中國人民大學(xué)出版社(第四版)高等數(shù)學(xué)一第7章課后習(xí)題詳解

1、第七章空間解析幾何與向量代數(shù)第七章空間解析幾何與向量代數(shù)內(nèi)容概要內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容（7-1，7-2，7-3）向量及線性運(yùn)算向量的加減法三角形法則平行四邊形法則向量與數(shù)的乘法a：當(dāng)0時(shí)，a表示和a同向，aa的向量；當(dāng)0，a表示和a反向，aa的向量；主要性質(zhì)：（1）a單位化向量為aa，（2）baa/b向量的坐標(biāo)),(),(22221111zyxMzyxM的距離：212212212)()()(zzyyxx向量的代數(shù)運(yùn)算kjiazyxaaakjibzyxbbbkjiba)()()(zzyyxxbababakjiazyxaaa向量a的模、方向余弦：222zyxaaaa，aaazxxabacos,cos

2、,cos向量a在軸上的投影：aaaa),cos(Pr j數(shù)量積向量積混合積數(shù)量積定義及運(yùn)算：zzyyxxbababa),cos(bababa主要性質(zhì)： （1）2aaa； （2）0baba， （3）bababa),cos(向量積定義運(yùn)算ba的模為),sin(bababa，方向?yàn)閍指向b大拇指方向zyxzyxbbbaaakjiba性質(zhì)：（1）ba表示以a、b為鄰邊的平行四邊形面積；（2）bbaaba , 混合積定義及運(yùn)算：zyxzyxzyxcccbbbaaacba)(性質(zhì)：（1）bacacbcba)()()(（2）cba,共面的充要條件：0)(cba習(xí)題習(xí)題 7-17-11填空：（1）要使baba

3、成立，向量ba , 應(yīng)滿足ba （2）要使baba成立，向量ba , 應(yīng)滿足 /ba，且同向2設(shè)cbavcbau3 , 2，試用cba , , 表示向量vu32 知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算解解：cbacbacbavu7115393422323設(shè)Q , P兩點(diǎn)的向徑分別為21 , rr，點(diǎn)R在線段PQ上，且nmRQPR，證明點(diǎn)R的向徑為nmmnrrr12 知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算證明證明：在OPQ中，根據(jù)三角形法則PQOPOQ，又)(21rr nmmPQnmmPR，nmmnnmmPROPOR22rrrrr111)(4已知菱形ABCD的對角線baACBD , ，試用向量ba , 表示DACD

4、BCAB , , , 。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算解解：根據(jù)三角形法則，baBDAD , ABACBCAB，又ABCD為菱形，BCAD （自由向量），222ABACBDABCDDCAB abbaab2ba BCAD，2DA ab5把ABC的BC邊五等分，設(shè)分點(diǎn)依次為4321 , , , DDDD，再把各分點(diǎn)與點(diǎn)A連接，試以acBCAB , 表示向量 , , 321ADADAD和AD4。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算解解：見圖 7-1-5，ABC1D2D3D4Dca圖 7-1-5根據(jù)三角形法則，)51(51 ,11111ac ADADBCBDADBDAB同理：)54( ),53( ),52(43

5、2acacacADADAD習(xí)題習(xí)題 7-27-21 在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？(2 ,2 , 3)A；5) , 3 , 3(B；)4 , 2 , 3(C；2) , 3 , 4(D答答：(2 ,2 , 3)A在 第 四 卦 限 ，5) , 3 , 3(B在第五卦限，)4 , 2 , 3(C在第八卦限，2) , 3 , 4(D在第三卦限2在坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特征？并指出下列各點(diǎn)的位置：ABCD(2,3,0); (0,3,2); (2,0,0); (0, 2,0)知識點(diǎn)知識點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)答答：在各坐標(biāo)面上點(diǎn)的坐標(biāo)有一個(gè)分量為零，坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)有兩個(gè)分量為零，點(diǎn)

6、A在 xoy 坐標(biāo)面上；B在 yoz 坐標(biāo)面上；C在 x 軸上；D在 y 軸上。3求點(diǎn)a b c( , , )關(guān)于（1）各坐標(biāo)面；（2）各坐標(biāo)軸；（3）坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)。答答：（1）a b c( , , )關(guān)于 xoy 面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為),(cba；關(guān)于 xoz 面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為),(cba ；關(guān)于 yoz 面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為),(cba。（2）a b c( , , )關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為),(cba；關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為),(cba；關(guān)于 z 軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為),(cba （3）a b c( , , )關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為),(cba4過點(diǎn)P xyz0000(

7、,)分別作平行于 z 軸的直線和平行于 xoy 坐標(biāo)面的平面，問在它們上面的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特點(diǎn)？答答：過點(diǎn)P xyz0000(,)平行于 z 軸的直線上的點(diǎn) x、y 坐標(biāo)一定為00, yx，因此坐標(biāo)為xyz00(, )；過點(diǎn)P xyz0000(,)平行于 xoy 坐標(biāo)面的平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)一定為0z，因此坐標(biāo)為x y z0( , ,)5求點(diǎn)M(5, 3,4)到各坐標(biāo)軸的距離。解解：),(zyxM到 x 軸的距離為22yz M(5, 3,4)到 x 軸的距離為516922 yz；同理M(5, 3,4)到 y 軸的距離為41162522 zx；M(5, 3,4)到 z 軸的距離為3492522

