數(shù)列極限的求法論文

1、論文：數(shù)列極限的求法題目：數(shù)列極限的求法 作者： 駱 盼 郵箱列極限的求法內(nèi) 容 提 要數(shù)列極限可用語言和語言進(jìn)行準(zhǔn)確定義，本文主要講述數(shù)列極限的各種性質(zhì)及其不同求法，例如：唯一性、保號(hào)性、有界性、可加可乘性、保序性、迫斂性、極限定義求法、極限運(yùn)算法則法、夾逼準(zhǔn)則求法、單調(diào)有界定理求法、函數(shù)極限法、定積分定義法、Stoltz公式法、幾何算術(shù)平均收斂公式法、級(jí)數(shù)法、收縮法等等.我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)同一數(shù)列極限可用不同方法來求. 最后還簡(jiǎn)要介紹了數(shù)列極限在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，如幾何中推算圓面積，求方程的數(shù)值解，研究市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)的穩(wěn)定性及購(gòu)房按揭貸款分期償還問題.通過這些應(yīng)用使我們對(duì)數(shù)列

2、極限有一個(gè)更系統(tǒng)立體的了解.關(guān)鍵詞定義；夾逼準(zhǔn)則；Stoltz公式；數(shù)列極限：數(shù)列極限的性質(zhì)；求數(shù)列極限的各種方法；數(shù)列極限的實(shí)際應(yīng)用目錄第一章 數(shù)列極限的概念11.1數(shù)列極限的概念11.2常用定理公式2第二章 收斂數(shù)列的性質(zhì)4 2.1唯一性42.2有界性42.3保號(hào)性42.4保序性52.5迫斂性52.6可加、可乘性6第三章 數(shù)列極限的求法73.1極限定義求法73.2極限運(yùn)算法則求法83.3夾逼準(zhǔn)則求法103.4單調(diào)有界求法113.5函數(shù)極限法123.6定積分定義求法133.7Stoltz公式法143.8集合算術(shù)平均收斂公式法153.9級(jí)數(shù)法163.10 其他方法18第四章數(shù)列極限在現(xiàn)實(shí)生活中

3、的應(yīng)用204.1 幾何計(jì)算計(jì)算面積204.2 求方程的數(shù)值解.214.3 市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)中的穩(wěn)定性問題224.3.1 零增長(zhǎng)模型224.3.2 不變?cè)鲩L(zhǎng)模型234.4購(gòu)房按揭貸款分期償還24第五章 結(jié)論26參考文獻(xiàn)27第一章 數(shù)列極限的概念 在研究數(shù)列極限解法之前，首先我們要清楚數(shù)列極限的定義.這是對(duì)數(shù)列極限做進(jìn)一步深入研究的先決基礎(chǔ).1.1 數(shù)列極限的定義及分類 數(shù)列極限概念是由于求某些實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的.如，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法割圓術(shù).因一系列圓內(nèi)接正多邊形的面積在無限增大（）時(shí)，內(nèi)接正多邊形無限接近于圓，同時(shí)也無限接近于某一確定的數(shù)，此時(shí)

4、這一數(shù)值可精確表達(dá)圓的面積.在解決類似的實(shí)際問題中逐步的引出了數(shù)列極限. 針對(duì)不同的數(shù)列極限我們對(duì)其定義將會(huì)有細(xì)微的不同，下面主要介紹兩種定義：定義，定義.定義1（語言）：設(shè)是個(gè)數(shù)列，若存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)，都存在一個(gè)正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，都有，則稱是數(shù)列的極限，或稱收斂于，記作，或.這時(shí)，也稱的極限存在.定義2（語言）：若,存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，都有,則稱是數(shù)列當(dāng)無限增大時(shí)的非正常極限，或稱發(fā)散于，記作或，這時(shí)，稱有非正常極限. 對(duì)于的定義類似，就詳作介紹了.為了后面數(shù)列極限的解法做鋪墊，我們先介紹一些常用定理. 定理1.2.1（數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則） 若和為收斂數(shù)列，則也都是收斂數(shù)列

