第十三章含參量積分

1、*第十三章含參量積分我們知道函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可以表示函數(shù)關(guān)系，而含參 量的積分也可以產(chǎn)生新的函數(shù)關(guān)系，在研究方法上與 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的研究方法有類似之處第一節(jié)含參量的常義積分設(shè)二元函數(shù)f (x, y)在矩形區(qū)域D : x豈b,C y - d上連續(xù)，若對(duì)每一個(gè)y c,d，則f (x, y)成為區(qū)間a,b變量x的一個(gè) 一元連續(xù)函數(shù)，于是，對(duì)每一個(gè)取定的 y值，積分bf (x, y)dx.都有一個(gè)確定的值與對(duì)應(yīng)，因此，在aC y d上，這個(gè)積分是y的函數(shù)，記作b(y)二 f (x, y)dx(1.1)a被積函數(shù)所依賴的變量y，在積分過程中是一個(gè) 常量，通常把它叫做參量積分.(1.1)叫做含參量變 量的積分.1

2、 dx11例如 2二 _arctarrr : (y),那0x + yyy么由(1.1)式定義的函數(shù)(y)具有什么性質(zhì)呢？定理1如果函數(shù)f (x, y)在矩形區(qū)域D : 'a豈x空b,c空y - d上連續(xù)，則由積分(1.1) 確定的函數(shù)"(y)在c,d上連續(xù)，即bblim f(x, y)dx 二 lim f (x, y)dx.y y° aa y、y。(1.2)證 任給一點(diǎn)y°c,d,只要證'(y)在y二y。處連續(xù),八 > 0，若要F (y)- ® (y。)< 8,由f (x, y)在有界 區(qū)域D上連續(xù)，因此f (x, y)在D

3、上一致連續(xù).對(duì)0,存在0，當(dāng)(x2, y2) ? (x1,y1y Db - a2 2且T(X2 - Xi)(y2 - yi) 時(shí)有zf(X2,y2)- f (xi,yj 蘭.b a特別 取(X2，y2)=(X, y), (Xi，yJ= (x, y°),當(dāng) y- y°| < & 時(shí)，有(x - X)2(廠 yo),就有f (x, y)- f (x, y°) < .于是b - ab s® (y) - ® (y0)、dx八，因此© (y)在ab ay = y0處連續(xù).b -定理1說明在滿足定理1的條件下.與lim這a y

4、T yo 兩種運(yùn)算可交換順序，由"(y)在c,d上連續(xù)，則(y)在c,d上可積，有ddbdbf ®(y)dy= j j f(x, y)dxdy= f dy f(x, y)dx由 ccaca=b df (x, y)dydx.因此有 a c定理2設(shè)f (x, y)在矩形區(qū)域D:'a豈x b,c豈y上連續(xù)，則dd bb dJ ®(y)dy= J J f(x, y)dxdy= f J f (x, y)dydx cc aa c.(1.3)即在定理?xiàng)l件下.b與. d這兩種運(yùn)算可以交換次序.a c定理3設(shè)f (x, y)以及一f (x, y)都在矩形區(qū) 域D:七空x空b

5、,c空y - d上連續(xù)，則由 (1.1) 所確定的函數(shù)(y)在c,d上可導(dǎo)，且d bbf (x, y)dxf (x, y)dx,dy aa yy c,d.(1.4)即在定理?xiàng)l件下，與.b兩種運(yùn)算可以交換順序£y a證設(shè)g(y)f(x,y)dx，由adyf(x, y)在D上連續(xù),由定理1知g(y)在c,d上 y連續(xù)，由定理2知，當(dāng)y c,d時(shí)vv bg(y)dy f (x, y)dxdycc ayb v=J J f (x, y)dydxa c y b二f(x,v)- f(x,c)dxabb=J f(x,v)dx- f f (x, c)dxaa二：(v) -(c), 兩邊同時(shí)對(duì)v求導(dǎo)，有

