第十七章反比例函數(shù)教案全章

1、第十七章 反比例函數(shù)17. 1. 1反比例函數(shù)的意義、教學(xué)目標1使學(xué)生理解并掌握反比例函數(shù)的概念2能判斷一個給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù)，并會用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式3能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式，體會函數(shù)的模型思想 、重、難點1重點：理解反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知條件寫出函數(shù)解析式2難點：理解反比例函數(shù)的概念3. 難點的突破方法：(1) 在引入反比例函數(shù)的概念時，可適當復(fù)習(xí)一下第 11章的正比例函數(shù)、 一次函數(shù)等 相關(guān)知識，這樣以舊帶新，相互對比，能加深對反比例函數(shù)概念的理解k(2) 注意引導(dǎo)學(xué)生對反比例函數(shù)概念的理解，看形式 y，等號左邊是函數(shù) y,等x號右邊是一個分式，自

2、變量 x在分母上，且x的指數(shù)是1，分子是不為0的常數(shù)k;看自變 量x的取值范圍，由于 x在分母上，故取 x工0的一切實數(shù)；看函數(shù) y的取值范圍，因為 k 豐0，且xm0,所以函數(shù)值 y也不可能為0。講解時可對照正比例函數(shù) y = kx (k豐0), 比 較二者解析式的相同點和不同點。k、1(3) y(k m 0)還可以寫成 y = kx (k m 0)或xy = k (kM 0)的形式x三、課堂引入1回憶一下什么是正比例函數(shù)、一次函數(shù)？它們的一般形式是怎樣的?2體育課上，老師測試了百米賽跑，那么，時間與平均速度的關(guān)系是怎樣的?四、例習(xí)題分析k，再把x = 2和y = 6代入上式求出x例1 .見

3、教材P47分析：因為y是x的反比例函數(shù)，所以先設(shè) y常數(shù)k,即利用了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式。例1 .(補充)下列等式中，哪些是反比例函數(shù)(1) y(2)(3) xy = 21(4) y(5)2xky(k為常數(shù)，kM0)x1 +3xx,(6)改寫后是y二x1(6) y 3(7) y = x 4x分析：根據(jù)反比例函數(shù)的定義，關(guān)鍵看上面各式能否改寫成的形式，這里(1 )、( 7)是整式，(4)的分母不是只單獨含分子不是常數(shù)，只有(2)、( 3)、( 5)能寫成定義的形式2例2.(補充)當m取什么值時，函數(shù) y=(m-2)x3"是反比例函數(shù)?k.分析：反比例函數(shù) y ( k m 0)的另一

4、種表達式是y = kx (k m 0)，后一種寫法中x的次數(shù)是一1因此m的取值必須滿足兩個條件，即m 2工0且3 m2=- 1特別注意不要遺漏k豐0這一條件，也要防止出現(xiàn) 3 m2= 1的錯誤。解得m = 2例3.(補充)已知函數(shù) y= y1 + y2, y1與x成正比例，y2與x成反比例，且當x= 1時， y = 4 ;當 x = 2 時，y = 5(1) 求y與x的函數(shù)關(guān)系式(2) 當x = 2時，求函數(shù)y的值分析：此題函數(shù)y是由y1和y2兩個函數(shù)組成的，要用待定系數(shù)法來解答，先根據(jù)題意 分別設(shè)出y2與x的函數(shù)關(guān)系式，再代入數(shù)值，通過解方程或方程組求出比例系數(shù)的值。 這里要注意y1與x和y

5、2與x的函數(shù)關(guān)系中的比例系數(shù)不一定相同，故不能都設(shè)為k,要用不同的字母表示。koko略解：設(shè)y1=心(k1* 0), y2- ( k2* 0),則y =-，代入數(shù)值求得 k1= 2,xx小2k2= 2,貝V y =2x ，當 x= 2 時，y= 5x五、隨堂練習(xí)1蘋果每千克x元，花10元錢可買y千克的蘋果，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 _8 m22若函數(shù)y =(3 m)x是反比例函數(shù)，則 m的取值是3矩形的面積為4，一條邊的長為x，另一條邊的長為 y，則y與x的函數(shù)解析式為_4. 已知y與x成反比例，且當x= 2時,y= 3,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是 ,當 x = 3 時，y =15. 函數(shù)y

