小學(xué)數(shù)學(xué)常用的11種解題思路

1、小學(xué)數(shù)學(xué)常用的11 種解題思路“直接思路”是解題中的常規(guī)思路。它一般是通過分析、綜合、歸納等方法，直接找到解題的途徑?！卷樝蚓C合思路】從已知條件出發(fā)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系先選擇兩個(gè)已知數(shù)量，提出可以解決的問題；然后把所求出的數(shù)量作為新的已知條件，與其他的已知條件搭配，再提出可以解決的問題；這樣逐步推導(dǎo)，直到求出所要求的解為止。這就是順向綜合思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫“綜合法” 。例 1 兄弟倆騎車出外郊游，弟弟先出發(fā)，速度為每分鐘 200 米，弟弟出發(fā) 5 分鐘后，哥哥帶一條狗出發(fā)，以每分鐘 250 米的速度追趕弟弟，而狗以每分鐘 300 米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，見到哥哥后又立即

2、向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，這時(shí)狗跑了多少千米分析（按順向綜合思路探索） ：（ 1）根據(jù)弟弟速度為每分鐘 200 米，出發(fā) 5 分鐘的條件，可以求什么可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追趕弟弟的距離。（ 2）根據(jù)弟弟速度為每分鐘 200 米，哥哥速度為每分鐘 250 米，可以求什么可以求出哥哥每分鐘能追上弟弟多少米。（3）通過計(jì)算后可以知道哥哥追趕弟弟的距離為 1000 米，每分鐘可追上的距離為 50 米，根據(jù)這兩個(gè)條件，可以求什么可以求出哥哥趕上弟弟所需的時(shí)間。（4）狗在哥哥與弟弟之間來回不斷奔跑，看起來很復(fù)雜，仔細(xì)想一想，狗跑的時(shí)間與誰用的時(shí)間是一樣的狗跑的時(shí)間與哥哥追上弟弟所用的時(shí)間是

3、相同的。（5）已知狗以每分鐘 300 米的速度，在哥哥與弟弟之間來回奔跑，直到哥哥追上弟弟為止，和哥哥追上弟弟所需的時(shí)間，可以求什么可以求出這時(shí)狗總共跑了多少距離。這個(gè)分析思路可以用下圖（圖）表示。例 2 下面圖形（圖）中有多少條線段分析（仍可用綜合思路考慮） ：我們知道，直線上兩點(diǎn)間的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰兩點(diǎn)間的線段叫做基本線段，那么就可以這樣來計(jì)數(shù)。（ 1）左端點(diǎn)是 A 的線段有哪些有 AB AC AD AE AF AG共 6 條。（2）左端點(diǎn)是 B 的線段有哪些有 BC、BD、 BE、BF、BG共 5 條。（3）左端點(diǎn)是 C 的線段有哪些有 CD、 CE、CF、 CG共

4、4 條。（4）左端點(diǎn)是 D 的線段有哪些有 DE、 DF、DG共 3 條。（ 5）左端點(diǎn)是 E 的線段有哪些有 EF、EG共 2 條。（6）左端點(diǎn)是 F 的線段有哪些有 FG共 1 條。然后把這些線段加起來就是所要求的線段。二、逆向分析思路從題目的問題入手，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，找出解這個(gè)問題所需要的兩個(gè)條件，然后把其中的一個(gè)（或兩個(gè)）未知的條件作為要解決的問題，再找出解這一個(gè)（或兩個(gè)）問題所需的條件；這樣逐步逆推，直到所找的條件在題里都是已知的為止，這就是逆向分析思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫分析法。例 1 兩只船分別從上游的 A 地和下游的 B 地同時(shí)相向而行， 水的流速為每分鐘 30 米，兩船在

