第8章 z變換、離散時(shí)間系統(tǒng)z變換分析

1、1. z變換的定義、收斂域及基本性質(zhì)變換的定義、收斂域及基本性質(zhì)2. z反變換的定義及性質(zhì)與求法反變換的定義及性質(zhì)與求法3. z變換與拉普拉斯變換關(guān)系變換與拉普拉斯變換關(guān)系離散系統(tǒng)函數(shù)與穩(wěn)定性離散系統(tǒng)函數(shù)與穩(wěn)定性 4. 離散時(shí)間傅里葉變換離散時(shí)間傅里葉變換 及性質(zhì)及性質(zhì)l 重點(diǎn)重點(diǎn): :第第8章章 z變換、離散時(shí)間系統(tǒng)的變換、離散時(shí)間系統(tǒng)的z域分析域分析8.1 引言引言一、一、 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的變換域分析離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的變換域分析z = e j有條件有條件z變換變換 X(z)利用離散系統(tǒng)函數(shù)利用離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)分析系統(tǒng)分析系統(tǒng)利用利用z變換求解離散系統(tǒng)的響應(yīng)變換求解離散系統(tǒng)的響應(yīng)序

2、列的傅里葉變換序列的傅里葉變換X(e j)分析序列的頻率特性分析序列的頻率特性分析離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性分析離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性對(duì)上式取雙邊拉氏變換，得到對(duì)上式取雙邊拉氏變換，得到 抽樣間隔抽樣間隔二二、 抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)xs(t)的拉氏變換的拉氏變換z變換變換0)()()()()(nTsnTtnTxttxtx理想抽樣：理想抽樣：?jiǎn)芜厗芜厁(t) = x(t)u(t)nTnTtt)()(式中：dtenTtnTxdtetxsXstnstss 000)()()()(nnsznxzXsX0)()()( 交換運(yùn)算次序，交換運(yùn)算次序， 并利用沖激函數(shù)的并利用沖激函數(shù)的抽樣性，得到抽樣信號(hào)的拉氏變換為抽

3、樣性，得到抽樣信號(hào)的拉氏變換為snTnstnsentxdtenTtntxsX000)()()()(令令e sT = z 或或 z為復(fù)數(shù)變量（為復(fù)數(shù)變量（s = + j）zTsln1則有則有nnsznTxsX0)()(T=1(歸一化歸一化)單邊單邊z變換變換相函數(shù)相函數(shù)原函數(shù)原函數(shù)8.2 z變換定義、典型序列的變換定義、典型序列的z變換變換一、一、 Z變換的定義變換的定義單邊定義為：?jiǎn)芜叾x為：nnznxnxZzX0)()()(雙邊定義為：雙邊定義為：nnznxnxZzX)()()(其中：其中：z 復(fù)變量復(fù)變量 z = e sT ， s = + j（拉氏變換（拉氏變換z變換）變換）重點(diǎn)重點(diǎn) z

4、= e ( + j)T = e T + jT = e T e jT令令 |z| = e T ， T = ，則有，則有z = |z| e j其中：其中：模擬角頻率模擬角頻率, 數(shù)字頻率數(shù)字頻率, T抽樣間隔抽樣間隔二、二、 典型序列的典型序列的z變換變換 1. 單位樣值序列單位樣值序列(n) 1(0)( )0(0)nnn 0 ( )( )1nnZnn z 1( )n 收斂域收斂域?yàn)闉閆平面平面 100111- ( )( )nnnnzZ u nu n zzzz收斂域收斂域?yàn)闉?z 12. 單位階躍序列單位階躍序列u(n) 1000 ()( ) ()nu nn 3. 3. 斜變序列斜變序列 0)()

5、(nnnznxZzX)()(nunnx間接求間接求解方法解方法已知已知) 1|(|1110zzznn兩邊對(duì)兩邊對(duì)(z -1)求導(dǎo)求導(dǎo)2101111)(zznnn兩邊乘兩邊乘(z -1)22110) 1(1zzzznznn) 1|(|) 1()(2zzznunZ同理，兩邊再求導(dǎo)，得同理，兩邊再求導(dǎo)，得) 1|(|) 1() 1()(32zzzznunZ) 1|(|) 1() 14()(423zzzzznunZ4. 4. 指數(shù)序列指數(shù)序列 ( )( )nx na u n 0( )nnnnzZ a u na zza 收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?z a 求導(dǎo)求導(dǎo)11 22( )(1)()nazazZ na u