5、，且有 若再假設(shè)及，則也是收斂數(shù)列，且有 .定理1.2.2（單調(diào)有界定理） 在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.定理1.2.3（Stoltz公式） 設(shè)有數(shù)列，其中嚴(yán)格增，且（注意：不必）.如果 （實(shí)數(shù)，），則 定理1.2.3'（Stoltz公式） 設(shè)嚴(yán)格減，且，.若 （實(shí)數(shù)，），則 .定理1.2.4（幾何算術(shù)平均收斂公式） 設(shè)，則（1） ，（2） 若，則.定理1.2.5（夾逼準(zhǔn)則）設(shè)收斂數(shù)列都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，有 ，則數(shù)列收斂，且.定理1.2.6（歸結(jié)原則）設(shè)在內(nèi)有定義.存在的充要條件是：對(duì)任何含于且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等.第二章 收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1.2.

6、1（唯一性）收斂數(shù)列的極限值是唯一的。（若數(shù)列收斂，則它只有一個(gè)極限。）證 設(shè)設(shè)=a，又設(shè)=b由定義，對(duì)于0，N1，N2使得當(dāng)nN1恒有an-a；當(dāng)nN2恒有an-b；取N=max N1，N2，則當(dāng)nN時(shí)有xn-a xn-b即a-ban-a+an-b由的任意性，a=b，故極限唯一定理1.2.2（有界性）收斂的數(shù)列必有界。證 設(shè)=a，由定義，取=1，則N，使得當(dāng)nN時(shí)恒有an-a1，即有a-1ana+1.記M=maxa1，an，a-1，a+1，則對(duì)一切自然數(shù)n皆有anM，故 an有界。推論：無界數(shù)列必定發(fā)散注意：有界數(shù)列是數(shù)列收斂的必要條件定理1.2.3（保號(hào)性）設(shè)是以a為極限的收斂數(shù)列，我們有

7、（1） 若a0，則對(duì)任意的á；aá0，存在N，使得當(dāng)nN時(shí)，有aná。（2） 若a0，則對(duì)任意的á；aá0，存在N，使得當(dāng)nN時(shí)，有aná。證 （1）取=a-á0，根據(jù)極限的定義，知存在N，使得當(dāng)nN時(shí)，有 a-ana+，ana-（a-á）=á，nN （2）證明類似，略定理1.2.4（保序性）設(shè)數(shù)列an與bn收斂，若存在整數(shù)N0,使得當(dāng)nN0時(shí)有anbn，則anbn證 設(shè)an=a，bn=b；若ab，則對(duì)=（a-b）0，正整數(shù)N1，N2使得當(dāng)nN1恒有an-a；即有ana-=（a+b）；當(dāng)nN2恒有an-b

8、 即有bnb+=（a+b）；取N=max N0, N1, N2,當(dāng)nN時(shí)an（a+b）bn與條件相矛盾定理1.2.5（迫斂性）設(shè)三個(gè)數(shù)列an，bn與 cn 滿足（1）ancnbn （n=1,2,3）（2）an=bn=a,則 cn 必為收斂列，且其極限也為a。證 任給0，由題設(shè)（2）可知，存在（共同的）N，使得當(dāng)nN時(shí)，有an-a bn-a由此知，當(dāng)nN時(shí)， a-an a+bn由（1）得a-cna+ nN。這說明 cn 是收斂列，且極限為a注意：（1）若條件（1）換作ancnbn(n=1,2,3)則結(jié)論任成立 （2）本定理既給出了判別數(shù)列收斂的方法；又提供了一個(gè)計(jì)算數(shù)列極限的方法。定理1.2.6

9、（可加性、可乘性、可除性）設(shè)數(shù)列anbn是收斂數(shù)列且an=Abn=B則（1）（an±bn）=A±B（2） an ·bn=A·B（3） an/ bn=A/B 期中B0注意：bn為常數(shù)C時(shí)有（an±C）=A±C an ·C=cA第三章 數(shù)列極限的求法3.1極限定義求法 在用數(shù)列極限定義法求時(shí)，關(guān)鍵是找到正數(shù).我們前面第一節(jié)TH2.4（幾何算術(shù)平均收斂公式）的證明就可用數(shù)列極限來證明，我們來看幾個(gè)例子.例3.1.1，其中.解：.事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立.現(xiàn)設(shè).記，則. 由 ,得 . （5）任給，由（5）式可見，當(dāng)時(shí)，就有.即.所