5、靜水中的速度都是每分鐘 600 米，有一天，兩船又分別從 A、B 兩地同時(shí)相向而行，但這次水流速度為平時(shí)的2 倍，所以兩船相遇的地點(diǎn)比平時(shí)相遇點(diǎn)相差60 米，求 A、B 兩地間的距離。分析（用分析思路考慮） ：（1）要求 A、B 兩地間的距離，根據(jù)題意需要什么條件需要知道兩船的速度和與兩船相遇的時(shí)間。（2）要求兩船的速度和，必要什么條件兩船分別的速度各是多少。題中已告之在靜水中兩船都是每分鐘600 米，那么不論其水速是否改變，其速度和均為（600+600）米，這是因?yàn)轫標(biāo)贋椋捍?+水速，逆水船速為：船速- 水速，故順?biāo)倥c逆水船速的和為：船速+水速 +船速 - 水速 =2 個(gè)船速（實(shí)為

6、船在靜水中的速度）（3）要求相遇的時(shí)間， 根據(jù)題意要什么條件兩次相遇的時(shí)間因?yàn)榫嚯x相同，速度和相同，所以應(yīng)該是相等的，這就是說，盡管水流的速度第二次比第一次每分鐘增加了30 米，仍不會(huì)改變相遇時(shí)間，只是改變了相遇地點(diǎn)：偏離原相遇點(diǎn)60 米，由此可知兩船相遇的時(shí)間為60÷30=2（小時(shí)）。此分析思路可以用下圖（圖）表示：例 2 五環(huán)圖由內(nèi)徑為 4，外徑為 5 的五個(gè)圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等（如圖） ，已知五個(gè)圓環(huán)蓋住的總面積是，求每個(gè)小曲邊四邊形的面積（圓周率取）分析（仍用逆向分析思路探索） ：（ 1）要求每個(gè)小曲邊四邊形的面積，根據(jù)題意必須知道什么

7、條件曲邊四邊形的面積，沒有公式可求，但若知道 8 個(gè)小曲邊四邊形的總面積，則只要用 8 個(gè)曲邊四邊形總面積除以 8，就可以得到每個(gè)小曲邊四邊形的面積了。（2）要求 8 個(gè)小曲邊四邊形的總面積，根據(jù)題意需要什么條件 8 個(gè)小曲邊四邊形恰好是圓環(huán)面積兩兩相交重疊一次的部分，因此只要把五個(gè)圓環(huán)的總面積減去五個(gè)圓環(huán)蓋住的總面積就可以了。（3）要求五個(gè)圓環(huán)的總面積，根據(jù)題意需要什么條件求出一個(gè)圓環(huán)的面積，然后乘以 5，就是五個(gè)圓環(huán)的總面積。（4）要求每個(gè)圓環(huán)的面積，需要什么條件已知圓環(huán)的內(nèi)徑（ 4）和外徑（ 5），然后按圓環(huán)面積公式求就是了。圓環(huán)面積公式為： S 圓環(huán) =（ R2-r2 ）=（ Rr ）

8、（Rr ）其思路可用下圖（圖）表示：三、一步倒推思路順向綜合思路和逆向分析思路是互相聯(lián)系，不可分割的。在解題時(shí)，兩種思路常常協(xié)同運(yùn)用，一般根據(jù)問題先逆推第一步，再根據(jù)應(yīng)用題的條件順推，使雙方在中間接通，我們把這種思路叫“一步倒推思路” 。這種思路簡明實(shí)用。例 1 一只桶裝滿 10 千克水，另外有可裝 3 千克和 7 千克水的兩只空桶，利用這三只桶，怎樣才能把 10 千克水分為 5 千克的兩份分析（用一步倒推思路考慮） ：（ 1）逆推第一步：把 10 千克水平分為 5 千克的兩份，根據(jù)題意，關(guān)鍵是要找到什么條件因?yàn)橛幸恢豢裳b 3 千克水的桶，只要在另一只桶里剩 2 千克水，利用 3 2=5，就可