6、nazza23()( )()naz zaZ n a u nza5. 單邊正、余弦序列單邊正、余弦序列e( )| |e |bnbbzu nzze由由0000jjjje( )e( )eennzzZu nZu nzz故故00jje( )enzZu nz 00jje( )enzZu nz 0jb 0jb 00000020121221jjjjcos() ( )(ee) ( )(cos)coseennn u nu nz zzzzzzz 根據(jù)歐拉公式根據(jù)歐拉公式 0000jj00jj201sin() ( )(ee) ( )2jsin12jee2 cos1nnn u nu nzzzzzzz- -1. 單邊單邊

7、z變換變換其冪級(jí)數(shù)收斂的條件可表示為：其冪級(jí)數(shù)收斂的條件可表示為： 0( )nnf n z （絕對(duì)可和條件）（絕對(duì)可和條件）z變換存在的充要條件變換存在的充要條件0( )00nanf nn例例解解根據(jù)根據(jù)Z變換定義，有變換定義，有-1000( )( )()nnnnnnnF zf n za zaz8.3 z變換的收斂域（變換的收斂域（ROC ）收斂條件收斂條件0( )nnf n z 根據(jù)等比級(jí)數(shù)的求和公式，有根據(jù)等比級(jí)數(shù)的求和公式，有 11( )1zF zazza 只有當(dāng)只有當(dāng) ， 即即 （圓外區(qū)域）（圓外區(qū)域）該無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。即級(jí)數(shù)收斂的充要條件：該無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。即級(jí)數(shù)收斂的充要條件：

8、11az za 單邊單邊z變換的收斂域總是變換的收斂域總是z平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心的一個(gè)圓的圓外區(qū)域。的一個(gè)圓的圓外區(qū)域。一般不注其收斂域。一般不注其收斂域。！111001( )()()nnnnnnnnnnF za zb zazb z 2. 雙邊雙邊Z變換變換分分析析若若 ，則收斂域?yàn)?，則收斂域?yàn)閆平面內(nèi)圓心在原點(diǎn)、平面內(nèi)圓心在原點(diǎn)、外半徑為外半徑為 、內(nèi)半徑為、內(nèi)半徑為 的一個(gè)圓環(huán)區(qū)域；否的一個(gè)圓環(huán)區(qū)域；否則無(wú)收斂域，則無(wú)收斂域，Z變換不存在。變換不存在。 | |ab|a|b| | |azb Z變換的收斂域?yàn)樽儞Q的收斂域?yàn)橥粋€(gè)雙邊同一個(gè)雙邊Z變換的表達(dá)式，其收斂域不同，也可能

9、變換的表達(dá)式，其收斂域不同，也可能對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同的序列。雙邊對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同的序列。雙邊Z變換式必須注明其收變換式必須注明其收斂域，否則可能無(wú)法確定其對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列。斂域，否則可能無(wú)法確定其對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列。！自習(xí)：自習(xí)：P49,(8-17)和和(8-18)兩式兩式1、留數(shù)法、留數(shù)法2、長(zhǎng)除法、長(zhǎng)除法3、部分分式展開(kāi)法、部分分式展開(kāi)法（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）8.4 逆逆z變換變換由已知由已知F(z)求求f(n)的運(yùn)算，稱為逆的運(yùn)算，稱為逆Z變換。變換。定義：定義：1-( )( )f nZF z z記為記為 求逆變換方法求逆變換方法一、圍線積分法一、圍線積分法( (留數(shù)法留數(shù)法) ) 式中，式中，C是包圍是

10、包圍 所有極點(diǎn)的逆時(shí)針閉合積所有極點(diǎn)的逆時(shí)針閉合積分路線，常選擇分路線，常選擇z平面收斂域以原點(diǎn)為中心的圓。平面收斂域以原點(diǎn)為中心的圓。1( )nF z z據(jù)單邊據(jù)單邊Z反變換的積分公式，反變換的積分公式，有有 因圍線因圍線C包圍了所有孤立奇點(diǎn)包圍了所有孤立奇點(diǎn)(極點(diǎn)極點(diǎn))，故此積分式可運(yùn)，故此積分式可運(yùn)用留數(shù)定理來(lái)進(jìn)行運(yùn)算。又稱為用留數(shù)定理來(lái)進(jìn)行運(yùn)算。又稱為留數(shù)法留數(shù)法，即，即1( )Res( )mnzpmf nF z z zzzFnfCnd)(j21)(1 略！略！120012-( )( )( )( )( )nnF zf n zffzfz 一般為變量一般為變量z的有理分式，可用長(zhǎng)除法，的有

