導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

1、第2講導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用知識(shí)梳理1. 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f (x)0,那么函數(shù)y f (x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) ；如果f (x) 0,那么函數(shù)y f (x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) .解析：單調(diào)遞增；單調(diào)遞減2. 判別f(xo)是極大、極小值的方法假設(shè)x0滿足f (x0) 0，且在x0的兩側(cè)f (x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，那么 x0是f (x)的極值點(diǎn)，f(Xo)是極值，并且如果f(X)在X。兩側(cè)滿足“左正右負(fù)，那么X。是f (x)的，f(x。)是極大值；如果f(X)在X0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正，那么X0是f(x)的極小值點(diǎn)，f(X0)是解

2、析：極大值點(diǎn)；極小值3 解題規(guī)律技巧妙法總結(jié)：求函數(shù)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f' (x).求方程f' (x)=0的根.用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成假設(shè)干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f' (X)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無極值.4求函數(shù)最值的步驟：1求出f (x)在(a,b)上的極值.2求出端點(diǎn)函數(shù)值 f(a), f (b).3比擬極值和端點(diǎn)值，確定最大值或最小值重難點(diǎn)突破1. 重點(diǎn)：熟悉利用導(dǎo)數(shù)處理

3、單調(diào)性、極值與最值的一般思路，熟練掌握求常見函數(shù)的單調(diào)區(qū) 間和極值與最值的方法2. 難點(diǎn)：與參數(shù)相關(guān)單調(diào)性和極值最值問題3. 重難點(diǎn)：借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與不等式的綜合問題1在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)注意可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)可能是它的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。問題 1.設(shè) a 0 , f (x) x 1 In x 2alnx(x 0).令 F(x) xf (x)，討論 F (x)在(0,)內(nèi)的單調(diào)性并求極值；點(diǎn)撥：根據(jù)求導(dǎo)法那么有 f(X) 1 目蟲, X 0 ,X X2 x 2故 F(x) xf (x) x 2ln x 2a, x 0,于是 F (x)1, x 0,x xX(0,2)2(2,)F (X)

4、0F(x)減極小值F(2)增列表如下:函數(shù)，所以，在x 2處取得極小值故知F(x)在(0,2)內(nèi)是減函數(shù)，在(2, 內(nèi)是增F(2)2 2ln2 2a .2借助導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究不等關(guān)系關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù) 問題2.函數(shù)f(x)是(0,)上的可導(dǎo)函數(shù)，假設(shè) xf(x) f(x)在x 0時(shí)恒成立1求證：函數(shù)g(x) 衛(wèi)勾在(0,)上是增函數(shù)；x求證：當(dāng)X!0, x2 0時(shí)，有fX x2)f區(qū) x2).點(diǎn)撥：由xf (x)f (X)轉(zhuǎn)化為丄兇為增函數(shù)是解答此題關(guān)鍵類似由Xxf (x) f (x)0轉(zhuǎn)化為xf(x)為增函數(shù)等思考問題的方法是我們必須學(xué)會(huì)的f(X)+xf (x) f (x)，1由

5、 g(x)得 g (x)2，因?yàn)?xf (x) f (x),xx所以g (x) 0在x 0時(shí)恒成立，所以函數(shù) g(x)丄0 在(0,)上是增函數(shù).x2由1知函數(shù)g(x) f(x)在(0,)上是增函數(shù)，所以當(dāng) x, 0,x2 0時(shí),x有 f(X, X2)f(X,) f(X, X2) f(X2)成立x, X2X, ' X, x2x2X f(x, X2)X, x2從而 f (x,)X,一 f (x, x2), f (x2)X,x2兩式相加得 f (x, x2)f (x,)f (x2)熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)匸導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 題型h討論函數(shù)的單調(diào)性例吐廣東高考)設(shè)k R，函數(shù)f (X)F(x)

6、f (x) kx , x R，試討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性.【解題思路】先求導(dǎo)再解f '(x) 0和f '(x) 0【解析】F(x) f(x)kx-kx, xx 1,F'(x)x 1,(1 x)2 k,1x 1,對(duì)于F(x)kx(x1)，當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)F(x)在(當(dāng)k0時(shí),函數(shù)F(x)在(對(duì)于F(x)1 k(x2 ；x1當(dāng)k0時(shí),函數(shù)F(x)在當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)F(x)在1)，1,1)上是增函數(shù);,11-)上是減函數(shù)，在、k上是減函數(shù);【名師指引】解題規(guī)律技巧妙法總結(jié)1,112上是減函數(shù)，在4k(1:求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1) 求函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x)令f (x)