9、以把水分成 5 千克一桶，所以關(guān)鍵是要先倒出一個(gè) 2 千克水。（ 2）按條件順推。第一次： 10 千克水倒入 7 千克桶， 10 千克水桶剩 3 千克水， 7 千克水倒入 3 千克桶， 7 千克水桶剩 4 千克水， 3 千克水桶里有水 3 千克；第二次： 3 千克桶的水倒入 10 千克水桶，這時(shí) 10 千克水桶里有水 6 千克，把 7 千克桶里的 4 千克水倒入 3 千克水桶里，這時(shí) 7 千克水桶里剩水 1 千克， 3 千克水桶里有水 3 千克；第三次： 3 千克桶里的水倒入 10 千克桶里，這時(shí) 10 千克桶里有水 9 千克， 7 千克桶里的 1 千克水倒入 3 千克桶里，這時(shí) 7 千克桶里

10、無水， 3 千克桶里有水 1 千克；第四次： 10 千克桶里的 9 千克水倒入 7 千克桶里， 10 千克水桶里剩下 2 千克水， 7 千克桶里的水倒入 3 千克桶里（原有 1 千克水），只倒出 2 千克水， 7 千克桶里剩水 5 千克，3 千克桶里有水 3 千克，然后把 3 千克桶里的 3 千克水倒 10 千克桶里，因?yàn)樵?2 千克水，這時(shí)也正好是 5 千克水了。其思路可用下圖（圖和圖）表示：例 2 今有長度分別為 1、2、3 9 厘米的線段各一條，可用多少種不同的方法，從中選用若干條線段組成正方形分析（仍可用一步倒推思路來考慮） ：（ 1）逆推第一步。要求能用多少種不同方法，從中選用若干

11、條線段組成正方形必須的條件是什么根據(jù)題意，必須知道兩個(gè)條件。一是確定正方形邊長的長度范圍，二是每一種邊長有幾種組成方法。（2）從條件順推。因?yàn)榫艞l線段的長度各不相同， 所以用這些線段組成的正方形至少要 7 條，最多用了 9 條，這樣就可以求出正方形邊長的長度范圍為（ 1+2+當(dāng)邊長為 7 厘米時(shí)，各邊分別由 1+6、2+5、 3+4 及 7 組成，只有一種組成方法。當(dāng)邊長為 8 厘米時(shí)，各邊分別由 1+7、2+6、 3+5 及 8 組成，也只有一種組成方法。當(dāng)邊長為 9 厘米時(shí)，各邊分別由 1+8、2+7、3+6 及 9；18、27、4+5 及 9； 2 7、36、4+5 及 9；18、3 6

12、、45 及 9；18、2+7、36 及 45 共 5 種組成方法。當(dāng)邊長為 10 厘米時(shí)，各邊分別由 1+9、28、37 及 46 組成，也只有一種組成方法。當(dāng)邊長為 11 厘米時(shí)，各邊分別由 2+9、 3 8、 4 7 及 5+6 組成，也只有一種組成方法。將上述各種組成法相加，就是所求問題了。此題的思路圖如下（圖）：問題：四、還原思路從敘述事情的最后結(jié)果出發(fā)利用已知條件，一步步倒著推理，直到解決問題，這種解題思路叫還原思路。解這類問題，從最后結(jié)果往回算，原來加的用減、原來減的用加，原來乘的用除，原來除的用乘。運(yùn)用還原思路解題的方法叫“還原法” 。例 1 一個(gè)數(shù)加上 2，減去 3，乘以 4，

13、除以 5 等于 12，你猜這個(gè)數(shù)是多少分析（用還原思路考慮） ：從運(yùn)算結(jié)果 12 逐步逆推，這個(gè)數(shù)沒除以 5 時(shí)應(yīng)等于多少?zèng)]乘以 4 時(shí)應(yīng)等于多少不減去 3 時(shí)應(yīng)等于多少不加上 2 時(shí)又是多少這里分別利用了加與減，乘與除之間的逆運(yùn)算關(guān)系，一步步倒推還原，直找到答案。其思路圖如下（圖） ：條件：例 2 李白街上走，提壺去打酒；遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒。試問酒壺中，原有多少酒分析（用還原思路探索）：李白打酒是我國民間自古以來廣為流傳的一道用打油詩敘述的著名算題。題意是：李白提壺上街買酒、喝酒，每次遇到酒店，便將壺中的酒量增添1 倍，而每次見到香花，便飲酒作詩，喝酒1 斗。這樣