11、理分式，可用長(zhǎng)除法，將變換式展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的形式。將變換式展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的形式。 ！二、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法（長(zhǎng)除法）二、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法（長(zhǎng)除法） 略！略！221( )24zF zzz-1234232321123123z0341( )24124243436124612zzzzF zzzzzzzzzzzzzz 134234481662016zzzzzz進(jìn)行長(zhǎng)除進(jìn)行長(zhǎng)除例例解解134( )34F zzzz12( )(0)(1)(2)F zffzfz(0)0,(1)1,(2)0,(3)3,(4)4,fffff 所以所以根據(jù)根據(jù)Z變換定義有變換定義有 略！略！三、部分分式展開(kāi)法三、部分分式展開(kāi)法 一般一般Z變換式是

12、有理函數(shù)變換式是有理函數(shù) 重點(diǎn)！重點(diǎn)！kkkkrrrrzazazaazbzbzbbzDzNzX11101110)()()(以下研究因果序列的以下研究因果序列的逆變換，即逆變換，即 X(z) Z x(n) （|z|R） （因果序列）（因果序列）為了保證為了保證z = 處收斂，要求處收斂，要求k r1、X(z)只含一階極點(diǎn)只含一階極點(diǎn)將將X(z) / z展為展為KmmmzzAzzX0)(即即0)(00100zzzzzAAzzzAzXmmKmmmKmmm其中：式中式中mzzmmzzXzzA)(0000)(abzXAz反變換為反變換為)(|1nuzAzzzAnmmzzzmmm)(001nAAz例題例題

13、2|231)(22zzzzzzX求求x(n) = ?解解)2)(1(1)(2zzzzzX極點(diǎn)：極點(diǎn)：z1 = -1， z2 = -221)(210zzAzzAAzX21)(00zzXA1)2)(1(1) 1(121zzzzzzzA23)2)(1(1)2(222zzzzzzzA223121)(zzzzzX)()2(23)() 1()(21)(nununnxnn2、X(z)含有重階極點(diǎn)含有重階極點(diǎn)設(shè)設(shè)X(z)有有M個(gè)一階極點(diǎn)，在個(gè)一階極點(diǎn)，在z = zi處有一個(gè)處有一個(gè)s階極點(diǎn)階極點(diǎn)即即sjjijMmmmzzzBzzzAAzX110)(其中其中izzsijsjsjzzXzzdzdjsB)()!(1

14、反變換為反變換為 )()!1()2() 1(11nuzjjnnnzzzjnizji分子，當(dāng)分子，當(dāng)j2，從最后一項(xiàng)，從最后一項(xiàng)(n-j+2)一直遞增乘到一直遞增乘到n例例22112)()()(iijjijzzzBzzzBzzzBs = 2，izzizzXzzdzdB)()!12(121izzizzXzzB)()!22(122 )(1nuzBni )(12nuznBni例題例題4|)2)(4(402)(33zzzzzzX求求x(n) = ?解解3322110)2()2()2(4)(zzBzzBzzBzzAAzX0)(00zzXA1)2(402)()4(4331zzzzzzzXzA14402)!1

15、3(122221zzzdzdB44402)!23(1222zzzdzdB164402223zzzB32)2(16)2(424)(zzzzzzzzzX)(2122)()2)(1(2)2(2)2()4()(2nunnunnnnxnnnnnn)()2(22)!12()22(4)2(41221nunnzznnz)()2)(1(22)!13()23(16)2(161331nunnnzznnz見(jiàn)見(jiàn)P6061，表，表8-2、8-3、8-4（逆（逆z變換表）變換表）作業(yè)：作業(yè)：P103，8-5 （1）（）（2）8.5 z變換的基本性質(zhì)變換的基本性質(zhì)若若 x(n) X(z) Rx1 |z| Rx2 y(n) Y

16、(z) Ry1 |z| Ry2則則 ax(n) + by(n) aX(z) + bY(z) max(Rx1,Ry1) |z| a全平面收斂全平面收斂一、線性一、線性二、移位性（重要！重點(diǎn)右移位）二、移位性（重要！重點(diǎn)右移位）1、雙邊、雙邊z變換變換 若若 x(n) X(z) 則則x(n - m) z -mX(z)x(n + m) z mX(z)2、單邊、單邊z變換變換 x(n)為雙邊序列，其單邊為雙邊序列，其單邊z變換為變換為 x(n)為因果序列，其單邊為因果序列，其單邊z變換為變換為若若 x(n)u(n) X(z) 則則x(n - m)u(n) z m X(z) +1)(mkkzkxx(n

17、+ m)u(n) z m X(z) -10)(mkkzkx則則x(n - m)u(n) z m X(z) x(n + m)u(n) z m X(z) -10)(mkkzkx自習(xí)自習(xí)P64，例，例8-8四、序列指數(shù)加權(quán)（四、序列指數(shù)加權(quán)（z域尺度變換）域尺度變換）( )( )nza f nFa( )( )f nF z若若 三、序列線性加權(quán)（三、序列線性加權(quán)（z域微分）域微分）d ( )( )dF znf nzz ( )( )f nF z若若 五、初值定理五、初值定理且且x(n)為因果序列，則為因果序列，則( )( )f nF z若若 )(lim)0(zFfz七、時(shí)域卷積定理七、時(shí)域卷積定理121