6、中自變量x的取值范圍是x +2六、課后練習(xí)已知函數(shù)y= y1+ y2, y1與x + 1成正比例，y與x成反比例，且當x = 1時，y= 0; 當x= 4時，y= 9，求當x= 1時y的值答案：y= 417. 1. 2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)一、教學(xué)目標1. 會用描點法畫反比例函數(shù)的圖象2. 結(jié)合圖象分析并掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)3. 體會函數(shù)的三種表示方法，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想方法二、重點、難點1 .重點：理解并掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)2. 難點：正確畫出圖象，通過觀察、分析，歸納出反比例函數(shù)的性質(zhì)3. 難點的突破方法：畫反比例函數(shù)圖象前，應(yīng)先讓學(xué)生回憶一下畫函數(shù)圖象的基本步驟，即：列表、描

7、點、k連線，其中列表取值很關(guān)鍵。反比例函數(shù)y( kz 0)自變量的取值范圍是 x工0,所以取值時應(yīng)對稱式地選取正數(shù)和負數(shù)各一半，并且互為相反數(shù)，通常取的數(shù)值越多， 畫出的圖象越精確。連線時要告訴學(xué)生用平滑的曲線連接，不能用折線連接。教學(xué)時，老師要帶著學(xué)生一起畫，注意引導(dǎo)，及時糾錯。在探究反比例函數(shù)的性質(zhì)時，可結(jié)合正比例函數(shù)y= kx (kz 0)的圖象和性質(zhì)，來幫助學(xué)生觀察、分析及歸納，通過對比，能使學(xué)生更好地理解和掌握所學(xué)的內(nèi)容。這里要強調(diào)一 下，反比例函數(shù)的圖象位置和增減性是由反比例系數(shù)k的符號決定的；反之，雙曲線的位置和函數(shù)性質(zhì)也能推出 k的符號，注意讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。四、課

8、堂引入提出問題：1. 一次函數(shù)y = kx + b (k、b是常數(shù)，kz 0)的圖象是什么？其性質(zhì)有哪些？正比例函 數(shù) y= kx (kz0)呢？2. 畫函數(shù)圖象的方法是什么 ？其一般步驟有哪些？應(yīng)注意什么？3. 反比例函數(shù)的圖象是什么樣呢 ？五、例習(xí)題分析例2 .見教材P48,用描點法畫圖，注意強調(diào)：(1) 列表取值時，xz 0，因為x = 0函數(shù)無意義，為了使描出的點具有代表性，可以“ 0 ”為中心，向兩邊對稱式取值，即正、負數(shù)各一半，且互為相反數(shù)，這樣也便于求y值(2) 由于函數(shù)圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數(shù)值，多描一些點，這樣 便于連線，使畫出的圖象更精確(3) 連線時要用平

9、滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線(4) 由于x z 0, kz 0，所以yz 0，函數(shù)圖象永遠不會與 x軸、y軸相交，只是無限 靠近兩坐標軸例1.(補充)已知反比例函數(shù) y =(m-1)xm "的圖象在第二、四象限，求 m值，并 指出在每個象限內(nèi)y隨x的變化情況？分析：此題要考慮兩個方面，一是反比例函數(shù)的定義，即y = kx_1 (kz0)自變量x的指數(shù)是一1，二是根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：當圖象位于第二、四象限時，kv 0,貝U m- 1v 0，不要忽視這個條件略解：T y = (m - 1)xm ”是反比例函數(shù)m2- 3= 1,且m 1 z 0又圖象在第二、四象限/

10、 m 1v 0解得m =2且m v 1則m = -. 21例2 .(補充)如圖，過反比例函數(shù)y(x > 0)的圖象上任意兩點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為 C、D, 連接OA、OB，設(shè) AOC和厶BOD的面積分別是S2，比(A) S1> S2(B) S1= S2較它們的大小，可得()(C) Si v S2(D)大小關(guān)系不能確定k分析：從反比例函數(shù) y(k工0)的圖象上任一點 P (x, y)向x軸、y軸作垂線段,x(C) Si v S2(D)大小關(guān)系不能確定與x軸、y軸所圍成的矩形面積 s = xy =k，由此可得Si = S2 =丄，故選B2(C) Si v S2(D)大小關(guān)

