數(shù)學(xué)模型后習(xí)題集答案解析

1、 數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第二章(1)（2008年9月16日）1 學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.學(xué)生們要組織一個10人的委員會，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：（1）. 按比例分配取整數(shù)的名額后,剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者;（2）. §1中的Q值方法；（3）.dHondt方法：將A、B、C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=1,2,3,相除，其商數(shù)如下表： 1 2 3 4 5ABC235 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4將所得商數(shù)從大到小取前10個（10為席位數(shù)）

2、，在數(shù)字下標(biāo)以橫線，表中A、B、C行有橫線的數(shù)分別為2，3，5，這就是3個宿舍分配的席位.你能解釋這種方法的道理嗎？如果委員會從10個人增至15人，用以上3種方法再分配名額，將3種方法兩次分配的結(jié)果列表比較. 解：先考慮N=10的分配方案， 方法一（按比例分配） 分配結(jié)果為： 方法二（Q值方法）9個席位的分配結(jié)果（可用按比例分配）為：第10個席位：計算Q值為 最大，第10個席位應(yīng)給C.分配結(jié)果為 方法三（dHondt方法） 此方法的分配結(jié)果為：此方法的道理是：記和為各宿舍的人數(shù)和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.是每席位代表的人數(shù)，取從而得到的中選較大者，可使對所有的盡量接近. 再考慮

3、的分配方案，類似地可得名額分配結(jié)果.現(xiàn)將3種方法兩次分配的結(jié)果列表如下：宿舍（1） （2） （3）（1） （2） （3）ABC 3 2 2 3 3 3 4 5 54 4 35 5 56 6 7總計 10 10 1015 15 152 試用微積分方法，建立錄像帶記數(shù)器讀數(shù)n與轉(zhuǎn)過時間的數(shù)學(xué)模型.解： 設(shè)錄像帶記數(shù)器讀數(shù)為n時，錄像帶轉(zhuǎn)過時間為t.其模型的假設(shè)見課本.考慮到時間內(nèi)錄像帶纏繞在右輪盤上的長度，可得兩邊積分，得 第二章(2)（2008年10月9日）15速度為的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為的風(fēng)車上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風(fēng)車獲得的功率與、S、的關(guān)系.解: 設(shè)、S、的關(guān)系為， 其量綱表達(dá)式為

4、:P=, =,=,=,這里是基本量綱.量綱矩陣為：A=齊次線性方程組為：它的基本解為由量綱定理得， ， 其中是無量綱常數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè), 的關(guān)系為,=0.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量綱定理

5、得 . ，其中是無量綱常數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè),， 的關(guān)系為.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T0 ，=LM0T-2其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個相互獨立的無量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數(shù). 20.考察阻尼擺的周期，即在單擺運動中考慮阻力，并設(shè)

6、阻力與擺的速度成正比.給出周期的表達(dá)式，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計算原型擺的周期.解：設(shè)阻尼擺周期,擺長, 質(zhì)量,重力加速度，阻力系數(shù)的關(guān)系為其量綱表達(dá)式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個相互獨立的無量綱量, , ，其中是未定函數(shù) . 考慮物理模擬的比例模型，設(shè)和不變，記模型和原型擺的周期、擺長、質(zhì)量分別為,；,;,. 又 當(dāng)無量綱量時， 就有 .數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1節(jié)存貯模型的總費用中增加購買貨物本身的費用,重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量證明在不允許缺貨模型中結(jié)果與原來的一樣，而在允

7、許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都比原來結(jié)果減少解：設(shè)購買單位重量貨物的費用為,其它假設(shè)及符號約定同課本 對于不允許缺貨模型，每天平均費用為： 令 ， 解得由 ，得與不考慮購貨費的結(jié)果比較，、的最優(yōu)結(jié)果沒有變 對于允許缺貨模型，每天平均費用為： 令，得到駐點：與不考慮購貨費的結(jié)果比較，、的最優(yōu)結(jié)果減少2建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)，銷售速率為常數(shù)，在每個生產(chǎn)周期內(nèi)，開始的一段時間一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時間只銷售不生產(chǎn)，畫出貯存量的圖形.設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費為，單位時間每件產(chǎn)品貯存費為，以總費用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期，討論和的情況. 解：由題意可得貯存量的圖形如下：O

