且不等于零,設(shè)l的方程:y kX4 , A(xi, yj, B(X2,y2),則 Q( -,0)ki QA，4(°4)4,yi)。kXi44k_4kxi4.同理kxi 44。kX2 44 kX2422k xx

17、25k(xi x2)0.嚴(yán)）消去當(dāng)3y kx/ i3y 得(3 k2)x2 8kxk2i9 0 .0時,則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意,3 k2由韋達(dá)定理有:XiX2XiX28k3 k2i9k2代入（*）式得k2 4,k所求Q點的坐標(biāo)為(2,0).例11.設(shè)動點P到點A (- I , 0)和B (1, 0)的距離分別為di和d2, / APB = 2 9，且存在常數(shù)入(0v入v 1 =，使得did2 sin2 B =入.(1)證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出 C的方程；(2)過點B作直線交雙曲線 C的右支于M、N兩點，試確定入的范圍, 使OM， ON = 0,其中點O為坐標(biāo)原點.考

18、查目的本小題主要考查直線、雙曲線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識 運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力.解答過程 懈法1 : (1 )在厶PAB中，AB 2,即22 d； d2 2ddcos24 (d1 d2)2 4d1d2sin2 ，即 dt d4ddsin22 12 (常數(shù))，點P的軌跡C是以A, B為焦點，實軸長2a 21的雙曲線.方程為：2 2x y 1.1(2)設(shè) M (%, y1) ,N(X2, y2)1)在雙曲線上.5 12所以當(dāng)MN垂直于x軸時，MN的方程為x 1 , M(1,1),N(1,1-5，因為 01 ,2當(dāng)MN不垂直于x軸時，設(shè)MN的方程為y k(x 1).2X &

19、#39;1y k(xy21 得：(1 )k2 x22(12 2沐 x (1)(k1)由題意知:(1)k20，所以X22k2(1)2，為 X2 )k(1(1)(k2)(1)k2曰ym是：1)(X2因為OM ON1)仁N在雙曲線右支上,所以W2y°2x1x20x1x20k2k2由知，5解法2:(1)同解法(2 )設(shè)M (X1, y ),當(dāng)X1X21 時,因為01，所以MB1-<(1 )2(12)11N(X2,肩，MN的中點為E(xg,y。).當(dāng)x1X2時,2X11 _2X21 _kMN衛(wèi).1yo又kMNkBEy。Xo1所以(1)y22Xo得x22yoMN2由第二定義得MN2e(xi

20、 X2) 2a1 21 Xo(1)2x)-所以(1)yOxO2(1)Xo(1于是由2(1)yo(1)y22XoX022(1Xo,)Xo(1)2,得Xo(1 )23因為Xo1,所以1,又o2 32 由知_J31,解得：5 12考點7利用向量處理圓錐曲線中的最值問題利用向量的數(shù)量積構(gòu)造出等式或函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)求最值的方法求最值, 識建立等量關(guān)系容易要比只利用解析幾何知例12.設(shè)橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O,焦點在x軸上，離心率為 史,3AOB的面積達(dá)到最大值時直線和橢圓3，故可設(shè)橢圓方程為2x2 3y2 t(t3過點C( 1,0)的直線交橢圓E于A、B兩點，且CA 2BC,求當(dāng)解答過程：因為橢圓的

21、離心率為E的方程。0)，直線方程為my X 1,22由 2x 3y t得：(2m2my x 13)y24my 2 t 0，設(shè) A(X 1,yJ,B(X則y1 y2壬2m 3又 CA 2BC,故區(qū) 1,yJ 2(1 X2, y2)，即y12y2由得:y18m2m23，y24m2m23 '則 S AOBH y!2my2| 61 午I =632|m| |m|i，即m空時，AOB面積取最大值,2此時2 ty1y2 21所以，直線方程為X32m2 ，即 t 1O ,(2m23)2y 1 o，橢圓方程為2x2 3y2 1O.小結(jié)：利用向量的數(shù)量積構(gòu)造等量關(guān)系要比利用圓錐曲線的性質(zhì)構(gòu)造等量關(guān)系容易例