6、 g(v)二(v).即 g(y) =(y)，于是(y) = g(y)，即dyd bbf (x, y)dxf (x, y)dx.dy aa yb若j f (x, y)dx中的上、下限都是y的函數(shù)，即ag2(y)和 gi(y) ,b=g2(y)，則 gi(y)f(x,y)dx依然是y的函數(shù)，記(yp G(u,g,y),g2(y)二g2(y)f (x, y)dx. gi(y)(1.5)對(duì)于'(y)有如下的結(jié)果定理4設(shè)(1)函數(shù) f (x, y)及一f (x, y)在D: a ' x b,c ' y - d 上連續(xù)；(2)函數(shù)gi(u), g2(u)在c,d上可導(dǎo)，且 a g1

7、(up b, a 空 g2(u)二 b, a 空 y 乞 d ,則 由積分(1.5)所定義的函數(shù) (y)在c,d上可導(dǎo)， 且dd (y) dy.(1.6)分析g2(y):二f(X,y)dx f (g2(y),y)g2(y)-gi(y) y由'(y)即依賴于f (x, y)中的y，依賴于g1(y)與g2(y)中的y，因此，它是變量y的復(fù)合函 數(shù)，記gdy)二 zi,g2(y)二 z?，已知 z, z?在c,d 上可導(dǎo)，只要證明c- y - d時(shí)，G(y,ZpZ2)對(duì)三個(gè)dG dG中間變量的偏導(dǎo)數(shù)，亠，亠，亠都連續(xù)，由多ccCyz1z2元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)公式知 G(u)在c,d上可導(dǎo)且d4

8、(y)GGdzGdz2dyyz1dyz2dy(1.7)G:z7zizf(x, y)dx 二 ziGf f (x, y)dx -z27z2ziGIf (x, y)dx 二yyzif (Zi ,y)二f(Z2,y)=z2Zi-f ©(y),y)f (g2(y),y)由于一上連續(xù)，f (x, y)dx, y由f (x, y)在D上連續(xù)，1 y d時(shí)，z廠g1(y),z2 二 g2(y)連續(xù)且z1 b, a 豈 z2 b，從而d時(shí)，9與g都連續(xù).zz29 ( y)f (x, y)在D上連續(xù)，有在c- y - ddy因此，根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的法則知(y)在c,d上可導(dǎo)，且d (y)g2(y

9、)f(x,y)dx f(g2(y),y)- f©(y dygi(y) yX2_2例 1 若F(x)exy dx，計(jì)算 F (x).x解222x 2F'(x)=exy y=x2 (x2)'-exy(x)'+( $exydyy宀x忑-x52xe xx3x2dy.計(jì)算定積分I =.1 In (1x)0 1 x2dx.解考慮含參變量a的積分0 1 x2由:(0p 0,(1p I ,知由定理3(a)1 l n(1 ax)x2dx1亍dx0(1ax)(1 x2)斗1羋1斗x1 a201 x201 x201 axn21 a2 2ln(1 a),:(1) - : (0)二n

10、1 ada4 01 a2(a)da 二2ln21 da01 a21 In (1a)0 1 a2da即TtJEJtI 二一In2 In2 I，于是 I 二一In 2.8 8 8從這題的計(jì)算，我們可以看到巧妙地利用含參量變量 的積分，去計(jì)算不易求出的定積分是一件技巧性較強(qiáng) 的方法.解首先注意，由b ax x .dxIn xblim -x 0 In x(0 a b).limX > 1b a 門當(dāng)（0）lim bx'1 -n > 1a-1ax-i x二 lim (bxbX > 1"axa)b ax - xdx不是廣義積分，并且,1 故.0 In x義被積函數(shù)在x =

11、 0時(shí)的值為0,在x= 1時(shí)的值為 b- a，則可理解為0,1上的連續(xù)函數(shù)b axxbyxya如果補(bǔ)充定由于In xdy (01).由xy在0三x 1,知b上連續(xù)，由定理21 xb -dx =0 In x1 b y dx x dy0 ab1 y I b dy1b=f dy x dx= j = In.a0al y1 a第二節(jié)含參量的非正常積分§ 2 .1含參量的非正常積分設(shè)函數(shù)f(x, y)在無界區(qū)域E : x- b,c £ y '上有定義，若對(duì)每一個(gè)x a,b，非正常積分.f(x, y)dy(2.1)都收斂，則它的值是區(qū)間a,b上x的函數(shù)，記作I(x)，有+ Q0l