7、0解不等式，得k,x 1,1-，1)上是增函數(shù);k12 ,4k上是增函數(shù)。2令f (x)0解不等式，得x的范圍就是單調(diào)增區(qū)間x的范圍就是單調(diào)減區(qū)間3對(duì)照定義域得出結(jié)論誤區(qū)警示求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，容易無視定義域，如求函數(shù)yln(x 1) x2 x的單調(diào)增2區(qū)間，錯(cuò)誤率高，請(qǐng)你一試，該題正確答案為(1,0) 題型2.由單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍例2：假設(shè)f(x) ax3 x在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增，求 a的取值范圍【解題思路】解這類題時(shí)，通常令f'(x) 0(函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上遞增)或f'(x)獲解0(函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上遞減)，得出恒成立的條件，再利用處理不等式恒成立的

8、方法解析:2v f (x) 3ax1又f (x)在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增2f (x)3ax 10在1,1上恒成立 即a厶在xt 1,1的最大值為-3x311a 故a的取值范圍為,33【名師指引】：此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)值的關(guān)系，要特別注意導(dǎo)數(shù)值等于零的用法.【新題導(dǎo)練】1.假設(shè)函數(shù)f(x)=x3 ax2+i在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù) a的取值范圍是A.a> 3B.a=2C.aw 3D.0<a<3分析：此題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.利用函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的圖象確定參數(shù)的范圍2 2解析：f' (x)=3x2 2ax=3x(x 3 a)，由 f(x)在(0,

9、2)內(nèi)單調(diào)遞減，得 3x(x 3 a)< 0,2即3 a?2, a a> 3.答案：A2.函數(shù)y=x3+x的單調(diào)增區(qū)間為A.( 8，+rn)B.(0,+8)C.(8 ,0)D.不存在解析：T y' =3x2+l>0恒成立，a y=x3+x在(一a ,+s)上為增函數(shù)，沒有減區(qū)間. 答案：Aa3.函數(shù) f(x) In x,g(x) -(a 0),設(shè) F(x) f (x) g(x). xI求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；n丨假設(shè)以函數(shù) yF(x)(x (0,3)圖像上任意一點(diǎn)P(x°, y°)為切點(diǎn)的切線的斜率1k恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；解析：IF x f

10、 x g x ln xt a 0，由 F ' x 0 x a,a1a x ax0 , F' x22 x 0xxxx, -F x 在 a,上單調(diào)遞增。0,a , a f x在0,a上單調(diào)遞減。a,IIF' xx a0 x3 ,2 xk F' X。x°a2丄0X03恒成立aX°2當(dāng)X°1時(shí)，1 2X0X0取得最大值1。2211 a, aamin22A F x的單調(diào)遞減區(qū)間為0,a，單調(diào)遞增區(qū)間為考點(diǎn)2:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最大(小)值. 題型1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最大(小)值1 2X0X02max1例1.假設(shè)函數(shù)f(x) mcosxs

11、in2x在x處取得極值,那么m24【解題思路】假設(shè)在x0附近的左側(cè)f (x) 0，右側(cè)f (x) 0,且f (xo) 0 ,那么f (x0)是f (x)的極大值；假設(shè)在Xo附近的左側(cè)f'(x) 0,右側(cè)f'(x) 0,且f'(Xo) 0,那么f(Xo)是f (x)的極小值.解析因?yàn)閒 (x)可導(dǎo)，且f (x) msin x cos2x,所以f (匚)msin cos? 0 ,解得1m 0 .經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)m 0時(shí)，函數(shù)f (x) sin2x在x處取得極大值.24【名師指引】假設(shè)f (x)是可導(dǎo)函數(shù)，注意f(X。) 0是X。為函數(shù)f (x)極值點(diǎn)的必要條件.要確定極值點(diǎn)還需在

12、x0左右判斷單調(diào)性.例2.2021 深圳南中設(shè)函數(shù) f(x) x(x a)2 X R，其中a 0 ,求函數(shù)f(x)的令f (x) 0，解得x -或x a .3極大值和極小值.【解題思路】先求駐點(diǎn)，再列表判斷極值求出極值。解析：.f (X)x(x a)23 X2ax22a x,f (X)3x24ax a2(3xa)(xa).由于a 0,當(dāng)x變化時(shí)，f (x)的正負(fù)如下表:X(,3)a3e,a)a(a,)f (X)00aaa4因此，函數(shù)f(x)在X 處取得極小值f()，且f()a3 ；33327函數(shù)f (x)在x a處取得極大值f (a)，且f (a)0 .【名師指引】求極值問題嚴(yán)格按解題步驟進(jìn)行

