基本群的研究

1、目 錄1引言12基本群的相關(guān)概念與定理12.1 定義12.2 定理與命題23同倫與基本群33.1 映射的同倫33.2 構(gòu)造基本群64基本群的計算124.1 的基本群124.2 時，單連通164.3 的基本群174.4 連通圖的基本群184.5 van-Kampn定理185結(jié)論216結(jié)束語21參考文獻22致謝23基本群的研究摘 要:基本群是代數(shù)拓撲學(xué)的基本概念，由它可以決定一些拓撲空間的拓撲結(jié)構(gòu)，然而基本群的計算比較困難。本文詳細介紹了拓撲空間的基本群的構(gòu)造，以及與之相關(guān)的命題、定理等，如拓撲空間的直積、Van-Kampen定理等。在此基礎(chǔ)上介紹了基本群在拓撲學(xué)中的一些應(yīng)用。關(guān)鍵詞：拓撲，同倫，

2、基本群。Fundamental groupAbstract: Fundamental group is one of the basic concepts of the algebraic topology, which can decide the topological structure of some topological space, but the calculation of fundamental group is difficult. This paper introduces the structure of the fundamental group, and intr

3、oduces related theorems,proposition and so on, such as the direct product of topological spaces, van-Kampen theorem and so on. And then, the paper introduces some applications in the topology of the fundamental group. Key words: topology , homotopy, fundamental group.1引言拓撲學(xué)是數(shù)學(xué)中一個重要的、基礎(chǔ)性的分支。拓撲學(xué)發(fā)展到今天，

4、在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重于用分析的方法來研究的，叫作點集拓撲學(xué)。另一個分支是偏重于用代數(shù)方法來研究的，叫作代數(shù)拓撲學(xué)?，F(xiàn)在，這兩個分支又有統(tǒng)一的趨勢。它在泛函分析、微分幾何、微分方程等其它許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。拓撲學(xué)主要研究互不同胚的拓撲空間有多少類。在研究過程中，人們引入了各種拓撲不變量，用來區(qū)分不同胚的拓撲空間，基本群就是一個重要的拓撲不變量。在研究拓撲空間時它起到了很重要的作用，但是與一個拓撲空間相聯(lián)系的基本群不太好確定?；救菏谴鷶?shù)拓撲最基本的概念之一，是一維同倫群，他是拓撲學(xué)中最簡單，用途最廣的部分。這個概念最早是由龐加萊提出并加以研究?；救旱膽?yīng)用

5、已經(jīng)滲入到數(shù)學(xué)的各個分支。著名的龐加萊猜想也和基本群有關(guān)?；救菏窃诘缆芳捌溥\算(逆和乘積)的基礎(chǔ)上建立的，基本群是拓撲不變量，同胚的(道路連通)空間具有同構(gòu)的基本群，若基本群不同構(gòu)，則其一定不同胚，可見基本群對于拓撲學(xué)有著重要的意義。在本論文中，介紹了拓撲學(xué)相關(guān)內(nèi)容，系統(tǒng)地闡述了同倫與基本群的定義以及與之相關(guān)的命題、定理等，給出了確定基本群的一些方法，比如Van-Kampen定理以及空間直積等都可以用來確定基本群。最后計算了一些拓撲空間的基本群，并在此基礎(chǔ)上相應(yīng)地介紹了基本群的幾點應(yīng)用。2基本群的相關(guān)概念與定理2.1 定義定義1 我們說，一個不空集合對于一個叫做乘法的代數(shù)運算來說作成一個群，

6、假如(1) 對于乘法來說是封閉的；(2) 結(jié)合律成立：，對于的任意三個元都對；(3) 里至少存在一個左單位元能讓 對于的任何元都成立；(4)對于的每一個元，在里至少存在一個左逆元，能讓 .定義2 定義映射，按照法則，由于，可知為同態(tài)，我們稱為所誘導(dǎo)的同態(tài)。 定義3 如果一一對應(yīng)，并且及其逆都是連續(xù)的，則稱是一個同胚映射（或稱拓撲變換或同胚），當存在時，就稱與同胚。定義4 記是包含映射，(即)。定義5 設(shè)是上的兩條道路，如果，則稱與定端同倫。顯然它的一個必要條件是與有相同的起終點。定義6 設(shè)是從到的一個同倫，則 (1)； (2)； (3). 設(shè)是的子空間，連續(xù)映射如果滿足上述三個條件(1)(2)