12、(x)=J f(x,y)dy a,b.c(2.2)稱l(x)為定義在a,b上的含參量x的無窮限非正常 積分或簡(jiǎn)稱含參量X的非正常積分或者稱為含參量x 的廣義積分設(shè)A = c,取一個(gè)數(shù)列 An嚴(yán)格遞增，且lim 人二 ，n > :于是+ O000 A00n 1l(x) f(x,y)dy=瓦 f A f(x, y)dy=瓦 un(x)cnT Ann=1因此，含參量的非正常積分本質(zhì)上就是一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí) 數(shù)，l(x)就是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，所以我們可以用研 究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的方法研究含參量的非正常積分的一 些性質(zhì)定義 若含參量非正常積分(2.1)與I (x)對(duì)任 給的正數(shù)；，總存在某一實(shí)數(shù)N c,使得

13、當(dāng)M N 時(shí)，對(duì)一切x a,b，都有MJ f (x, y)dy 一 I (x) < 8 ,即 c+ Q0J f (x,y)dy £ 5.M則稱含參量非正常積分(2.1 )在a,b上一致收斂于I (x)或者說含參量非正常積分(2.1)在a,b上一致 收斂.由函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂柯西準(zhǔn)則，可得定理4 (一致收斂的柯西準(zhǔn)則)含參量非正常積 分(2.1)在a,b上一致收斂的充要條件是：對(duì)任給 的正數(shù)；，總存在某一實(shí)數(shù)M c,使得當(dāng) A1,A2 M時(shí)，對(duì)一切x a,b，都有A?J f (x, y)dy < 耳.(2.3)由Ai柯西收斂準(zhǔn)則，我可得定理5 (維爾斯特拉斯M判別法)設(shè)有函

14、數(shù)g(y)，使得，f(x, y)卜g(y)， a - x- b，c- y ,+ oO+ oO若 g(y)dy收斂，貝U f (x, y)dy在a,b上 cc一致收斂.+ oo證 由. g(y)dy收斂，由廣義積分的柯西收c斂準(zhǔn)則知0，存在M0，當(dāng)A，A?M時(shí),都有AAg(y)dy=：g(y)dyA2A2f(x,y)dyAA2Af(x, y)dy £Ag(y)dy+ oO由定理1知. f (x, y)dy在a,b上一致收斂. c注：上面的區(qū)間a,b也可以是開區(qū)間，可以是半閉區(qū)間，可以是無窮區(qū)間.-a2x2e證明02dx 在 a (-/)上1 x2致收斂.-a2x2e1 x211 x2,

15、倩 “ 一dx = arcta nx01+x2+ oO 兀0收斂.+ QO由定理2知.022 2 -a xe-dx在a /)上一致1 x2收斂.含參量的非正常積分的一致收斂與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的 致收斂有著密切的聯(lián)系，有下面的結(jié)果Mf （x, y）dy - I （x）弋 s ,即c+ Q0M f(X，y)dy定理6含參量非正常積分（2.1）在a,b上一致收斂的充要條件是：對(duì)任一趨于：的嚴(yán)格遞增數(shù)列A ：其（其中A廠c）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)OOAO0Aq + 1瓦 J f（x,y）dy二送 Un（x） n=1 Ann = 1（2.4）在a,b上一致收斂.證 必要性 由（2.1）在a,b上一致收斂，故 對(duì)任給； 0

16、，必存在正數(shù)M c，使得當(dāng) A A M時(shí)，對(duì)一切x a,b，總有(2.5)AJAf（X, y）dy又由氏、 (n，:),它對(duì)于正數(shù)M，存在相 應(yīng)的自然數(shù)N，只要m n N，對(duì)一切x a,b,Un(X)+ U”i(X)十+ Um(x)An 1A f(x,y)dy AnAm+1A f(x,y)dy+AmAn +1=J f (x, y)dy Am則級(jí)數(shù)(2.4)在a,b上一致收斂.充分性 用反證法，假若(2.1)在a,b上不一 致收斂，則存在某個(gè)正數(shù)；0，對(duì)任何實(shí)數(shù)M c， 存在相應(yīng)的AA M和x a,b，使得AJ Af(x,y)d廠 s ,A.現(xiàn)取M廠max 1,c，則有A24 M 1及x<