18、2( )( )( )( )f nfnF zF z若若 1122( )( ),( )( )f nF zfnF z六、終值定理六、終值定理1( )lim(1) ( )zfzF z 且且x(n)為因果序列，則為因果序列，則( )( )f nF z若若 由連續(xù)函數(shù)拉氏變換，求離散函數(shù)由連續(xù)函數(shù)拉氏變換，求離散函數(shù)Z變換，可將變換，可將s代換代換為為 ，有，有 8.6 z變換與拉氏變換的關(guān)系變換與拉氏變換的關(guān)系esTz jjsT1jj1( )1( )( )dd2j1 e2jesTF szF sF zsszz ( )( )ReseisTis szF sF zz可應(yīng)用留數(shù)定理來(lái)計(jì)算：可應(yīng)用留數(shù)定理來(lái)計(jì)算：

19、Z變換和拉氏變換間的關(guān)系，還可由兩者在變換和拉氏變換間的關(guān)系，還可由兩者在z平平面和面和s平面上的極點(diǎn)間的映射關(guān)系表示：平面上的極點(diǎn)間的映射關(guān)系表示： ！s平面上的單極點(diǎn)映射到平面上的單極點(diǎn)映射到z平面上，并不一定是單平面上，并不一定是單極點(diǎn)。這是因?yàn)樵跇O點(diǎn)。這是因?yàn)樵趕平面上，具有同樣實(shí)部而虛部平面上，具有同樣實(shí)部而虛部相差相差 的兩個(gè)極點(diǎn)映射到的兩個(gè)極點(diǎn)映射到z平面上的極點(diǎn)都是平面上的極點(diǎn)都是相同的。反之，相同的。反之，z平面到平面到s平面的映射是多值的。平面的映射是多值的。2/T8.7 利用利用z變換解差分方程變換解差分方程對(duì)于對(duì)于N階階LTI離散系統(tǒng)的差分方程離散系統(tǒng)的差分方程: 00

20、m()()NMkrra y nmb x nr 100 ( )( )( )NMmlrmrmlmra zY zy l zb zX z 輸入信號(hào)輸入信號(hào)輸入信號(hào)輸入信號(hào)初始條件初始條件（已知）（已知）X(n)為因果序列為因果序列有有零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)（x(n)=0），即僅由系統(tǒng)初始儲(chǔ)能引起的，即僅由系統(tǒng)初始儲(chǔ)能引起的響應(yīng)。有響應(yīng)。有 100( )( )Nmlmzimlma zYzy l z 6.5.1 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 100( )( )NklkklkziNkkka zy l zYza z 1( )( )ziziynZYz反反z變換變換零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)激勵(lì)激勵(lì)x(n)=0，是零輸入響應(yīng)。對(duì)

21、方程兩邊取，是零輸入響應(yīng)。對(duì)方程兩邊取Z變換變換 1( )()( )y nby nx n ，1( )( )( 1)0Y zb z Y zy例例解解x(n)=0，y(-1)=-1/b，求，求y(n)11( )( )0Y zb z Y zb代入初始條件，得：代入初始條件，得： 11( )1Y zbz( )( )ny nb u n 進(jìn)行進(jìn)行Z反變換，得：反變換，得： 零狀態(tài)響應(yīng)是僅由激勵(lì)引起的響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)是僅由激勵(lì)引起的響應(yīng)。當(dāng)激勵(lì)當(dāng)激勵(lì)x(n)是因是因果序列時(shí)，且初始條件為零果序列時(shí)，且初始條件為零（y(l)=0），有，有 00( )( )NMmrmzsrmra zYzb zX z 零狀態(tài)響應(yīng)

22、為：零狀態(tài)響應(yīng)為： 00( )( )MrrrzsNkkkb zX zYza z 6.5.2 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)令令 00( )MrrrNmmmb zH za z 系統(tǒng)（傳輸）函數(shù)系統(tǒng)（傳輸）函數(shù)( )( )( )zsYzH z X z11( )( )( )( )zszsynZYzZH z X z 反反z變換變換例例解解 已知已知y(n)-by(n-1)=x(n)，x(n)=anu(n), y(-1)=0求求y(n)。因?yàn)橐驗(yàn)閥(-1)=0， 是零狀態(tài)響應(yīng)。是零狀態(tài)響應(yīng)。對(duì)方程兩邊取對(duì)方程兩邊取Z變換，得變換，得 1( )( )( )Y zbz Y zX z11( )( )1Y zX zbz1

