小學(xué)奧數(shù)-幾何五大模型(蝴蝶模型)分解

1、任意四邊形、梯形與相似模型模型三 蝴蝶模型（任意四邊形模型）任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑。通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線(xiàn)的比例關(guān)系?！纠?1】 (小數(shù)報(bào)競(jìng)賽活動(dòng)試題)如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對(duì)角線(xiàn)AC、BD分成四個(gè)部分，AOB面積為1平方千米，BOC面積為2平方千米，COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是692平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？【分析】 根據(jù)蝴蝶定理求得平方千米，公園四邊形的面積是平方千米

2、，所以人工湖的面積是平方千米【鞏固】如圖，四邊形被兩條對(duì)角線(xiàn)分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已知，求：三角形的面積；？【解析】 根據(jù)蝴蝶定理，那么；根據(jù)蝴蝶定理， (？)【例 2】 四邊形的對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)(如圖所示)。如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，那么的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的_倍。 【解析】 在本題中，四邊形為任意四邊形，對(duì)于這種”不良四邊形”，無(wú)外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過(guò)畫(huà)輔助線(xiàn)來(lái)改造不良四邊形。看到題目中給出條件，這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法。又觀(guān)察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種

3、解法需要一個(gè)中介來(lái)改造這個(gè)”不良四邊形”，于是可以作垂直于，垂直于，面積比轉(zhuǎn)化為高之比。再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果。請(qǐng)老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會(huì)到蝴蝶定理的優(yōu)勢(shì)，從而主觀(guān)上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問(wèn)題。解法一：，解法二：作于，于，【例 3】 如圖，平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，、的面積依次是2、4、4和6。求：求的面積；求的面積。【解析】 根據(jù)題意可知，的面積為，那么和的面積都是，所以的面積為；由于的面積為8，的面積為6，所以的面積為，根據(jù)蝴蝶定理，所以，那么【例 4】 圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對(duì)角線(xiàn)把它分成了4個(gè)小三角形，其中2個(gè)小三角形的

4、面積分別是6公頃和7公頃。那么最大的一個(gè)三角形的面積是多少公頃？【解析】 在，中有，所以， 的面積比為。同理有，的面積比為。所以有×=×，也就是說(shuō)在所有凸四邊形中，連接頂點(diǎn)得到2條對(duì)角線(xiàn)，有圖形分成上、下、左、右4個(gè)部分，有：上、下部分的面積之積等于左右部分的面積之積。 即=，所以有與的面積比為，=公頃，=公頃。 顯然，最大的三角形的面積為21公頃。【例 5】 (2008年清華附中入學(xué)測(cè)試題)如圖相鄰兩個(gè)格點(diǎn)間的距離是1，則圖中陰影三角形的面積為 。 【解析】 連接、。則可根據(jù)格點(diǎn)面積公式，可以得到的面積為：，的面積為：，的面積為：所以，所以【鞏固】如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都

5、是1，求三角形的面積。【解析】 因?yàn)?，且，所以，【?6】 (2007年人大附中考題)如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形中，求三角形的面積 【解析】 連接因?yàn)?，所以因?yàn)椋鶕?jù)蝴蝶定理，所以所以，即三角形的面積是【例 7】 如圖，長(zhǎng)方形中，三角形的面積為平方厘米，求長(zhǎng)方形的面積 【解析】 連接，因?yàn)?，所以因?yàn)椋云椒嚼迕?，所以平方厘米因?yàn)?，所以長(zhǎng)方形的面積是平方厘米【例 8】 如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為10厘米，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求三角形的面積 【解析】 設(shè)與的交點(diǎn)為，連接、由蝴蝶定理可知，而，所以，故 由于為中點(diǎn)，所以，故，由蝴蝶定理可知，所以，那么（平方厘米）【例 9】 如圖，在中，已知、分別在邊

6、、上，與相交于,若、和的面積分別是3、2、1，則的面積是 【解析】 這道題給出的條件較少，需要運(yùn)用共邊定理和蝴蝶定理來(lái)求解根據(jù)蝴蝶定理得 設(shè)，根據(jù)共邊定理我們可以得，解得【例 10】 (2009年迎春杯初賽六年級(jí))正六邊形的面積是2009平方厘米，分別是正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米 【解析】 如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，則圖中空白部分由個(gè)與一樣大小的三角形組成，只要求出了的面積，就可以求出空白部分面積，進(jìn)而求出陰影部分面積連接、設(shè)的面積為”“，則面積為”“，面積為”“，那么面積為的倍，為”“，梯形的面積為，的面積為”“，的面積為根據(jù)蝴蝶定理，故，所以，即的面積為梯形面積的，