17、 a,b，使得f (xi，y)dy（2.6）由上述條件知；4n 嚴(yán)格遞增，并且imAn于是級(jí)數(shù)' Un（X）八n=1n=1由（2.6）式知，存在00，對(duì)任何自然數(shù)N，只要n N，就有某個(gè)xna,b，使得人2門0）U2n-1 (Xn)| =卩.f(Xn，y)dyn -1與級(jí)數(shù)（2.4）在a,b 上致收斂，則un（x）致趨 于0相矛盾，故假設(shè)不成立，所以含參量非正常積分（2.1 ）在a,b上一致收斂.§ 2.2含參量非正常積分性質(zhì)由定理3可知含參量非正常積分的一致收斂與對(duì) 應(yīng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂本質(zhì)上是一樣的，因此，由 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)連續(xù)，可微的條件，可得到含參量 非正常積分連

18、續(xù)，可微的條件及證明的方法定理7 （連續(xù)性）設(shè)f （x, y）在a - x- b,c ' y '上連續(xù)，若含參量非正常積+ QO分 I(X)二 f (x, y)dy c在a,b上一致收斂，則I (x)在a,b上連續(xù)，即+ O0lim f (x, y)dy =X ' Xo c+ oOlim f (x, y)dy.c x > xo(2.7)證 設(shè)A二c，取一嚴(yán)格遞增數(shù)到A/，且lim An =n：由定理知00An亠1瓦ff (x, y)dy一致收斂，且n=1 Anf A"1 f (x, y)dy在a,b上連續(xù), An由本章第四節(jié)定理4,知+ COI(x)=

19、c f(x'y)dy =QO工n=11f(x,y)dy 在a,b上連續(xù)這個(gè)定理表明，在一致收斂條件下，極限運(yùn)算與非正常積分可交換順序定理8 (可微性)設(shè)f (x, y)和一f (x, y)在a - x- b,c蘭y上連續(xù)+ oO若 l(x)二f(x, y)dy在a,b上收斂，c+ oO 總f f (x, y)dy在a,b上一致收斂，且I (x)在 c xa,b上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且+ oo 只l(x)= cxf(x,y)dy，即d廠 f (x,y)dy f (x, y)dy.dx cc x(2.8)證 設(shè)A, = C，取一嚴(yán)格遞增數(shù)列1 A/且lim州= ，有n > :+ CO00

20、f (x,y)dy 二 'Cn=1A00n 1f (x,y)dy 二 ' Un(x)Ann = 1+兇袒波人+1§(x)c L(X，y)d廠 n=1 An 二(X，y)d廠 n/n由un (x)在a,b上連續(xù)，7 un(x)在a,b上收斂n=100F于 I (x),、un (x)在a,b上一致收n=1斂，由本章第四節(jié)定理6知,I (x)二 f(x,y)dy 八 un (x)在a,b具有連 cn=1續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且"+ 00 dI (x)八 Un(X)二一f (x, y)dy，即n=1C cxdy cf (x, y)dy+ QOcf (x, y)dy.該定理表明在

21、滿足此定理的條件下， 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與積分運(yùn)算可以交換順序注以上定理中的區(qū)間a,b可以換成半閉區(qū)間，開區(qū) 間或無窮區(qū)間，結(jié)論依然成立定理9 (可積性)設(shè)f (x, y)在a - x豈b,c空y上連續(xù)，+ Q0若l(x)匚f(x, y)dy在a,b上一致收c斂，則l(x)在a,b上可積，且bdx f(x, y)dy 二 a c+ 00bdy f (x, y)dx. ca證 設(shè)= c，取一嚴(yán)格遞增數(shù)列 A/且lim人二 ，有n > :l(X)二+ oOc"An+1f(x,y)dy 八f(x,y)dy 二n=1 Anod' Un(x)n=1oO由un(x)在a,b上連續(xù)，'