23、11111( )( )1111 ()Y zX zbzbzazzzazbzzb zaab zazb111( )() ( )nny nabu nab所以所以反反z變換變換11( )1X zaz又又 x(n)=anu(n)6.5.3 全響應(yīng)全響應(yīng)zizs110000 ( )( )( )( )( )MNrklrkrmimNNmmkmmmy nynynb zX za zy l zZa za z 當(dāng)已知全響應(yīng)初始條件，且無(wú)需將零輸入響應(yīng)和當(dāng)已知全響應(yīng)初始條件，且無(wú)需將零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分開(kāi)求時(shí)，可對(duì)差分方程直接求零狀態(tài)響應(yīng)分開(kāi)求時(shí)，可對(duì)差分方程直接求Z變變換，求得全響應(yīng)為換，求得全響應(yīng)為 ( )(1)

24、( )y nby nx n, ( )( ),nx na u n例例y(0)=0，求，求y(n)已知已知 。 將將n=0代入原方程迭代，得代入原方程迭代，得 y(0)-by(n-1)=x(0)=1 y(-1)=-1/b將方程兩邊取將方程兩邊取Z變換：變換：Y(z)-bz-1Y(z)+y(-1)=X(z) 解解11( )1X zaz1111( ) 1111( )1111()()()X zY zbzbzazbzazazzza zbzb zazb( )() ( )nnay nab u nab反反z變換變換線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，定義系統(tǒng)函數(shù)為線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，定義系統(tǒng)函數(shù)為( )( )( )Y zH z

25、F z6.6.1 離散系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)函數(shù)00()()NMnrmra y nmb x nrN階線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的差分方程一般形式為：階線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的差分方程一般形式為： 定義：定義：輸入輸入零狀態(tài)輸出零狀態(tài)輸出8.8 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)00( )( )NMmrmrmrY za zF zb z當(dāng)輸入為因果信號(hào)時(shí)，在零狀態(tài)下，對(duì)上式取當(dāng)輸入為因果信號(hào)時(shí)，在零狀態(tài)下，對(duì)上式取Z變變換，得換，得系統(tǒng)函數(shù)僅取決于系統(tǒng)的差分方程，系統(tǒng)函數(shù)僅取決于系統(tǒng)的差分方程，而與激勵(lì)和響應(yīng)的形式無(wú)關(guān)。而與激勵(lì)和響應(yīng)的形式無(wú)關(guān)。！01001()( )( )( )()MMrrrrrNNkkmmmz

26、zb zY zH zHF za zzp有理分式有理分式零點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)常系數(shù)常系數(shù)若離散系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，則分子、分母多項(xiàng)式都可若離散系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，則分子、分母多項(xiàng)式都可分解為因子形式（分別表示的零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置）。分解為因子形式（分別表示的零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置）。 利用部分分式展開(kāi)，得利用部分分式展開(kāi)，得6.6.2 H(z) 的零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)特性的影響的零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)特性的影響10011( )( )()( )()NNnmmmmmmA zh nZAAnApu nzpH(z)的極點(diǎn)決定函數(shù)的形式，零點(diǎn)只影響其幅度與相位。的極點(diǎn)決定函數(shù)的形式，零點(diǎn)只影響其幅度與相位。01( )()Nm

27、mmA zH zAzp（1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 恒為正值，有恒為正值，有( )h n1( )1( )1( )mmmph kph kph k遞減恒定遞增0mp （2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 正負(fù)交替變化，變化趨勢(shì)正負(fù)交替變化，變化趨勢(shì) 與與 時(shí)的情況相同；時(shí)的情況相同；( )h n0mp 0mp （3）當(dāng)）當(dāng) 為復(fù)數(shù)時(shí)，一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)于為復(fù)數(shù)時(shí)，一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)于 的一項(xiàng)振幅按的一項(xiàng)振幅按 規(guī)律變化的正弦項(xiàng)。規(guī)律變化的正弦項(xiàng)。mp( )h knmp當(dāng)當(dāng)pm為實(shí)數(shù)時(shí)為實(shí)數(shù)時(shí)(設(shè)為單極點(diǎn)設(shè)為單極點(diǎn))： H(z)的極點(diǎn)與h(n)模式的示意圖模式的示意圖 1.離散穩(wěn)定系統(tǒng)定義離散穩(wěn)定系統(tǒng)定義 系統(tǒng)完全

