高等數(shù)學(xué)第三章習(xí)題課答案

1、第三章 微分中值定理習(xí)題課一、判斷題（每題3分）1. 函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在點(diǎn)處取得極值，那么.（ ）2. 函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且，那么在點(diǎn)處取得極值.（ × ）3. 若是的極值點(diǎn)，則是的駐點(diǎn). ( × )4. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極大值一定大于極小值 . ( × )5. 若,則在內(nèi)單調(diào)增加 . （ ）6. 且是函數(shù)在處取得極大值的充要條件. ( × ) 7. 函數(shù)的圖形沒(méi)有拐點(diǎn).（ ）8. 因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)不可導(dǎo)，所以點(diǎn)不是曲線(xiàn)的拐點(diǎn).（ × ）二、選擇題（每題3分）1.下列函數(shù)中，在閉區(qū)間-1，1上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件的是（D）. A B C D2對(duì)于函數(shù)，滿(mǎn)

2、足羅爾定理全部條件的區(qū)間是（ D ）.（A）；（B）；（C）；（D）3. 設(shè)函數(shù)，則方程在 內(nèi)根的個(gè)數(shù)（ D ）(A) 0個(gè) ; (B)至多1個(gè); (C) 2個(gè); (D)至少3個(gè).4已知函數(shù)在區(qū)間上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件，使得該定理成立的（ D ）. （A） （B） （C） （D）5.若函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)相等，則該兩函數(shù)在上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一個(gè)常數(shù) D.均為常數(shù) 6. 在定義域內(nèi)( B ). A. 單調(diào)減函數(shù) B.單調(diào)增函數(shù) C. 有單調(diào)增區(qū)間也有單調(diào)減區(qū)間 D. 沒(méi)有單調(diào)性7. 函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是 （ C ）.（A） （B） （C） （D） 8設(shè)內(nèi)，

3、則曲線(xiàn)在內(nèi)的曲線(xiàn)弧位于其上任一條切線(xiàn)的（ A ）.（A）上方;（B）下方;（C）左方;（D）右方.9.曲線(xiàn)的拐點(diǎn)為，則 （ A ）.（A）（B）（C） （D） 10. 設(shè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有且，則在內(nèi)（ C ）A.單調(diào)增加，圖像是凹的 B.單調(diào)減少，圖像是凹的 C.單調(diào)減少，圖像是凸的 D. 單調(diào)增加，圖像是凸的11函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，則和應(yīng)滿(mǎn)足（ C ）.（A）且；（B）且是任意實(shí)數(shù)；（C）且；（D）且是任意實(shí)數(shù).12 函數(shù) 在其定義域內(nèi)（ B ）（A）單調(diào)減少(B) 單調(diào)增加 (C) 圖形是凹的 (D) 圖形是凸的13若為連續(xù)曲線(xiàn)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)，則（ A ）.（A）必為曲線(xiàn)的拐點(diǎn);（B

4、）必為曲線(xiàn)的駐點(diǎn); （C）點(diǎn)必為曲線(xiàn)的極值點(diǎn);（D）必為曲線(xiàn)的拐點(diǎn).14.函數(shù)的駐點(diǎn)是（ B ）.（A） （B） （C） (D) 15函數(shù)的極值（D）. A是 B是0 C是 D不存在16.設(shè)0，則下述正確的是（ A ）( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 17.設(shè)具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且則是的 （ A ）（A）極大值； （B）極小值; （C）駐點(diǎn); （D）拐點(diǎn).18.設(shè)函數(shù)在處有=0,在處導(dǎo)數(shù)不存在，則( C ). A. ,一定都是極值點(diǎn) B.只有可以是極值點(diǎn) C. , 都可能不是極值點(diǎn) D. ,至少有一個(gè)是極值點(diǎn)三、 解答題（求極限每題4分其余每題 8分）1 求極限 （2

5、） = （4） . 解： 2 驗(yàn)證羅爾中值定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的正確性.解：在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件.（3分）令，得，滿(mǎn)足羅爾定理結(jié)論.3 試證明對(duì)函數(shù)應(yīng)用拉格朗日中值定理時(shí)所求得的點(diǎn)總是位于區(qū)間的正中間.證明：在區(qū)間上，代入：解得：.4 證明方程在之間有且僅有一個(gè)實(shí)根證明：令， 所以 在上至少一個(gè)根，又， 當(dāng)時(shí)，所以單增，因此在上至多有一個(gè)根. 在上有且僅有一個(gè)根.5 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：至少存在一個(gè)，使得. 提示:令證明：令，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)， 且 （3分）由Larange中值定理，則至少，使得又 6 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在一點(diǎn)，使得.提

