大學(xué)物理第四章振動(dòng)ppt課件

1、第第4章章 振動(dòng)振動(dòng)4.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其描畫簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其描畫4.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程4.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量4.4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成4.5 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振作業(yè)：練習(xí)冊(cè)作業(yè)：練習(xí)冊(cè)選擇題：選擇題：1-10填空題：填空題：1-10計(jì)算題：計(jì)算題：1-6 由于振動(dòng)是聲學(xué)、地震學(xué)、建筑力學(xué)等必需由于振動(dòng)是聲學(xué)、地震學(xué)、建筑力學(xué)等必需的根底知識(shí)，自然界中還有許多景象，如交變電的根底知識(shí)，自然界中還有許多景象，如交變電流、交變的電磁場(chǎng)等，都屬于廣義的振動(dòng)景象。流、交變的電磁場(chǎng)等，都屬于廣義的振動(dòng)景象。這些運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)雖然并非機(jī)械運(yùn)

2、動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)規(guī)律這些運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)雖然并非機(jī)械運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)描畫卻與機(jī)械振動(dòng)類似。因此，機(jī)械振動(dòng)的數(shù)學(xué)描畫卻與機(jī)械振動(dòng)類似。因此，機(jī)械振動(dòng)的研討也為光學(xué)、電學(xué)、交流電工學(xué)、無(wú)線電技的研討也為光學(xué)、電學(xué)、交流電工學(xué)、無(wú)線電技術(shù)等打下了一定的根底。術(shù)等打下了一定的根底。 任何一種復(fù)雜的機(jī)械振動(dòng)都可以看成多個(gè)直任何一種復(fù)雜的機(jī)械振動(dòng)都可以看成多個(gè)直線振動(dòng)的疊加。線振動(dòng)的疊加。學(xué)習(xí)機(jī)械振動(dòng)的意義學(xué)習(xí)機(jī)械振動(dòng)的意義閱讀資料閱讀資料: :頻譜分析頻譜分析利用付里葉分解可將恣意振動(dòng)分解成假設(shè)干簡(jiǎn)諧振動(dòng)利用付里葉分解可將恣意振動(dòng)分解成假設(shè)干簡(jiǎn)諧振動(dòng)(S.H.V.) simple harmonic vibra

3、tion 的疊加的疊加 (合成的逆運(yùn)算。合成的逆運(yùn)算。 對(duì)周期性振動(dòng)：對(duì)周期性振動(dòng)： T T 周期周期) cos(2)(10kkktkAatxT2=k = 1 基頻基頻 k = 2 二次諧頻二次諧頻2 k = 3 三次諧頻三次諧頻3決議音調(diào)決議音調(diào)決議音色決議音色高次諧頻高次諧頻物理上：普通振動(dòng)是多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成物理上：普通振動(dòng)是多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成數(shù)學(xué)上：數(shù)學(xué)上： 付氏級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù) 付氏積分付氏積分也可以說(shuō)簡(jiǎn)諧振動(dòng)也可以說(shuō)簡(jiǎn)諧振動(dòng)S.H.V.是振動(dòng)的根本模型是振動(dòng)的根本模型或說(shuō)或說(shuō) 振動(dòng)的實(shí)際建立在簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)的實(shí)際建立在簡(jiǎn)諧振動(dòng)S.H.V.的根底上。的根底上。) cos(2)(10kkkt

4、kAatx4.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其描畫簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其描畫 簡(jiǎn)諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，分開(kāi)平衡位置的位移簡(jiǎn)諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，分開(kāi)平衡位置的位移( (或或角位移角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )規(guī)律隨時(shí)間變化。規(guī)律隨時(shí)間變化。)cos(0tAx速度速度)sin(dd0tAtxv加速度加速度)cos(dd0222tAtxa2. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量振幅、周期、頻率和相位簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量振幅、周期、頻率和相位振幅振幅 A周期周期T T 和頻率和頻率相位相位(1) (1) ( t + t +0 )0 )是是 t t 時(shí)辰的相位，時(shí)辰的相位， (2) (2) 0 0 是是t =0 t =0 時(shí)辰的相位時(shí)