7、(3)，就稱是到的一個形變收縮。定義7 到的一個形變收縮如果保持中的點不動，即形變收縮定義中的條件(3)改成 ()則稱是一個強形變收縮核，稱是的強形變收縮核。2.2 定理與命題粘接引理 設(shè)是的一個有限閉覆蓋，如果映射在每個上的限制都是連續(xù)的，則是連續(xù)映射。命題 設(shè)，并且,則.3 同倫與基本群3.1 映射的同倫定義 同倫：設(shè)為連續(xù)映射，若存在連續(xù)映射,使得, . 對一切成立，則稱同倫于,叫作從到的同倫，記作.如果與在的某個子集上相同，形變到的過程中，在上的值始終不變。這個情形，就是要求從到的同倫還滿足添加的條件：，對一切，.如果這樣的同倫存在，我們就說相對于，同倫于，記作.例1 設(shè)為歐氏空間內(nèi)的

8、凸集，為連續(xù)映射，其中是任意拓撲空間。對于的任意點，連結(jié)與的線段包含在內(nèi)，我們可以讓沿著這些直線段滑動而定義從到的一個同倫。確切地說，定義為，則，故為一個同倫。注意若與在的某一子集上相同，則這個同倫是一個相對于的同倫。同倫叫作一個直線同倫。例2 設(shè)為連續(xù)映射，并且對一切，與永不為對徑點(即一條直徑的兩個端點)。取為的單位球面，并且把，看作映入的映射，則有一個從到的直線同倫。 由于與不是對徑點，它們的連接線段不通過原點。因此我們可定義為 ，則 ，故這個映射是從到的同倫。 例3 設(shè)，使得，則.連結(jié)和的一個同倫可構(gòu)作如下：把看作復(fù)平面上的單位圓周，其上點用單位復(fù)數(shù)表示，令，則，故是一個同倫。直觀上看

9、，是把繞原點轉(zhuǎn)角。引理3.1.1 在從到的全體連續(xù)映射的集合上，關(guān)系“同倫”是一個等價關(guān)系。證明 (1)自反性 設(shè), 令，.則(常同倫)。(2)對稱性 設(shè)，規(guī)定，.則 （稱為的逆）。(3)傳遞性 設(shè),規(guī)定與的乘積為 當時，所以.引理 在從到，并且在子集上相同的連續(xù)映射全體所成的集合上，關(guān)系“相對于的子集同倫”是一個等價關(guān)系。證明 如果所涉及的映射都在上相同，則前面所定義的同倫都是相對于的同倫。引理 同倫映射的迭合仍然是相互同倫的。證明 (1)設(shè)有連續(xù)映射若,則（作為從到的映射）。(2)又若給連續(xù)映射若對于的子集有，則通過同倫有.3.2 構(gòu)造基本群所謂空間內(nèi)的一條閉路是指一個滿足的連續(xù)映射,并且

10、說閉路是以為基點的。若與是以的同一點為基點的兩條閉路，定義乘積為由下列公式給出的閉路公式中是從分成了兩個區(qū)間，但實際上，可以從處分，對應(yīng)的公式為設(shè)為拓撲空間，選取一點作為基點而考慮內(nèi)以為基點的閉路全體(相對于的同倫是這個集合的一個等價關(guān)系)。我們稱這些等價類為同倫類，閉路的同倫類記作.閉路的乘積誘導(dǎo)了同倫類的乘積:.驗證 若，則， ，于是有，從而, 這里故有，可見這樣的定義是有意義的。定理 內(nèi)以為基點的閉路同倫類的全體在乘積之下構(gòu)成一個群。證明 (1)顯然此集合對于乘法是封閉的。(2)定義連續(xù)映射其中是從到的連續(xù)映射。由于是凸集，且，有直線同倫相對于從到恒等映射。按引理有 ， = 所以有，即結(jié)