28、響應(yīng)由零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)組成。應(yīng)系統(tǒng)完全響應(yīng)由零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)組成。應(yīng) 分別判別零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)是否穩(wěn)定來(lái)綜合確定。分別判別零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)是否穩(wěn)定來(lái)綜合確定。 6.6.3 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性 zilim( )0nynl零輸入響應(yīng)穩(wěn)定零輸入響應(yīng)穩(wěn)定指由系統(tǒng)任意初始儲(chǔ)能所引指由系統(tǒng)任意初始儲(chǔ)能所引起的響應(yīng)隨著起的響應(yīng)隨著n的增加而逐的增加而逐漸衰減到零。漸衰減到零。即即指初始不儲(chǔ)能的系統(tǒng)，在任指初始不儲(chǔ)能的系統(tǒng)，在任一有界激勵(lì)下，其零狀態(tài)響一有界激勵(lì)下，其零狀態(tài)響應(yīng)都是有界的。應(yīng)都是有界的。（系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定）（系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定）l零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定（B

29、IBO穩(wěn)定）穩(wěn)定） 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是H(s)的極點(diǎn)均位于的極點(diǎn)均位于s左半平面，而離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是系左半平面，而離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)均位于統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)均位于z平面的單位圓內(nèi)，二者平面的單位圓內(nèi)，二者符合映射關(guān)系。符合映射關(guān)系。?。?）當(dāng)）當(dāng)H(z)極點(diǎn)全部位于極點(diǎn)全部位于z平面單位圓內(nèi)時(shí)，平面單位圓內(nèi)時(shí)，離散系統(tǒng)穩(wěn)定；離散系統(tǒng)穩(wěn)定；（2）H(z)含有單位圓單極點(diǎn)，其余極點(diǎn)位含有單位圓單極點(diǎn)，其余極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)時(shí)，離散系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；于單位圓內(nèi)時(shí)，離散系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；（3）H(z)含有單位圓外或單位圓上重極點(diǎn)含有單位圓外或單位圓上重極點(diǎn)時(shí)，

30、離散系統(tǒng)不穩(wěn)定。時(shí)，離散系統(tǒng)不穩(wěn)定。 離離散散系系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定定性性情情況況2. 離散系統(tǒng)穩(wěn)定性準(zhǔn)則離散系統(tǒng)穩(wěn)定性準(zhǔn)則 將分母將分母A(z)的系數(shù)列成表（的系數(shù)列成表（ Jury排列排列），來(lái)判），來(lái)判斷斷H(z)的極點(diǎn)位置。如下表：的極點(diǎn)位置。如下表：( )( )( )B zH zA z121210( )nnnnnnA za zazaza za朱里判據(jù)：朱里判據(jù)：設(shè)設(shè)n階離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為階離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為e2e1e02n-3d0d1d2d32n-4d3d2d1d02n-5c0cn-4cn-3cn-26cn-2c2c1c05b0b1bn-3bn-2bn-14bn-1bn-2b2b

31、1b03a0a1a2an-2an-1an2anan-1an-2a2a1a01znzn-1zn-2z2z1z0行行朱里排列表朱里排列表 朱里排列共有朱里排列共有(2n-3)行。第行。第1行為行為A(z)的各項(xiàng)系數(shù)，從的各項(xiàng)系數(shù)，從到依次排列；第到依次排列；第2行是第行是第1行的倒排。若系數(shù)中某項(xiàng)為行的倒排。若系數(shù)中某項(xiàng)為零，則用零替補(bǔ)。零，則用零替補(bǔ)。 第第3行和第行和第4行的系數(shù)為行的系數(shù)為： 00,0,1,2,1n iiin inniaaba aaainaa第第5行和第行和第6行的系數(shù)為：行的系數(shù)為：010111,0,1,2,2niiin innibbcb bbbinbb 將朱里表計(jì)算出來(lái)后

32、，根據(jù)朱將朱里表計(jì)算出來(lái)后，根據(jù)朱里判據(jù)，當(dāng)且僅當(dāng)左邊全部條件里判據(jù)，當(dāng)且僅當(dāng)左邊全部條件滿足時(shí)，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。滿足時(shí)，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。系數(shù)為持續(xù)該過(guò)程一直到（系數(shù)為持續(xù)該過(guò)程一直到（2n-3）行，該行最后一）行，該行最后一個(gè)元素為個(gè)元素為 ： 2e012021332dded dd ddd10010202(1)( )0( 1)( 1)0znnnnAA zAaabbdcee2323( )121671zzH zzzz，判斷穩(wěn)定性。，判斷穩(wěn)定性。32( )121671A zzzz其中其中00 03 3( 1) ( 1) 12 12143ba aa a 10 12 3( 1) 7 ( 16) 12