7、故為六邊形面積的，那么空白部分的面積為正六邊形面積的，所以陰影部分面積為(平方厘米)板塊二 梯形模型的應(yīng)用梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)：；的對(duì)應(yīng)份數(shù)為梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過(guò)構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往在題目中有事半功倍的效果(具體的推理過(guò)程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進(jìn)行說(shuō)明)【例 11】 如圖，求梯形的面積【解析】 設(shè)為份，為份，根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以；又因?yàn)椋?；那么，所以梯形面積，或者根據(jù)梯形蝴蝶定理，【鞏固】(2006年南京智力數(shù)學(xué)冬令營(yíng))如下圖，梯形的平行于，對(duì)角線(xiàn)，交于，已知與的面積分別為 平方厘米與平方厘米，那么

8、梯形的面積是_平方厘米 【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，可得，再根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以(平方厘米)那么梯形的面積為(平方厘米)【例 12】 梯形的對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，已知梯形上底為2，且三角形的面積等于三角形面積的，求三角形與三角形的面積之比 【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，可以求出，再根據(jù)梯形蝴蝶定理，通過(guò)利用已有幾何模型，我們輕松解決了這個(gè)問(wèn)題，而沒(méi)有像以前一樣，為了某個(gè)條件的缺乏而千辛萬(wàn)苦進(jìn)行構(gòu)造假設(shè)，所以，請(qǐng)同學(xué)們一定要牢記幾何模型的結(jié)論【例 13】 (第十屆華杯賽)如下圖，四邊形中，對(duì)角線(xiàn)和交于點(diǎn)，已知，并且，那么的長(zhǎng)是多少？【解析】 根據(jù)蝴蝶定理，所以，又，所以【例 14】 梯形的下底是上底的

9、倍，三角形的面積是，問(wèn)三角形的面積是多少？【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以【鞏固】如圖，梯形中，、的面積分別為和，求梯形的面積【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以， 【例 15】 如下圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被一些直線(xiàn)分成了若干個(gè)小塊，已知三角形的面積是，三角形的面積是，求四邊形的面積【解析】 如圖，連結(jié)EF，顯然四邊形ADEF和四邊形BCEF都是梯形，于是我們可以得到三角形EFG的面積等于三角形ADG的面積；三角形BCH的面積等于三角形EFH的面積，所以四邊形EGFH的面積是【鞏固】(人大附中入學(xué)測(cè)試題)如圖，長(zhǎng)方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5，四邊形2的面積為36，則三角形1的面積為_(kāi)

10、 【解析】 做輔助線(xiàn)如下：利用梯形模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2分成左右兩邊，其面積正好等于三角形1和三角形3，所以1的面積就是，3的面積就是【例 16】 如圖，正方形面積為平方厘米，是邊上的中點(diǎn)求圖中陰影部分的面積【解析】 因?yàn)槭沁吷系闹悬c(diǎn)，所以，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道，設(shè)份，則 份，所以正方形的面積為份，份，所以，所以平方厘米【鞏固】在下圖的正方形中，是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，三角形的面積為1平方厘米，那么正方形面積是 平方厘米【解析】 連接，根據(jù)題意可知，根據(jù)蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)【例 17】 如圖面積為平方厘米的正方形中，是邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積【解析

11、】 因?yàn)槭沁吷系娜确贮c(diǎn)，所以，設(shè)份，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道份，份，份，因此正方形的面積為份，所以，所以平方厘米【例 18】 如圖，在長(zhǎng)方形中，厘米，厘米，求陰影部分的面積【解析】 方法一：如圖，連接，將陰影部分的面積分為兩個(gè)部分，其中三角形的面積為平方厘米由于，根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以，而平方厘米，所以平方厘米，陰影部分的面積為平方厘米方法二：如圖，連接，由于，設(shè)份，根據(jù)梯形蝴蝶定理， 份，份，份，因此份，份，而平方厘米，所以平方厘米【例 19】 (2008年”奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級(jí)試題)已知是平行四邊形，三角形的面積為6平方厘米則陰影部分的面積是 平方厘米【解析】 連接由于是平行四邊形，所以，根

12、據(jù)梯形蝴蝶定理，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，陰影部分面積為(平方厘米)【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米 【分析】 連接由于與是平行的，所以也是梯形，那么根據(jù)蝴蝶定理，故，所以(平方厘米)【鞏固】(2008年三帆中學(xué)考題)右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米【解析】 連接由于與是平行的，所以也是梯形，那么根據(jù)蝴蝶定理，故，所以(平方厘米)另解：在平行四邊形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根據(jù)蝴蝶定理，陰影部分的面積為(平方厘米)【例 20】

13、如圖所示，、將長(zhǎng)方形分成4塊，的面積是5平方厘米，的面積是10平方厘米問(wèn)：四邊形的面積是多少平方厘米？ 【分析】 連接，根據(jù)梯形模型，可知三角形的面積和三角形的面積相等，即其面積也是10平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形的面積為(平方厘米)，所以長(zhǎng)方形的面積為(平方厘米)四邊形的面積為(平方厘米)【鞏固】如圖所示，、將長(zhǎng)方形分成4塊，的面積是4平方厘米，的面積是6平方厘米問(wèn)：四邊形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 (法1)連接，根據(jù)面積比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形的面積和三角形的面積相等，即其面積也是6平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形的面積為(平方厘米)，所以長(zhǎng)方形的面積為(平方厘米)四邊