8、 貯存費為 又 , 貯存費變?yōu)?于是不允許缺貨的情況下，生產(chǎn)銷售的總費用（單位時間內(nèi)）為 . , 得 易得函數(shù)取得最小值，即最優(yōu)周期為： . 相當(dāng)于不考慮生產(chǎn)的情況. . 此時產(chǎn)量與銷量相抵消，無法形成貯存量.第三章2（2008年10月16日）3在3.3節(jié)森林救火模型中，如果考慮消防隊員的滅火速度與開始救火時的火勢有關(guān)，試假設(shè)一個合理的函數(shù)關(guān)系，重新求解模型.解：考慮滅火速度與火勢有關(guān)，可知火勢越大，滅火速度將減小，我們作如下假設(shè): ，分母而加的.總費用函數(shù)最優(yōu)解為 5在考慮最優(yōu)價格問題時設(shè)銷售期為T，由于商品的損耗，成本隨時間增長，設(shè)，.又設(shè)單位時間的銷售量為.今將銷售期分為兩段，每段的價格

9、固定，記作.求的最優(yōu)值，使銷售期內(nèi)的總利潤最大.如果要求銷售期T內(nèi)的總售量為，再求的最優(yōu)值. 解：按分段價格，單位時間內(nèi)的銷售量為 又 .于是總利潤為=, 得到最優(yōu)價格為:在銷售期T內(nèi)的總銷量為于是得到如下極值問題： 利用拉格朗日乘數(shù)法，解得：即為的最優(yōu)值.第三章3（2008年10月21日）6. 某廠每天需要角鋼100噸，不允許缺貨.目前每30天定購一次，每次定購的費用為2500元.每天每噸角鋼的貯存費為0.18元.假設(shè)當(dāng)貯存量降到零時訂貨立即到達(dá).問是否應(yīng)改變訂貨策略？改變后能節(jié)約多少費用？解：已知：每天角鋼的需要量r=100(噸);每次訂貨費2500（元）;每天每噸角鋼的貯存費0.18（元

10、）.又現(xiàn)在的訂貨周期T30（天）根據(jù)不允許缺貨的貯存模型：得：令 ， 解得： 由實際意義知：當(dāng)（即訂貨周期為）時，總費用將最小. 又300100k =35333100k（353.33100k）（300100k）5333.故應(yīng)改變訂貨策略.改變后的訂貨策略（周期）為T=，能節(jié)約費用約5333元.數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第四章（2008年10月28日）1. 某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,一件甲產(chǎn)品用原料1千克, 原料5千克；一件乙產(chǎn)品用原料2千克, 原料4千克.現(xiàn)有原料20千克, 原料70千克.甲、乙產(chǎn)品每件售價分別為20元和30元.問如何安排生產(chǎn)使收入最大？解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件,乙產(chǎn)品y件，相應(yīng)的利潤為S

11、則此問題的數(shù)學(xué)模型為： max S=20x+30y s.t. 這是一個整線性規(guī)劃問題，現(xiàn)用圖解法進(jìn)行求解可行域為：由直線：x+2y=20, :5x+4y70 y 以及x=0,y=0組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：20x+30y=c在可行域內(nèi) 平行移動. 易知：當(dāng)過與的交點時， xS取最大值. 由 解得 此時 20350（元）2. 某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過13百斤.試問這兩種貨物各托運多少箱，使得所獲利潤最大，并求出最大利

12、潤.解:設(shè)甲貨物、乙貨物的托運箱數(shù)分別為,所獲利潤為則問題的數(shù)學(xué)模型可表示為 這是一個整線性規(guī)劃問題. 用圖解法求解. 可行域為：由直線 及組成直線 在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動. 易知：當(dāng)過與的交點時，取最大值由 解得 . 3某微波爐生產(chǎn)企業(yè)計劃在下季度生產(chǎn)甲、乙兩種型號的微波爐.已知每臺甲型、乙型微波爐的銷售利潤分別為3和2個單位.而生產(chǎn)一臺甲型、乙型微波爐所耗原料分別為2和3個單位,所需工時分別為4和2個單位.若允許使用原料為100個單位,工時為120個單位,且甲型、乙型微波爐產(chǎn)量分別不低于6臺和12臺.試建立一個數(shù)學(xué)模型,確定生產(chǎn)甲型、乙型微波爐的臺數(shù),使獲利潤最大并求出最大利潤.解：設(shè)