5、辰的相位 初相。初相。相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)步伐上的差別相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)步伐上的差別, ,設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為：設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為：相位差相位差 10201020)()(tt)cos(1011tAx)cos(2022tAx）（T1x = A cos( t + 0)優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：初位相直觀明確。初位相直觀明確。比較兩個(gè)比較兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差直觀明確。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差直觀明確。3. 3. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法1212)()(tt t = 0 0oxAx t+ 0t = tA2A2 1A1x0ox2A1A3A

6、) 12(k(A1、A3) 兩個(gè)振動(dòng)為反相兩個(gè)振動(dòng)為反相.(A1、A2) 兩個(gè)振動(dòng)為同相；兩個(gè)振動(dòng)為同相；k2例例: :一物體沿一物體沿x x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.12mA=0.12m，周期，周期T=2sT=2s。當(dāng)。當(dāng)t=0t=0時(shí)時(shí), ,物體物體的位移的位移x=0.06m,x=0.06m,且向且向x x軸正向運(yùn)動(dòng)。求軸正向運(yùn)動(dòng)。求: :(1)(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式; ;(2) t =T/4(2) t =T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度時(shí)物體的位置、速度和加速度; ;(3)(3)物體從物體從x = -0.06mx = -0.06m向向x x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一

7、次回到平衡位置所需時(shí)間。軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解解: (1): (1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn), ,諧振動(dòng)表達(dá)式寫為：諧振動(dòng)表達(dá)式寫為：)cos(0tAx其中其中A=0.12m, T=2s, T2初始條件：初始條件：t = 0, x0=0.06m,可得可得, 0sin00Av06. 0cos12. 003030) 3cos(12. 0tx(2)(2)由由(1)(1)求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得: :) 3sin(12. 0ddttxv) 3cos(12. 0dd2ttav在在t =T/4=0.5st =T/4=0.5s時(shí)，代入所列的表達(dá)式可求

8、時(shí)，代入所列的表達(dá)式可求! !例例: :一物體沿一物體沿x x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.12mA=0.12m，周期，周期T=2sT=2s。當(dāng)。當(dāng)t=0t=0時(shí)時(shí), ,物體物體的位移的位移x=0.06m,x=0.06m,且向且向x x軸正向運(yùn)動(dòng)。求軸正向運(yùn)動(dòng)。求: :(1)(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式; ;(2) t =T/4(2) t =T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度時(shí)物體的位置、速度和加速度; ;(3)(3)物體從物體從x = -0.06mx = -0.06m向向x x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解解:(3):

9、(3)當(dāng)當(dāng)x = -0.06mx = -0.06m且向且向x x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，該時(shí)辰設(shè)為軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，該時(shí)辰設(shè)為t1,t1,x1320 x設(shè)物體在設(shè)物體在t2t2時(shí)辰第一次回到平衡位置時(shí)辰第一次回到平衡位置(x=0)(x=0)，相位是，相位是3 3/2/223從從t1t1時(shí)辰到時(shí)辰到t2t2時(shí)辰所對(duì)應(yīng)的相差為：時(shí)辰所對(duì)應(yīng)的相差為：653223 振幅矢量的角速度振幅矢量的角速度， t = 另外，另外， T =2T =2s83. 0652Tt4.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程受力特點(diǎn)受力特點(diǎn): : 線性恢復(fù)力線性恢復(fù)力 F = - kx F = - kx 以程度彈簧振子為例以程度

10、彈簧振子為例22ddtxmF 由）（mkxtx, 0dd222 固有頻率決議于系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)固有頻率決議于系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)位移位移 x x 之通解可寫為：之通解可寫為：)cos(0tAx 固有固有( (圓圓) )頻率頻率常量常量A A和和0 0由初始條件確定由初始條件確定根據(jù)初始條件：根據(jù)初始條件：t = 0 t = 0 時(shí)，時(shí)，x = x0 , v = v0 x = x0 , v = v0) (cos0tAx) (sin 0tAv00cosAx 0t00sin Av22020vxA000 tanxv(1)(1)單擺單擺 mmg幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)sinmgM重力的切向分力：重力的切