14、他遇店、見花經(jīng)過3 次，便把所有的酒全喝光了。問：李白的酒壺中原有酒多少下面我們運(yùn)用還原思路，從“三遇店和花，喝光壺中酒”開始推算。見花前有 1 斗酒。第三次：見花后壺中酒全喝光。第三次：遇店前壺中有酒半斗。第一次：見花前壺中有酒為第二次遇店前的再加1 斗。遇店前壺中有酒為第一次見花前的一半。其思路圖如下五、假設(shè)思路在自然科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，一些重要的定理、法則、公式等，常常是在“首先提出假設(shè)、猜想，然后再進(jìn)行檢驗(yàn)、證實(shí)”的過程中建立起來的。數(shù)學(xué)解題中，也離不開假設(shè)思路，尤其是在解比較復(fù)雜的題目時(shí)，如能用“假設(shè)”的辦法去思考，往往比其他思路簡捷、方便。我們把先提出假設(shè)、猜想，再進(jìn)行檢驗(yàn)、證實(shí)的解題思路

15、，叫假設(shè)思路。例 1 中山百貨商店，委托運(yùn)輸隊(duì)包運(yùn) 1000 只花瓶，議定每只花瓶運(yùn)費(fèi)元， 如果損壞一只，不但不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償損失元。結(jié)果運(yùn)輸隊(duì)獲得運(yùn)費(fèi)元。問：損壞了花瓶多少只分析（用假設(shè)思路考慮） ：（1）假設(shè)在運(yùn)輸過程中沒有損壞一個(gè)花瓶， 那么所得的運(yùn)費(fèi)應(yīng)該是多少× 1000=400（元）。（2）而實(shí)際只有元， 這當(dāng)中的差額， 說明損壞了花瓶，而損壞一只花瓶，不但不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償損失元， 這就是說損壞一只花瓶比不損壞一只花瓶的差額應(yīng)該是多少元=（元）（ 3）總差額中含有一個(gè)元，就損壞了一只花瓶，含有幾個(gè)元，就是損壞了幾只花瓶。由此便可求得本題的答案。例 2 有 100

16、 名學(xué)生在車站準(zhǔn)備乘車去離車站 600 米的烈士紀(jì)念館搞活動(dòng)，等最后一人到達(dá)紀(jì)念館 45 分鐘以后，再去離紀(jì)念館 900 米的公園搞活動(dòng)?，F(xiàn)在有中巴和大巴各一輛，它們的速度分別是每分鐘 300 米和 150 米，而中巴和大巴分別可乘坐 10 人和 25 人，問最后一批學(xué)生到達(dá)公園最少需要多少時(shí)間分析（用假設(shè)思路思索） ：假設(shè)從車站直接經(jīng)烈士紀(jì)念館到公園，則路程為（600900）米。把在最后1 人到達(dá)紀(jì)念館后停留 45 分鐘，假設(shè)為在公園停留45 分鐘，則問題將大大簡化。（1）從車站經(jīng)烈士紀(jì)念館到達(dá)公園，中巴、大巴往返一次各要多少時(shí)間中巴：（ 600+900）÷ 300×2=

17、10（分鐘）大巴：（600+900）÷ 150×2=20（分鐘）（2）中巴和大巴在20 分鐘內(nèi)共可運(yùn)多少人中巴每次可坐10 人，往返一次要10 分鐘，故 20 分鐘可運(yùn) 20 人。大巴每次可坐 25 人，往返一次要 20 分鐘，故 20 分鐘可運(yùn) 25 人。所以在 20 分鐘內(nèi)中巴、大巴共運(yùn) 45 人。（ 3）中巴和大巴 20 分鐘可運(yùn) 45 人，那么 40 分鐘就可運(yùn) 45×2=90（人），100 人運(yùn)走90 人還剩下 10 人，還需中巴再花10 分鐘運(yùn)一次就夠了。（4）最后可求出最后一批學(xué)生到達(dá)公園的時(shí)間：把運(yùn)90 人所需的時(shí)間，運(yùn)10 人所需的時(shí)間，和在紀(jì)念