22、 un(x)在a,b上可積,n=1且b|(x)dx八比化皿，即an =i abbAn 1厲 f(x,y)dydx0=En =1An 1 b州*(x,y)dxd廠十00bf (x, y)dxdy c a f(x, y)dy 八 a cnT a即bbdx f(x, y)dy 二 dy f (x, y)dx.a cc a該定理表明在滿足此定理?xiàng)l件下，正常積分與廣義積 分可交換順序注：此區(qū)間a,b不能換成其它類型區(qū)間，否則結(jié)論不一定成立如果定理9中的x取值范圍為無限區(qū)間a/ 時(shí)，則 有下面的結(jié)果定理10設(shè)f (x, y)在a - X ,c-目上連續(xù)，若+ Q0.f(x, y)dx關(guān)于y在任何閉區(qū)間c,

23、da+ oo上一致收斂，. f (x, y)dy關(guān)于x在任何閉區(qū)間 ca,b上一致收斂；+ od+ oo設(shè) Jdx | f (x, y)dy與ac+ oo+ oaf dyJ |f(x, y)dx中有一個(gè)收斂，則ac+ oo+ CO+ CO+ oddx f(x, y)d廠dy f (x, y)dxacc a+ oCi+ cd證不妨設(shè)J dxJ | f (x, y) dy收斂，由 ac此得+ od+ od dxJ f (x, y)dy 也收斂.當(dāng) d>c acd + od+ oCidxjf (x, y)dyacI d = J dy【 f (x, y)dx- c addy f (x, y)dx

24、- c a+ oOaddx f (x, y)dy - d ca由條件1及定理6知+ co+ oadxAdf (x, y) dy 2A + QO+ QO<J dxf,f(x, y)dy+ JdxJadAd+ oo+ oaIddxJf(x,y)dyadf(x, y)dy由條件2,任給 0，有G a，當(dāng)A G時(shí)，有+ QO選定A后，由.f(x, y)dy的一致收斂，存在aM c,使得當(dāng)d M時(shí)，, 于是2(A- a)+ COf (x, y)dy aId q 2，即0"°，即+ CO+00+od+ OdJ dy( f(x, y)dx= J dx f (x, y)dy caac

25、.同樣含參量無界函數(shù)非正常積分定義設(shè)f (x,y)在區(qū)域D : x乞b,c y d有定義，若對(duì)x的某些值dy = d為函數(shù)f (x, y)的瑕點(diǎn)，則稱 .f(x, y)dyc為含參量x的無界函數(shù)的非正常積分或簡(jiǎn)稱為含參 量非正常積分或含參量廣義積分，討論它的連續(xù)性， 可積性，可微性與討論含參量無窮區(qū)間上非 積分的 性質(zhì)完全類似，有興趣的讀者可以自己推得.-ax -bx e - e例2從等式+ QO積分.0解續(xù)x-axbxe - e .dx(0x由e岡在區(qū)域0 - x :exydy,出發(fā)計(jì)算aa b).，a乞y乞b上連_ax由x - 0, a乞y乞b時(shí)，0 exy乞e+且積分.0于是利用定理6,

26、-ax-bxe - e .dxx00 bdx eaeaxdx收斂,故積分+ oOexydx是一致0收斂，+ oOxydyb dyaexydxb(-alnb.a1 xy)(e y+ QO0 )d廠b-dy =ayIn y+ oo例3計(jì)算0 ax e血dx (a 0).解設(shè)I(b)0訕沁dX,+ cd(尹沁+ CO+ cd所以limx > 0b-ax | e cosbx-axe dx 二)dx=0-ax-e 而1(eaxa+ QOeaxcosbxdx1收斂ae ax cosb x d 一致收斂，由誣宜致b.-ax sin bxx二0為可去間斷點(diǎn)，補(bǔ)充定義值為b，則e -在c乞d,0 X：上連

27、續(xù)，且x-ax sin bx e beaxdx收斂，因此+ QObe收斂，由定理5知x+ QObe®，而 J0aI (b)I(b)e axcobxdx 丐一2,于是0a2 b2幾 db=arctanb c a2 + b2a因?yàn)?(0) = 0，有c二0，所以-axsin bxbf e dx= arcta n.0xa第三節(jié) 函數(shù)和B函數(shù)§ 3.1 函數(shù)在第五章第五節(jié)中我們已經(jīng)對(duì) 函數(shù)有所了解，+ QOI (s)二.x1exdx (3.1)的定義域是0s 0且(s 1) = s (s) (s 0)下面我們證明;(s)在定義域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，由1 :(s) =xs1e xdx xs