11、向分力：.! 5! 3sin53sintmamgsin)(ta22ddsintmmg 很小很小, ,小于小于50 50 時(shí)，時(shí)，0dd22gtg2令gT2所以：?jiǎn)螖[作小角度擺動(dòng)，也是諧振動(dòng)角所以：?jiǎn)螖[作小角度擺動(dòng)，也是諧振動(dòng)角諧振動(dòng)。重力的分力準(zhǔn)彈性力。諧振動(dòng)。重力的分力準(zhǔn)彈性力。0dd222t通解為：通解為：)cos(0tm(2) (2) 復(fù)擺復(fù)擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。 剛體的質(zhì)心為剛體的質(zhì)心為C, C, 對(duì)過(guò)對(duì)過(guò)O O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I, OI, O、C C 兩點(diǎn)間的間隔為兩點(diǎn)間的間隔為h h。令令據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律M

12、=IM=I，得，得假設(shè)假設(shè) 角度較小時(shí)角度較小時(shí)sindd22mghtImghtI22ddImgh20dd222tmghIT22gmCOh簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量( (以程度彈簧振子為例以程度彈簧振子為例) )(1) (1) 動(dòng)能動(dòng)能4.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量)(sin212102222tAmmEkv0,21min2maxkkEkAE241d1kAtETETttkk)(sin21022tkA)(cos21210222tkAkxEP(2) (2) 勢(shì)能勢(shì)能情況同動(dòng)能。情況同動(dòng)能。pppEEE,minmax系統(tǒng)總的機(jī)械能：系統(tǒng)總的機(jī)械能：221kAEEEpk簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒簡(jiǎn)諧

13、振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒) (sin 0tAvmk諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線: :221kAE PEkEE0ttAxcos0tx241kAEEpk簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法1. 由分析受力出發(fā)由分析受力出發(fā)( (由牛頓定律列方程由牛頓定律列方程) )2. 由分析能量出發(fā)由分析能量出發(fā)( (將能量守恒式對(duì)將能量守恒式對(duì)t t 求導(dǎo)求導(dǎo)) )例：彈簧豎直放置時(shí)物體的振動(dòng)。例：彈簧豎直放置時(shí)物體的振動(dòng)。m0l0 xxxo彈簧原長(zhǎng)彈簧原長(zhǎng)掛掛m m后伸長(zhǎng)后伸長(zhǎng)某時(shí)辰某時(shí)辰m m位置位置f伸伸 長(zhǎng)長(zhǎng)受彈力受彈力平衡位置平衡位置k解：求平衡

14、位置解：求平衡位置mgkx 0kmgx 0以平衡位置以平衡位置O O為原點(diǎn)為原點(diǎn)kxkxkxmgxxkmgF00)(因此因此, , 此振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。此振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。221kxm0l0 xxxo以平衡位置以平衡位置O O為原點(diǎn)為原點(diǎn)彈簧原長(zhǎng)彈簧原長(zhǎng)掛掛m m后伸長(zhǎng)后伸長(zhǎng)某時(shí)辰某時(shí)辰m m位置位置f伸伸 長(zhǎng)長(zhǎng)受彈力受彈力平衡位置平衡位置kxkxkxmgxxkmgF00)(k重力和彈性力都是保重力和彈性力都是保守力，合力守力，合力F F 作功將作功將轉(zhuǎn)化為勢(shì)能。轉(zhuǎn)化為勢(shì)能。221)(kxkx功包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能系統(tǒng)的勢(shì)能系統(tǒng)的勢(shì)能假設(shè)振動(dòng)系統(tǒng)除去本身假設(shè)振動(dòng)系統(tǒng)除去本身

