第十一章曲線曲面積分

1、第十一章曲線積分與曲面積分 §對弧長的曲線積分1設(shè)L關(guān)于x軸對稱,1L表示L在x軸上側(cè)的部分，當(dāng)(y x f ,關(guān)于y是偶函數(shù) 時(shí)，(=?Lds y x f ,0(? 1,L ds y x f C. (? -1,2L ds y x f D.ABC 都不對2、設(shè)L是以點(diǎn)(1,0, 0,1,1,0, 0, 1-D C B A為頂點(diǎn)的正方形邊界,則+Lyx ds =24 D. 22E3、有物質(zhì)沿曲線L :(103,2, 32<< =t t z t y t分布，其線密度為，y =則,=m+1E42dt t t t B.?+1422dt t t t C.? +142dt t t D

2、.? +142dt t t t4. 求 , ? L xds其中L為由2, x y x y =所圍區(qū)域的整個(gè)邊界解：（22151212411+?xdx dy y5. , ds y L?其中 L 為雙紐線 0( (222222>-=+a y x a y x解:原積分=(222si n 4sin 442022' 21=+=? a d ad r r r ds y Lxnn9 9 9 9 96. ?+Lds y x , 22 其中 L 為(022>=+a axy x原積分=2222cos 2a adt t a =? n7. , 2? Lds x其中L為球面2222a z y x =+

3、與平面0=-y x的交線解:將y x =代入方程2222a z y x =+得2222a z x =+于是L的參數(shù)方程:t a z t a y t a x sin , sin 2,cos 2，又 adt ds =原積分=?n 203222cos 2a adt t a 8 求均勻?。?, sin , cos -=<t e y t e x t t t 的重心坐標(biāo)3, 0=?-dt e M dt e ds t t,523cos 10-dt e t e M1,5100=-=z y§2對坐標(biāo)的曲線積分 一、選擇題1. 設(shè)L關(guān)于x軸對稱,1L表示L在x軸上側(cè)的部分，當(dāng)(y x P ,關(guān)于y

4、是偶函數(shù)時(shí),(=?Ldx y x P , A.0 B. (? 1,2L dx y x P C.(?-,2L dx y x P都不對2. 設(shè)L為1=+y x的正向，貝U =+Ly x ydyxdx帀3. L 為 222a y x =+的正向,=+-+Ly x dyy x dx y x 22 ( ( A.2 nn C.O D. n二、計(jì)算1.(dy y x dx y x L? -+2222,其中 L 由曲線(2011 x y 從(0, 2A 到(0, OO 方向解:(1, 1B 01:, :; 12:, 2:_f =-=x x y BO x x y AB+dx x xd y y x x xy y

5、dx y x LBOAB (34122012212222=+-+ ?dx x x dx x x2.ln( (2222+其中L是正向圓周曲線222a y x =+解：由奇偶對稱性022=+Ldx y x , L :nn,-&in , cos t t a y t a x1 (=+?-dt t a t t a dt t t acos 1ln cos sin cos sin 32247t7t冗冗冗4cos sin 44a dt t t a =?3. （? r-+dz y x ydy xdx 1其中為從點(diǎn)（1, 1, 1A到（4, 3, 2B的有向線段解：r方程:13, 12, 1+=+=+=t

6、 z t y t x ,=I （136141=+? dt t三、過（0, 0O和（0, n的曲線族（Osin >=a x a y求曲線L使沿該曲線從（0, 0O到（0, n的積分（dy y x dx y L+? 213的值最小解：（3033344cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +-=+=? nn(0811, 014''2>=? =? =-=I a a a I。 , 1=a （a I 最小，此時(shí) x y sin =四、空間每一點(diǎn)處（z y x P ,有力（z y x F ,-，其大小與（z y x P ,到z軸的距離成反