28、1e xdx= h(s) 12(s)對(duì)任何閉區(qū)間a,b(a0)對(duì)于I's)，當(dāng)0乞x乞11時(shí)，XsTjx 豈 XaTjx，由.Xa1exdX 收斂，從0而I1(s)在a,b上一致收斂，對(duì)于 12(s)，當(dāng) 1 - x 時(shí)，x1e x1ex，+ oo由. x1exdx收斂，從而l2(s)在a,b上一致1收斂，于是】(s)在s 0上連續(xù).同理可得+ CO £+ O0(xs 1e x)dx 二xs 1e x In xdx.0 s0在任何閉區(qū)間a,b(a0)上一致收斂，由本章第二節(jié)定理5知-(s)在a,b上可導(dǎo)，由a,b的任意性知,-(s)在s 0 上連續(xù)同理可得+ O0 £

29、;+ O0(xs1ex)dx=x1ex lnxdx0 s0在任何閉區(qū)間a, b (a 0)上一致收斂，由本章第二 節(jié)定理5知-(s)在a, b上可導(dǎo)，由a,b的任意性知，】(s)在 s 0上可導(dǎo)，且+ Q0(s)J xs 怯 x ln x d x s > 0.同理 0-(n)+ Q0(s) =xs 1e x(ln x)ndx s 0.(s)有時(shí)還可以表示為其它形式若令x二y2，有+ QO30心處2。2s-1 仁y e dy(s 0).(3.2)若令x二py，有+ od+ ods_1 -xss_1 - py I(s)二 x e dx = p y e dy 0 0(s 0, p 0).(3.

30、3)§ 3.2 B函數(shù)1B(P,q)= °xp1(1 x)q 1dx,p 0,q0.(3.4)稱為貝塔(Bate)函數(shù)，或簡(jiǎn)稱為B函數(shù).由p v 1時(shí)，x= 0是瑕點(diǎn)，q < 1時(shí)，x=i是瑕點(diǎn)，于 是11B(p,q)= J xpT(1_ x)qTdx+ J1XpT(1_ x)qTdx= J 02對(duì)于I ： X = 0是瑕點(diǎn)，由Xp1(1 - X)Z t(X ' 0 ),x當(dāng)1 - p < 1,即P>0時(shí)，li收斂.對(duì)于I 2 ： X = 1是瑕點(diǎn)，由x1(vx)q-1-rq(x，1),(1 - X)當(dāng)1 - q 1,即q 0時(shí)，12收斂.因此，當(dāng)

31、p> 0且q > 0時(shí)，B( p,q)收斂，即B( p,q) 的定義域是p 0, q 0那么B(p,q)具有什么性質(zhì)呢？1、B(p,q)在定義域p 0，q 0時(shí)連續(xù)任給(x0,y0)'0 p ,0 q ，取一組正常數(shù) p0,q°，使 0 P。* X0，0 q y， 由對(duì)于任何p - Po 0，有Xp1(1 一 x)qT 匸 xpoT(1- X)qoT.1而積分.Xp°T(1 - X)q°TdX收斂，由M判別法知0B(p,q)在 P。二 p ,q° 二 q上一致收斂，因此，B( p,q)在點(diǎn)(x0, y0)處連續(xù)，故B( p,q) 在p 0，q 0內(nèi)連續(xù).2、對(duì)稱性B(p,q)二B(q, p)作變換x = 1 y,得B(P,q) = xp x)q1dx0i(1y)y"oy(1y) dy=B(q，Pq T3、遞推公式 B(p,q)B(p,qT).p+ qT(3.5)q TB(p,q)B(pT,q)p+ qT(3.6)p T q TB(p,q)B(pT,qT).p qTp q- 2(3.7)證 只要證明公式(3.5)成立，利用對(duì)稱性就證明(3.6)由(3.5)、(3.6)就可推出(3.7)當(dāng) p> 0,q> 1時(shí)，有1B( P,q) = xp1(1x)q1dx1 3