8、yx6在 yoz 面上，求與三點(diǎn)ABC(3,1,2), (4, 2, 2), (0,5,1)等距離的點(diǎn)。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：空間兩點(diǎn)的距離解解：所求點(diǎn)在 yoz 面上，設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為), 0(zy，由條件可知：222222) 1()5()2()2(16)2() 1(9zyzyzy2164543zyzyzy，所求點(diǎn)為)2, 1 , 0(7已知兩點(diǎn)MM12(0,1,2),(1, 1,0)，試用坐標(biāo)表示式表示向量M MM M1212, 2。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：空間兩點(diǎn)的距離、向量的坐標(biāo)表示及代數(shù)運(yùn)算解解：2 , 2, 121MM；4 , 4 , 22 , 2, 12221MM8求平行于向量a6,7, 6的單位

9、向量知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示及代數(shù)運(yùn)算解解：平行于向量a6,7, 6的單位向量有和a同向和反向兩個(gè)，116 ,117 ,1166, 7 , 63649361aaa09已知兩點(diǎn)MM12(4, 2,1),(3,0,2)，計(jì)算向量M M12的模、方向余弦、方向角。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示及代數(shù)運(yùn)算解解：根據(jù)向量模、方向余弦、方向角的計(jì)算公式可得：22cos,21cos , 21211 , 2 , 12121MMMM21cos3 , 43 , 3210已知向量a的模為 3，且其方向角60 ,45，求向量a。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示及相關(guān)概念解解：根據(jù)向量、向量的模、方向余弦之間的關(guān)系可得：

10、23,223,233cos,4cos,3cos3cos,cos,cosaa11設(shè)向量a的方向余弦分別滿足(1)cos0,(2)cos1,(3)coscos0問這些向量和坐標(biāo)軸或坐標(biāo)面的關(guān)系如何？知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量的方向余弦解解：（1）0cos表示向量和 x 軸正向夾角為2，因此該向量和 x 軸垂直，或平行于 yoz 面（2）1cos表示向量和 y 軸正向夾角為零，因此該向量和 y 軸平行且方向相同（3）0coscos表示向量和 x、y 軸正向夾角都為2，說明該向量和 x、y 軸都垂直，因此平行于 z 軸12已知rr4,與軸的夾角是60，求jrPr。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量在軸上的投影解解：根據(jù)投影公

11、式2),cos(Prrrrj13一向量的終點(diǎn)為B(2, 1,7)，它在 x 軸、y 軸和 z 軸上的投影依次為4, 4,7，求該向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo)。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量在坐標(biāo)軸上的投影解解：向量的坐標(biāo)分量即為它在 x 軸、y 軸和 z 軸上的投影，設(shè)起點(diǎn)A為),(zyxA，則：)0 3, , 2(),(7 , 4 , 47 ,1 ,2zyxzyxAB14求與向量a16, 15,12平行，方向相反，且長度為 75 的向量b。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示及代數(shù)運(yùn)算解解：由條件可得：ba，b長度為 75，375121516222b和a反向，3 b 48,45, 36a =，習(xí)題習(xí)題 7-37-31設(shè)5

12、 , 3ba，且兩向量的夾角3/，試求)23()2(baba。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量的數(shù)量積及其運(yùn)算規(guī)律解解：根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：224623)23()2(babbaababa22443bbaa，103)23()2(215)cos(bababababa2已知(3,1,3) 3,3,1),( ),2 , 1, 1 (321MMM，求同時(shí)與3221 , MMMM垂直的單位向量知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量的向量積解解：由向量積性質(zhì)：bbaaba ,，2 , 2, 0 , 12,4,3221MMMMkjikji446220142 3221MMMM為同時(shí)與3221 , MMMM垂直的向量所求單位向量為172 , 1

13、72,1732 , 2, 322312223設(shè)力kjif532作用在一質(zhì)點(diǎn)上，質(zhì)點(diǎn)由1,1,2)(1M沿直線移動到3,4,5)(2M，求此力所做的功（設(shè)力的單位為 N，位移的單位為 m）知識點(diǎn)知識點(diǎn)：數(shù)量積的物理意義解解：數(shù)量積的物理應(yīng)用之一：力沿直線作功。位移為3,3,221MM，)(10)332()532(21mNMMkjikjifW4求向量3,4)4, a在向量2,2,1b上的投影。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量在軸上的投影解解：根據(jù)公式2),cos(Prbbababaabaaabj。5設(shè)2,1,4 , 23,5,ba，問與有怎樣的關(guān)系能使ba與 z 軸垂直？知識點(diǎn)知識點(diǎn)：兩向量垂直的充要條件解解：

14、根據(jù)兩向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為零，取 z 軸的單位向量) 1 , 0 , 0，則() 0,0,12402 ab6 在杠桿上支點(diǎn)O的一側(cè)與點(diǎn)O的距離為1x的點(diǎn)1P處， 有一與1OP成角1的力1F作用著， 在O的另一側(cè)與點(diǎn)O的距離為2x的點(diǎn)2P處，有一與2OP成角2的力2F作用著，如圖，問1，2，1x，2x，1F，2F符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡？2F1F1x2x12o圖 7-3-6知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量積的物理應(yīng)用解解：1P處1F作用產(chǎn)生的力矩11FM1OP，2P處2F作用產(chǎn)生的力矩22FM2OP，要使杠桿平衡，只要21MM2211sinsin21FFxx7設(shè)jickjibkjia2