11、合律成立。(3)單位元素由點處常值閉路的同倫類擔任，的定義是 ，.定義映射 ,因此，所以.(4)定義同倫類的逆為，這里，定義映射 .由于，于是，其中，.所以，故有.綜合(1)(2)(3)(4),集合構(gòu)成一個群。補充：若(2)中的是從處分的，由公式有從而 又由公式有從而 下求.設(shè).(1)當時，顯然有.(2)當時，有(3)當時，有綜合(1)(2)(3)有所以有 也就是說，并不是一定要從處分開，只是一般都習(xí)慣那樣分，而實際上從分也是可以的。定義 定理所構(gòu)造出的群，叫作基于點的基本群。記作.定理 若為道路連通，則對于任何兩點，同構(gòu)于.補充 假設(shè)，是空間內(nèi)兩條道路，且滿足，則根據(jù)乘積公式可得到一條新道路

12、。由此可驗證下列事實。(a)若，則.(b)若為任意三條道路，滿足，則有.(c)若定義為，則相對于同倫于在處常值道路。同理，相對于同倫于處常值道路。定理的證明 選取一條道路，以為起點，為終點。(因是道路連通的，故這樣一條道路一定存在)。若是一條基于的閉路，則是一條基于的閉路。于是定義 利用上面補充的(a)(b)(c),可驗證有意義，且是一個同態(tài)，且具有逆同態(tài)，因此，是一個同構(gòu)。定理 對于迭合映射有.精確表達：選定基點， 并且說是迭合同態(tài).特別當為同胚時，可將定理應(yīng)用于 與，得 很明顯，恒等映射所誘導(dǎo)的是恒等同態(tài)，因此，是同構(gòu)。所以同胚的（道路連通）空間具有同構(gòu)的基本群。4 基本群的計算4.1 的

13、基本群將看作復(fù)平面上的單位圓，取作基點。設(shè)是基點為的閉路，當從變到時，從出發(fā)在上運動，并回到. 規(guī)定連續(xù)映射為 設(shè)是一個拓撲空間，連續(xù)，到的連續(xù)映射如果滿足，即下面的映射圖表可交換，則稱是的一個提升。 引理4.1.1 如果不滿，使得，則存在的提升，使得.證明 由于不滿，可取則由于，存在整數(shù)，使得（下圖）. 規(guī)定， 這里是包含映射。于是 可知. 引理 設(shè)是上的道路，使得，則存在的唯一提升，使得證明 存在性 取自然數(shù)，將分成個小區(qū)間：,其中 ，使得不滿。由引理，順次規(guī)定的提升，使得由粘接引理，由各個并合成的映射是連續(xù)的，它是的提升，并且.唯一性 設(shè)都是的提升，作 ,有，因此是整數(shù)。但是連續(xù)的，連通

14、，因此它一定是常值函數(shù)。如，則，從而，即于是.定義 圈數(shù)：設(shè)是的任一提升，是基點為的閉路，稱為的圈數(shù)。其中說明 (1)同一道路的兩個提升與相差一個常數(shù)，因此即，故與提升的選擇無關(guān)，完全由決定。(2)因與都是整數(shù)，所以是整數(shù)。引理 設(shè)是上基點為的兩條閉路，使得，則證明 取和的提升和，使得規(guī)定，則是上的連續(xù)函數(shù)，若，不妨設(shè) 則是自然數(shù)，從而有,使得，即.于是，與條件矛盾。引理 設(shè)是上基點為的閉路，則.證明 設(shè)，記是的切片，由于是一致連續(xù)的，存在，使得時， 由引理，于是不依賴于，即 作是的提升，使得則因此是上有相同起終點的道路，從而，.定理 是自由循環(huán)群。證明 設(shè)，規(guī)定，得到映射.設(shè).作的提升和，使