6、示:令 .證明：構(gòu)造輔助函數(shù)， 在上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)， 且 由Rolle定理，至少，有即 7 證明：不論b取何值，方程在區(qū)間上至多有一個(gè)實(shí)根證：令時(shí)，故在區(qū)間上至多有一個(gè)實(shí)根. 8 證明：當(dāng)時(shí)，.證明: 令，顯然在上滿(mǎn)足Lagrange中值定理的條件，由中值定理，至少存在一點(diǎn)，使得 即又即 9 證明：當(dāng)時(shí)，.證：,即有.10 求證：證明：令 當(dāng)時(shí)，故在區(qū)間上，單調(diào)遞增從而當(dāng)時(shí)，即或者：證明：8分11 當(dāng)時(shí)，證明：. 答案參看課本p148 例612 證明：當(dāng)時(shí)， 答案參看課本P132 例113 設(shè)，證明:.證明： 令， 顯然在上滿(mǎn)足lagrange定理?xiàng)l件，故至少存在一點(diǎn)，使得

7、 即 又由及的單增性，得 14 設(shè)，證明：證明：令，在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，有拉格朗日中值定理，至少存在一點(diǎn)，使得，又因?yàn)橐虼耍? 15 證明恒等式. 證：令則在上連續(xù).在內(nèi)有:令在內(nèi)成立.再根據(jù)在上的連續(xù)性,可知上式在上成立. 16 求函數(shù)的極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間.解： 因此，在定義域內(nèi)有不可導(dǎo)點(diǎn)和駐點(diǎn)列表1不存在0極小值點(diǎn)極大值點(diǎn)17 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，拐點(diǎn)及凹或凸的區(qū)間.解：,易得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間. ,令，得. 當(dāng)時(shí)，因此曲線(xiàn)在上是凸的； 當(dāng)時(shí)，因此曲線(xiàn)在上是凹的， 故是拐點(diǎn)18 試確定的值，使曲線(xiàn)在（）為一拐點(diǎn)，在處有極值，并求曲線(xiàn)的凹凸區(qū)間. 解： 為拐點(diǎn)，則 由，則

8、, 代入，則. 曲線(xiàn)為, . 凸區(qū)間為, 凹區(qū)間為.19 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，拐點(diǎn)及凹或凸的區(qū)間.解： ， 易得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間. ， 令，得. 當(dāng)時(shí)，因此曲線(xiàn)在上是凸的；當(dāng)時(shí)，因此曲線(xiàn)在上是凹的，故是拐點(diǎn)20 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，拐點(diǎn)及凹或凸的區(qū)間解：>0,因此單調(diào)增區(qū)間是, ， 令，得. 當(dāng)時(shí)，因此曲線(xiàn)在上是凹的； 當(dāng)時(shí)，因此曲線(xiàn)在上是凸的， 故是拐點(diǎn)21 求函數(shù)的拐點(diǎn)和凹凸區(qū)間.解： 令，得，列表 （4分）拐點(diǎn)拐點(diǎn) 22 求函數(shù)的極值.解： 令得駐點(diǎn)：.當(dāng)時(shí)，取得極小值，其值為.當(dāng)時(shí)，取得極大值，其值為. 23 求函數(shù)的極值.解： 令，得，故是極小值點(diǎn). ， 無(wú)法用第二充分條件進(jìn)行判定.在的附近的左右兩側(cè)取值均有，故不是極值點(diǎn).在的附近的左右兩側(cè)取值均有，故不是極值點(diǎn). 極小值 24 求函數(shù)的極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間.解： 所以，駐點(diǎn)， 列表 極大值極小值無(wú)極值 在處取得極大值 在處取得極小值 單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間 25 試問(wèn)為何值時(shí)，函數(shù)在處取得極值？它是極大值還是極小值？并求此極值.解：在處取得極值 即所以它是極大值，極大值為26 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.解：(舍去)，故最大值為80，最小值為1.27、某車(chē)間靠墻壁要蓋一間長(zhǎng)方形小