11、系不能確定五、隨堂練習(xí)3 - k1 .已知反比例函數(shù) y，分別根據(jù)下列條件求出字母k的取值范圍x(1) 函數(shù)圖象位于第一、三象限(2) 在第二象限內(nèi)，y隨x的增大而增大-a2. 函數(shù)y = ax+ a與y( 0)在同一坐標系中的圖象可能是(xx軸、xy軸的垂線段，與 x軸、y軸所圍成的矩形面積是 6，則函數(shù)解析式為 七、課后練習(xí)(C) Si v S2(D)大小關(guān)系不能確定3 - m1. 若函數(shù)y =(2m -1)x與y的圖象交于第一、三象限，則m的取值范圍是x;當 x v- 2時；y的取值范圍是22. 反比例函數(shù)y，當x =- 2時，y =x當x> 2時；y的取值范圍是a2 -63.已知

12、反比例函數(shù)y = (a2)x，當x 0時，y隨x的增大而增大,求函數(shù)關(guān)系式答案：3. a -5, y = 一2x17. 1. 2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)(2)一、教學(xué)目標1 .使學(xué)生進一步理解和掌握反比例函數(shù)及其圖象與性質(zhì)能靈活運用函數(shù)圖象和性質(zhì)解決一些較綜合的問題3深刻領(lǐng)會函數(shù)解析式與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法二、重點、難點1重點：理解并掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能利用它們解決一些綜合問題2難點：學(xué)會從圖象上分析、解決問題2. 難點的突破方法：在前一節(jié)的基礎(chǔ)上，可適當增加一些較綜合的題目，幫助學(xué)生熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要讓學(xué)生學(xué)會如何通過函數(shù)圖象分析解析式，

13、或由函數(shù)解析式分析圖象的方法， 以便更好的理解數(shù)形結(jié)合的思想，最終能達到從“數(shù)”和“形”兩方面去分析問題、解決問 題。三、課堂引入復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容1 什么是反比例函數(shù)？2反比例函數(shù)的圖象是什么？有什么性質(zhì)？四、例習(xí)題分析例3 .見教材P51k分析：反比例函數(shù) y二 的圖象位置及 y隨x的變化情況取決于常數(shù) k的符號，因此x要先求常數(shù)k，而題中已知圖象經(jīng)過點 A (2, 6)，即表明把A點坐標代入解析式成立，所 以用待定系數(shù)法能求出 k，這樣解析式也就確定了。例4 .見教材P52k例1.(補充)若點 A (-2, a)、B (- 1, b )、C (3, c)在反比例函數(shù) y = k ( k

14、xv 0)圖象上，貝U a、b、c的大小關(guān)系怎樣？分析：由kv 0可知，雙曲線位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，因為A、B在第二象限，且一1 >- 2,故b>a>0;又C在第四象限，則 cv 0,所以 b>a> 0>c說明：由于雙曲線的兩個分支在兩個不同的象限內(nèi)， 因此函數(shù)y隨x的增減性就不能連 續(xù)的看，一定要強調(diào)“在每一象限內(nèi)”，否則，籠統(tǒng)說k v 0時y隨x的增大而增大，就會誤認為3最大，則c最大，出現(xiàn)錯誤。此題還可以畫草圖， 比較a、b、c的大小，利用圖象直觀易懂， 不易出錯，應(yīng)學(xué)會使用。例2.(補充)如圖，一次函數(shù)y = kx +

15、 b的圖象與反比例函數(shù) y = m的圖象交于xA (- 2, 1)、B (1, n)兩點(1) 求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式(2) 根據(jù)圖象寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取 值范圍分析：因為A點在反比例函數(shù)的圖象上，可先求出反比例函數(shù)2的解析式y(tǒng)，又B點在反比例函數(shù)的圖象上，代入即可求出xn的值，最后再由 A、B兩點坐標求出一次函數(shù)解析式 y= x- 1,第(2)問根據(jù)圖象可得 x的取值范圍xv- 2或0vxv 1，這是因為比較兩個不同函數(shù)的值的大小時，就是看這兩個函數(shù)圖象哪個在上方，哪個在下方。五、隨堂練習(xí)kb1. 若直線y = kx + b經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù) y的圖象