33、185ba aa a 2021 3( 1) ( 16) 7 1268ba aaa 例例解解3(1)20,( 1)( 1)360AA3002121,14368aabb對(duì)朱里排列對(duì)朱里排列-1 7 -16 1212 -16 7 -1 根據(jù)朱里判據(jù)，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。根據(jù)朱里判據(jù)，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 8.9 序列的傅里葉變換序列的傅里葉變換6.7.1 離散時(shí)間傅里葉變換（離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT） 連續(xù)信號(hào)在虛軸上的拉氏變換，是信號(hào)的傅氏變換，連續(xù)信號(hào)在虛軸上的拉氏變換，是信號(hào)的傅氏變換，描述的是信號(hào)頻譜。類似的，離散序列在單位圓上的描述的是信號(hào)頻譜。類似的，離散序列在單位圓上的Z變換，是序列的傅氏

34、變換，表示序列的頻譜函數(shù)。變換，是序列的傅氏變換，表示序列的頻譜函數(shù)。jjje(e )( )|( )enznFF zf n周期周期221| | 11( )( )d2jnzf nF z zz反反z變換變換頻率響應(yīng)在頻率響應(yīng)在s與與z 平面上的取值軌跡如下圖：平面上的取值軌跡如下圖： 將將 代入代入Z反變換公式，得其反變換為反變換公式，得其反變換為jez 1jjnjj| | 1| | 1jjnjjjjn| | 111( )( )d(e )eed(e )2j2j11(e )eeje d( )(e )ed2j2nzzzf nF z zzFFF 的復(fù)數(shù)函數(shù)的復(fù)數(shù)函數(shù)jjj ()(e) |(e)|eFF

35、！ 表示表示 的頻域特性，也稱為的頻域特性，也稱為 的頻譜。其中的頻譜。其中 為振幅譜，為振幅譜， 為相位譜，都是為相位譜，都是 的連續(xù)函數(shù)。的連續(xù)函數(shù)。( ) ( )f n( )f nj|(e)|Fj(e)F表示為表示為jjDTFT ( )(e )( )ennf kFf kjjj1IDTFT (e)( )(e)ed2nFf nF6.7.2 序列傅里葉變換的性質(zhì)序列傅里葉變換的性質(zhì)1. 線性線性jj1122( )(e ), ( )(e )f nFfnFjj1212( )( )(e)(e)af nbfnaFbF2. 序列的位移序列的位移0jj0()e(e )nf nnF若若則則 若若則則 j(

36、)(e)f nF3. 頻域的位移頻域的位移則則 j( )(e)f nF00jj()e( )enf nF 4. 頻域微分頻域微分jd( )j(e )dnf nF5. 時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理jj( )(e ), ( )(e )x nXy nY若若j( )(e)f nF則則 則則 若若若若jj( )( )(e ) (e )x ny nXY6. 頻域卷積定理頻域卷積定理jj( )(e ), ( )(e )x nXy nYjjjj()11( ) ( )(e )(e )(e ) (e)d22x n y nXYXY 7. 帕斯瓦爾定理帕斯瓦爾定理 j( )(e)f nF2j21|( )|(e )| d2n

37、f nF則則 若若則則 若若1. 離散系統(tǒng)對(duì)正弦序列的響離散系統(tǒng)對(duì)正弦序列的響應(yīng)應(yīng)對(duì)于穩(wěn)定因果離散系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為對(duì)于穩(wěn)定因果離散系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為 H(z)， 設(shè)輸入正弦序列為：設(shè)輸入正弦序列為：( )sin() ( )f nAnu nn 2jjsinsin( )2 cos1(e)(e)AzAzF zzzzz12jjjj1sin( )( )(e )(e)eeMmmmA zK zK zAzY zH zzzzzzz則系統(tǒng)響應(yīng)的則系統(tǒng)響應(yīng)的Z變換為變換為z變換變換8.10 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性jj()jj()j( )|(e )|e|(e )|e2j|(e )|sin(

38、)nnAy nHHA Hn 若離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位若離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位圓圓(極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi))，則系統(tǒng)對(duì)正弦序列的，則系統(tǒng)對(duì)正弦序列的響應(yīng)仍為同頻率的正弦序列，稱為正弦穩(wěn)態(tài)響響應(yīng)仍為同頻率的正弦序列，稱為正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。當(dāng)輸入正弦序列的頻率變化時(shí)，正弦序列應(yīng)。當(dāng)輸入正弦序列的頻率變化時(shí)，正弦序列響應(yīng)的振幅和初相位的變化完全取決于響應(yīng)的振幅和初相位的變化完全取決于 。因此，因此， 表征了系統(tǒng)的頻率特性。表征了系統(tǒng)的頻率特性。j(e )Hj(e )H結(jié)論結(jié)論2. 離散時(shí)間系統(tǒng)頻率響應(yīng)的性質(zhì)離散時(shí)間系統(tǒng)頻率響應(yīng)的性質(zhì)由于由于 是周期函數(shù)，所以是周期函數(shù)