10、以.對(duì)于的情況，因，由上述結(jié)論知，故 .綜合得時(shí)，.例3.1.2 定理1.2.4（1）式證明.證明：由，則，存在，使當(dāng)時(shí)，有 ,則 .令，那么 .由，知存在，使當(dāng)時(shí)，有.再令,故當(dāng)時(shí)，由上述不等式知 .所以 .例 3.1.3 求.解：. 事實(shí)上，.即.對(duì)，存在，則當(dāng)時(shí)，便有所以.注：上述例題中的7可用替換，即.3. 2極限運(yùn)算法則法 我們知道如果每次求極限都用定義法的話，計(jì)算量會(huì)太大.若已知某些極限的大小，用定理1.2.1就可以簡(jiǎn)化數(shù)列極限的求法.例3.2.1求,其中.解：分子分母同乘，所求極限式化為 .由知，當(dāng)時(shí)，所求極限等于；當(dāng)時(shí)，由于，故此時(shí)所求極限等于0.綜上所述，得到 例3.2.2，

11、其中.解: 若，則顯然有；若，則由得 ；若，則 .3. 3夾逼準(zhǔn)則求法 定理1.2.5又稱迫斂性，它不僅給出了判定數(shù)列收斂的一種方法，而且也提供了一個(gè)求極限的工具.例3.3.1求極限.解：因?yàn)?，所以 .因 ，再由迫斂性知 .例3.3.2求數(shù)列的極限.解： 記，這里，則 ,由上式得 ，從而有 , （2）數(shù)列是收斂于1的，因?qū)θ谓o的，取，則當(dāng)時(shí)有.于是，不等式（2）的左右兩邊的極限皆為1,故由迫斂性得 .例3.3.3設(shè)及，求.解：.事實(shí)上，先令，把寫作，其中.我們有 .由于，可見是無窮小.據(jù)等式 ，注意到，由方才所述的結(jié)果是無窮小.最后的等式表明，可表為有限個(gè)（個(gè)）無窮小的乘積，所以也是無窮小，

12、即 .3.4單調(diào)有界定理求法 有的時(shí)候我們需要先判斷一個(gè)數(shù)列是否收斂，再求其極限，此時(shí)該方法將會(huì)對(duì)我們有很大幫助，我們來看幾個(gè)例子.例3.4.1 求例2.1.3注解中的.解：.事實(shí)上，令.當(dāng)時(shí)， .因此從某一項(xiàng)開始是遞減的數(shù)列，并且顯然有下界0.因此，由單調(diào)有界原理知極限存在，在等式的等號(hào)兩邊令，得到,所以為無窮小.從而 . 例3.4.2求極限（個(gè)根號(hào)）.解：設(shè)， 又由，設(shè)，則.因，故單調(diào)遞增.綜上知單增有上界，所以收斂.令由，對(duì)兩邊求極限得，故.3.5函數(shù)極限法 有些數(shù)列極限可先轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限求可能很方便，再利用歸結(jié)原則即可求出數(shù)列極限.例3.5.1用函數(shù)極限法求例2.1.1,即求.解：先求

13、，因,再由歸結(jié)原則知.例3.5.2用函數(shù)極限求例2.3.2,即求.解：先求.因，再由歸結(jié)原則知.例3.5.3用函數(shù)極限求例2.3.3,即設(shè)及，求.解：先求.因（由洛比達(dá)法則），再由歸結(jié)原則知.3.6定積分定義法 通項(xiàng)中含有的數(shù)列極限，由于的特殊性，直接求非常困難，若轉(zhuǎn)化成定積分來求就相對(duì)容易多了.例3.6.1求.解：令，則.而,也即，所以.例3.6.2求極限.解：因?yàn)?， ，類似地 ，由夾逼準(zhǔn)則知 .注：在此式的求解中用到了放縮法和迫斂性.3.7 Stoltz公式法Stoltz公式，在求某些極限時(shí)非常方便，尤其是當(dāng)時(shí)特別有效.例3.7.1同例2.1.2，定理1.2.4（1）式證明.證明：前面用