7、比,方向垂直指向z軸，試求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿圓 周 t z y t x sin , 1, cos =從 點(diǎn)（0, 1, 1M 至 U（1, 1,0N 時(shí)，力（z y x F ,-所作的功解:由已知（0,2222yx ky yx kx z y x F +-+-=2ln 2cos 1coscos 222222kt d t tk dy y x ky dx y xkxW L+-=+-+-=? n五、將積分y y x Q x y x P L d , (d , (? +化為對弧長的積分,其中L沿上半圓周0222=-+x y x . 0, 2( 0, 0(B O 到從解:，22x x y -=x xx x y d 2

8、1d 2x y ds d 12'+=x d 212d d cos =a , 22x x=x s1d d cos 于是=+?y y x Q x y x P Ld , (d , (s x y x Q x x y x P L d 1( , (2 , (2?§3格林公式及其應(yīng)用選擇題1.若L是上半橢圓？? =, sin ,cos t b y t a x取順時(shí)針方向,則?-Lxdy ydx =A.O B.ab 2nab n . D ab n232. 設(shè)L為222a y x =+的 正向,貝 U =+-y x ydy x dx xy 2222 ?A. 2 n B2 nn3. 設(shè) L 為曲

9、線 922=+y x 的正向 則(=-+-dy x x dx y xy L4222 A . 9 nn C.9 n D.O1. 設(shè)L是圓1222=+x y x取逆時(shí)針方向，則（=+Ly xy x dye dx y x 2ln 22222解:將方程代入被積函數(shù)在由格林公式得(=-=+-LDy dxdy dy e dx x 0 00(211n 22. (? +-+-Ldy y x x y dx x y xy , 3sin 21cos 23233其中 L 為點(diǎn)（0, 0O 到? 1,2 nA的拋物線x y n22=的弧段解:因y P x Q ?=?故積分與路徑無關(guān)，取? 0, 2 nBI 4232si

10、n 21021022 nnn =? ? ? +_+=+? dy y y BAOB3. 求 +-=Lyx xdy ydx I 22,L為(1(11122=-+-y x (2正方形邊界1=+y x的正向解:(1直接用格林公式=0(2設(shè)I為圓周:222r y x =+取逆時(shí)針方向，其參數(shù)方程n 20:, sin , cos =t t r y t r x原積分為? +=_-+lDl Ll dxdy 0所以nn2cos sin 20222222+-=+-?dt rtr t r yx xdy ydx yx xdy ydx lL4、驗(yàn)證（dy e xy dx ye yx x +22在xoy面上是某函數(shù)（y

11、x u ,的全微分，求出（y x u ,解：x Q +=?=?2, (x ye xy y x u +=2, , 5、設(shè)曲線積分(? +dy x y dx xy ?2 與路徑無 關(guān)，其中(x ?具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且(00=?，計(jì)算(?+1, 10,02dy x y dx xy ?的值解:取路徑:沿0=x從(0, 0到(1, 0;再沿1=y從(1,0到(1,1則(21011+=?xdx dy y I ?(2' 00, 2x x x yPx Q =? ?=?得又§4對面積的曲面積分1、計(jì)算曲面積分？刀+ds y x z 342(其中龍是平面1432=+zy x在第一卦限的 部分解:？

12、?-=+-xyD xdy dxdxdy y x yx I 2021(3061434361342 321(4 2、求曲面積分?刀+ds zy x 2221，其中龍是界于平面z=0和z=H之間的圓柱面222R y x =+ 解:？?-+=-+=RRHD dy yR dz zR R dydz y R y z R I yz222222221. 1212=2RHRy Rz RR H arcta n2.arcs in arcta nO - n =+=3、求曲面積分？刀+ds zx yz xy （，其中 刀是錐面22y x z被柱面ax y x 222=+所截得的有限部分 解：dxdy y x y x xy