22、 13.已知 pa (x , 5, y) , PB (x .5,y),且 | PA|PB| 6,求|2x 3y 12|的最大值和最小值.解答過程：設(shè) P(x, y) , A( ,5,0) , B(. 5,0)，因為 |PA | |PB| 6，且 |AB| 2 5 6，所以，動點P的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為2 2橢圓方程為 0 乞，令x 3cos , y 2sin946的橢圓,則|2x3y 12 | = | 6 2 cos( ) 12 |，4當(dāng)二 cos(4)1時，|2x 3y 12|取最大值12_)1 時,|2x 3y 12 |取最小值 12 6.2 .4小結(jié)：利用橢圓的參數(shù)方程，可以將

23、復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算化為簡單的三角運(yùn)算。考點8禾U用向量處理圓錐曲線中的取值范圍問題解析幾何中求變量的范圍，一般情況下最終都轉(zhuǎn)化成方程是否有解或轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題2例14. (2006年福建卷)已知橢圓 竺y2 的左焦點為F,當(dāng) cos(O為坐標(biāo)原點。(I) 求過點0、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線 丨相切的圓的方程；(II) 設(shè)過點F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點， 線段AB的垂直平分線與x軸交于點G,求點G橫坐標(biāo)的取值范圍。 考查意圖：本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考 查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力。解答過程：(I) t a2.圓過點O、F,2,b2

24、1,1,F( 1,0), l : x 2.圓心M在直線x1上.設(shè)M(丄),則圓半徑22)由 OM r,得.(1) 解得t 2.所求圓的方程為(x 1)22 t232,(y(II)設(shè)直線AB的方程為y2代入亍y2 1,整理得(1 2k2)x2 4k2x 2k.直線AB過橢圓的左焦點 F,方程有兩個不等實根.k(x 1)(k0),2 2 0.記 A(Xi,yJ, B(*,y2), AB中點 N(x°, yo),4k22k2 1AB的垂直平分線NG的方程為y y。1下(x x°).令y 0,得Xgx0 ky°2 k22k2 1 2k2k21k22k2 1Tk 0,12X

25、g0,點G橫坐標(biāo)的取值范圍為新.2例15 已知雙曲線C: L 2 a21(a 0,b b0），B是右頂點,F是右焦點，點A在x軸正半軸上，且滿足|OA |,| OB|,| OF|成等比數(shù)列，過 F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l ,垂足為P,（1）求證：PA OP PA FP;若丨與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點D,E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍.解答過程：（1）2|OA|,| OB|,| OF| 成等比數(shù)列，故 |OA | |OB|22 aa，即 A(,0),cc直線l :c).a /腫bxac)故:PA (0,ab ),OP ca2 ab -(,),FPc c遜)c|0F|則

26、：PA OPPA FP，即 PA OPPAFP ；(或 PA (OPFP)PA(PFPO)PA OF0，即 PA OPPAFP)a,y -(x(2 )由'b2 2 2x a yc)(b2由 x1x24 2(a c(vb2（或由kDFkDOa2b24a了ab0 得:4g)x2b4a22 CXb2a4c2(va2|20,b2e22小結(jié)：向量的數(shù)量積在構(gòu)造等量關(guān)系中的作用舉足輕重 標(biāo)。，而要運(yùn)用數(shù)量積，必須先恰當(dāng)?shù)厍蟪龈鱾€點的坐例 16 已知 a (x,0) , b (1,y) , (a 弋 3b)(a(2)試求m的取值范圍.(1)求點P(X, y)的軌跡C的方程;若直線y kx m(m 0

27、)與曲線C交于a、B兩點，D(0,1)，且|AD|BD|，解答過程：(1) a 、3b = (x,0).3(1,y)a >3b = (x,0),3(1,y) (x-3, ,3y)因(a v3b) (a v 3b)，故(av'3b) (a,3b)即(x 、3,、3y) (x.3, .3y)x2 3y2故P點的軌跡方程為x21。y(2 )由 xkx m3y23得: (12 2 23k )x 6kmx 3m3 0,設(shè)A(x 1,yJ,B(x 2$2), A、B的中點為M(x 0,y°)(6km)2 4(1 3k2)(3m23) 12(m2 1 3k2)x1x26 km2，1