15、 , 3 , 32，求（1）bcacba)( )；（2）)()(cbba；（3）cba )(知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示解解（1）24 , 8 , 088)(bcbcacba)（2）kjkjicbba3324433 , 3, 24 , 4, 3)()(（3）20 , 2, 11 , 5 , 8)311132()(ckjicba8直線L通過點(diǎn)2,1,3)(A和,2)1, 0( B求點(diǎn)10,5,10)(C到直線L的距離。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量積思路思路：在CBA,為頂點(diǎn)組成的三角形中，AB邊上的高即為所求距離。解解：設(shè)所求的距離值為h，3AB，又根據(jù)向量積的性質(zhì)：12SABACABC 210321

16、212303226107412122hhACABSACABACABABCkjikji9試證向量baabba表示向量a與b夾角的平分角線向量的方向。思路思路：按題意，只要證該向量在a方向上的投影和它在b方向上的投影相同。解解：設(shè)baabbac，,)()(Prbaabbaabbaaababaaaabacacaj而cbaabbaabbabbbabababbbcbcabjjPr)()(Pr又)( , )1 (babbabaabbackkkc和a、b在同一平面上，c表示向量a與b夾角的平分角線向量的方向10設(shè)ban , bamk2，其中2 , 1ba，且ba 。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量的數(shù)量積、向量積及其性質(zhì)

17、（1）k為何值時(shí)，nm ？解解：0nmnm，由04)2(2)()2(0baba banmkkkba ，0ba2 k（2）k為何值時(shí)，m與n為鄰邊的平行四邊形面積為 6。解解：m與n為鄰邊的平行四邊形面積baba banm)2()()2(kkSba ，2baba1622kkS或5k11設(shè)cba,均為非零向量，其中任意兩個(gè)向量不共線，但ba 與c共線，bc 與a共線，試證0cba。證明證明：ba 與c共線，bc 與a共線，可設(shè))0, 0( , ,)(2121a bccba代入可推得ba)1 ()(112，又其中任意兩個(gè)向量不共線， 則由ba,不共線且為非零向量，可得：101121120cba12試

18、證向量kjickjibkjia6123 , 432 , 23在同一平面上，并沿a和b分解c。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量的混合積及其幾何意義解解：根據(jù)向量混合積的幾何意義：cba,共面0)(cba，又015203306123432231)(cba，cba,共面設(shè)c=ba21，將cba,代入 642 ,12)(3 , 32212112bac5 1 , 52113設(shè)點(diǎn)CBA,的向徑分別為kjirkjirkjir3219104 , 573 , 42，試證：CBA,三點(diǎn)在一直線上。思路思路：只要證：向量AB和AC平行證明證明：3,7,5 2,4,11,3,4ABOBOA ；4,10,9 2,4,12,6,8AC

19、OCOA 2/ /ACABABAC 14已知, , , , ,321321321cccbbbaaacba，試?yán)眯辛惺降男再|(zhì)證明：bacacbcba)()()(證明證明：321321321)(cccbbbaaacba，321321321)(aaacccbbbacb，而行列式321321321aaacccbbb是行列式321321321cccbbbaaa交換兩次兩行得到，acbcba)()(。同理可證：bacacb)()(，bacacbcba)()()(15試用向量證明不等式：332211232221232221babababbbaaa。思路思路：232221aaa可看作向量,321aaaa的模

20、；232221bbb是向量,321bbbb的模，而332211bababa是ba的值。證明證明：設(shè),321aaaa，,321bbbb，則232221232221,bbbaaababababababa)cos(即：332211232221232221babababbbaaa內(nèi)容概要內(nèi)容概要主要內(nèi)容（7-4，7-5，7-8）曲面及其方程旋轉(zhuǎn)曲面xoy 面上曲線0),(yxf繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程：0,(22zyxfyoz 面上曲線0),(zyf繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程：0),(22zyxfxoz 面上曲線0),(zxf繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程：0),(22zyxf常見旋轉(zhuǎn)曲面（1）圓

21、錐面：)(2222yxaz（yoz 面上曲線yz 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)而成）（2）旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面：122222czayx（zox 面上的曲線12222czax繞 z軸旋轉(zhuǎn)而成）柱面0),(yxf表示準(zhǔn)線為：00),(zyxf母線平行于 z 軸的柱面0),(zyf表示準(zhǔn)線為：00),(xzyf母線平行于 x 軸的柱面0),(zxf表示準(zhǔn)線為：00),(yzxf母線平行于 y 軸的柱面柱面方程特點(diǎn)：缺少某個(gè)變量常見柱面（1）拋物柱面：baxy2表示母線平行于 z 軸的拋物柱面（2）橢圓柱面：12222bzax表示母線平行于 y 軸的橢圓柱面（3）雙曲柱面：12222bzay表示母線平行于 x 軸的雙曲柱

