歷年浙江省高等數(shù)學(xué)(微積分)競賽--工科類試題

1、04年浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)（微積分）競賽試題（工科類）一 計算題（每小題15分，滿分60分）1 計算：。解: 原式 其中原式.在課堂上作為一個典型的例子;2 計算：。解: 原式.其他想法: 原式后者, 看來做不下去了!3 求函數(shù)在上的最大、小值。解: 在圓內(nèi)(開集), , 解得駐點, 但不在圓域內(nèi).在圓周上, 求的極值, 是條件極值問題.解得: 駐點,故最大值為, 最小值為.4 計算：，其中。這題不能用對稱、奇偶性等性質(zhì)來做！二（本題滿分20分） 設(shè)，求.解: , 則,則兩邊對求階導(dǎo)數(shù),由萊布尼茨公式得:,令,得:,而,則 .三（本題滿分20分） 設(shè)橢圓在點的切線交軸于點，設(shè)為從到的直線段，試

2、計算。解: 方程兩邊對求導(dǎo)得: , 則, 直線段的方程為: 令,則, .四（本題滿分20分） 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，試證明：，。證明: 由于, 故, 無論怎么分、怎么取，存在且相等， 即，由于連續(xù)，故，；（理由說的不夠充分）假設(shè)存在，使得，不妨設(shè)，則，由于函數(shù)連續(xù)，故在內(nèi)存在最大、最小值分別為，顯然，而與矛盾，故假設(shè)錯誤，即，。五（本題滿分15分） 判別級數(shù)的斂散性。解：斯特林公式：極限形式：.故收斂.判別的斂散性: 證明: (1) 證明, 即1) 當(dāng), 顯然成立;2) 假設(shè)時也成立,即;3) 當(dāng)時, 而是單調(diào)遞增數(shù)列, 而且有界(證明兩個重要極限里第2個)., 而, 由夾逼定理得: .,而收斂,

3、由比較判別法得: 也收斂.六（本題滿分15分） 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，證明：，。證明: .許瓦茲不等式:有限項情況:, (乘積和的平方小于等于平方和的乘積)可推廣到可數(shù)情況: ;均值的形式: ;積分的形式: 2005年浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)(微積分)競賽試題一、 計算題（每小題12分滿分散60分）1 計算2 設(shè)可導(dǎo)，求常數(shù)的值3 計算4 計算5 求函數(shù)的值。二、 （本題滿分20分）設(shè)在點二階可導(dǎo)，且，求和的值。三、 （本題滿分20分）證明：當(dāng)時，四、 （本題滿分20分）設(shè)，試比較A，B，C的大小。五、 （本題滿分15分）設(shè)（1） 求；（2） 證明數(shù)列單調(diào)減少。六、 （本題滿分15分）對下列分別說明是否

4、存在一個區(qū)間使，并說明理由。（1） （2） （3）2005年浙江省高等數(shù)學(xué)（微積分）競賽試題解答一1. 解 .2. 解：， ，因為在處連續(xù)，所以， ，由在處可導(dǎo)， ，于是.3. 解：.4. 解：， ， .5. 解：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.2 解：；， ，所以.3 證明：令，；因為，；，； ，所以，進而，即得，.4 解： ； ，由于，得，利用，得，于是，故.五、設(shè)，.（1） 求； （2）證明數(shù)列單調(diào)減少.解：（1）顯然 故有 .（2） ， ，于是數(shù)列單調(diào)減少.6 解：（1），在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，欲使，必有，.考慮，所以存在區(qū)間，使.（3） 在上嚴(yán)格單調(diào)減少，欲使，必有，.，所以存在區(qū)間，使

5、得.（4） 在上嚴(yán)格遞增，欲使，必須，.，此方程無實數(shù)解，故不存在區(qū)間，使得. 2006浙江省高等數(shù)學(xué)(微積分)競賽試題一、 計算題（每小題12分，滿分60分）1、計算.解: 。2、求.解: .3、求.解: .4、求過且與曲面的所有切平面皆垂直的平面方程.解:令則,令所求平面方程為: ,在曲面上取一點,則切平面的法向量為,則在曲面上取一點,則切平面的法向量為,則.解得: 即所求平面方程為: .二、(15分)設(shè),問有幾個實根?并說明理由.解: 當(dāng), 當(dāng), 且的增長速度要比來得快!所以無實根.三、(滿分20分)求中的系數(shù).解: 當(dāng)時, 故中的系數(shù)為.四、(20分) 計算,其中是球面與平面的交線.解

6、： 而,故.五、(20分)設(shè)為非負(fù)實數(shù),試證:的充分必要條件為.證明：必要性 由于,則, .充分性;要證明,只需證明: ,這里,若,不等式顯然成立;即只需證明: ,而,故只要說明: ,即,當(dāng)時,顯然成立;假設(shè)當(dāng)時,也成立,即;當(dāng)時, . 六、(15分)求最小的實數(shù),使得滿足的連續(xù)函數(shù)都有.解: , 取,顯然,而, 取,顯然,而, 故最小的實數(shù).2007浙江省高等數(shù)學(xué)(微積分)競賽試題(解答) 一.計算題（每小題12分，滿分60分）1、求.解: 。2、求.解: .3、求的值,使.解: 被積函數(shù)是奇函數(shù), 要積分為零, 當(dāng)且僅當(dāng)積分區(qū)間對稱,即: , 解得: .4、計算.解: , 其中如右圖.5、