15、恢復(fù)力之外還有其它恒恢復(fù)力之外還有其它恒力作用。振動(dòng)系統(tǒng)仍作力作用。振動(dòng)系統(tǒng)仍作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。以振動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。以振動(dòng)系統(tǒng)在恒力作用下的平衡位在恒力作用下的平衡位置為原點(diǎn)，那么可按常置為原點(diǎn)，那么可按常規(guī)立刻寫出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)立刻寫出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程或振動(dòng)表達(dá)式。微分方程或振動(dòng)表達(dá)式。在本例中在本例中0dd22xmktx)cos(tAxm0l0 xxxo彈簧原長(zhǎng)彈簧原長(zhǎng)掛掛m m后伸長(zhǎng)后伸長(zhǎng)某時(shí)辰某時(shí)辰m m位置位置f伸伸 長(zhǎng)長(zhǎng)受彈力受彈力平衡位置平衡位置k例例: 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的物體從傾角為的物體從傾角為 的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜止滑下，的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜止滑下，滑行滑行 遠(yuǎn)后與質(zhì)量為遠(yuǎn)后與

16、質(zhì)量為M 的物體發(fā)生完全非彈性碰撞。的物體發(fā)生完全非彈性碰撞。M與頑強(qiáng)與頑強(qiáng)系數(shù)為系數(shù)為k的彈簧相連，碰前的彈簧相連，碰前M 靜止于斜面。求：運(yùn)動(dòng)方程。靜止于斜面。求：運(yùn)動(dòng)方程。 mMk解解1：?。喝與與M 碰撞連在一同后的平衡位碰撞連在一同后的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。置為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)此時(shí)彈簧在設(shè)此時(shí)彈簧在m m與與M M的緊縮下的緊縮下退了退了x0 x0。x0原長(zhǎng)原長(zhǎng)Mmx0坐標(biāo)系如圖坐標(biāo)系如圖0 x0sin)(xkgMm)(sin)(/dd)(022xxkgMmtxMmkxtxMm22dd)(以振動(dòng)系統(tǒng)在恒力作用下的平衡位置以振動(dòng)系統(tǒng)在恒力作用下的平衡位置為原點(diǎn)，那么可按常規(guī)立刻寫出簡(jiǎn)諧為原

17、點(diǎn)，那么可按常規(guī)立刻寫出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程或振動(dòng)表達(dá)式。振動(dòng)的微分方程或振動(dòng)表達(dá)式。例：一質(zhì)量為例：一質(zhì)量為m m的物體從傾角為的物體從傾角為 的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜止滑的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜止滑下，滑行下，滑行 后遠(yuǎn)后與質(zhì)量為后遠(yuǎn)后與質(zhì)量為M M的物體發(fā)生完全非彈性碰撞。的物體發(fā)生完全非彈性碰撞。M M與與頑強(qiáng)系數(shù)為頑強(qiáng)系數(shù)為k k的彈簧相連，碰前的彈簧相連，碰前M M靜止于斜面。求：運(yùn)動(dòng)方程。靜止于斜面。求：運(yùn)動(dòng)方程。kxtxMm22dd)(Mmk以碰撞時(shí)作為記以碰撞時(shí)作為記時(shí)起點(diǎn)時(shí)起點(diǎn)動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒sin20gMmmv初位置初位置sin0gkmx002020/xtgxAvv)cos(tAx

18、A和和0由初始條件確定由初始條件確定CkxMm2221)(21v0dd)(kxtMmv0dd)(22kxtxMm解解2 : 取平衡位置取平衡位置x = 0為系統(tǒng)勢(shì)能的零點(diǎn)。為系統(tǒng)勢(shì)能的零點(diǎn)。系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法2. 由分析能量出發(fā)由分析能量出發(fā)( (將能量守恒式對(duì)將能量守恒式對(duì)t t 求導(dǎo)求導(dǎo)) )Mmk勢(shì)能討論勢(shì)能討論取平衡位置取平衡位置x = 0為系統(tǒng)為系統(tǒng)勢(shì)能的零點(diǎn)。勢(shì)能的零點(diǎn)。) 1 (21)(212122020kAMmkxv機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 初始初始最大位移最大位移另，設(shè)彈簧自然長(zhǎng)度未形變時(shí)彈性勢(shì)能為零，重力勢(shì)另，設(shè)彈簧自然