22、面二次曲面橢球面、拋物面、雙曲面空間曲線L的一般方程L的參數(shù)方程0),(0),(zyxGzyxF)( , )( , )(tztytx及其方程L在坐標(biāo)面上的投影消去L方程中的變量 z 得到的0),(yxH即為L在 xoy 面上的投影柱面，00),(zyxH就是L在 xoy 面上的投影曲線（以此類推）習(xí)題習(xí)題 7-47-41求以點(diǎn))2 , 2, 1 ( O為球心，且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：空間兩點(diǎn)的距離解解：設(shè)球面上點(diǎn)的坐標(biāo)為),(zyx，則根據(jù)兩點(diǎn)距離公式：2222)2()2() 1(Rzyx，原點(diǎn)在球面上， , 32)2(1222R球面方程：9)2()2() 1(222zyx。2

23、一動點(diǎn)與兩定點(diǎn)（2，3，1）和（4，5，6）等距離，求該動點(diǎn)的軌跡方程。解解：設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為（zyx,），則根據(jù)等距離的條件：222222)6()5()4() 1()3()2(zyxzyx動點(diǎn)的軌跡方程為：0631044zyx3方程07442222zyxzyx表示什么曲面？解解：方程可化為：16)2()2() 1(222zyx該方程表達(dá)的是以)2 , 2, 1 ( 為球心、半徑為 4 的球面。4將 xoz 坐標(biāo)面上的拋物線xz52繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)曲面解解：xoz 坐標(biāo)面上的拋物線xz52是繞 x 軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)曲面方程為xzyxzy55)(222225

24、將 xoz 坐標(biāo)面上的拋物線922 zx繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。解解：xoz 坐標(biāo)面上的拋物線922 zx是繞 z 軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)曲面方程為99)(2222222zyxzyx。6指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？（1）0 x；（2）1 xy；（3）422 yx；（4）122 yx答答：（1）0 x在平面解析幾何中表示 y 軸，在空間解析幾何中表示 yoz 坐標(biāo)面（2）1 xy在平面解析幾何中表示一條直線，在空間解析幾何中表示平行于 z 軸，在 xoy 坐標(biāo)面上投影為1 xy的一個(gè)平面。（3）422 yx在平面解析幾何中表示 xoy 面上，原點(diǎn)為心、半

25、徑為 2 的圓線，在空間解析幾何中表示準(zhǔn)線為 xoy 面上的圓線422 yx，母線平行于 z 軸的圓柱面。（4）122 yx在平面解析幾何中表示 xoy 面上的雙曲線，在空間解析幾何中表示準(zhǔn)線為 xoy 面上的雙曲線122 yx，母線平行于 z 軸的雙曲柱面。7說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的：（1）1994222zyx；（2）14222zyx；（3）1222zyx。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)曲面解解：方程1994222zyx可變化為19)(42222zyx，方程表達(dá)的是：xoy 坐標(biāo)面上的曲線19422yx繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面注注：方程1994222zyx也可看作是：xoz 坐標(biāo)面上的曲線1

26、9422zx繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面8指出下列各方程表示哪種曲面：（1）0222zyx；（2）022 yx；（3）022 yx（4）03 zy；（5）0342yy；（6）116922yx（7）1922yx；（8）yx42；（9）0222yxz答答：（1）方程表達(dá)開口向著 z 軸正向的圓拋物面（或旋轉(zhuǎn)拋物面）（2）220 xyyx 或yx，表達(dá)兩個(gè)垂直于 xoy 面的平面：yx ；yx（3）2200,0 xyxy表示 z 軸（4）平行于 x 軸且經(jīng)過 yoz 面上的直線03 zy的平面（5）3y和1y這兩個(gè)平行于 xoz 坐標(biāo)面的平面（6）準(zhǔn)線為 xoy 坐標(biāo)面上的橢圓116922yx，

27、母線平行于 z 軸的橢圓柱面xyz7-5-1-（2）0229zxyxy（7）準(zhǔn)線為 xoy 坐標(biāo)面上的雙曲線1922yx，母線平行于 z 軸的雙曲柱面（8）準(zhǔn)線為 xoy 坐標(biāo)面上的拋物線yx42，母線平行于 z 軸的拋物柱面（9）yoz 坐標(biāo)面上的直線zy 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐面習(xí)題習(xí)題 7-57-51畫出下列曲線在第一象限內(nèi)的圖形：（1）42yx；（2）0922yxyxz；（3）222222azxayx解解（1）24xyz7-5-1-（1）（2）（3）0 xyzx7-5-1-（3）2方程組5225xyxy在平面幾何與空間解析幾何中各表示什么？答答：方程組5225xyxy在平面幾何中

28、表示兩條直線的交點(diǎn)，在空間解析幾何中表示垂直于 xoy 坐標(biāo)面的兩平面的交線。3方程組219422xyx在平面幾何與空間解析幾何中各表示什么？答答：方程組219422xyx在平面幾何中表示一個(gè)點(diǎn)（2，0），在空間解析幾何中表示橢圓柱面19422yx和平面2x的交線：02yx。4求曲面zyx10922與 yoz 平面的交線。解解：yoz 平面方程為0 x，交線為22291091000 xyzyzxx5分別求母線平行于 x 軸及 y 軸而且通過曲線0162222222yzxzyx的柱面方程。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：曲線在坐標(biāo)面上的投影柱面及投影曲線解解：要求過曲線0162222222yzxzyx且母線平行于