28、3kX223 km m3km,k，y0 kx0m,3k的中點為(1 3k1 3k則線段AB的垂直平分線為： y -1m3k2(-)(x衛(wèi)竺k 1 3k2將D(0,1)的坐標(biāo)代入，化簡得：4m3k21,2 2丄m 1 3k 則由4m 3k20 得: m214m 0,解之得m 0或m4,2又 4m 3k 11，所以m故m的取值范圍是1 (：,0)U(4,4小結(jié)：求變量的范圍，要注意式子的隱含條件，否則會產(chǎn)生增根現(xiàn)象考點9利用向量處理圓錐曲線中的存在性問題存在性問題，其一般解法是先假設(shè)命題存在，用待定系數(shù)法設(shè)出所求的曲線方程或點的坐標(biāo)，再根據(jù)合理的推理，若能推出題設(shè)中的系數(shù)，則存在性成立，否則，不成

29、立。O,且例17.已知A,B,C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓的中心AC BC 0, |BC| 2|AC| ,(1)求橢圓的方程;(2)如果橢圓上的兩點 P, Q使 PCQ的平分線垂直于 OA，是否總存在實數(shù) 兒使得PQ 瓜B ?請說明理由;由橢圓的對稱性，|BC|又 AC BC 0 ACOC ,即卩AOCA為等腰直角三角形,由 A(2,0)得：C(1,1),代入橢圓方程得:b22|AC|2| OC| |AC| |OC| ,2即，橢圓方程為4(2 )假設(shè)總存在實數(shù)入，使得PQAAB ,即 AB / PQ ,由 C(1,1)得 B( 1,1)，則 kAB0 ( 1)

30、2 ( 1)若設(shè) CP： y k(x1) 1，則CQ: y k(x 1) 1 ,2x由y3y24k(x1) 1由 C(1,1)得 x2 2 2(1 3k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10,1是方程(13k2)x2 6k(k 1)x 3k2 6k10的一個根,由韋達(dá)疋理得:xPxP 13k26k1,以k代k得Xq3k2 6k 113k22 ，1 3k,yPyQk(x pXq)2k1故kpQ,故 AB / PQ,XpXqXpXq3即總存在實數(shù)入,使得PQ/AB評注：此題考察了坐標(biāo)系的建立、待定系數(shù)法、橢圓的對稱性、向量的垂直、向量的共線及探索性問題 的處理方法等，是一道很好的綜合題?？键c1

31、0禾U用向量處理直線與圓錐曲線的關(guān)系問題直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，一般情況下，是把直線的方程和曲線的方程組成方程組，進(jìn)一步來判斷 方程組的解的情況，但要注意判別式的使用和題設(shè)中變量的范圍。例18設(shè)G、M分別是 ABC的重心和外心，A(0, a) , B(0,a)(a0)，且GM AB ,(1)求點C的軌跡方程;(2)是否存在直線m，使m過點(a,0)并且與點C的軌跡交于P、Q兩點，且OP OQ 0?若存在，求出直線m的方程；若不存在，請說明理由解答過程：(1)設(shè)C(x, y)，則G(-,-)，3 3因為GMAB,所以 GM /AB，x則 m(3，0)，整理得:ABC的外心，則| MA |MC

32、|，即(3 x)2 y2，x23a22y2a1(x0);(2 )假設(shè)直線m存在,設(shè)方程為k(x a),y k(x由x2y2221(x3a aa)得：(10)3k2)x2 6k2 ax 3a2 (k2 1) 0，設(shè) P(X1,yJ,Q(X2,y2)，則 X1X26k2a1 3k2 ' X1X23a2(k21)3k22y2k (X1 a)(x2 a)k2x1x2a(x1 X2) a2Cl22k a，1 3k由 OP OQ 0 得：X1X2 y“20，即業(yè)J車1 3k 1 3k0，解之得k又點(a,0)在橢圓的內(nèi)部，直線 m過點(a,0), 故存在直線 m,其方程為y 3(x a)。小結(jié)：(