14、定義法證明，現(xiàn)用Stoltz公式證明.令，則由Stoltz公式得到 .例3.7.2求.解： （Stoltz公式） （二項(xiàng)式定理） .3.8幾何算術(shù)平均收斂公式法 上面我們用Stoltz公式已得出定理1.2.4,下面我們通過例子會(huì)發(fā)現(xiàn)很多類型的數(shù)列極限可以用此方法來簡(jiǎn)化其求法.例3.8.1同例2.1.1一樣求，其中.解：令,由定理1.2.4（2）知 .例3.8.2同例2.3.2一樣求.解：令,由定理1.2.4（2）知 .例3.8.3同例2.6.1相似求.解：令,則 .所以 ，也即，而由定理1.2.4（2）知 .故 .例3.8.4 求.解：令，則由定理1.2.4（1）知 .3.9級(jí)數(shù)法 若一個(gè)級(jí)數(shù)

15、收斂，其通項(xiàng)趨于0（）,我們可以應(yīng)用級(jí)數(shù)的一些性質(zhì)來求數(shù)列極限，我們來看兩個(gè)實(shí)例來領(lǐng)會(huì)其數(shù)學(xué)思想.例3.9.1用級(jí)數(shù)法求例2.1.3注.解：考慮級(jí)數(shù)，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比式判別法，因 ，故級(jí)數(shù)收斂，從而.例3.9.2用級(jí)數(shù)法求例2.3.3,即設(shè)及，求.解：考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比式判別法，因 ，故正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，所以.例3.9.3求極限.解： 因級(jí)數(shù)收斂，由級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則知，對(duì)，存在, 使得當(dāng)時(shí)， ，此即，所以 .例3.9.4求極限.解：令，所以.考慮級(jí)數(shù) ，因?yàn)?，所以此?jí)數(shù)收斂.令 ，則.再令， .所以 .而 ,所以 .3.10其它方法 除去上述求數(shù)列極限的方法外，針對(duì)不同的題型可能還有不同

16、的方法，我們可以再看幾個(gè)例子.例3.10.1求.解：對(duì)于這個(gè)數(shù)列極限可用三角函數(shù)的周期性. .例3.10.2設(shè), 證明：收斂，并求其極限.解：對(duì)于這個(gè)極限可以先用中值定理來說明其收斂. 首先用數(shù)學(xué)歸納法可以證明 .事實(shí)上,.假設(shè)，則.令，則. ， （1）其中介于和之間.由于,再由（1）式知為壓縮數(shù)列，故收斂.設(shè),則.由于 ，所以 .解得（舍去），.綜上知.注：對(duì)于這個(gè)題可也以采用單調(diào)有界原理證明其極限的存在性.第四章 數(shù)列極限在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用4.1幾何應(yīng)用-計(jì)算面積在論文開始時(shí)，我們已經(jīng)簡(jiǎn)要介紹了利用極限求圓的面積，現(xiàn)在我們?cè)賮斫榻B如何求拋物線與兩直線和所圍的面積.先將區(qū)間等分為個(gè)小區(qū)間，以

17、這些小區(qū)間為底邊，分別以為高，作個(gè)小矩形.這個(gè)小矩形的面積之和是 .這樣我們就定義一個(gè)數(shù)列，對(duì)每個(gè)而言，它都小于欲求的“面積”，但是這兩者之間的差別不會(huì)大于長(zhǎng)為1,寬為的矩形面積，即，所以，當(dāng)越來越大時(shí)，將越來越接近于欲求的“面積”，因此，我們可以定義此面積為 . 這種定義面積并求面積的方法簡(jiǎn)單又樸素，它同時(shí)孕育出了數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要組成部分：積分學(xué).4.2求方程的數(shù)值解我們都知道，是無理數(shù).目前的問題是如何用有理數(shù)來逼近，以達(dá)到事先指定的精確度？是二次方程的正根，所以我們的問題可以說成是求方程的“數(shù)值解”.把問題提得更一般一些.設(shè)是任意給定的，我們來求的近似值.給定的一個(gè)近似值，在兩個(gè)正數(shù)中