29、 x 軸的柱面方程，只要方程組消去變量 x所求柱面方程為16322 zy要求過曲線0162222222yzxzyx且母線平行于 y 軸的柱面方程，只要方程組消去變量 y所求柱面方程為223216xz6求曲線91222zyxzx在 xoy 面上的投影方程。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：曲線在坐標(biāo)面上的投影柱面及投影曲線解解：要求曲線91222zyxzx在 xoy 面上的投影方程，只需方程組消去變量 z所求柱面方程為：8229)1 (22222xyxxyx7求曲線033230122zxyzzxzy在 xoz 面上的投影方程。解解：要求曲線033230122zxyzzxzy在 xoz 面上的投影方程，只需方程組消去

30、變量 y所求投影方程為：2242300 xzxy8將曲線xyzyx9222化為參數(shù)方程。思路思路：若將xy 代入9222zyx，可得9222 zx，因此可通過橢圓方程的參數(shù)式求出曲線的參數(shù)式。解解：將xy 代入9222zyx，可得9222 zx，該方程可用參數(shù)式表達(dá)為：sin3cos223zx，曲線xyzyx9222的參數(shù)式為sin3cos223cos223zyx9將曲線的一般方程04) 1() 1(222zzyx化為參數(shù)方程。解解：將0z代入4) 1() 1(222zyx，可得：3) 1(22yx，該圓方程的參數(shù)式為：sin3cos31yx，曲線04) 1() 1(222zzyx的參數(shù)方程為

31、：0sin3cos31zyx。10指出下列各方程組表示什么曲線：（1）0302yx（2）0220222zzyx（3）13694222yzyx（4）24422yzyx（5）88422zzyx答答：（1）兩平面的交線，該直線平行于 z 軸（2）表示球面22220 xyz與平行于 xoy 面的平面2z 的交線，為一在2z 平面上的圓線：22162xyz（3）表示單葉雙曲面2224936xyz和1y 平面的交線，為一在1y 平面上的橢圓線：229401xzy（4）表示雙曲拋物面（即馬鞍面）2244xyz與2y 平面的交線，為一在2y 平面上的拋物線：21642xzy （5）表示雙曲拋物面（即馬鞍面）2

32、248xyz與8z 平面的交線，為一在8z 平面上的雙曲線：224648xyz11求旋轉(zhuǎn)拋物面)40(22zyxz在三坐標(biāo)面上的投影。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：曲面的投影和空間區(qū)域的投影解解：見圖 7-5-11，xyzoxyzo圖 7-5-11（1）由于旋轉(zhuǎn)拋物面)40(22zyxz投影到 xoy 面上時(shí)，它的邊界線是422zyxz，在 xoy 面上的投影為：0422zyx；（2）由于旋轉(zhuǎn)拋物面)40(22zyxz投影到 yoz 面上時(shí)，它的邊界線是：0)40( ,22xzyxz在 yoz 面上的投影為：042xzy（3）同理，旋轉(zhuǎn)拋物面)40(22zyxz在 xoz 面上的投影為：042yzx12假定直

33、線L在 yoz 平面上的投影方程為0132xzy，而在 zox 平面上的投影方程為02yzx，求直線L在 xoy 面上的投影方程。解解：直線L在 yoz 平面上的投影方程為0132xzy，直線L一定在投影柱面132 zy上，同理，直線L也一定在投影柱面2 zx上，直線L方程為2132zxzy，消去 z 得到直線L在xoy 面上的投影方程：0723zyx內(nèi)容概要內(nèi)容概要主要內(nèi)容（7-6，7-7）空間平面及其方程平面的點(diǎn)法式方程過),(0000zyxM，法矢為,CBAn的平面方程：0)()()(000zzCyyBxxA平面的一般方程0DCzByAx平面的截距式方程1czbyax點(diǎn)),(0000zy

34、xM到平面0DCzByAx的距離：222000CBADCzByAxd兩平面的夾角：212121212121cosCBACCBBAA（1：01111DzCyBxA，2：02222DzCyBxA）空間直線及其方程對稱式方程過),(0000zyxM，方向矢為,pnms的直線方程：pzznyymxx000對稱式方程和一般方程的關(guān)系：222111CBACBAkjis 一般方程0022221111DzCyBxADzCyBxA參數(shù)方程000 , , zptzyntyxmtx兩直線的夾角：222222212121212121cospnmpnmppnnmm2121ssss（1L的方向矢,111pnm1s，2L的

35、方向矢,222pnm2s）直線和平面的夾角：222222sinCBApnmpCnBmAsnsn（直線L：pzznyymxx000，L的方向矢為,pnms；平面：0DCzByAx），的法矢為,CBAn平面束方程（L為一般方程式）：0)(22221111DzCyBxADzCyBxA習(xí)題習(xí)題 7-67-61 求通過點(diǎn))3, 4 , 2(且與平面5532zyx平行的平面方程。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：平面及其方程思路思路：已知平面上的一點(diǎn)和平面的法矢，可求出平面方程解解：所求平面與已知平面5532zyx平行，的法矢5, 3 , 2n，由平面的點(diǎn)法式方程可得：315320)3(5)4(3)2(2zyxzyx2求過點(diǎn)