33、1)解答存在性的探索問題，一般思路是先假設(shè)命題存在，再推出合理或不合理的結(jié)果，然后做出 正確的判斷；(2)直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，一般最終都轉(zhuǎn)化成直線的方程和圓錐曲線的方程所組成的方程組的 求解問題?！緦ｎ}訓(xùn)練與高考預(yù)測五】、選擇題1 如果雙曲線經(jīng)過點(6, . 3),且它的兩條漸近線方程是2 2A.丄乞13692 x23m15vy2 2x_ y_ 1 c .8192 .已知橢圓A. x3 .已知2y5n2和雙曲線2X22m15x22x"92y3n2C。y2 1lx，那么雙曲線方程是()32 2乞乞11831有公共的焦點，那么雙曲線的的漸近線方程為X42y_1(a b0)的焦點,M

34、為橢圓上一點，MF)垂直于x軸,且 FMF260，則橢圓的離心率為(A.丄 B。丄2C。史 D。遲22322 24 .二次曲線y ，當(dāng)m 2, 1時，該曲線的離心率e的取值范圍是()4 mA。吟沖 B。臥fC.專,f D.呼,£2 2 2 2 2 2 2 25. 直線m的方程為y kx 1 ,雙曲線C的方程為x2 y21,若直線m與雙曲線C的右支相交于不重合的兩點，則實數(shù)k的取值范圍是()A. (2, .2)B.(1, 2)C.2, 2) D。 1/.2)6 .已知圓的方程為x2 y24 ,若拋物線過點A( 1,0),B(1,0)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點的軌跡方程為()2

35、A。2y_1(y 0)B.2 x2y_1(y0)34432222C。y_1(x0)D.xy_1(x0)3443二、填空題2 2 P P 彳7. 已知P是以F、F2為焦點的橢圓 篤 與1(a b 0)上一點，若PR PF2 0 tan PFF -，則橢a b2圓的離心率為 .8. 已知橢圓x2+2y2=12,A是x軸正方向上的一定點，若過點A，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為空13，點A的坐標(biāo)是.29. P是橢圓L42L 1上的點，f,f2是橢圓的左右焦點，設(shè)3| PF | | pf2 | k，則k的最大值與最小值之差是10.給出下列命題: 圓(x 2)22 雙曲線x_16(y1)21關(guān)于點2&

36、#163;1右支上一點9M( 1,2)對稱的圓的方程是P到左準(zhǔn)線的距離為 18,頂點在原點,對稱軸是坐標(biāo)軸,2 2(x 3) (y 3)1;那么該點到右焦點的距離為且經(jīng)過點 (4, 3)的拋物線方程只能是y2則 |OP|2 |OQ|2P、Q是橢圓x2 4y216上的兩個動點，O為原點，直線OP,OQ的斜率之積為等于定值20 .把你認(rèn)為正確的命題的序號填在橫線上三、解答題11 已知兩點 A( . 2,0) , B( 2,0)，動點P在y軸上的射影為Q,PA PB 2PQ2 ,(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)設(shè)直線m過點A，斜率為k,當(dāng)0 k 試求k的值及此時點 C的坐標(biāo).1時，曲線E的上支上

37、有且僅有一點 C到直線m的距離為. 2 ,12.如圖，F(xiàn)( 3,0) , F2(3,0)是雙曲線C的兩焦點，直線x 4是雙曲線C的右準(zhǔn)線，A4 是雙曲線C3的兩個頂點，點P是雙曲線C右支上異于A2的一動點，直線A1P、A?P交雙曲線C的右準(zhǔn)線分別于M , N兩點，(1 )求雙曲線C的方程;(2)求證:FM F2N是定值13 .已知 OFQ的面積為S且OF FQ 1,建立如圖所示坐標(biāo)系，(1 )若S -，|OF| 2，求直線FQ的方程;2(2)設(shè) |OF| c(c 2),S 3c，若以 O 為中心,4取得最小值時的橢圓方程。14 .已知點 H( 3,0)，點 P在y軸上，點3-HP PM 0 ,