7、計算,其中為圓柱面.解: 被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù),積分區(qū)域關(guān)于對稱,二、(20分)設(shè),求: (1);(2) .解: (1), ;(2) (圖來說明積分上下).三、(滿分20分)有一張邊長為的正方形紙(如圖),、分別為、的中點，為的中點，現(xiàn)將紙卷成圓柱形，使與重合，與重合，并將圓柱垂直放在平面上，且與原點重合，若在軸正向上，求：（1） 通過，兩點的直線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程；（2） 此旋轉(zhuǎn)曲面、平面和過點垂直于軸的平面所圍成的立體體積. 解:旋轉(zhuǎn)曲面上任意取一點則的坐標(biāo)為： ， 化簡得：所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：，（2），故過垂直軸的平面方程為：令，解得在坐標(biāo)面上的曲線方程為：，圖中所求的旋轉(zhuǎn)體的

8、體積為： .四、(20分) 求函數(shù),在的最大值、最小值.解： 由于具有輪換對稱性,令, 或解得駐點: 或?qū)? ,在圓周上,由條件極值得:令解得: ,;在圓周上,由條件極值得:令解得: , ,;,在的最大值為,最小值為.五、(15分)設(shè)冪級數(shù)的系數(shù)滿足,求此冪級數(shù)的和函數(shù).證明： 而,即: 一階非齊次線性微分方程-常數(shù)變易法, 求的通解: ,令代入得:,即: 故的通解為: ,由于,解得, 故的和函數(shù). 六、(15分)已知二階可導(dǎo),且,(1) 證明:.(2) 若,證明.證明: (1) 要證明,只需證明,也即說明是凹函數(shù), ,故是凹函數(shù), 即證.(2) ,即: .2008浙江省高等數(shù)學(xué)(微積分)競賽

9、試題(解答) 一.計算題1、求.解: 。2、計算.解: 。法二：，令。3、設(shè)，求.解: ,則，則 被積函數(shù)是奇函數(shù), 要積分為零, 當(dāng)且僅當(dāng)積分區(qū)間對稱,即: , 解得: .4、計算.解: , 其中如右圖.5、計算,其中為圓柱面.解: 被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù),積分區(qū)域關(guān)于對稱,二、(20分)設(shè),求: (1);(2) .解: (1), ;(2) (圖來說明積分上下).三、(滿分20分)有一張邊長為的正方形紙(如圖),、分別為、的中點，為的中點，現(xiàn)將紙卷成圓柱形，使與重合，與重合，并將圓柱垂直放在平面上，且與原點重合，若在軸正向上，求：（3） 通過，兩點的直線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程；（4） 此旋

10、轉(zhuǎn)曲面、平面和過點垂直于軸的平面所圍成的立體體積. 解:旋轉(zhuǎn)曲面上任意取一點則的坐標(biāo)為： ， 化簡得：所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：，（2），故過垂直軸的平面方程為：令，解得在坐標(biāo)面上的曲線方程為：，圖中所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為： .四、(20分) 求函數(shù),在的最大值、最小值.解： 由于具有輪換對稱性,令, 或解得駐點: 或?qū)? ,在圓周上,由條件極值得:令解得: ,;在圓周上,由條件極值得:令解得: , ,;,在的最大值為,最小值為.五、(15分)設(shè)冪級數(shù)的系數(shù)滿足,求此冪級數(shù)的和函數(shù).證明： 而,即: 一階非齊次線性微分方程-常數(shù)變易法, 求的通解: ,令代入得:,即: 故的通解為: ,由于,解得,

11、故的和函數(shù). 法二：，同學(xué)們自行完成。六、(15分)已知二階可導(dǎo),且,(3) 證明:.(4) 若,證明.證明: (1) 要證明,只需證明,也即說明是凹函數(shù), ,故是凹函數(shù), 即證.(2) ,即: .2009年浙江省高等數(shù)學(xué)（微積分）競賽試題一、計算題（每小題12分，滿分60分）1.求極限解 =2計算不定積分解 =3設(shè)，求解 =4設(shè)，求此曲線的拐點解 ，令得當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，因此拐點為5已知極限，求常數(shù)的值解 = =1于是，由，得另解 1二、（滿分20分）設(shè)，證明：當(dāng)時，證 設(shè)則，由且，知當(dāng)時，。又設(shè)則，所以,從而,不等式得證.三、（滿分20分）設(shè)，求的最小值證 當(dāng)時，故當(dāng)時單調(diào)增加；當(dāng)時，故當(dāng)

12、時單調(diào)減少； 當(dāng)時，=。由得。當(dāng)時，當(dāng)時， 故是的極小值點，又=，故的最小值為 四、（滿分20分）=五、（滿分15分）設(shè)，證明：（1）為偶函數(shù)；（2）證 （1）（2）=六、（滿分15分）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，證明在上方程有唯一解證 設(shè)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)時，是方程的解；當(dāng)時，由零點定理，得至少存在一點使，即方程至少有一解。又，故在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，因此在上方程有唯一解2010浙江省大學(xué)生高等數(shù)競賽試題（工科類）一、計算題（每小題14分，滿分70分）1求極限2計算3設(shè)為銳角三角形,求的最大值和最小值。4已知分段光滑的簡單閉曲線（約當(dāng)曲線）落在平面：上，設(shè)在上圍成的面積為A,求,其中的方向成右手系。5設(shè)連續(xù)，滿足,求的值。二、（滿分20分）定義數(shù)列如下： ，求。三、（滿分20分）設(shè)有圓盤隨著時間t 的變化，圓盤中心沿曲線