36、0(2,9, 6)M且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)0M的線段0OM垂直的平面方程。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：平面及其方程解解：所求平面與0OM垂直，的法矢02,9, 6nOM，又過點(diǎn)0(2,9, 6)M，：2(2)9(9)6(6)0296121xyzxyz3求過點(diǎn))3 , 0 , 2( , )3 , 2 , 3( , )2 , 1 , 1 (321MMM三點(diǎn)的平面方程。思路：根據(jù)條件，平面過已知點(diǎn)，若能求出平面的法矢就可得平面方程。解：所求平面 EMBED Equation.3過三點(diǎn) EMBED Equation.3，平面 EMBED Equation.3的法矢EMBED Equation.3應(yīng)滿足：EMBED E

37、quation.3， EMBED Equation.3；可選擇 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3： EMBED Equation.3注：三點(diǎn) EMBED Equation.3組成的任意兩個(gè)向量的向量積都可作為平面 EMBED Equation.3的法矢EMBED Equation.34平面過原點(diǎn) EMBED Equation.3，且垂直于平面 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3求此平面方程。思路：根據(jù)條件，已知平面過原點(diǎn)，若能求出平面的法矢就可得平面方程。解：設(shè)所求平面 EMBED Equation.3和已知平面 EMBED

38、 Equation.3、 EMBED Equation.3的法矢分別為 EMBED Equation.3、 EMBED Equation.3、 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3EMBED Equation.3，EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBEDEquation.3， EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3， EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3可選擇 EMBED Equa

39、tion.3的法矢 EMBED Equation.3EMBED Equation.3， EMBED Equation.3：EMBED Equation.35指出下列各平面的特殊位置：（1） EMBED Equation.3；（2） EMBED Equation.3；（3） EMBED Equation.3；（4）EMBED Equation.3；（5） EMBED Equation.3； （6） EMBED Equation.3；（7） EMBED Equation.3。答：（1）該平面平行于 yoz 面；（2）該平面平行于 xoz 面；（3）該平面平行于 z 軸；（4）該平面平行于 z 軸且

40、過原點(diǎn)，即過 z 軸； （5）該平面平行于 x 軸； （6）該平面平行于 y 軸且過原點(diǎn)，即過 y 軸（7）該平面過原點(diǎn)6求平面 EMBED Equation.3和各坐標(biāo)軸的夾角余弦知識點(diǎn)：平面及向量的方向余弦解：平面 EMBED Equation.3的法矢 EMBED Equation.3，和 x、y、z 軸的夾角余弦分別為：EMBED Equation.37已知 EMBED Equation.3和 EMBED Equation.3，求平行于 EMBED Equation.3所在的平面且與它的距離等于 2 的平面方程。思路：可先借鑒本單元的習(xí)題 3，求出過 EMBED Equation.3的

41、平面的法矢，也是所求平面的法矢。解：設(shè)所求平面 EMBED Equation.3的法矢為 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3設(shè) EMBED Equation.3的平面一般方程為： EMBED Equation.3，有條件 EMBED Equation.3所在的平面與 EMBED Equation.3的距離等于 2點(diǎn) EMBED Equation.3到平面的距離 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3的方程為： EMBED Equation.3或EMBED Equation.38確定 EMBED Equation.3的值，使平面 EM

42、BED Equation.3適合下列條件之一：（1）經(jīng)過點(diǎn) EMBED Equation.3；（2）與 EMBED Equation.3垂直；（3）與 EMBED Equation.3平行；（4）與 EMBED Equation.3成 EMBED Equation.3角； （5）與原點(diǎn)的距離等于 3；（6）在 y 軸上的截距為 EMBED Equation.3。解：（1） 平面 EMBED Equation.3經(jīng)過點(diǎn) EMBED Equation.3， 點(diǎn)代入平面方程可得：EMBED Equation.3（2）平面 EMBED Equation.3與平面 EMBED Equation.3垂直，

43、兩平面的法矢 EMBED Equation.3垂直， EMBED Equation.3（3）平面 EMBED Equation.3與平面 EMBED Equation.3平行，兩平面的法矢 EMBED Equation.3平行 EMBED Equation.3（4）平面 EMBED Equation.3與平面 EMBED Equation.3成 EMBED Equation.3角，兩平面的法矢EMBED Equation.3夾角為 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3（5）平面 EMBED Equation.3與原點(diǎn)的距離等于 3， EMBED Equation.

