二、數(shù)列的有關(guān)概念

1、二、數(shù)列的有關(guān)概念二、數(shù)列的有關(guān)概念四、收斂數(shù)列的性質(zhì)四、收斂數(shù)列的性質(zhì)五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題三、數(shù)列極限的定義三、數(shù)列極限的定義第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、引例一、引例“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1. 1. 割圓術(shù)：割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽一、引例R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS2. 2. 截丈問(wèn)題：截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”;21

2、1 X第一天截下的杖長(zhǎng)為第一天截下的杖長(zhǎng)為;212122 X為為第二天截下的杖長(zhǎng)總和第二天截下的杖長(zhǎng)總和;2121212nnXn 天截下的杖長(zhǎng)總和為天截下的杖長(zhǎng)總和為第第nnX211 1二、數(shù)列(sequence)的有關(guān)概念例如例如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,

3、333,33, 3 2. 有界性有界性例如例如,1 nnxn數(shù)列數(shù)列nnx2 數(shù)列數(shù)列數(shù)數(shù)軸軸上上對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點(diǎn)點(diǎn)nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界；有界；無(wú)界無(wú)界，都滿足都滿足，對(duì)一切，對(duì)一切若存在實(shí)數(shù)若存在實(shí)數(shù)AxnAn ,為下有界為下有界稱稱nx；的下界的下界是是nxA同樣同樣,，都滿足都滿足，對(duì)一切，對(duì)一切若存在若存在BxnBn ,為上有界為上有界稱稱nx的上界的上界是是nxA3. 單調(diào)單調(diào)性性,21nnxxxx 若若滿滿足足數(shù)數(shù)列列nx稱數(shù)列稱數(shù)列為單調(diào)增數(shù)列；為單調(diào)增數(shù)列；,21nxxx 若若滿滿足足為為則則稱稱數(shù)數(shù)列列nx單調(diào)減數(shù)列單調(diào)減數(shù)列單調(diào)增

4、數(shù)列和單調(diào)減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)單調(diào)增數(shù)列和單調(diào)減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列列4. 子數(shù)列子數(shù)列 (subsequence) 列，簡(jiǎn)稱子列列，簡(jiǎn)稱子列的子數(shù)的子數(shù)新數(shù)列稱為新數(shù)列稱為取其中無(wú)窮多項(xiàng)構(gòu)成的取其中無(wú)窮多項(xiàng)構(gòu)成的，任，任在保持原有順序情況下在保持原有順序情況下定義：將數(shù)列定義：將數(shù)列nnxx,21nixxxx,21knnnxxx .knxxxkxxkknnnnkkk 項(xiàng)項(xiàng)，顯顯然然，中中卻卻是是第第在在原原數(shù)數(shù)列列而而項(xiàng)項(xiàng)，是是第第中中，一一般般項(xiàng)項(xiàng)在在子子數(shù)數(shù)列列注意：注意：例如，例如，.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn播放播放三、數(shù)列極限的定義(Limit of

5、 a sequence)問(wèn)題問(wèn)題: 當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 問(wèn)題問(wèn)題: “無(wú)限接近無(wú)限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫它刻畫它. 1nxnnn11)1(1 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:,1001給定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只只要要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)

6、只要只要 n,100011 nx有有, 0 給定給定,)1(時(shí)時(shí)只要只要 Nn.1成立成立有有 nx如果數(shù)列沒(méi)有極限如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的無(wú)限接近的無(wú)限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) Nx1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個(gè)個(gè)至多只有至多只有只有有限個(gè)只有有限個(gè)內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點(diǎn)所有的點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)NaaxNnn :定義定義N 其中其中;:每每一一個(gè)個(gè)或或任任給給的的 .:至少有一個(gè)或存在至少有一個(gè)或存在 .,0,0lim

7、 axNnNaxnnn恒恒有有時(shí)時(shí)使使數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證明證明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以, 11 N取取,時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxCCxnnn 證明證明為常數(shù)為常數(shù)設(shè)設(shè)證證Cxn CC ,成成立立 ,0 任給任給所以所以,0 .limCxnn 說(shuō)明說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時(shí)用定義證數(shù)列

8、極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給關(guān)鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 n對(duì)于一切正整數(shù)對(duì)于一切正整數(shù)例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任任給給,0 nnqx,lnln qn,lnln為自然數(shù)為自然數(shù)取取qN ,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 例例4.lim,0lim,0axaxxnnnnn 求求證證且且設(shè)設(shè)證證, 01 任任給給.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn時(shí)恒有時(shí)恒有使得當(dāng)使得當(dāng)axaxaxnnn 從而有從

