高等數(shù)學(xué)教案ch4不定積分

1、 第四章 不定積分教學(xué)目的：1、 理解原函數(shù)概念、不定積分的概念。2、 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法（第一，第二）與分部積分法。3、 會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。教學(xué)重點(diǎn)：1、 不定積分的概念；2、 不定積分的性質(zhì)及基本公式；3、 換元積分法與分部積分法。教學(xué)難點(diǎn)：1、 換元積分法；2、 分部積分法；3、 三角函數(shù)有理式的積分。4. 1 不定積分的概念與性質(zhì) 一、原函數(shù)與不定積分的概念 定義1 如果在區(qū)間I上, 可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x), 即對(duì)任一xI, 都有F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數(shù)F(x)就稱為f

2、(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù). 例如 因?yàn)?sin x)=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函數(shù). 又如當(dāng)x (1, +)時(shí), 因?yàn)? 所以是的原函數(shù). 提問(wèn): cos x和還有其它原函數(shù)嗎？ 原函數(shù)存在定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x), 使對(duì)任一x I 都有F (x)=f(x). 簡(jiǎn)單地說(shuō)就是: 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). 兩點(diǎn)說(shuō)明: 第一, 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x), 那么f(x)就有無(wú)限多個(gè)原函數(shù), F(x)+C都是f(x)的原函數(shù), 其中C是任意常數(shù). 第二, f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù)

3、, 即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù), 則F(x)-F(x)=C (C為某個(gè)常數(shù)). 1 / 25 定義2 在區(qū)間I上, 函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx )在區(qū)間I上的不定積分, 記作 . 其中記號(hào)稱為積分號(hào), f(x)稱為被積函數(shù), f(x)dx稱為被積表達(dá)式, x 稱為積分變量. 根據(jù)定義, 如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù), 那么F(x)+C就是f(x)的不定積分, 即. 因而不定積分可以表示f(x)的任意一個(gè)原函數(shù). 例1. 因?yàn)閟in x 是cos x 的原函數(shù), 所以 . 因?yàn)槭堑脑瘮?shù), 所以 . 例2. 求函數(shù)的不定積分

4、. 解：當(dāng)x0時(shí), (ln x), (x0); 當(dāng)x0時(shí), ln(-x), (x0時(shí), . 即 . 例9. . 即 . 例10. . 例11. . 含三角函數(shù)的積分: 例12. . 例13. . 例14. . 例15. . 例16. . 例17. =ln |csc x -cot x |+C . 即 =ln |csc x -cot x |+C . 例18. =ln |sec x + tan x | + C. 即 =ln |sec x + tan x | + C. 二、第二類換元法 定理2 設(shè)x =j(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù), 并且j(t)0. 又設(shè)f j(t)j(t)具有原函數(shù)F(t), 則有

5、換元公式.其中t=j-1(x)是x=j(t)的反函數(shù). 這是因?yàn)?. 例19. 求(a0). 解: 設(shè)x=a sin t , , 那么, dx =a cos t d t , 于是 . 因?yàn)? , 所以. 解: 設(shè)x=a sin t , , 那么 . 提示:, dx=acos tdt .提示: , . 例20. 求(a0). 解法一: 設(shè)x=a tan t, , 那么=a sec t , dx=a sec 2t d t , 于是= ln |sec t + tan t |+C . 因?yàn)? , 所以= ln |sec t + tan t |+C, 其中C 1=C-ln a . 解法一: 設(shè)x=a t

6、an t, , 那么 =ln|sect+tant|+C , 其中C 1=C-ln a . 提示:=asect , dx=a sec 2t dt , 提示:, . 解法二: 設(shè)x=a sh t , 那么 ,其中C 1=C-ln a . 提示: =a ch t , dx =a ch t d t . 例23. 求(a0). 解: 當(dāng)xa 時(shí), 設(shè)x=a sec t (), 那么=a tan t , 于是= ln |sec t + tan t |+C . 因?yàn)? , 所以= ln |sec t + tan t |+C , 其中C 1=C-ln a . 當(dāng)xa, 于是 , 其中C 1=C-2ln a .

7、 綜合起來(lái)有. 解: 當(dāng)xa 時(shí), 設(shè)x=a sec t (), 那么 ,其中C 1=C-ln a . 當(dāng)xa, 于是 , 其中C 1=C-2ln a . 提示:=atant .提示:, . 綜合起來(lái)有 . 補(bǔ)充公式: (16),(17),(18),(19),(20),(21),(22),(23), (24). 4. 3 分部積分法 設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 那么, 兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為(uv)=uv+uv, 移項(xiàng)得 uv=(uv)-uv. 對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分, 得 , 或,這個(gè)公式稱為分部積分公式. 分部積分過(guò)程:. 例1 =x sin x-cos x+C .

8、 例2 . 例3 =x2ex-2xex+2ex+C =ex(x2-2x+2 )+C. 例4 . 例5 . 例6 . 例7 求. 解 因?yàn)?, 所以 . 例8 求. 解 因?yàn)?, 所以 . 例9 求, 其中n為正整數(shù). 解 ; 當(dāng)n1時(shí)，用分部積分法, 有 ,即 ,于是 .以此作為遞推公式, 并由即可得. 例10 求. 解 令x =t 2 , 則 , dx=2tdt. 于 . . 第一換元法與分部積分法的比較: 共同點(diǎn)是第一步都是湊微分 , .哪些積分可以用分部積分法？, , ;, , ;, .,. 4. 4 幾種特殊類型函數(shù)的積分 一、有理函數(shù)的積分 有理函數(shù)的形式: 有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù), 即具有如下形式的函數(shù): ,其中m和n都是非負(fù)整數(shù); a0, a1, a2, , an及b0, b1, b2, , bm都是實(shí)數(shù), 并且a00, b00. 當(dāng)n0)的積分1234567五、含有ax2+bx+c (a0)的積分六、含有 (a0)的積分123456789例3求. 解: 因?yàn)? 所以這是含有的積分, 這里. 在積分表中查得公式 . 于是 . 七、含有(a0)的積分123456789八、含有(a0)的積分123456789九、含有的積分十、含有或的積分十一、含有三角函數(shù)的積分123456789101112131414例2求. 解: 這是含三角函數(shù)