44、3（6）平面 EMBED Equation.3在 y 軸上的截距為 EMBED Equation.3，根據(jù)平面的截距式方程： EMBEDEquation.3EMBED Equation.39求點(diǎn) EMBED Equation.3到平面 EMBED Equation.3的距離。解：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式： EMBED Equation.310求平行于平面 EMBED Equation.3且與球面 EMBED Equation.3相切的平面方程。思路：所求平面 EMBED Equation.3/平面 EMBED Equation.3，所以可知 EMBED Equation.3的法矢，由 EMBED

45、 Equation.3與球面相切的條件又可知球心到平面的距離。解：所求平面 EMBED Equation.3/平面 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3的法矢 EMBEDEquation.3，設(shè) EMBED Equation.3的方程為：EMBED Equation.3， EMBED Equation.3與球面相切，球心到平面的距離為球半徑 10， EMBED Equation.3： EMBED Equation.311求平面 EMBED Equation.3與 EMBED Equation.3的夾角的平分面的方程。知識點(diǎn)：平面與平面的夾角、點(diǎn)到平面的距離思路：

46、兩平面的夾角平分面上的點(diǎn)應(yīng)滿足到兩平面的距離相等解：設(shè)所求平面 EMBED Equation.3上的動點(diǎn)坐標(biāo) EMBED Equation.3， EMBED Equation.3是平面EMBED Equation.3與平面EMBED Equation.3的夾角的平分面， EMBED Equation.3到兩平面的距離相等，于是：EMBED Equation.3，EMBED Equation.3習(xí)題 7-71求過點(diǎn) EMBED Equation.3且平行于直線 EMBED Equation.3的直線方程。知識點(diǎn)：直線的對稱式方程解：所求直線 EMBED Equation.3/直線 EMBED E

47、quation.3， EMBED Equation.3的方向矢 EMBEDEquation.3，又已知 EMBED Equation.3過點(diǎn) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3： EMBED Equation.32求過兩點(diǎn) EMBED Equation.3和 EMBED Equation.3的直線方程。知識點(diǎn)：直線的對稱式方程解：所求直線 EMBED Equation.3過兩點(diǎn) EMBED Equation.3和 EMBED Equation.3， EMBEDEquation.3的方向矢 EMBED Equation.3可取為EMBED Equation.3，

48、EMBED Equation.3： EMBED Equation.33用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線 EMBED Equation.3。知識點(diǎn)：直線的各種表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換解：直線 EMBED Equation.3表達(dá)為兩平面交的一般方程形式： EMBED Equation.3，則 EMBEDEquation.3的方向矢 EMBED Equation.3和兩平面的法矢都垂直， EMBED Equation.3，取 EMBEDEquation.3上的一點(diǎn)：令 EMBED Equation.3EMBED Equation.3， EMBED Equation.3的對稱式方程： EMBED Equati

49、on.3，EMBED Equation.3的參數(shù)方程： EMBED Equation.34證明兩直線 EMBED Equation.3與 EMBED Equation.3平行。證明：根據(jù)上一題解答可知直線 EMBED Equation.3EMBED Equation.3的方向矢 EMBED Equation.3直線 EMBED Equation.3EMBED Equation.3的方向矢 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3/ EMBED Equation.35求過點(diǎn) EMBED Equation.3且與兩直線 EMBED Equation.3和 EMBED E

50、quation.3都平行的平面方程。思路：所求平面 EMBED Equation.3和兩直線平行，則說明 EMBED Equation.3的法矢和兩直線的方向矢都垂直。解： 設(shè)所求平面 EMBED Equation.3的法矢為 EMBED Equation.3； 兩直線 EMBED Equation.3： EMBEDEquation.3和 EMBED Equation.3： EMBED Equation.3的方向矢分別為 EMBED Equation.3。 EMBED Equation.3/ EMBED Equation.3， EMBED Equation.3/ EMBED Equation.

51、3EMBEDEquation.3，其中EMBED Equation.3， EMBED Equation.3， EMBED Equation.3： EMBED Equation.36求過點(diǎn) EMBED Equation.3且與兩平面 EMBED Equation.3和 EMBED Equation.3平行的直線方程。思路：所求直線 EMBED Equation.3與兩已知平面平行，所以 EMBED Equation.3的方向矢和兩平面的法矢都垂直。解：設(shè)所求直線 EMBED Equation.3的方向矢為 EMBED Equation.3，兩平面 EMBED Equation.3：EMBED E

52、quation.3和 EMBED Equation.3： EMBED Equation.3的法矢分別為 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3： EMBED Equation.37求過點(diǎn) EMBED Equation.3且通過直線 EMBED Equation.3的平面方程。思路：易知：已知點(diǎn)不在直線上，所以通過點(diǎn)和直線的平面方程和通過三點(diǎn)的平面方程的求法相似。解： 設(shè)所求的平面 EMBED Equation.3的法矢為 EMBED Equation.3， 直線 EMBED Equation.3： EMBEDEquation.3的

53、方向矢 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3在 EMBED Equation.3上， EMBED Equation.3；取直線上的一點(diǎn) EMBED Equation.3，和已知點(diǎn) EMBED Equation.3組成向量 EMBED Equation.3，易知： EMBED Equation.3EMBED Equation.3，EMBEDEquation.3：EMBEDEquation.305922980)2(22) 1(9)3(8zyxzyx8求直線003zyxzyx與平面01zyx的夾角。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：直線與平面的夾角解解：

54、設(shè)直線L：003zyxzyx的方向矢為s，平面：01zyx的法矢為n，直線L與平面的夾角為。則 1 , 1, 1 , 242111311nkjikjis，可取1, 2 , 1s/00),cos(sinLsnsnsn9試確定下列各組中的直線和平面間的關(guān)系：（1）37423zyx和3224zyx；（2）723zyx和8723zyx；（3）431232zyx和3zyx。思路思路：通過直線和平面的夾角即可確定它們的關(guān)系解解：在每道小題中都設(shè)直線L的方向矢為s，平面的法矢為n，直線L與平面的夾角為。則（1）/0),(cossin1 , 1, 2,3 , 7 , 2Lnsnsnsns，又L上的點(diǎn))0 ,