13、 I xyD 2(22? +=?-+22cos 2022. sin (coss in cos nn09 9 9 9 9a rdr r r rd =421564a§5對坐標(biāo)的曲面積分 一、選擇題1. 設(shè)刀關(guān)于yoz面對稱反向，1是刀在yoz面的前側(cè)部分若（z y x P ,關(guān)于x 為偶函數(shù)，則（?刀=dydz z y x P ,（(? E1,2dydz z y x P C. (? E-1,2dydz z y x P D.ABC 都不對2. 設(shè)(0:2222 >=+E z a z y x取上側(cè)，則下述積分不等于零的是（A ?刀dydz x 2 刀xdydz C ?刀ydxdy D

14、?刀zdxdz3. 設(shè)t為球面122=+z y x取外側(cè)，1為其上半球面，則有（A.? 刀刀=12zds zds?刀刀=12zdxdy zdxdy C.? 刀刀=1222dxdy z dxdy z D. 0二、計(jì)算1. 刀+dxdy z dzdx y dydz x 222其中刀由1=+z y x及三個(gè)坐標(biāo)面所圍成閉曲面的外側(cè)(1122201111214xyD z dxdy x y dxdy dx x y dy -刀x?解:由輪換對稱性原式2. (x y dydz 刀+?其中刀為錐面22y x z +=被平面1=z所截部分的外側(cè)(2221222cos 3x x y ydydz xdydz x z

15、 dxdy d r dr nn9 9E+w =?解:由對稱性原式3. (?刀-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x (其中 K為 22y x z +=被平面 1=z 所截部分，其法向量與z軸成銳角(22222212132022cos 2x y ydydz zdzdx x y z x dxdy xy x dxdy d r r drnn9 9EKK+w =? ? =一+-=+-? ? =-?解:由對稱性 原式？、用兩類曲面積分之間的關(guān)系計(jì)算1. 求?刀+dS z y x cos cos cos (333 其中Y£是柱面 222a y x =+在 h z w 部分,

16、YBa cos , cos , COsX的外法線的方向余弦(322332244403224cos 4haax dydz y dzdx zdxdydxdy x dydz x dydz dz a ydy hatdt a h-=+=-= ? 解:原式 由奇偶對稱性 及=0得原式？2. (?刀+dxdy z z y x f dzdx y z y z f dydz x z y x f , , ( , , (2 ,(其中,(z y x f 為連 續(xù)函數(shù)，刀為平面1=+-z y x在第四卦限部分的上側(cè)1,1,1n耶:的法向量為.31cos , 1cos , 31COS =-= Ya%(x y z dS 刀-

17、+原式? =xyD dxdy 311=21四、試求向量f+=ky x e j z i A z 22穿過由22y x z+=及1=z及2=z所圍成圓臺(tái)外側(cè)面（不含上下底的流量%(221021z zr dydz zdzdx dydz zdzdx d e dr e en刀刀刀 +6高斯公式? = ? ? =-=-?解:二由奇偶對稱性知1. 設(shè)X是拋物面（2122y x z +=介于0=z及2=z之間部分的下側(cè)，求(?刀-+zdxdy dydz x z28 n2. 設(shè)I為2221x y z +=取外側(cè),求(222111x x dydz y y dzdx z z dxdyI+=? 325n3. 設(shè)I為平

18、面1x y z +=在第一卦限部分的上側(cè)，則xydydz yzdzdx xzdxdy I+? =184. 求矢量場333A x i y j z k =+匸穿過曲面匚0z R R z =+>=與 圍成的閉曲面外側(cè)的通量5285R n5. 求刀+? +? zdxdy dzdx y x f x dydz y x f y 11, 其中(u f有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，是22228, z x y z x y -=+=所圍立體的外側(cè)(22222224828216x y dV x y dxdy d r rdrn0nQ+w =-+=-=?解:原式求(刀+-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz

19、 xz 23222, 其中刀是222y x a z -=及 0=z所圍曲面的外側(cè)(22222452sin 5x y z dV d d r dr annn0 ? Q=+=?解:原式7.刀2(z y x zdxdy ydzdx xdydz，其中 E為 2222x y z R +=取外側(cè)(331134xdydz ydzdx zdxdy dV R R nEQ+=? 解:原式7斯托克斯公式1. 設(shè)L為依參數(shù)增大方向的橢圓：(n 20cos , cos sin 2, sin 22<< =tat »,求 (+dz y x dy x z dx z yL (02. 設(shè)L為平面1=+z y

20、x與坐標(biāo)面交線，從z軸看去為逆時(shí)針方向,求(-+-+dz z x y dy z y x dx x z y L(23. 設(shè)L為圓周2222, 0x y z R x y z +=+=若從ox軸正向看依逆時(shí)針方向，則(+dz x dy z dx y L321 (2R4、+L dz x dy z dx y 其中 L 為圓周 2222, Ox y z R x y z +=+=若從 ox 軸正向看依逆時(shí)針方向。(2cos cos cos 3cos dS dS dS R aYY刀刀二+=_=? 解：5. +L dz x dy z dx y 222,其中L為曲線(2222220, 0x y z a z a x

21、 y ax? +=>>? +=?從ox軸正向看依逆時(shí)針方向(2222223. , , , , 2cos cos cos 2224x y ax x y ax z x y ax x y z x y z a a a xy z I z x y dS z x y dSa a a x y dxdy xdxdy a ydaYnEE +< +<E/=+<E? =-+=-+ ?=-+=-=- ? 解 1:為球面被 L 所圍部分 取凸側(cè)上點(diǎn)x,y,z處的法向量為，由斯托克斯公式注:由對稱性0Dxdy =? 22cos , cos sin , sin , :22x a y a z a解

22、:參數(shù) L 的方程 p p q q q q q =-6. -+-+-L dz y x dy x z dx z y (,其中 L 為橢圓222, 1(0, 0 x zx y a a b a b+=+=>>若從x軸正向看，此橢圓依逆時(shí)針方向(222,0, 2cos cos cos 22x y a b a dS dS a b dxdy a a b a+ W”=+=-+=-=_+?解:所圍區(qū)域，其法向量為原積分第十章自測題一、填空(每題4分，共20分1、設(shè)平面曲線Ly/a- - X為下半圓周y =-=+L ds y x(22 (P2、設(shè)L為橢圓13422=+y x，其周長為a ,則(=+L

23、ds y xxy 22432(12a3、設(shè)為正向圓周222x y +=在第一象限中的部分,則曲線積分? =-L ydx xdy2(324、設(shè)W是由錐面z =z =圍成的空間區(qū) 域，是W的整個(gè)邊界的外側(cè),則?=+Wzdxdy ydzdx xdydz2R p - 5、設(shè)X為球面2222( ( ( x R y R z R R -+-+-=外側(cè)，則曲面積分 (2/3222=+?z y x zdxdyydzdx xdydz (0二、選擇題(每題5分，共15分XX1、設(shè)(12222, 0:=+刀z a是yX在第一卦限部分.則有A . ?=14xdS xdS B.? XX=14ydS ydS? XX=14z

24、dS zdS D? XX=14xyzdS xyzdS2(, 0:2222> =+Xz a z取上側(cè)，則下述積分不正確的是A . ? X2dydz x X=Odydz x C.?刀=02dydz y D.?刀=Oydydz3、設(shè)L是從點(diǎn)（0,0沿折線、y=1-|x-1|至點(diǎn)A（2,0的折線段，則曲線 積分？+-=Lxdy ydx I 為（A 0 B -1 C 2 D -2三、計(jì)算（每題8分1計(jì)算曲面積分？ Szds其中S為錐面z =x y x 222< +內(nèi)的部分? +_=+=xy x dr r d dxdy y x I 222cos 2022229322.2 nn002、過（0, 0O和（0, n的曲線族（Osin >=a x a y求曲線L使沿該曲線從（0, 0O