13、安排生產(chǎn)甲型微波爐件,乙型微波爐件,相應(yīng)的利潤為S.則此問題的數(shù)學(xué)模型為： max S=3x +2y s.t. 這是一個整線性規(guī)劃問題 用圖解法進(jìn)行求解可行域為：由直線：2x+3y=100, :4x+2y120 及x=6,y=12組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：3x+2y=c在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動. 易知：當(dāng)過與的交點時, S取最大值. 由 解得 . 3100.數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第五章1（2008年11月12日）1.對于5.1節(jié)傳染病的模型，證明： （1）若，然后減少并趨于零；單調(diào)減少至 （2）解：傳染病的模型（14）可寫成 （1） （2） 4在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭模型（3）中，設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效

14、系數(shù)之比為初始兵力相同. (1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負(fù). 解:用表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭模型可近似表示為: 現(xiàn)求(1)的解: (1)的系數(shù)矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時的剩余兵力數(shù)為又令注意到. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為第五章2（2008年11月14日）中心室, 排除6. 模仿5.4節(jié)建立的二室模型來建立一室模型（只有中心室），在快

15、速靜脈注射、恒速靜脈滴注（持續(xù)時間為）和口服或肌肉注射3種給藥方式下求解血藥濃度，并畫出血藥濃度曲線的圖形. 解: 設(shè)給藥速率為 (1)快速靜脈注射: 設(shè)給藥量為 則(2)恒速靜脈滴注(持續(xù)時間為): 設(shè)滴注速率為解得 (3) 口服或肌肉注射: 3種情況下的血藥濃度曲線如下：(1)(2)(3)Ot 第五章3（2008年11月18日）8. 在5.5節(jié)香煙過濾嘴模型中, (1) 設(shè)求 (2) 若有一支不帶過濾嘴的香煙,參數(shù)同上,比較全部吸完和只吸到處的情況下，進(jìn)入人體毒物量的區(qū)別.解， (2) 對于一支不帶過濾嘴的香煙,全部吸完的毒物量為只吸到處就扔掉的情況下的毒物量為4在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭模型（3

16、）中，設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為初始兵力相同. (1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負(fù). 解:用表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭模型可近似表示為: 現(xiàn)求(1)的解: (1)的系數(shù)矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時的剩余兵力數(shù)為又令注意到. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1節(jié)捕魚模型中，如果漁場魚量的

17、自然增長仍服從Logistic規(guī)律，而單位時間捕撈量為常數(shù)h(1)分別就，這3種情況討論漁場魚量方程的平衡點及其穩(wěn)定狀況(2)如何獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，其結(jié)果與6.1節(jié)的產(chǎn)量模型有何不同解：設(shè)時刻t的漁場中魚的數(shù)量為，則由題設(shè)條件知：變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為記(1).討論漁場魚量的平衡點及其穩(wěn)定性：由，得 即 ，(1)的解為：當(dāng)，(1)無實根，此時無平衡點；當(dāng)，(1)有兩個相等的實根，平衡點為.， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定；當(dāng)，時，得到兩個平衡點：， 易知： ， ， ，平衡點不穩(wěn)定，平衡點穩(wěn)定x(2)最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點不穩(wěn)定這是與6.1節(jié)的產(chǎn)量

18、模型不同之處要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場魚量，且盡量接近，但不能等于2.與Logistic模型不同的另一種描述種群增長規(guī)律的是Gompertz模型：其中r和N的意義與Logistic模型相同設(shè)漁場魚量的自然增長服從這個模型，且單位時間捕撈量為討論漁場魚量的平衡點及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強度和漁場魚量水平解：變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記 令，得 ，平衡點為 . 又， 平衡點是穩(wěn)定的，而平衡點不穩(wěn)定. 0 最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為：由前面的結(jié)果可得 ，令得最大產(chǎn)量的捕撈強度從而得到最大持續(xù)產(chǎn)量，此時漁場魚量水平3設(shè)某漁場魚量(時刻漁場中魚的數(shù)量)的自然增長規(guī)律為：其中為固有增長率