19、長(zhǎng)度未形變時(shí)彈性勢(shì)能為零，重力勢(shì)能的零點(diǎn)取在能的零點(diǎn)取在 x = 0 x = 0 處。處。sin)()(21)(21020200gxMmMmxxkv)2(sin)()(2120gAMmAxk(2) (1)0sin)(xkgMm勢(shì)能討論勢(shì)能討論取平衡位置取平衡位置x = 0為系統(tǒng)為系統(tǒng)勢(shì)能的零點(diǎn)。勢(shì)能的零點(diǎn)。) 1 (21)(212122020kAMmkxv機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒20202)(212121vMmkxkA20202vkMmxAMmk22020vxA由初始條件決議由初始條件決議A A也是機(jī)械能守恒定律的必然結(jié)果。也是機(jī)械能守恒定律的必然結(jié)果。任何一個(gè)實(shí)踐的彈簧都是有質(zhì)量的，假設(shè)思索彈簧

20、的質(zhì)量，任何一個(gè)實(shí)踐的彈簧都是有質(zhì)量的，假設(shè)思索彈簧的質(zhì)量，彈簧振子的振動(dòng)周期將變大還是變?。繌椈烧褡拥恼駝?dòng)周期將變大還是變??？ 討論討論變大變大變小變小參考解答：由于彈簧振子的周期決議于系統(tǒng)的慣性和彈性，慣性越大參考解答：由于彈簧振子的周期決議于系統(tǒng)的慣性和彈性，慣性越大那么周期越大。因此可以定性地說(shuō)，在思索了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧那么周期越大。因此可以定性地說(shuō)，在思索了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振子的周期一定會(huì)變大。振子的周期一定會(huì)變大。假設(shè)振子的質(zhì)量為假設(shè)振子的質(zhì)量為M M，彈簧的質(zhì)量為，彈簧的質(zhì)量為m m，彈簧的勁度系數(shù)為，彈簧的勁度系數(shù)為k k，可以計(jì)，可以計(jì)算出，在思索了彈簧的質(zhì)量之后，彈

21、簧振子的振動(dòng)周期為算出，在思索了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振子的振動(dòng)周期為kmMT3/2解：平衡時(shí)解：平衡時(shí)0 0 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。物體運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。物體運(yùn)動(dòng)到x x 處時(shí)，速度為處時(shí)，速度為v .v .設(shè)此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為設(shè)此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為L(zhǎng),ddvLltxLl速度為：速度為：彈簧、物體的動(dòng)能分別為：彈簧、物體的動(dòng)能分別為：202161)d(21vvmLllLmELk2221vMEk前提前提: : 彈簧各等長(zhǎng)小段變形一樣，位移是線性規(guī)律彈簧各等長(zhǎng)小段變形一樣，位移是線性規(guī)律彈簧元彈簧元dldl的質(zhì)量的質(zhì)量lLmmdd位移為位移為xLlxxM0vdll例：勁度系數(shù)為例：勁度系數(shù)為k k、質(zhì)量為、質(zhì)

22、量為m m 的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為M M 的物體，在光滑程度面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。的物體，在光滑程度面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。( m M )( m M )系統(tǒng)彈性勢(shì)能為系統(tǒng)彈性勢(shì)能為22kxEP系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有常數(shù)常數(shù)222216121kxmMvv常數(shù)常數(shù)2221)3(21kxmMv將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，整理后可得將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，整理后可得0dd)3(kxtmMv03dd22xmMktx2 因此，彈簧因此，彈簧質(zhì)量小于物體質(zhì)質(zhì)量小于物體質(zhì)量，且系統(tǒng)作微量，且系統(tǒng)作微運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧振運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)可視為子的運(yùn)動(dòng)

23、可視為是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。kmMT) 3(224.4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.1.同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)分振動(dòng) ：x1=A1cos(t+10)x2=A2cos(t+20)合振動(dòng)合振動(dòng) : :x = x 1 + x 2 = A cos(t+0 ) 合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng), , 其頻率仍為其頻率仍為)cos(21020212221AAAAA2021012021010coscossinsintgAAAA兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。動(dòng)的合成仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)的合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)