14、形的面積為(平方厘米)(法2)由題意可知，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，所以三角形的面積為：(平方厘米)則三角形面積為15平方厘米，長(zhǎng)方形面積為(平方厘米)四邊形的面積為(平方厘米)【鞏固】(98迎春杯初賽)如圖，長(zhǎng)方形中，陰影部分是直角三角形且面積為，的長(zhǎng)是， 的長(zhǎng)是.那么四邊形的面積是多少？【解析】 因?yàn)檫B接知道和的面積相等即為，又因?yàn)?所以的面積為，根據(jù)四邊形的對(duì)角線(xiàn)性質(zhì)知道：的面積為：，所以四邊形的面積為：(平方厘米).【例 21】 (2007年”迎春杯”高年級(jí)初賽)如圖，長(zhǎng)方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為_(kāi)平方厘米 【解析】 連接、四邊形為

15、梯形，所以，又根據(jù)蝴蝶定理，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)那么長(zhǎng)方形的面積為平方厘米，四邊形的面積為(平方厘米)【例 22】 (98迎春杯初賽)如圖，長(zhǎng)方形中，是直角三角形且面積為54，的長(zhǎng)是16，的長(zhǎng)是9那么四邊形的面積是 【解析】 解法一：連接，依題意，所以，則又因?yàn)椋?，得，所?解法二：由于，所以，而，根據(jù)蝴蝶定理，所以，所以【例 23】 如圖，是等腰直角三角形，是正方形，線(xiàn)段與相交于點(diǎn)已知正方形的面積48，則的面積是多少？【解析】 由于是正方形，所以與平行，那么四邊形是梯形在梯形中，和的面積是相等的而，所以的面積是面積的，那么的面積也是面積的由于是等腰直角三角形，如果過(guò)作的垂

16、線(xiàn)，為垂足，那么是的中點(diǎn)，而且，可見(jiàn)和的面積都等于正方形面積的一半，所以的面積與正方形的面積相等，為48那么的面積為【例 24】 如圖所示，是梯形，面積是，的面積是9，的面積是27那么陰影面積是多少？【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，可以得到，而(等積變換)，所以可得，并且，而，所以陰影的面積是：【例 25】 如圖，正六邊形面積為，那么陰影部分面積為多少？【解析】 連接陰影圖形的長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)，此時(shí)六邊形被平分為兩半，根據(jù)六邊形的特殊性質(zhì)，和梯形蝴蝶定理把六邊形分為十八份，陰影部分占了其中八份，所以陰影部分的面積【例 26】 如圖，已知是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)三角形由這6部分組成，其中比多6平方厘米那么

17、三角形的面積是多少平方厘米？【解析】 因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，有且平行于，則四邊形為梯形在梯形中有=，×=×，：=： =4又已知-=6，所以=，=，所以×=×=16，而=，所以=4，梯形的面積為、四塊圖形的面積和，為有與的面積比為平方與平方的比，即為1:4所以面積為梯形面積的=，即為因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以與的面積相等，而的面積為、的面積和，即為平方厘米三角形的面積為48平方厘米【例 27】 如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形中，放入一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的一個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面積為

18、 【解析】 本題中小正方形的位置不確定，所以可以通過(guò)取特殊值的方法來(lái)快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理來(lái)解決一般情況解法一：取特殊值，使得兩個(gè)正方形的中心相重合，如右圖所示，圖中四個(gè)空白三角形的高均為，因此空白處的總面積為，陰影部分的面積為解法二：連接兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，可以得到四個(gè)梯形，這四個(gè)梯形的上底都為2，下底都為6，上底、下底之比為，根據(jù)梯形蝴蝶定理，這四個(gè)梯形每個(gè)梯形中的四個(gè)小三角形的面積之比為，所以每個(gè)梯形中的空白三角形占該梯形面積的，陰影部分的面積占該梯形面積的，所以陰影部分的總面積是四個(gè)梯形面積之和的，那么陰影部分的面積為【例 28】 如圖，在正方形中，、分別在與上，且，連接、，相交于點(diǎn)，過(guò)作、得到兩個(gè)正方形和，設(shè)正方形的面積為，正方形的面積為，則_ 【解析】 連接、設(shè)正方形邊長(zhǎng)為3，則，所以，因?yàn)?，所以由梯形蝴蝶定理，得，所以，因?yàn)?，所以，所以，由于底邊上的高即為正方形的邊長(zhǎng)，所以，所以，則【例 29】 如下圖，在梯形中