18、館停留的時(shí)間相加即可。六、消去思路對(duì)于要求兩個(gè)或兩個(gè)以上未知數(shù)的數(shù)學(xué)題，我們可以想辦法將其中一個(gè)未知數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而消去一個(gè)未知數(shù)，使數(shù)量關(guān)系化繁為簡，這種思路叫消去思路，運(yùn)用消去思路解題的方法叫消去法。二元一次方程組的解法，就是沿著這條思路考慮的。例 1 師徒兩人合做一批零件，徒弟做了 6 小時(shí)，師傅做了 8 小時(shí)，一共做了 312 個(gè)零件，徒弟 5 小時(shí)的工作量等于師傅 2 小時(shí)的工作量，師徒每小時(shí)各做多少個(gè)零件分析（用消去思路考慮） ：這里有師、徒每小時(shí)各做多少個(gè)零件兩個(gè)未知量。如果以徒弟每小時(shí)工作量為 1 份，把師傅的工作量用徒弟的工作量來代替， 那么師傅 8 小時(shí)的工作量相當(dāng)于這樣的

19、幾份呢很明顯，師傅 2 小時(shí)的工作量相當(dāng)于徒弟 5 小時(shí)的工作量，那么 8 小時(shí)里有幾個(gè) 2 小時(shí)就是幾個(gè) 5 小時(shí)工作量，這樣就把師傅的工作量換成了徒弟的工作量，題目里就消去了師傅工作量這個(gè)未知數(shù)。然后再看 312 個(gè)零件里包含了多少個(gè)徒弟單位時(shí)間里的工作量，就是徒弟應(yīng)做多少個(gè)。求出了徒弟的工作量，根據(jù)題中師博工作量與徒弟工作量的倍數(shù)關(guān)系，也就能求出師傅的工作量了。例 2 小明買 2 本練習(xí)本、 2 枝鉛筆、 2 塊橡皮，共用元，小軍買 4 本練習(xí)本、 3 枝鉛筆、 2 塊橡皮，共用去元，小慶買 5 本練習(xí)本、 4 枝鉛筆、 2 塊橡皮，共用去元，問練習(xí)本、鉛筆、橡皮的單價(jià)各是多少錢分析（用

20、消去法思考）：這里有三個(gè)未知數(shù)，即練習(xí)本、鉛筆、橡皮的單價(jià)各是多少錢我們要同時(shí)求出三個(gè)未知數(shù)是有困難的。應(yīng)該考慮從三個(gè)未知數(shù)中先去掉兩個(gè)未知數(shù)，只留下一個(gè)未知數(shù)就好了。如何消去一個(gè)未知數(shù)或兩個(gè)未知數(shù)一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通過擴(kuò)大或縮小若干倍，使它們之間有兩個(gè)相同的數(shù)量，再用加減法即可消去，本題把小明小軍、小慶所購買的物品排列如下：小明2本2枝2塊元小軍4本3枝2塊元小慶5本4枝2塊元現(xiàn)在把小明的各數(shù)分別除以 2，可得到 1 本練習(xí)本、 1 枝鉛筆、 1 塊橡皮共元。接著用小慶的各數(shù)減去小軍的各數(shù)，得 1 本練習(xí)本、 1 枝鉛筆為元。再把小明各數(shù)除以 2 所得的各數(shù)減去上數(shù)

21、，就消去了練習(xí)本、鉛筆兩個(gè)未知數(shù)，得到 1 塊橡皮元，采用類似的方法可求出練習(xí)本和鉛筆的單價(jià)。七、轉(zhuǎn)化思路解題時(shí)，如果用一般方法暫時(shí)解答不出來，就可以變換一種方式去思考，或改變思考的角度，或轉(zhuǎn)化為另外一種問題，這就是轉(zhuǎn)化思路。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思路解題就叫轉(zhuǎn)化法。八、類比思路類比就是從一個(gè)問題想到了相似的另一個(gè)問題。例如從等差數(shù)列求和公式想到梯形面積公式，從矩形面積公式想到長方體體積公式等等；類比是一個(gè)重要的思想方法，也是解題的一種重要思路。類比就是從一個(gè)問題想到了相似的另一個(gè)問題。例如從等差數(shù)列求和公式想到梯形面積公式，從矩形面積公式想到長方體體積公式等等；類比是一個(gè)重要的思想方法，也是解題的一種重要