38、 PM MQ，2(1)當(dāng)點P在y軸上移動時，求點 M的軌跡F為焦點的橢圓過點Q,Q在x軸的正半軸上C；(2)過點T( 1,0)作直線m與軌跡C交于A、B兩點，若在x軸上存在一點ABE為等邊三角形，求X0的值。,點M在直線E(xPQ|OQ|上，且滿足yo,O) , p-.使E 、H盧瘓s:B得2 215. 已知橢圓 冷占 論 b 0)的長、短軸端點分別為 A、B,從此橢圓上一點 M向x軸作垂線，恰a2 b2好通過橢圓的左焦點 F1，向量AB與OM，是共線向量.(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點，F(xiàn)i、F2分別是左、右焦點，求/F1QF2的取值范圍；16. 已知兩點M(-1 , 0

39、) ,N (1 , 0)且點P使mP MN , PM PN, NM NP成公差小于零的等差數(shù)列，(I )點P的軌跡是什么曲線？(H)若點P坐標(biāo)為(Xo,y°),為PM與PN的夾角，求tan 0 .【參考答案】一。1. C。提示，設(shè)雙曲線方程為 (1x y)(1x y)，將點(6, .3)代入求出 即可。332. D .因為雙曲線的焦點在 x軸上，故橢圓焦點為 (.3m2 5n2,0)，雙曲線焦點為(.2m2 3n2,0)，由 3m2 5n2 2m2 3n2得|m| 2.2 | n|，所以，雙曲線的漸近線為y 6| n| 3x。2 | m |43. C。設(shè) |MR | d，則 | MF

40、2 | 2d,| FF2 | 73d，c 2c|FF2|J3dV3ea 2a |MR| IMF2I d 2d 34. C。曲線為雙曲線，且 -1 1，故選C;或用a2 4，b2m來計算。25. B。將兩方程組成方程組，利用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系建立不等式組。6. B。數(shù)形結(jié)合，利用梯形中位線和橢圓的定義。二. 7.解：設(shè)c為為橢圓半焦距，T PFt PF2 0 ，二Ph PF2.又ta nPFRPF|PF2PF" |PF2PF2丄PF1 2(2c)22a解得:()2a59,8.解:設(shè) A(X0, 由0)|X1y=x-x 0X24x°,X!3(X0>0),則直線l可彳得

41、 3x2 4x0x+2x 0212=0,x2+2y2=1222x012，則3X2X2 |(x_, x2)2 4x_,x2 4 14X2 |X1 X2 |9. 1； k IPFI的方程為y=x-x0，設(shè)直線l與橢圓相交于 P(x1,y1), Q (X2、y2),216Xo9，即 4 14X0>0,二 X0=2，二 A(2 ,| PF21 (a ex)(a ex)0).11解(1)設(shè)動點 P 的坐標(biāo)為(x, y)，則點 Q(0, y) ,pq ( x,0) , PA (J2 x, y),PB ( v2 x, y)，PA PB x2 2 y2,因為 PA PB 2PQ2，所以 x2 2 y2

42、2x2，即動點P的軌跡方程為：y2 x2 2;(2)設(shè)直線 m: y k(x 2)(0k 1)，依題意，點C在與直線m平行，且與m之間的距離為2的直線上，設(shè)此直線為m1: y kxb，由 l -2kJk2b| .2,即 b212,2kb 2,把y kxb代入y22x 2，整理得2 2:(k 1)x22kbx (b2) 0 ,則4k2b24(k2 1)(b2 2)220，即 b 2k 2,由得：k此時，由方程組52 5x5x22C(2 2, . 10).12 解：(1)依題意得:4,所以 a2,b25,3所求雙曲線C的方程為(2)設(shè) P(Xo，y°) , M(X1，yJ , NgM)，則 A, 2,0),A2(2,0),10A1P (X0 2,y°), A2P (X0 2,y。)，AM (