16、在()y- - 8的圖像交于A、B兩點，且xx(A) 第 、三象限(B)第二、四象限(C)第三、四象限(D)第一、二象限2.已知點(一1,y1)、( 2,y2)、( n , ya)在雙曲線k2 +1y上，則下列關(guān)系x式正確的是()(A) y1>y2> y3(B) y1> ya> y2(C) y2> y1> ya六、課后練習(xí)(d) ya>y1>y21.已知反比例函數(shù)2k 1 y = x的圖象在每個象限內(nèi)函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小,且k的值還滿足9 -2(2k -1) > 2k 1,若k為整數(shù)，求反比例函數(shù)的解析式2. 已知一次函數(shù) y二k

17、x b的圖像與反比例函數(shù)點A的橫坐標和點B的縱坐標都是一2 , 求(1)一次函數(shù)的解析式；(2) AOB的面積 答案：1351. y 或 y 或 y= xxx2. ( 1) y= x + 2,( 2)面積為 617. 2實際問題與反比例函數(shù)(1)一、教學(xué)目標1禾U用反比例函數(shù)的知識分析、解決實際問題2滲透數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生用函數(shù)觀點解決問題的能力二、重點、難點1重點：禾U用反比例函數(shù)的知識分析、解決實際問題2難點：分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，正確寫出函數(shù)解析式3. 難點的突破方法：用函數(shù)觀點解實際問題，一要搞清題目中的基本數(shù)量關(guān)系， 將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題， 看看各變量間應(yīng)滿足什么樣的關(guān)系

18、式(包括已學(xué)過的基本公式)，這一步很重要；二是要分清自變量和函數(shù)，以便寫出正確的函數(shù)關(guān)系式，并注意自變量的取值范圍； 三要熟練掌握反比例函數(shù)的意義、圖象和性質(zhì)，特別是圖象，要做到數(shù)形結(jié)合，這樣有利于分析和解決問題。 教學(xué)中要讓學(xué)生領(lǐng)會這一解決實際問題的基本思路。三、課堂引入寒假到了，小明正與幾個同伴在結(jié)冰的河面上溜冰，突然發(fā)現(xiàn)前面有一處冰出現(xiàn)了裂痕， 小明立即告訴同伴分散趴在冰面上，匍匐離開了危險區(qū)。你能解釋一下小明這樣做的道理嗎？四、例習(xí)題分析例1 .見教材第57頁分析：(1 )問首先要弄清此題中各數(shù)量間的關(guān)系，容積為104，底面積是S,深度為d,滿足基本公式：圓柱的體積=底面積X高，由題意

19、知 S是函數(shù)，d是自變量，改寫后所得的函數(shù)關(guān)系式是反比例函數(shù)的形式，(2)問實際上是已知函數(shù) S的值，求自變量d的取值，(3) 問則是與(2)相反例2 .見教材第58頁分析：此題類似應(yīng)用題中的“工程問題”，關(guān)系式為工作總量=工作速度X工作時間， 由于題目中貨物總量是不變的，兩個變量分別是速度v和時間t,因此具有反比關(guān)系，(2)問涉及了反比例函數(shù)的增減性，即當自變量t取最大值時，函數(shù)值 v取最小值是多少？例1 .(補充)某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當 溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓P (千帕)是氣體體積 V(立方米)的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示(千帕是一種 壓強單位)(1) 寫出這個函數(shù)的解析式

20、；(2) 當氣球的體積是0.8立方米時，氣球內(nèi)的氣壓是多少 千帕？(3) 當氣球內(nèi)的氣壓大于 144千帕?xí)r，氣球?qū)⒈?，?了安全起見，氣球的體積應(yīng)不小于多少立方米？分析：題中已知變量 P與V是反比例函數(shù)關(guān)系，并且圖象經(jīng)過點A，利用待定系數(shù)法可以求出P與V的解析式，得96，V(3)問中當P大于144千帕?xí)r，氣球會爆炸，即當P不超過144千帕?xí)r，是安全范圍。根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，P隨V的增大而減2小，可先求出氣壓 P= 144千帕?xí)r所對應(yīng)的氣體體積，再分析出最后結(jié)果是不小于立方米3五、隨堂練習(xí)1京沈高速公路全長 658km，汽車沿京沈高速公路從沈陽駛往北京，則汽車行完全程 所需時間t (