22、思路。例 1 有一個(gè)掛鐘，每小時(shí)敲一次鐘，幾點(diǎn)鐘就敲幾下，鐘敲 6 下， 5 秒鐘敲完；鐘敲 12 下，幾秒敲完分析（用類比思路探討） ：有人會(huì)盲目地由倍數(shù)關(guān)系下結(jié)淪，誤認(rèn)為 10 秒鐘敲完，那就完全錯(cuò)了。其實(shí)此題只要運(yùn)用類比思路，與植樹問題聯(lián)系起來想一想就通了：一條線路植樹分成幾段（株距） ，如果不包括兩個(gè)端點(diǎn)，共需植（ n-1 ）棵樹，如果包括兩個(gè)端點(diǎn)，共需植樹（ n1）棵，把鐘點(diǎn)指數(shù)看作是一棵棵的樹，把敲的時(shí)間看作棵距，此題就迎刃而解了。九、分類思路把一個(gè)復(fù)雜的問題，依照某種規(guī)律，分解成若干個(gè)較簡單的問題，從而使問題得到解決，這就是分類思路。這種思路在解決數(shù)圖形個(gè)數(shù)問題中經(jīng)常用到。例 1

23、 如圖，共有多少個(gè)三角形分析（用分類思路考慮） ：這樣的圖直接去數(shù)有多少個(gè)三角形，要做到能不重復(fù)，又不遺漏，是比較困難的。怎么辦可以把圖中所有三角形按大小分成幾類，然后分類去數(shù)，再相加就是總數(shù)了。本題根據(jù)條件，可以分為五類（如圖） 。例 2 如圖，象棋棋盤上一只小卒過河后沿著最短的路走到對(duì)方“將”處，這小卒有多少種不同的走法分析（運(yùn)用分類思路分析） ：小卒過河后，首先到達(dá) A 點(diǎn)，因此，題目實(shí)際上是問：從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿最短路徑有多少種走法可以到達(dá)“將”處，所謂最短，是指不走回頭路。因?yàn)椤皩ⅰ敝苯酉嗤ǖ氖?P 點(diǎn)和 K 點(diǎn)，所以要求從 A 點(diǎn)到“將”處有多少種走法，就必須是求出從 A到 P 和

24、從 A 到 K 各有多少種走法。分類 :一種走法： A 到 B、 C、 D、 E、 F、 G都是各有一種走法。二種走法：從 A 到 H有兩種走法。三種走法：從 A 到 M及從 A 到 I 各有三種走法。其他各類的走法：因?yàn)閺?A 到 M、到 I 各有 3 種走法，所以從 A 到 N 就有 336 種走法了，因?yàn)閺?A到 I 有 3 種走法，從 A 到 D 有 1 種走法，所以從 A 到 J 就有 31=4 種走法了； P 與 N、J 相鄰，而 A 到 N 有 6 種走法， A 到 J 有 4 種走法，所以從 A 到 P 就有 6+4=10 種走法了；同理 K 與 J、E 相鄰，而 A 到 J

25、有 4 種走法，到 E 有 1 種走法，所以 A 到 K 就有 4+1=5 種走法。再求從 A 到“將”處共有多少種走法就非常容易了。十、等量代換思路有些題的數(shù)量關(guān)系十分隱蔽，如果用一般的分析推理，難于找出數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，求出要求的數(shù)量。那么我們就根據(jù)已知條件與未知條件相等的關(guān)系，使未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化，促使問題迎刃而解。這種思路叫等量代換思路。例 1 如圖的正方形邊長是 6 厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面積比甲三角形大 6 平方厘米，求 CE長多少厘米分析（用等量代換思路思考） ：按一般思路，要求CE的長，必須知道乙三角形的面積和高，而這兩個(gè)條件都不知道，似乎無