19、,為環(huán)境容許的最大魚量. 而單位時間捕撈量為常數(shù).1求漁場魚量的平衡點,并討論其穩(wěn)定性;2試確定捕撈強度,使?jié)O場單位時間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量,求此時漁場魚量水平.解：1變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記,令 ，即 -（1） ， （1）的解為： 當(dāng)時，（1）無實根，此時無平衡點； 當(dāng)時，（1）有兩個相等的實根，平衡點為. ， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定； 當(dāng)時，得到兩個平衡點： ， 易知 ， ， 平衡點不穩(wěn)定 ，平衡點穩(wěn)定. 2最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為： 即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點不穩(wěn)定.要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場魚量,且盡量接近,但不能等于. 數(shù)學(xué)模型第七章作業(yè)（2008年12月

20、4日）1 對于7.1節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問題：（1）因為一個時段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會影響到下一時段的價格，所以第時段的價格由第和第時段的數(shù)量和決定，如果仍設(shè)仍只取決于，給出穩(wěn)定平衡的條件，并與7.1節(jié)的結(jié)果進(jìn)行比較.2已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為和，其中1個時段相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.3 已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為和，其中1個時段相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第七章（200

21、8年12月4日）2 對于7.1節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問題：（1）因為一個時段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會影響到下一時段的價格，所以第時段的價格由第和第時段的數(shù)量和決定，如果仍設(shè)仍只取決于，給出穩(wěn)定平衡的條件，并與7.1節(jié)的結(jié)果進(jìn)行比較.（2）若除了由和決定之外，也由前兩個時段的價格和確定.試分析穩(wěn)定平衡的條件是否還會放寬.解：（1）由題設(shè)條件可得需求函數(shù)、供應(yīng)函數(shù)分別為： 在點附近用直線來近似曲線，得到 由（2）得 （1）代入（3）得 對應(yīng)齊次方程的特征方程為 特征根為當(dāng)時，則有特征根在單位圓外，設(shè)，則 即平衡穩(wěn)定的條件為與的結(jié)果一致.（2）此時需求函數(shù)、供應(yīng)函數(shù)在處附近的直線近似表達(dá)式分別

22、為： 由（5）得， 將（4）代入（6），得 對應(yīng)齊次方程的特征方程為代數(shù)方程（7）無正實根，且不是（7）的根.設(shè)（7）的三個非零根分別為，則對（7）作變換： 則 其中 用卡丹公式：其中求出，從而得到，于是得到所有特征根的條件.2已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為和，其中1個時段相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.設(shè)曲線和相交于點，在點附近可以用直線來近似表示曲線和： -（1） -（2）從上述兩式中消去可得 ， -（3）上述（3）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)

23、線性非齊次差分方程.為了尋求點穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（3）對應(yīng)的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（4）當(dāng)8時，顯然有 -（5）從而 2，在單位圓外下面設(shè)，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 故點穩(wěn)定平衡條件為 3 已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為和，其中1個時段相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.設(shè)曲線和相交于點，在點附近可以用直線來近似表示曲線和： -（1） - -（2）由（2）得 -（3） （1）代入（3），可得 ， -（4）上述

24、（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求點穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（4）對應(yīng)的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（4）當(dāng)8時，顯然有 -（5）從而 2，在單位圓外下面設(shè)，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 故點穩(wěn)定平衡條件為 數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第八章（2008年12月9日）1 證明8.1節(jié)層次分析模型中定義的階一致陣有下列性質(zhì)：（1） 的秩為1，唯一非零特征根為；（2） 的任一列向量都是對應(yīng)于的特征向量. 證明： （1）由一致陣的定義知：滿足，于是對于任意兩列，有，.即列與列對應(yīng)分量成比例.從而對作初等行變換可得： B這里.，

25、從而秩再根據(jù)初等行變換與初等矩陣的關(guān)系知：存在一個可逆陣，使，于是C易知C的特征根為（只有一個非零特征根）.又，與C有相同的特征根，從而A的非零特征根為，又對于任意矩陣有.故A的唯一非零特征根為.（2）對于A的任一列向量，有 的任一列向量都是對應(yīng)于的特征向量.7. 右下圖是5位網(wǎng)球選手循環(huán)賽的結(jié)果，作為競賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條完全路徑，用適當(dāng)方法排出5位選手的名次.21345解：這個5階競賽圖是一個5階有向Hamilton圖.其一個有向Hamilton圈為3.所以此競賽圖是雙向連通的. 等都是完全路徑. 此競賽圖的鄰接矩陣為 令，各級得分向量為， ， ， 由此得名次為5，1（4），2