13、。例3.函數(shù)f (x) xln x .I求f (x)的最小值；n假設(shè)對(duì)所有 x 1都有f (x) ax 1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(小)值時(shí),該值【解題思路】先求極值再求端點(diǎn)值，比擬求出最大(小)值.當(dāng)區(qū)間只有一個(gè)極大就是最大(小)值解析：f(x)的定義域?yàn)?0, + ), 1分f (x)的導(dǎo)數(shù) f (x)1 Inx. 3 分令f (x)0 ,解得x 1 ;令 f (x)0 ,解得 0 x 1.ee從而f (x)在10,_e1單調(diào)遞減，在-，e+單調(diào)遞增5分所以，當(dāng)x1時(shí),ef (x)取得最小值1e 6 分n解法一：令 g(x) f (x) (ax 1)，貝Ug (x) f (x) a 1 a

14、In X, 8 分 假設(shè) a 1，當(dāng) x 1 時(shí)，g (x)1 a In x 1 a 0,故g(x)在(1, + )上為增函數(shù)，所以，x 1 時(shí)，g(x) g(1)1 a 0,即 f (x) ax 1 10分 假設(shè)a 1，方程g (x)0的根為x0 ea 1，此時(shí)，假設(shè)x (1, X0)，那么g (x)0，故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù).所以 x (1, X。)時(shí)，g(x) g(1) 1 a 0,即f(x) ax 1，與題設(shè)f (x) ax 1相矛盾 13分綜上，滿足條件的a的取值范圍是(，1. 14分解法二：依題意，得f (x) ax 1在1,)上恒成立，1即不等式a Inx 對(duì)于x 1,)恒成

15、立 8分x人11111八令 g(x) In x , 那么 g (x)21. 10 分xx x x x11當(dāng)x 1時(shí)，因?yàn)間 (x)10 ,xx故g(x)是(1,)上的增函數(shù)， 所以g(x)的最小值是g(1) 1 , 13分所以a的取值范圍是(,1. 14分【名師指引】求函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上的最大值或最小值的步驟：求f (x)在a, b 內(nèi)的極大小值，將極大小值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比擬，其中較大者的一個(gè)是最 大者，較小的一個(gè)是最小者.題型2.函數(shù)的極值和最大(小)值，求參數(shù)的值或取值范圍。例3 .函數(shù)f xx3 ax2 bx c圖像上的點(diǎn)P 1, 2處的切線方程為y 3x 1 .1假設(shè)

16、函數(shù)f x在x2時(shí)有極值，求f x的表達(dá)式2函數(shù)f x在區(qū)間 2,0上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) b的取值范圍【解題思路】求函數(shù)的解析式一般用待定系法法，求參數(shù)的取值范圍一般需建立關(guān)于參數(shù) 的不等式組'n解析：f x 3x 2ax b,2分因?yàn)楹瘮?shù)f x在x 1處的切線斜率為-3 ,所以 f 13 2a b 3，即 2a b 0,又 fl 1 a b c 2 得 a b c 1。4分1函數(shù)f x在x2時(shí)有極值，所以f' 212 4a b 0 , 5分解得 a 2,b4,c3, 7分32所以 f x x 2x 4x 3. 8分2因?yàn)楹瘮?shù)f x在區(qū)間 2,0上單調(diào)遞增，所以導(dǎo)函數(shù) f'

17、; x 3x2 bx b在區(qū)間 2,0上的值恒大于或等于零， 10分£ I QA QK 門那么,得b 4，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為 4,14 分f ' 0 b 0,【名師指引】f (x)在x x0處有極值，等價(jià)于f '(x)0?！拘骂}導(dǎo)練】3 A.B.1C.1-D.1或322222解析：選B151且在x a時(shí)，丁 y (x1)24在a,2上的最大值為,4ay最大a2a315，解之a(chǎn)-或a舍去，1 a選B.42222|54. y x 2x 3在區(qū)間a,2上的最大值為，那么a =42在區(qū)間1,1上的最大值是5. f(x) x33x2A.2B. 0C. 2D.解析f(X)3x

18、26x 3x(x2)，令f(X)0可得x0或2 2舍去，當(dāng)1 x 0時(shí),f (x) 0,當(dāng) 0 x6.函數(shù) f (x)1時(shí)，f (x) 0，所以當(dāng)x 0時(shí)，fx取得最大值為2選Cax3 cx d(a 0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng) x 1時(shí)f (x)取得極值 2 .1求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值;2證明對(duì)任意x1,x2 ( 1,1),不等式I f(xj f (x2) | 4恒成立.解析1由奇函數(shù)定義，有f( x) f (x),x R.即ax3 ex d ax3 cx d, d 0.因此，f(x) ax3 ex, f '(x) 3ax2 c. 由條件f(1)2為f(x)的極值，必有f'(1)0,a e 2故，解得a 1,e3.3a e 0因此 f(x)x3 3x, f '(x)3x2 3 3(x 1)(x 1), f '( 1) f '(1) 0.當(dāng)x (, 1)時(shí)，f'(x) 0,故f (x)在單調(diào)區(qū)間(，1)