18、，一定有一個(gè)大于另一個(gè)小于，除非正好就是.有理由指望這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值可能更加靠近，這便得到了更好的近似.事實(shí)上 .這表明：不論初值如何，得出的第一次近似值是過剩近似值.不妨設(shè)初值本身就是過剩近似值，因此.由此得出 .這個(gè)不等式告訴我們：第一次近似值到的距離至多是初值到的距離的一半.重復(fù)施行上述的步驟，便產(chǎn)生數(shù)列，其中 ，由 ，可見.對(duì)于充分大的，數(shù)與的距離要多小有多小.讓我們看看實(shí)際應(yīng)用起來有多方便，設(shè)想我們需求的近似值.取初值（這是相當(dāng)粗糙的近似值），反復(fù)迭代的結(jié)果是 這已是相當(dāng)精確的近似值.4.3市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)中的穩(wěn)定性問題投資者的交易行為是影響市場(chǎng)穩(wěn)定性的重要因素，以股票為例，為盡量避免出

19、現(xiàn)羊群行為，減少非理性投資，我們需要對(duì)股票的內(nèi)在價(jià)值（即未來收入現(xiàn)金流的現(xiàn)值）有較清晰的認(rèn)識(shí)，從而決定是該購(gòu)買還是該售出，作出理性選擇.現(xiàn)在我們來針對(duì)不同的模型確定股票相應(yīng)的內(nèi)在價(jià)值.4.3.1零增長(zhǎng)模型 假定股利增長(zhǎng)率為0,因其內(nèi)在價(jià)值如下 . （1）（-內(nèi)在價(jià)值，股息(紅利)，貼現(xiàn)率），現(xiàn)由假定知 ，所以此時(shí)股票內(nèi)在價(jià)值為 . （2）知道股票的內(nèi)在價(jià)值后，可求出其凈現(xiàn)值，即內(nèi)在價(jià)值減去市場(chǎng)價(jià)格，也即： .當(dāng)，該股票被低估，可買入；當(dāng)，被高估，不益購(gòu)買.例：某公司在未來無限期支付每股股利為8元，現(xiàn)價(jià)65元，必要收益率10%，評(píng)價(jià)該股票.解：利用（2）式結(jié)論可求得該股票的內(nèi)在價(jià)值為： .故該股

20、票被低估，可以購(gòu)買.4.3.2不變?cè)鲩L(zhǎng)模型 假定股利永遠(yuǎn)按不變?cè)鲩L(zhǎng)率增長(zhǎng)，即 ，代入（1）式得此時(shí)內(nèi)在價(jià)值為 .（3）例：去年某公司支付每股股利1.80元.預(yù)計(jì)未來公司股票的股利按每年5%增長(zhǎng)，假設(shè)必要收益率為11%，當(dāng)每股股票價(jià)格為40元，評(píng)價(jià)該股票.解：利用（3）式的結(jié)論，由于，可知股票內(nèi)在價(jià)值 ，故 ，該股票被高估，建議出售.4.4購(gòu)房按揭貸款分期償還消費(fèi)貸款的還款（即按揭）大多為年金方式，故存在一些年金計(jì)算問題.下面主要對(duì)購(gòu)房分期付款的基本計(jì)算問題做一些簡(jiǎn)單分析.設(shè)表示總的房款金額，表示首次付款比例，表示年利率，表示分期付款（貸款）的總年數(shù)，表示每月底的還款金額，則有如下的價(jià)值方程 ，進(jìn)一步有 . （4）其中 .上述是針對(duì)有限期限付清的情況，如果考慮永久期末年金：在每個(gè)付款期末付款上貨幣單位，直至永遠(yuǎn).若將該年金的現(xiàn)值記為，則有計(jì)算公式 .代入（4）式即可.通過上述公式即可求出按不同還款方式每月底應(yīng)還金額.第五章 結(jié) 論 通過上述章節(jié)我們探討了數(shù)列極限的求法并簡(jiǎn)要介紹了它在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.我們知道