數(shù)學(xué)線段和(差)的最值問(wèn)題

1、最值問(wèn)題總體理論依據(jù)：1線段公理兩點(diǎn)之間，線段最短。2對(duì)稱的性質(zhì)關(guān)于一條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等。對(duì)稱軸是兩個(gè)對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線3三角形兩邊之和大于第三邊。4三角形兩邊之差小于第三邊。5、垂直線段最短類型一、已知兩個(gè)定點(diǎn)：1、在一條直線m 上，求一點(diǎn)P，使 PA+PB 最??；（ 1）點(diǎn) A 、 B 在直線 m 兩側(cè)：（2）點(diǎn) A 、 B 在直線同側(cè)：AAAABBmmPPmBBA'2、在直線 m、n 上分別找兩點(diǎn)P、 Q，使 PA+PQ+QB 最小。（ 1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（ 2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：AAmAmP'PAmPBnQ'nBQQnBBB&#

2、39;（ 3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）、臺(tái)球兩次碰壁模型A'mmnnAAAA'APBDBBQnEnmB'變式一：已知點(diǎn)A 、 B 位于直線 m,n 的內(nèi)側(cè)，在直線n、 m 分別上求點(diǎn) D、 E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB 周長(zhǎng)最短 .A'變式二： 已知點(diǎn) A 位于直線 m,n 的內(nèi)側(cè) , 在直線 m、nn 分別上求點(diǎn)P、 Q 點(diǎn) PA+PQ+QA 周長(zhǎng)最短 .QmmnBmB'nAAmPmA"例題 1、一次函數(shù)ykxb 的圖象與x、y 軸分別交于點(diǎn)A（ 2， 0）， B（ 0，4）y（ 1）求該函數(shù)的解析式；（ 2） O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) OA、 A

3、B 的中點(diǎn)分別為 C、 D ，P 為 OB 上一動(dòng)點(diǎn)，求 PC PD 的最小值，并求取得最小值時(shí)P 點(diǎn)坐標(biāo)例 2、如圖 , 矩形 OABC頂點(diǎn) O位于原點(diǎn) ,OA,OC分別在 x 軸、y 軸上 .B 點(diǎn)坐標(biāo)為 (3,2),E為 AB中點(diǎn) ,F 為 BC邊的三等分點(diǎn) . 在 x 軸、y 軸上是否分別存在點(diǎn) M、N, 使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最?。咳绻嬖?, 求出周長(zhǎng)的最小值 ; 如果不存在 , 請(qǐng)說(shuō)明理由 .BDPOCAx第 1 題類型二、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)：（一） 動(dòng)點(diǎn) 在直線上運(yùn)動(dòng)：點(diǎn) B 在直線 n 上運(yùn)動(dòng)，在直線m 上找一點(diǎn)P，使 PA+PB 最?。ㄔ趫D中畫出點(diǎn)P 和點(diǎn) B ）1、兩點(diǎn)

4、在直線兩側(cè)：2、兩點(diǎn)在直線同側(cè)：nnnnBBAAmmPmmPAAA'（二）動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)點(diǎn) B 在 O 上運(yùn)動(dòng)，在直線m 上找一點(diǎn) P，使 PA+PB 最?。ㄔ趫D中畫出點(diǎn)P和點(diǎn) B）1、點(diǎn)與圓在直線兩側(cè)：2、點(diǎn)與圓在直線同側(cè)：OO B'OOBP'ABAmPmmmAAPA'例題 3、如圖，在銳角ABC 中， AB 42 ， BAC45°， BAC 的平分線交BC 于點(diǎn) D ，M、N 分別是 AD 和 AB 上的動(dòng)點(diǎn)，則BM +MN 的最小值是例題 4、如圖， E， F 是正方形ABCD 的邊 AD 上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF 連接 CF 交 BD 于點(diǎn)G

5、，連接 BE 交 AG 于點(diǎn) H若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH 長(zhǎng)度的最小值是類型三 、已知 A 、B 是兩個(gè)定點(diǎn)， P、Q 是直線 m 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， P 在 Q 的左側(cè) ,且 PQ 間長(zhǎng)度恒定 ,在直線 m 上要求P、 Q 兩點(diǎn)，使得 PA+PQ+QB 的值最小。 (原理用平移知識(shí)解 )（ 1）點(diǎn) A 、 B 在直線 m 兩側(cè)：（2）點(diǎn) A 、 B 在直線 m 同側(cè)：AAACBAEBmPQmmPPmPQQQBBB'過(guò) A 點(diǎn)作 AC m,且 AC長(zhǎng)等于 PQ長(zhǎng)，連接 BC, 交直線 m 于 Q,Q 向左移動(dòng) PQ 長(zhǎng)，即為 P 點(diǎn)，此時(shí) P、Q 即為所求的點(diǎn)。例題 5、在平面直角坐

6、標(biāo)系中，已知拋物線y1x2bx c （ b,c 為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P ，等腰直角三角形 ABC2的定點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (0, 1) ， C 的坐標(biāo)為(4,3)，直角頂點(diǎn) B 在第四象限 .（ 1）如圖，若該拋物線過(guò)A ， B 兩點(diǎn)，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（ 2）平移（ 1）中的拋物線，使頂點(diǎn)P 在直線 AC 上滑動(dòng)，且與AC 交于另一點(diǎn) Q.i）若點(diǎn) M 在直線 AC 下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以M 、 P、 Q 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)， 求出所有符合條件的點(diǎn)M 的坐標(biāo)；ii ）取 BC 的中點(diǎn) N ，連接 NP, BQ . 試探究PQ是否存在最大值？若存在，求出

7、該最NPBQ大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例題 6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y3x 3 與 x 軸交于點(diǎn) A ，與 y 軸交于點(diǎn) C 。拋物線 yx2bxc經(jīng)過(guò) A 、 C 兩點(diǎn)，且與 x 軸交于另一點(diǎn)B （點(diǎn) B 在 A右側(cè)）。（ 1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B 坐標(biāo)；y（ 2）若點(diǎn) M 是線段 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M 的直線 EF 平行 y 軸交 x 軸于點(diǎn) F ，F(xiàn)AOBx交拋物線于點(diǎn) E 。問(wèn)：線段 ME 的長(zhǎng)是否有最大值或最小值？若存在，請(qǐng)求出最大M（?。┲怠（ 3）試探究：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在兩點(diǎn)P （ t ， m ）、 Q （ t ， m1 ），E使得四邊形 ACPQ 的

8、周長(zhǎng)最??；若存在，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由。類型四、求兩線段差的最大值問(wèn)題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)1、在一條直線m 上，求一點(diǎn)P，使（ 1）點(diǎn) A 、 B 在直線 m 同側(cè)：PA 與PB 的差最大；（ 2）點(diǎn)A 、B在直線m 異側(cè)：AAAB'ABBmP'mBPmmBP'P過(guò) B 作關(guān)于直線 m 的對(duì)稱點(diǎn) B,連接 AB 交點(diǎn)直線 m 于 P,此時(shí) PB=PB ，PA-PB 最大值為 AB 例題 7、如圖所示，已知A （ 1， y1）， B （ 2， y2）為反比例函數(shù) y=圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（ x， 0）在 x 軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP 與線段 BP 之差達(dá)到最大值時(shí)，