24、的頻率一樣。頻率一樣。 兩種特殊情況兩種特殊情況 (1) (1)假設(shè)兩分振動(dòng)同相假設(shè)兩分振動(dòng)同相 2020 10 =10 =2k2k ( k = 0,1,2, )( k = 0,1,2, )(2)(2)假設(shè)兩分振動(dòng)反相假設(shè)兩分振動(dòng)反相 2020 10 =10 =(2k+1)(2k+1) ( k = 0,1,2, )( k = 0,1,2, )如如 A1=A2 , 那么那么 A=0那么那么A=A1+A2 , 兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)那么那么A=|A1-A2|, 兩分振動(dòng)相互減弱兩分振動(dòng)相互減弱)cos(21020212221AAAAA兩個(gè)振動(dòng)的位相差，對(duì)合成振動(dòng)起著重要的作用，這種兩個(gè)振

25、動(dòng)的位相差，對(duì)合成振動(dòng)起著重要的作用，這種景象在波的干涉與衍射中具有特殊的意義景象在波的干涉與衍射中具有特殊的意義 N個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振幅相等，初振動(dòng)，它們的振幅相等，初相分別為相分別為0, , 2, ., 依次依次差一個(gè)恒量差一個(gè)恒量 ，振動(dòng)表達(dá)式，振動(dòng)表達(dá)式可寫成可寫成 采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，從而避開(kāi)煩瑣采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，從而避開(kāi)煩瑣的三角函數(shù)運(yùn)算。的三角函數(shù)運(yùn)算。 根據(jù)矢量合成法那么，根據(jù)矢量合成法那么，N N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量的合成如以下圖所示：的合成如以下圖所示：taxcos1)cos(2t

26、ax )2cos(3tax) 1(cosNtaxN2. 2. 多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)的頻率一樣。合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)的頻率一樣。 合振動(dòng)的振幅和初相是分析的關(guān)鍵合振動(dòng)的振幅和初相是分析的關(guān)鍵! !NOCM taxcos1)cos(2tax )2cos(3tax) 1(cosNtaxNOx1a2a3a4a5aCAM 因各個(gè)振動(dòng)的振幅一樣且相差依次恒為因各個(gè)振動(dòng)的振幅一樣且相差依次恒為a,a,上圖中上圖中各個(gè)矢量各個(gè)矢量 的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在以的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在以C C為圓心的圓周上，根據(jù)簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系，可得為圓心的圓周上，根據(jù)簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系，可

27、得）、.(4321aaaa.21它們的夾角顯然等于，交于的垂直平分線，兩者相和作CaaNOCM 在三角形在三角形DOCMDOCM中中,OM ,OM 的長(zhǎng)度就是合振的長(zhǎng)度就是合振動(dòng)的振幅動(dòng)的振幅A,A,角度角度MOXMOX就是合振動(dòng)的就是合振動(dòng)的初相初相，據(jù)此得，據(jù)此得2sin2NAOC思索到思索到2sin2OCa 2sin2sinNaA COMCOXMOX21)(21)(21NNOX1a2a3a4a5aCAM21cos2sin2sinNtNax3.3.同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 拍拍兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率1和和2很接近，且很接近，且12)

28、cos(),cos(02220111tAxtAx兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得：兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得：)2cos()2cos(20121221ttAxxx合振動(dòng)可視為合振動(dòng)可視為角頻率為角頻率為隨時(shí)間變化很慢可隨時(shí)間變化很慢可看作合振動(dòng)的振幅看作合振動(dòng)的振幅隨時(shí)間變化較快可隨時(shí)間變化較快可看作作諧振動(dòng)的部分看作作諧振動(dòng)的部分,212)2cos(212tA振幅為振幅為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。由于振幅總是正值，而余弦函數(shù)的絕對(duì)值以由于振幅總是正值，而余弦函數(shù)的絕對(duì)值以 為周期，因此為周期，因此振幅變化的周期振幅變化的周期 可由可由決定，212振幅變化的頻率即拍頻振幅變化的頻率即拍頻121221同不斷線上，不同頻