55、4 , 3(不滿足3224zyx，L不在上，/L（2）L1),(cossin7 , 2, 3,7 , 2 , 3nsnsnsns（3）/0),(cossin1 , 1 , 1,4 , 1 , 3Lnsnsnsns又L上的點(diǎn))3 , 2 , 2(滿足3zyx，L在上。10求點(diǎn))0 , 2 , 1(在平面012zyx上的投影。思路思路：根據(jù)點(diǎn)在平面上的投影的定義可知求投影點(diǎn)的過程：（1）過點(diǎn)作平面的垂線；（2）垂線和平面的交點(diǎn)（即投影點(diǎn)）解解：過點(diǎn)M)0 , 2 , 1(作平面：012zyx的垂線L，設(shè)L的方向矢為s，平面的法矢為n，則可選ns ，L：tztytxtzyx22112211，將L的參

56、數(shù)方程代入求出L和的交點(diǎn)（即投影點(diǎn)）0M：)32 , 32 , 35(3201)()22(2) 1(0Mtttt11設(shè)0M是直線L外一點(diǎn)，M是直線L上任意一點(diǎn)，且直線的方向向量為s，試證：點(diǎn)0M到直線L的距離ss0MMd。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：向量積和空間直線及其方程思路思路：畫簡圖可知：距離d是由M、0M以及當(dāng)把s的起點(diǎn)放在M時(shí)的終點(diǎn)坐標(biāo)1M三點(diǎn)組成的三角形底邊1MM上的高，見圖 7-7-11sML0Md圖 7-7-111M解解：設(shè)當(dāng)把s的起點(diǎn)放在M時(shí)s的終點(diǎn)坐標(biāo)為1M，d即為10MMM底邊1MM上的高根據(jù)向量積的性質(zhì)可知10MMM的面積s0MMS，又dSs21ss0MMd12求直線0101:zyx

57、zyxL在平面0zyx: :上的投影直線方程。方法一方法一：可根據(jù)求投影直線的過程逐步求得：（1）求過直線L垂直于的平面1；（2）與1的交線即為L在上的投影直線。解解：過L的平面束方程為0) 1(1zyxzyx01) 1()1 ()1 (zyx，此平面束中和垂直的平面應(yīng)滿足：10) 1()1 ()1 (，過直線L垂直于的平面1：10) 1(1zyzyxzyx，L在平面上的投影直線方程為：10zyzyx方法二方法二：可通過求L和的交點(diǎn)以及L的方向矢寫出所求投影直線的對稱式方程解解：L和的交點(diǎn)),(0zyxM滿足：)21 ,21 , 0(001010MzyxzyxzyxL的方向矢kjkjis221

58、11111，設(shè)的法矢為n，則L和它的投影直線組成平面的法矢1n滿足：sn1且kjsnnnn11投影直線的方向矢1s應(yīng)滿足：ss1且kjisnsns11112投影直線方程：15 . 015 . 02zyx13已知直線0720532:zyxzyL，求：（1）直線在 yoz 平面上的投影方程；（2）直線在 xoy 平面上的投影方程；（3）直線在平面083zyx: :上的投影直線方程。解解：（1）由曲線在坐標(biāo)面上投影知識可知：0720532:zyxzyL中消去 x，可 得L在yoz面 上 的 投 影 ：00532xzy注注：也可參照習(xí)題 12 的方法做（2）0720532:zyxzyL中消去在 ， 可

59、 得L在 xoy 面 上 的 投 影 ：001643zyx注注：也可參照習(xí)題 12 的方法做（ 3 ） 過L的 平 面 束 方 程 為0)72(532zyxzy057)3()22(zyx，此平面束中和垂直的平面應(yīng)滿足：0)3(3)22(無解，說明這些平面都不垂直于，過L且不在平面束方程中的平面只有一個(gè)：072zyx，此平面設(shè)為1，確有：1 ，1即為過直線L且垂直于的平面L在平面上的投影直線方程為：072083zyxzyx14證明直線138131zyx與直線337241zyx相交，并求它們交角的平分線方程。知識點(diǎn)知識點(diǎn)：直線及其方程證證：將直線1L：138131zyx化為參數(shù)式：3, 18, 1

60、3tztytx，代入直線2L（題有問題？）（題有問題？）習(xí)題習(xí)題 7-87-8畫出下列方程所表示的曲面：（1）44222zyx；（2）44222zyx；（3）94322yxz。xyzo圖 7-8-1-1xyzo圖 7-8-1-32指出下列方程所表示的曲線：（1）325222xzyx；（2）13694222yzyx；（3）3254222xzyx；（4）408422yxzy。答答：（1）3x平面上的圓1622 zy；（2）1y平面上的橢圓32922 zx；（3）3x平面上的雙曲線16422yz；（4）4y平面上的拋物線02442 xzxyz圖 7-8-1-23畫出下列各曲面所圍成的立體的圖形：（1