9、而有aaxn a1 四、收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1（極限的極限的唯一唯一性性）收斂數(shù)列的極限必唯一收斂數(shù)列的極限必唯一. .證證babxaxnnnn 且且又又設(shè)設(shè),lim,lim由定義由定義,使得使得, 021NN ;21 axNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng);22 bxNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng) ,max21NNN 取取時(shí)時(shí)有有則則當(dāng)當(dāng)Nn )()(axbxbann axbxnn .222ab ，這這是是不不可可能能的的故收斂數(shù)列不可能有兩個(gè)極限故收斂數(shù)列不可能有兩個(gè)極限.2ab 且且令令例例5.)1(1是發(fā)散的是發(fā)散的證明數(shù)列證明數(shù)列 nnx證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義,21 對(duì)于對(duì)于,21,成

10、成立立有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時(shí)時(shí)即當(dāng)即當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度為區(qū)間長(zhǎng)度為1.,1, 1兩兩個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)無(wú)無(wú)休休止止地地反反復(fù)復(fù)取取而而 nx不可能同時(shí)位于不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi)的區(qū)間內(nèi)., ,但但卻卻發(fā)發(fā)散散是是有有界界的的事事實(shí)實(shí)上上nx收斂數(shù)列必為有界數(shù)列收斂數(shù)列必為有界數(shù)列. .證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時(shí)恒有時(shí)恒有使得當(dāng)使得當(dāng)則則. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對(duì)一切自然數(shù)則對(duì)一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件

11、有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散. .性質(zhì)性質(zhì)2（有界性有界性）).0(0, nnaaNnN或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則存存在在正正整整數(shù)數(shù)).0(0,lim)0(0 aaaxxxnnnn或或則則且且或或若若推論推論性質(zhì)性質(zhì)3（保號(hào)保號(hào)性性）),0(0,lim aaaxnn或或且且若若證證, 0 a設(shè)設(shè),2a 取取時(shí)時(shí)有有使使得得當(dāng)當(dāng)則則NnN ,.2320axan 即有即有這個(gè)定理表明這個(gè)定理表明 若數(shù)列的極限為正（或負(fù)），則若數(shù)列的極限為正（或負(fù)），則該數(shù)列從某一項(xiàng)開(kāi)始以后所有項(xiàng)也為正（或負(fù)）該數(shù)列從某一項(xiàng)開(kāi)始以后所有項(xiàng)也為正（或負(fù)）. .,2aaxn 性質(zhì)性質(zhì)4

12、（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系），那那么么它它的的任任一一子子數(shù)數(shù)列列收收斂斂于于如如果果數(shù)數(shù)列列axn.a，且極限也是，且極限也是也收斂也收斂這個(gè)定理表明這個(gè)定理表明 若數(shù)列有兩個(gè)不同的子數(shù)列收斂于若數(shù)列有兩個(gè)不同的子數(shù)列收斂于不同的極限，則該數(shù)列是發(fā)散的不同的極限，則該數(shù)列是發(fā)散的. .五、小結(jié) 思考題數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想、精確定義、幾何意義極限思想、精確定義、幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :唯一性、有界性、保號(hào)性、子數(shù)列的收斂性唯一性、有界性、保號(hào)性、子數(shù)列的收斂性.思考題思考題指出下列證明指出下列

13、證明1lim nnn中的錯(cuò)誤中的錯(cuò)誤 證明證明要使要使,1 nn只要使只要使)1ln(ln1 nn從而由從而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N當(dāng)當(dāng) 時(shí)，必有時(shí)，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思考題解答思考題解答 1nn)1ln(ln1 nn（等價(jià)）（等價(jià)）證明中所采用的證明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn實(shí)際上就是不等式實(shí)際上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即證明中沒(méi)有采用即證明中沒(méi)有采用“適當(dāng)放大適當(dāng)放大” 的值的值nnln從而從而 時(shí)，時(shí)，2ln)1ln( Nn僅有僅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但

14、不是 的充分條件的充分條件)1ln(ln nn反而縮小為反而縮小為n2ln練練 習(xí)習(xí) 題題1. 1. 割圓術(shù)：割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入1. 1. 割圓術(shù)：割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1

15、. 1. 割圓術(shù)：割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1. 1. 割圓術(shù)：割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1. 1. 割圓術(shù)：割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1. 1. 割圓術(shù)：割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念

16、的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1. 1. 割圓術(shù)：割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1. 1. 割圓術(shù)：割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1. 1. 割圓術(shù)：割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn 三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變