15、得，則是的提升。它的起終、點為和，于是 .這說明保持運算，是同態(tài)。引理說明是單同態(tài)。記為，顯然，.對任何正整數(shù)，因此又是滿同態(tài)，從而是同構(gòu)。于是，是由生成的自由循環(huán)群。4.2 時，單連通命題 設(shè)是的開集，其中是單連通的，并且非空，道路連通。則有是滿同態(tài)，這里是包含映射，.推論 若是它的兩個單連通開集的并集，并且非空，道路連通，則也單連通。當時，取上兩點.記，則是單連通的，是道路連通的。用推論，得出是單連通的。4.3 的基本群定理 設(shè)，則（右邊“”表示群的直積.）證明 規(guī)定，其中和分別是到和的投射。顯然是同態(tài)。是滿同態(tài) ，作中的閉路為，則；同樣地.于是.是單同態(tài) 設(shè)，.于是，.記，.規(guī)定為.因

16、可知.（為處的點道路），因此.應(yīng)用此定理到上，得到 對任何正整數(shù)，有.推論 與不同構(gòu)。證明 基本群是拓撲不變量，而與不同構(gòu)，因此與不同構(gòu)。4.4 連通圖的基本群例1 試求下圖左邊圖形的基本群。 左邊圖形與右邊圖形是同倫的，由推論可得 .例2 試求下圖左邊圖形的基本群。同理可解得.由此可歸納整理得，連通圖交點，邊數(shù)，有同構(gòu)圖形數(shù)目，基本群為.4.5 Van-Kampn定理定理4.5.1 如果拓撲空間可分解為兩個開集與之并，并且非空，道路連通。則，有，其中是包含映射。定理要求都是開集，在許多情況下不方便，下面給出它的替代形式。定理 如果定理中都改為閉集，并且是它的一個開領(lǐng)域的強形變收縮核，其它條件

17、不變，則結(jié)論仍成立。定理的兩種特殊情形：(1)是單連通的，這時結(jié)論簡化為 ；(2) 是單連通的，則，特別當有生成元組時，.例1 圓束的基本群。 設(shè).則是的閉子集，是某個開領(lǐng)域的強形變收縮核(上圖)。用特殊情形(1),得到 .記是處沿走一圈的閉路，則 .一般地，在中，記是在各圓交點處沿走一圈的閉路，則 ，是秩為的有限生成自由群。例2 計算閉曲面的基本群。 以Klein瓶為例。矩形按上圖所示方式粘接兩對鄰邊，得到的商空間是Klein瓶。設(shè)是由的邊界粘合成的子集，它是兩個圓的圓束，記交點為.取中的一個圓盤，記作.記,則對可用定理的特殊情形(2)，得到 其中(是一圓周），是處沿走一圈的閉路。是的形變收

18、縮核，從而包含映射導(dǎo)出同構(gòu).利用例1的結(jié)果推出 ，分別是圖中所示閉路在中的閉路類。取是中從到的道路類，則同構(gòu)把映為.于是.用同樣辦法計算任何閉曲面的基本群，得到 是型， 是型.5結(jié)論同胚的空間具有同構(gòu)的基本群。區(qū)別某兩個道路連通的拓撲空間，可設(shè)法算出他們的基本群，并且檢驗這兩個群是否同構(gòu)。如果不同構(gòu)，這兩個空間就不能同胚。6結(jié)束語通過本次論文寫作，使我了解了一些拓撲學(xué)中的基本內(nèi)容，比如同倫、基本群的概念及其相關(guān)的命題、定理等，從而學(xué)會了一些計算基本群的簡單方法。這些內(nèi)容也是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一部分，它的學(xué)習(xí)也會使我對數(shù)學(xué)有了一個新的認識，我會在以后的有關(guān)學(xué)習(xí)中很好地運用相關(guān)內(nèi)容。參考文獻1 周建偉.代數(shù)拓撲講義M.北京:科學(xué)出版社,2007,7.2 曼克勒斯.拓撲學(xué)M.北京:機械工業(yè)出版社,2004,9. 3 M.A.Armstrong.Basic TopologyM.北京:世界圖書出版公司,2008,1. 4 張建華,姜楊.拓撲學(xué)的代數(shù)工具-基本群J.伊犁師范學(xué)院學(xué)報,2006,9(3):2729.5 尤承業(yè).基礎(chǔ)拓撲學(xué)講義M.北京:北京大學(xué)出版社,1980,36 陳吉象.代數(shù)拓撲基礎(chǔ)講義M.北京:高等教育出版社,1987,6.致謝在忻