21、h)與行駛的平均速度 v ( km/h)之間的函數(shù)關(guān)系式為 2. 完成某項任務(wù)可獲得 500元報酬，考慮由x人完成這項任務(wù)，試寫出人均報酬y (元) 與人數(shù)x (人)之間的函數(shù)關(guān)系式 3. 一定質(zhì)量的氧氣，它的密度'(kg/m3)是它的體積 V (m3)的反比例函數(shù)，當V=10時，?= 1.43， ( 1)求r與V的函數(shù)關(guān)系式；(2)求當V = 2時氧氣的密度 匸14 3答案：?= ，當 V = 2 時，? = 7.15V六、課后練習(xí)1. 小林家離工作單位的距離為 3600米，他每天騎自行車上班時的速度為v (米/分)，所需時間為t (分)(1) 則速度v與時間t之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

22、(2 )若小林到單位用15分鐘，那么他騎車的平均速度是多少？(2) 如果小林騎車的速度最快為300米/分，那他至少需要幾分鐘到達單位？答案：八t , v=240亠122 學(xué)校鍋爐旁建有一個儲煤庫，開學(xué)初購進一批煤，現(xiàn)在知道：按每天用煤0.6噸計算，一學(xué)期（按150天計算）剛好用完若每天的耗煤量為 x噸，那么這批煤能維持 y天（1 ）貝9 y與x之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？（2）畫函數(shù)圖象（3）若每天節(jié)約0.1噸，則這批煤能維持多少天？17. 2實際問題與反比例函數(shù)（2）一、教學(xué)目標1禾U用反比例函數(shù)的知識分析、解決實際問題2滲透數(shù)形結(jié)合思想，進一步提高學(xué)生用函數(shù)觀點解決問題的能力，體會和認識反比 例

23、函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型二、重點、難點1重點：禾U用反比例函數(shù)的知識分析、解決實際問題2難點：分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，正確寫出函數(shù)解析式，解決實際問題3. 難點的突破方法：本節(jié)的兩個例題與學(xué)生的日常生活聯(lián)系緊密，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用，不但能鞏固所學(xué)的知識，還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。本節(jié)的教學(xué)， 要引導(dǎo)學(xué)生從已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，按照上一節(jié)所講的基本思路去分析、解決實際問題，注意體會數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法，要告訴學(xué)生充分利用函數(shù)圖象的直觀性，這對分析和解決實際問題很有幫助。三、課堂引入1. 小明家新買了幾桶墻面漆，準備重新粉刷墻壁，請問如何打開這些未開封的墻面漆 桶

24、呢？其原理是什么？2. 臺燈的亮度、電風扇的轉(zhuǎn)速都可以調(diào)節(jié)，你能說出其中的道理嗎？四、例習(xí)題分析例3 .見教材第58頁分析：題中已知阻力與阻力臂不變，即阻力與阻力臂的積為定值，由“杠桿定律”知變 量動力與動力臂成反比關(guān)系，寫出函數(shù)關(guān)系式，得到函數(shù)動力F是自變量動力臂I的反比例函數(shù)，當I = 1.5時，代入解析式中求 F的值；（2）問要利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，I越大F越小，先求出當F= 200時，其相應(yīng)的I值的大小，從而得出結(jié)果。例4 .見教材第59頁分析：根據(jù)物理公式 PR= U2,當電壓U 一定時，輸出功率 P是電阻R的反比例函數(shù),220則P,（ 2）問中是已知自變量 R的取值范圍，即R110

25、W R<220,求函數(shù)P的取值范圍，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，電阻越大則功率越小，得 220 W PW 440例1.（補充）為了預(yù)防疾病，某單位對辦公室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃 燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成為正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖），現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量6毫克，請根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題：藥物燃燒時，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 ，自變量x的取值范為 ；藥物燃燒后，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 .（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時員工方可進辦公室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過 分鐘后，員工才能回到辦公室；研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于 10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？分析：（1）藥物燃燒時，由圖象可知函數(shù)y是x的正比