39、，所以離散時(shí)間系統(tǒng)頻率響應(yīng)也是離散時(shí)間系統(tǒng)頻率響應(yīng)也是周期函數(shù)，周期函數(shù)，其周期為其周期為2。 je（1）周期性質(zhì)）周期性質(zhì)（2）對(duì)稱性質(zhì)）對(duì)稱性質(zhì)（這是與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)不同的地方）（這是與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)不同的地方） 當(dāng)單位函數(shù)響應(yīng)當(dāng)單位函數(shù)響應(yīng)h(k)為實(shí)序列為實(shí)序列時(shí)，其幅頻特性是時(shí)，其幅頻特性是 的偶函的偶函數(shù)，相頻特性是數(shù)，相頻特性是 的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 （這是與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相同的地方）（這是與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相同的地方） 6.7.4 頻率特性的幾何確定頻率特性的幾何確定 離散系統(tǒng)的頻率特性類似連續(xù)系統(tǒng)，可以利用離散系統(tǒng)的頻率特性類似連續(xù)系統(tǒng)，可以利用系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零、極點(diǎn)，通過(guò)

40、幾何方法，可大致地的零、極點(diǎn)，通過(guò)幾何方法，可大致地繪出離散系統(tǒng)頻響圖，該方法簡(jiǎn)便直觀。繪出離散系統(tǒng)頻響圖，該方法簡(jiǎn)便直觀。11()( )()MrrNmmzzH zzpjjjj ()1j1(e)(e)(e) e(ep )MrrNmmzHH 已知穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為已知穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 jjjjeA eeB ermrrmkzp令令 j11(e)MrrNmmAHB幅頻特性幅頻特性 11MNrmrm 相頻特性相頻特性6.8 離散系統(tǒng)的模擬與信號(hào)流圖離散系統(tǒng)的模擬與信號(hào)流圖6.8.1 離散系統(tǒng)的方框圖表示離散系統(tǒng)的方框圖表示 與連續(xù)系統(tǒng)的方框圖類似，幾個(gè)離散系統(tǒng)的串聯(lián)、與連續(xù)系統(tǒng)的方框圖類似，幾個(gè)

41、離散系統(tǒng)的串聯(lián)、并聯(lián)或串并混合連接組成的復(fù)合系統(tǒng)，可表示一個(gè)并聯(lián)或串并混合連接組成的復(fù)合系統(tǒng)，可表示一個(gè)復(fù)雜的離散系統(tǒng)。此外，一個(gè)離散系統(tǒng)可由基本單復(fù)雜的離散系統(tǒng)。此外，一個(gè)離散系統(tǒng)可由基本單元加法器、數(shù)乘器、單位延遲器的連接表示。元加法器、數(shù)乘器、單位延遲器的連接表示。 1. 離散系統(tǒng)的串聯(lián)離散系統(tǒng)的串聯(lián)12( )( )( )( )kH zH zHzHz12( )( )*( )*( )kh nh nh nh z( ) f n( ) y n1( )h n( )kh n2( )h n單位響應(yīng)單位響應(yīng)卷卷積積乘乘z變換變換( )kHz1( )H z( ) F z( ) Y z2( )Hz( ) y

42、 n1( )h n2( )h n( )khn( ) f n2. 離散系統(tǒng)的并聯(lián)離散系統(tǒng)的并聯(lián)將將H(z)分解為幾個(gè)子系統(tǒng)函數(shù)之和分解為幾個(gè)子系統(tǒng)函數(shù)之和 1( )( )niih nh n1( )( )kiiH zH z( ) Y z1( )Hz2( )Hz( )kHz( ) F zz變換變換z變換變換3. 用基本單元表示離散系統(tǒng)用基本單元表示離散系統(tǒng) （1）數(shù)乘器）數(shù)乘器（2）加法器）加法器（3）單位延遲器）單位延遲器 ( ) f na( ) af n( ) F za( ) aF z12( )( ) F zF z1( )F z2( )F z12( )( ) f nf n1( )f n2( )fn( ) f n( )(1) ynf nD1( )( )Y zz Y z( ) F z1z 6.8.2 離散系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示離散系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示離散系統(tǒng)信號(hào)流圖表示的規(guī)則，與連續(xù)系統(tǒng)信號(hào)流圖離散系統(tǒng)信號(hào)流圖表示的規(guī)則，與連續(xù)系統(tǒng)信號(hào)流圖表示的規(guī)則相同。表示的規(guī)則相同?？驁D與信號(hào)流圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系：框圖與信號(hào)流圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系： ( )H z( ) F z( )Y z1( ) X z2( )X za1( ) X za1( ) X z( ) F z( )Y z( )H