29、率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成同不斷線上，不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成 拍拍旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量幾何法分析幾何法分析) cos(2222tAx) cos(1111tAx重合：重合：21AAA21AAA反向：反向：12ox1A12A2A,拍頻拍頻: : 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù) =| =|2-2-1| 1| 561單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)A2比比A1多轉(zhuǎn)多轉(zhuǎn)2 - 1圈，也就是合圈，也就是合振動(dòng)時(shí)加強(qiáng)時(shí)減弱頻率為振動(dòng)時(shí)加強(qiáng)時(shí)減弱頻率為2 - 1的拍景象。的拍景象。兩個(gè)同頻率的相互垂直的分運(yùn)動(dòng)位移表達(dá)式兩個(gè)同頻率的相互垂直的分運(yùn)動(dòng)位移表達(dá)式消時(shí)間參數(shù)，得消時(shí)間參數(shù)，得)cos(101tAx)(sin)co

30、s(210202102021222212AyAxAyAx)cos(202tAy 合運(yùn)動(dòng)普通是在合運(yùn)動(dòng)普通是在2A1 ( x 2A1 ( x 向向) )、2A2 ( y 2A2 ( y 向向) )范圍內(nèi)的一個(gè)橢圓。范圍內(nèi)的一個(gè)橢圓。 橢圓的性質(zhì)橢圓的性質(zhì)( (方位、長(zhǎng)短軸、左右旋方位、長(zhǎng)短軸、左右旋 ) )在在 A1 A1 、A2A2確定之后確定之后, ,主要決議于主要決議于 = =20 - 20 - 1010。4. 4. 相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成幾種特殊情況幾種特殊情況102002434523474方向垂直的不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成方向垂直的不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩分

31、振動(dòng)頻率相差很小兩分振動(dòng)頻率相差很小可看作兩頻率相等而可看作兩頻率相等而Df Df 隨隨t t 緩慢變化，合運(yùn)動(dòng)軌跡將按上緩慢變化，合運(yùn)動(dòng)軌跡將按上頁(yè)圖依次緩慢變化頁(yè)圖依次緩慢變化 軌跡稱為李薩如圖形軌跡稱為李薩如圖形兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比t )(120,42:3:1020yx無(wú)阻尼自在振動(dòng)無(wú)阻尼自在振動(dòng) 物體在彈性力或準(zhǔn)彈性力作用下產(chǎn)生的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)稱無(wú)物體在彈性力或準(zhǔn)彈性力作用下產(chǎn)生的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)稱無(wú)阻尼自在振動(dòng)。阻尼自在振動(dòng)。阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 物體在彈性力或準(zhǔn)彈性力和阻力作用下產(chǎn)生的運(yùn)物體在彈性力或準(zhǔn)彈性力和阻力作用下產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)稱阻尼振動(dòng)。動(dòng)稱阻尼振動(dòng)。4.5 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)

32、 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振阻尼振動(dòng)的種類：阻尼振動(dòng)的種類： 在阻尼振動(dòng)中，振動(dòng)系統(tǒng)所具有的能量將在振動(dòng)過(guò)程在阻尼振動(dòng)中，振動(dòng)系統(tǒng)所具有的能量將在振動(dòng)過(guò)程中逐漸減少。能量損失的緣由通常有兩種：中逐漸減少。能量損失的緣由通常有兩種： 一種是由于介質(zhì)對(duì)振一種是由于介質(zhì)對(duì)振動(dòng)物體的摩擦阻力，使振動(dòng)物體的摩擦阻力，使振動(dòng)系統(tǒng)的能量逐漸變?yōu)闊釀?dòng)系統(tǒng)的能量逐漸變?yōu)闊徇\(yùn)動(dòng)的能量而呵斥能量損運(yùn)動(dòng)的能量而呵斥能量損失。這稱摩擦阻尼。失。這稱摩擦阻尼。 另一種是由于振動(dòng)物體引起另一種是由于振動(dòng)物體引起臨近質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)，使振動(dòng)系統(tǒng)的能臨近質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)，使振動(dòng)系統(tǒng)的能量逐漸向周圍輻射出去，轉(zhuǎn)變?yōu)榱恐饾u向周圍輻射出去，轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)