26、，3 （選手1和4名次相同）. 注：給5位網(wǎng)球選手排名次也可由計算A的最大特征根和對應(yīng)特征向量得到：，數(shù)學(xué)模型作業(yè)（12月16日）解答1.基于省時、收入、岸間商業(yè)、當(dāng)?shù)厣虡I(yè)、建筑就業(yè)等五項因素，擬用層次分析法在建橋梁、修隧道、設(shè)渡輪這三個方案中選一個，畫出目標(biāo)為“越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益”的層次結(jié)構(gòu)圖.越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益解：目標(biāo)層 建筑就 業(yè)岸間商 業(yè)當(dāng)?shù)厣虡I(yè)收入省時 準(zhǔn)則層修隧道建橋梁設(shè)渡輪 方案層 2.簡述層次分析法的基本步驟. 問對于一個即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問題要分成哪3個層次？具體內(nèi)容分別是什么？答：層次分析法的基本步驟為：（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）構(gòu)造成對比較陣；

27、（3）計算權(quán)向量并做一致性檢驗；（4）計算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗 對于一個即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問題，用層次分析法一般可分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這3個層次. 目標(biāo)層是選擇工作崗位，方案層是工作崗位1、工作崗位2、工作崗位3等，準(zhǔn)則層一般為貢獻(xiàn)、收入、發(fā)展、聲譽、關(guān)系、位置等.3用層次分析法時，一般可將決策問題分解成哪3個層次？試給出一致性指標(biāo)的定義以及n階正負(fù)反陣A為一致陣的充要條件. 答：用層次分析法時，一般可將決策問題分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這3個層次； 一致性指標(biāo)的定義為：n階正互反陣A是一致陣的充要條件為：A的最大特征根=n 第九章（2008年12月18日）1

28、在節(jié)傳送帶效率模型中,設(shè)工人數(shù)固定不變.若想提高傳送帶效率D,一種簡單的方法是增加一個周期內(nèi)通過工作臺的鉤子數(shù)，比如增加一倍，其它條件不變另一種方法是在原來放置一只鉤子的地方放置兩只鉤子，其它條件不變，于是每個工人在任何時刻可以同時觸到兩只鉤子，只要其中一只是空的，他就可以掛上產(chǎn)品，這種辦法用的鉤子數(shù)量與第一種辦法一樣試推導(dǎo)這種情況下傳送帶效率的公式，從數(shù)量關(guān)系上說明這種辦法比第一種辦法好解：兩種情況的鉤子數(shù)均為第一種辦法是個位置，單鉤放置個鉤子；第二種辦法是個位置，成對放置個鉤子 由節(jié)的傳送帶效率公式，第一種辦法的效率公式為當(dāng)較小，時，有， 下面推導(dǎo)第二種辦法的傳送帶效率公式：對于個位置，每

29、個位置放置的兩只鉤子稱為一個鉤對，考慮一個周期內(nèi)通過的個鉤對任一只鉤對被一名工人接觸到的概率是； 任一只鉤對不被一名工人接觸到的概率是；記由工人生產(chǎn)的獨立性及事件的互不相容性得，任一鉤對為空的概率為，其空鉤的數(shù)為；任一鉤對上只掛上件產(chǎn)品的概率為，其空鉤數(shù)為所以一個周期內(nèi)通過的個鉤子中，空鉤的平均數(shù)為 于是帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是 ，未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是 ）此時傳送帶效率公式為 近似效率公式：由于 當(dāng)時，并令，則 兩種辦法的比較：由上知：，當(dāng)時， 所以第二種辦法比第一種辦法好數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答 第九章（2008年12月23日）一報童每天從郵局訂購一種報紙，沿街叫賣.已知每100份報紙報童全部賣出可獲利7

30、元.如果當(dāng)天賣不掉，第二天削價可以全部賣出，但報童每100份報紙要賠4元.報童每天售出的報紙數(shù)是一隨機變量，其概率分布如下表：售出報紙數(shù)（百份）012345概率0050.10.250.350.150.1試問報童每天訂購多少份報紙最佳(訂購量必須是100的倍數(shù))？解：設(shè)每天訂購百份紙，則收益函數(shù)為 收益的期望值為G(n) = + 現(xiàn)分別求出 =時的收益期望值. G(0)=0；G(1)=×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45;G(2)= ();G(3)=() G(4)=() G(5)= 當(dāng)報童每天訂300份時，收益的期望值最大.

