專升本數(shù)學復習2難（Word）

1、復習2導數(shù)與微分一廣東05年考題3.函數(shù)在區(qū)間0,3上滿足羅爾定理條件,由羅爾定理確定的=( ). 6.曲線的水平漸近線方程為 .7.設函數(shù)在處可導,則 .8.設函數(shù),則 .13.已知,求一階導數(shù).14.已知是由方程所確定的隱函數(shù),求.19.設,(1) 求的單調(diào)區(qū)間和極值;(2) 求在閉區(qū)間0,2上的最大值和最小值.二有關微分中值定理羅爾定理 在連續(xù)，在可導，且。則存在，使 拉格朗日微分中值定理在連續(xù)，在可導。則存在， 使 1 / 12柯西定理與在連續(xù)，在可導，且在內(nèi)任意點處。則存在，使 三復習題1.討論下列函數(shù)在處是否存在極限？是否連續(xù)？是否可導？ 2求下列導數(shù)、微分。（1）已知，求、。（2

2、）已知，求。（3），求。3（1）證明：可導的偶函數(shù)的導數(shù)為奇函數(shù)；可導的奇函數(shù)的導數(shù)為偶函數(shù)。 （2）設是可導的偶函數(shù)，且存在，求證。4已知，且，證明。5求橢圓在點的切線方程。6求曲線在點處的切線與法線方程。7二船同時從一碼頭出發(fā)，甲船以30公里/時的速度向北行駛，乙船以40公里/時的速度向東行駛，求二船間距離變化的速度。8長方形的二邊長分別用與表示，若邊以0。01米/秒的速度減少，邊 以0。01米/秒的速度增加，求在20米、15米時長方形面積與對角線長的變化速度。9驗證函數(shù)在給定的區(qū)間滿足羅爾定理的條件，且求出定理中的值。10驗證函數(shù)在給定的區(qū)間滿足拉格朗日定理的條件，且求出定理中的值。11

3、用拉格朗日定理證明：若，且當時，則當時，。12證明不等式 。13證明：若函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且（為常數(shù)），則在處的右導數(shù)存在且等于。14討論函數(shù)的單調(diào)性與極值。15求曲線的漸近線。16求底面半徑為R，高為H的圓錐的內(nèi)接圓柱與內(nèi)接長方體的最大體積。17某產(chǎn)品生產(chǎn)單位的總成本函數(shù)，需求函數(shù)。求（1） 平均成本的最小值；（2）利潤的最大值。18某商品的需求函數(shù)為。（1）求價格時的邊際需求，并說明其經(jīng)濟意義；（2）求價格時的需求彈性，并說明其經(jīng)濟意義；（3）當時，價格上漲1%，總收益將變化百分之幾？是增加還是減少？（4）當時，價格上漲1%，總收益將變化百分之幾？是增加還是減少？（5）為多少時，總收

4、益最大？例題3.函數(shù)在區(qū)間0,3上滿足羅爾定理條件,由羅爾定理確定的=( ). 解 因為 在0，3連續(xù)，在（0，3）可導，且 所以函數(shù)在區(qū)間0,3上滿足羅爾定理條件,，使。事實上，當時，。故選。6.曲線的水平漸近線方程為 .解 因為 所以曲線的水平漸近線方程為注意：對于曲線（1） 若，則有水平漸近線；（2） 若，則有鉛垂?jié)u近線；（3） 若，且，則有斜漸近線7.設函數(shù)在處可導,則 .解 因為 令 ，則8.設函數(shù),則 .解 13.已知,求一階導數(shù).解 兩邊取對數(shù) 兩邊求導 故 14.已知是由方程所確定的隱函數(shù),求.解1兩邊對求導 故 解2 設 則偏導數(shù) 15.已知,求,.解 19.設,（1） 的單

5、調(diào)區(qū)間和極值;（2） 在閉區(qū)間0,2上的最大值和最小值.解 （1） 定義域，駐點 1-0+0-極小值極大值在區(qū)間或單調(diào)減少；在區(qū)間單調(diào)增加。有極小值，極大值。（2） 又，故在閉區(qū)間0,2上的最大值為，最小值為。1.討論下列函數(shù)在處是否存在極限？是否連續(xù)？是否可導？ 解 不存在，在不連續(xù)，不可導； 不存在，故在處存在極限且連續(xù)但不可導；故在處可導，所以在處存在極限且連續(xù)。3（1）證明：可導的偶函數(shù)的導數(shù)為奇函數(shù)；可導的奇函數(shù)的導數(shù)為偶函數(shù)。 （2）設是可導的偶函數(shù)，且存在，求證。證明 （1） 設為可導的偶函數(shù)，則，且 所以可導的偶函數(shù)的導數(shù)為奇函數(shù)。設為可導的奇函數(shù)，則，且所以可導的奇函數(shù)的導數(shù)

6、為偶函數(shù)。（2）是可導的偶函數(shù)，則為奇函數(shù)， 即 4已知，且，證明。證明 11用拉格朗日定理證明：若，且當時，則當時，。解 由于，故在右連續(xù)，當時，在連續(xù)，在可導，由拉格朗日定理， 即 由于，。12證明不等式 。證明 由于在（不妨設）連續(xù)，在可導，由拉格朗日定理， 式中在與之間，13證明：若函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且（為常數(shù)），則在處的右導數(shù)存在且等于。證明 由右導數(shù)的定義和拉格朗日定理， 16求底面半徑為R，高為H的圓錐的內(nèi)接圓柱與內(nèi)接長方體的最大體積。解 如圖 已知 設 即 令 得惟一駐點 且故 時，圓錐的內(nèi)接圓柱有最大體積設 ，則 （1）又 構造拉格朗日函數(shù) （2） （3） （4）由（3）（4）得 代入（1）得 代入（2）得 內(nèi)接長方體的最大體積18某商品的需求函數(shù)為。（1）求價格時的邊際需求，并說明其經(jīng)濟意義；（2）求價格時的需求彈性，并說明其經(jīng)濟意義；（3）當時，價格上漲1%，總收益將變化百分之幾？是增加還是減少？（4）當時，價格上漲1%，總收益將變化百分之幾？是增加還是減少？（5）為多少時，總收益最大？解 （1） 由 ，即價格時的邊際需求為，經(jīng)濟意義：在價格時，價格變化1個單位時，需求將反方向變化8個單位；（2）由 即價格時的需求彈性為，經(jīng)濟意義：在價格時，價格變化1%時，需求將反方向變化%；（3）由 即價格時，價格上漲1%時，總收益將增加