33、搖的能量，而呵斥系統(tǒng)能量損動(dòng)搖的能量，而呵斥系統(tǒng)能量損失。這稱輻射阻尼。失。這稱輻射阻尼。阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)txfrddv彈性力和上述阻力作用下的微分方程：彈性力和上述阻力作用下的微分方程：在流體在流體( (液體、氣體液體、氣體) )中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速度較小時(shí)，中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速度較小時(shí)，阻力阻力 速度，速度， ：阻力系數(shù)。：阻力系數(shù)。txkxtxmdddd22m2;20mk令：令：稱稱0 0為振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率，稱為振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率，稱 為阻尼因子為阻尼因子0dd2dd2022xtxtx(1) (1) 2 2 02 02 阻尼較小時(shí)，此方程的解：阻尼較小時(shí)，此方程的解： 220)

34、cos()(0tAetxt這種情況稱為欠阻尼這種情況稱為欠阻尼0dd2dd2022xtxtx由初始條件決議由初始條件決議A A和初相位和初相位0,0,設(shè)設(shè)000dd,)0(,0vttxxxt即有：即有： 00000cossincosAAAxv,)(220020 xxAv0000 xxtgv欠阻尼下欠阻尼下1.1.振幅特點(diǎn)振幅特點(diǎn)振幅：振幅：A(t) = Ae-A(t) = Ae- t t)cos()(0tAetxt振幅隨振幅隨t t 衰減。衰減。 2.2.周期特點(diǎn)周期特點(diǎn)嚴(yán)厲講，阻尼振動(dòng)不是嚴(yán)厲講，阻尼振動(dòng)不是周期性振動(dòng)周期性振動(dòng)( (更不是簡(jiǎn)諧更不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)) )，由于位移，由于位移x(

35、t)x(t)不不是是t t 的周期函數(shù)。的周期函數(shù)。但阻尼振動(dòng)有某種反但阻尼振動(dòng)有某種反復(fù)性。復(fù)性。202 )2(阻尼較大時(shí)，方程的解：阻尼較大時(shí)，方程的解：tteetxCC)(2)(1202202)(其中其中C1,C2C1,C2是積分常數(shù)，由初始條件來(lái)決是積分常數(shù)，由初始條件來(lái)決議，這種情況稱為過(guò)阻尼。議，這種情況稱為過(guò)阻尼。無(wú)振動(dòng)發(fā)生無(wú)振動(dòng)發(fā)生tetCCtx)()(21(3) (3) 假設(shè)假設(shè) 2= 2= 02 02 方程的解：方程的解：無(wú)振動(dòng)發(fā)生無(wú)振動(dòng)發(fā)生C1,C2是積分常數(shù)，由初始條件來(lái)決議，是積分常數(shù)，由初始條件來(lái)決議，這種情況稱為臨界阻尼。這種情況稱為臨界阻尼。 2 = 02(臨界

36、阻尼臨界阻尼) 情形下情形下:阻尼振動(dòng)微分方程的解將是非阻尼振動(dòng)微分方程的解將是非振動(dòng)性的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)物體連一振動(dòng)性的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)物體連一次振動(dòng)也不能完成，能量即已次振動(dòng)也不能完成，能量即已耗光，物體漸漸移向平衡位置耗光，物體漸漸移向平衡位置。和過(guò)阻尼情形相比，臨界阻。和過(guò)阻尼情形相比，臨界阻尼情形下，物體回到平衡位置尼情形下，物體回到平衡位置并停在那里，所需時(shí)間最短。并停在那里，所需時(shí)間最短。 運(yùn)用：電表阻尼、天平阻尼運(yùn)用：電表阻尼、天平阻尼 物體在周期性外力的繼續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)稱為物體在周期性外力的繼續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)。受迫振動(dòng)。物體所受驅(qū)動(dòng)力：物體所受驅(qū)動(dòng)力：tFFcos0運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：tFtxkxtxmcosdddd022設(shè)設(shè)mk20m2tmFxtxtxcosdd2dd02022受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振 1.