31、 數(shù)模復(fù)習(xí)資料第一章1. 原型與模型原型就是實際對象.模型就是原型的替代物.所謂模型, 按北京師范大學(xué)劉來福教授的觀點：模型就是人們?yōu)橐欢ǖ哪康膶υ瓦M(jìn)行的一個抽象.如航空模型、城市交通模型等.模型2. 數(shù)學(xué)模型對某一實際問題應(yīng)用數(shù)學(xué)語言和方法,通過抽象、簡化、假設(shè)等對這一實際問題近似刻劃所得的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),稱為此實際問題的一個數(shù)學(xué)模型. 例如力學(xué)中著名的牛頓第二定律使用公式來描述受力物體的運動規(guī)律就是一個成功的數(shù)學(xué)模型.或又如描述人口隨時間自由增長過程的微分方程.3. 數(shù)學(xué)建模所謂數(shù)學(xué)建模是指根據(jù)需要針對實際問題組建數(shù)學(xué)模型的過程.更具體地說,數(shù)學(xué)建模是指對于現(xiàn)實世界的某一特定系統(tǒng)或特定問題,為

32、了一個特定的目的,運用數(shù)學(xué)的語言和方法,通過抽象和簡化,建立一個近似描述這個系統(tǒng)或問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(數(shù)學(xué)模型),運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具以及計算機技術(shù)來解模型,最后將其結(jié)果接受實際的檢驗,并反復(fù)修改和完善.數(shù)學(xué)建模過程流程圖為：實際問題抽象、簡化、假設(shè)確定變量、參數(shù)歸結(jié)數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)地、數(shù)值地 求解模型估計參數(shù)否 檢驗?zāi)Ｐ?用實例或有關(guān)知識)符合否？是評價、推廣并交付使用產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、社會效益4.數(shù)學(xué)建模的步驟依次為：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型應(yīng)用5.數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類,常見的有：a.按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類 數(shù)學(xué)模型 b.按建模的數(shù)學(xué)方法分類

33、數(shù)學(xué)模型 c.按建模目的來分類 數(shù)學(xué)模型 d.層次分析法的基本步驟：1.建立層次結(jié)構(gòu)模型2.構(gòu)造成對比較陣3.計算權(quán)向量并作一致性檢驗4.計算組合權(quán)向量并作組合一致性檢驗e.n階正互反正A是一致陣的充要條件為A的最大特征值為nf.正互反陣最大特征根和特征向量的實用算法：冪法、和法、根法4在“椅子擺放問題”的假設(shè)條件中，將四腳的連線呈正方形改為呈長方形，其余條件不變.試構(gòu)造模型并求解.解：設(shè)椅子四腳連線呈長方形ABCD. AB與CD的對稱軸為軸，用中心點的轉(zhuǎn)角表示椅子的位置.將相鄰兩腳A、B與地面距離之和記為;C、D與地面距離之和記為.并旋轉(zhuǎn).于是，設(shè)就得到.數(shù)學(xué)模型：設(shè)是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).若,

34、有,且,則,使.模型求解:令 .就有 .再由的連續(xù)性,得到是一個連續(xù)函數(shù). 從而是上的連續(xù)函數(shù).由連續(xù)函數(shù)的介值定理：,使.即,使.又因為,有.故.9 （1）某甲早8：00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5：00到達(dá)山頂并留宿.次日早8：00沿同一路徑下山，下午5：00回到旅店.某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經(jīng)過路徑中的同一地點.為什么？（2）37支球隊進(jìn)行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪，直至比賽結(jié)束.問共需進(jìn)行多少場比賽，共需進(jìn)行多少輪比賽.如果是支球隊比賽呢？解：（1）方法一：以時間為橫坐標(biāo)，以沿上山路徑從山下旅店到山頂?shù)男谐虨榭v坐標(biāo)， 第一天的行程可

35、用曲線（）表示 ，第二天的行程可用曲線（）表示，（）（）是連續(xù)曲線必有交點,兩天都在時刻經(jīng)過地點. x d 方法二：設(shè)想有兩個人， () 一人上山，一人下山，同一天同 時出發(fā)，沿同一路徑,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我們以山下旅店為始點記路程,設(shè)從山下旅店到山頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為(即t時刻走的路程為),同樣設(shè)從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為,并設(shè)山下旅店到山頂?shù)木嚯x為(>0).由題意知：,.令,則有，由于,都是時間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,使,即.（2）36場比賽，因為除冠軍隊外，每隊都負(fù)一場；6輪比賽，因為2隊賽1輪，4隊賽2輪，32隊賽5輪. 隊

36、需賽場，若，則需賽輪.2已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為和，其中1個時段相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.設(shè)曲線和相交于點，在點附近可以用直線來近似表示曲線和： -（1） - -（2）由（2）得 -（3） （1）代入（3），可得 ， -（4）上述（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求點穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（4）對應(yīng)的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（5）當(dāng)8時，顯然有 -（6）從而 2，在單位圓外下面設(shè)，由(5

37、)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 故點穩(wěn)定平衡條件為 3設(shè)某漁場魚量(時刻漁場中魚的數(shù)量)的自然增長規(guī)律為：其中為固有增長率,為環(huán)境容許的最大魚量. 而單位時間捕撈量為常數(shù).（1）求漁場魚量的平衡點,并討論其穩(wěn)定性;（2）試確定捕撈強度,使?jié)O場單位時間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量,并求此時漁場魚量水平.解：（1）.變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記,令 ，即 -（1） ， （1）的解為： 當(dāng)時，（1）無實根，此時無平衡點； 當(dāng)時，（1）有兩個相等的實根，平衡點為. ， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定； 當(dāng)時，得到兩個平衡點： ， 易知 ， ， 平衡點不穩(wěn)定 ，平衡點穩(wěn)定. （2）最大持

38、續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為： 即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點不穩(wěn)定.要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場魚量,且盡量接近,但不能等于.5某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每件產(chǎn)品需要原材料、能源消耗、勞動力及所獲利潤如下表所示：品種原材料能源消耗(百元)勞動力(人)利潤(千元)甲2144乙3625現(xiàn)有庫存原材料1400千克；能源消耗總額不超過2400百元；全廠勞動力滿員為2000人.試安排生產(chǎn)任務(wù)(生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品各多少件),使利潤最大,并求出最大利潤.解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件，相應(yīng)的利潤為S.則此問題的數(shù)學(xué)模型為 模型的求解： 用圖解法.可行域為：由直線組成的凸五邊形區(qū)域. 直線在此凸五邊形區(qū)域內(nèi)平行

39、移動. 易知：當(dāng)過的交點時，S取最大值. 由 解得：（千元）. 故安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品400件、乙產(chǎn)品200件,可使利潤最大,其最大利潤為2600千元.6. 某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過13百斤.試問這兩種貨物各托運多少箱，使得所獲利潤最大，并求出最大利潤.解:設(shè)甲貨物、乙貨物的托運箱數(shù)分別為,所獲利潤為則問題的數(shù)學(xué)模型可表示為 這是一個整線性規(guī)劃問題. 用圖解法求解. 可行域為：由直線 及組成直線 在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動

40、. 易知：當(dāng)過與的交點時，取最大值由 解得 . 7.深水中的波速與波長、水深、水的密度和重力加速度有關(guān)，試用量綱分析方法給出波速的表達(dá)式.解：設(shè),， 的關(guān)系為=0.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=LM0T0，=LM0T0，=L-3MT0， =LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱. -4分量綱矩陣為 A= 齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為= = 由量綱定理 得 , , ，其中是未定函數(shù) . 第二章(2)（2008年10月9日15速度為的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為的風(fēng)車上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風(fēng)車獲得的功率與、S、的關(guān)系.解: 設(shè)、S、的關(guān)系為， 其量綱表達(dá)式為:P=, =,=,=,這

41、里是基本量綱.量綱矩陣為：A=齊次線性方程組為：它的基本解為由量綱定理得， ， 其中是無量綱常數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè), 的關(guān)系為,=0.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量綱定理 得 . ，其中是無量綱常

42、數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè),， 的關(guān)系為.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T0 ，=LM0T-2其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個相互獨立的無量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數(shù). 20.考察阻尼擺的周期，即在單擺運動中考慮阻力，并設(shè)阻力與擺的速度成正比.給出周期的表達(dá)式，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計算原型擺的周期.解：設(shè)阻尼擺周期,擺長, 質(zhì)量,重力加速度，阻力系數(shù)的關(guān)系為其量綱表達(dá)式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個相互獨立的無量綱量, , ，其中是未定函數(shù) . 考慮物理模擬的比例模型，設(shè)和不變