第一節(jié)多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性

1、第一節(jié) 多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性v一、多元函數(shù)的概念v二、多元函數(shù)的極限v三、多元函數(shù)的連續(xù)性v四、小結(jié)、思考題 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)， 是某是某一正數(shù)，與點(diǎn)一正數(shù)，與點(diǎn)),(000yxP距離小于距離小于 的點(diǎn)的點(diǎn)),(yxP的全體，稱(chēng)為點(diǎn)的全體，稱(chēng)為點(diǎn)0P的的 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU，（1）鄰域）鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念 （2）區(qū)域）區(qū)域.)(的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)為為則稱(chēng)則稱(chēng)，的某一鄰域的某一鄰域一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)是平面上的是平面上的是平

2、面上的一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，設(shè)設(shè)EPEPUPPE .EE 的內(nèi)點(diǎn)屬于的內(nèi)點(diǎn)屬于EP .為開(kāi)集為開(kāi)集則稱(chēng)則稱(chēng)的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即為開(kāi)集即為開(kāi)集的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn)為為），則稱(chēng)），則稱(chēng)可以不屬于可以不屬于，也，也本身可以屬于本身可以屬于的點(diǎn)（點(diǎn)的點(diǎn)（點(diǎn)也有不屬于也有不屬于的點(diǎn)，的點(diǎn)，于于的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬如果點(diǎn)如果點(diǎn)EPEEPEEPEP 的邊界的邊界的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為 EE是連通的是連通的開(kāi)集開(kāi)集，則稱(chēng)，則稱(chēng)且該折線上的點(diǎn)都屬于且該折線上的點(diǎn)都屬于連結(jié)起來(lái)，連結(jié)起來(lái)，任何兩點(diǎn)，都可用折

3、線任何兩點(diǎn)，都可用折線內(nèi)內(nèi)是開(kāi)集如果對(duì)于是開(kāi)集如果對(duì)于設(shè)設(shè)DDDD 連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱(chēng)稱(chēng)為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無(wú)界開(kāi)區(qū)域無(wú)界開(kāi)區(qū)域xyo例如，例如，則稱(chēng)為無(wú)界點(diǎn)集則稱(chēng)為無(wú)界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集，否為有界點(diǎn)集，否成立，則稱(chēng)成立，則稱(chēng)對(duì)一切對(duì)一切即即，不超過(guò)不超過(guò)間的距離間的距離與某一定點(diǎn)與某一定點(diǎn)，使一切點(diǎn)，使一切點(diǎn)如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)對(duì)于點(diǎn)集對(duì)于點(diǎn)集EEPKAPKAPAEPKE 41

4、| ),(22 yxyx（3）聚點(diǎn)）聚點(diǎn) 設(shè)設(shè) E 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，P 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，如如果果點(diǎn)點(diǎn) P 的的任任何何一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)總總有有無(wú)無(wú)限限多多個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于點(diǎn)點(diǎn)集集 E，則則稱(chēng)稱(chēng) P 為為 E 的的聚聚點(diǎn)點(diǎn). 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)； 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn) 點(diǎn)集點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合1| ),(22 yxyx

5、例如例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合（4）n維空間維空間 設(shè)設(shè)n為為取取定定的的一一個(gè)個(gè)自自然然數(shù)數(shù)，我我們們稱(chēng)稱(chēng)n元元數(shù)數(shù)組組),(21nxxx的的全全體體為為n維維空空間間，而而每每個(gè)個(gè)n元元數(shù)數(shù)組組),(21nxxx稱(chēng)稱(chēng)為為n維維空空間間中中的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，數(shù)數(shù)ix稱(chēng)稱(chēng)為為該該點(diǎn)點(diǎn)的的第第i個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo). n維空間的記號(hào)為維空間的記號(hào)為;nR n維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,

6、|),(00 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離3, 2, 1 n內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義鄰域：鄰域：設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為 設(shè)設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)DyxP ),(，變量，變量z按照一定的法則總有確定的按照一定的法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)值和它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)z是變量是變量yx,的二元函數(shù)，記為的二元函數(shù)，記為),(yxfz （或記為（或記為)(Pfz ）. .（5）二元函數(shù)的定義）二元函數(shù)的定義當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱(chēng)稱(chēng)為為多多元

7、元函函數(shù)數(shù). 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念因變量等概念.類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD （6） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，對(duì)于任意，對(duì)于任意取定的取定的DyxP ),(，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為),(yxfz ，這樣，以，這樣，以x為橫坐標(biāo)、

8、為橫坐標(biāo)、y為縱坐為縱坐標(biāo)、標(biāo)、z為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)),(zyxM，當(dāng)當(dāng)x取遍取遍D上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這個(gè)點(diǎn)集稱(chēng)，這個(gè)點(diǎn)集稱(chēng)為二元函數(shù)的圖形為二元函數(shù)的圖形.（如下頁(yè)圖）（如下頁(yè)圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:定 義定 義 1 1 設(shè) 函 數(shù)設(shè) 函 數(shù)),(yxfz 的 定 義 域

9、 為的 定 義 域 為),(,000yxPD是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)正數(shù) ，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) ，使得對(duì)于適合不等式，使得對(duì)于適合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切點(diǎn)，都有點(diǎn)，都有 |),(|Ayxf成立，則稱(chēng)成立，則稱(chēng) A A 為函數(shù)為函數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)0 xx ，0yy 時(shí)的極限，時(shí)的極限，記為記為 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf這里這里|0PP ）.二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限說(shuō)明：說(shuō)明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數(shù)的極限也

10、叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似例例2 2 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例3 3 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(li

11、muuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例4 4 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 播放播放（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxP，若若極極限限值值與與k有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2） 找兩種不

12、同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言但兩者不相等，此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP處極限不存在處極限不存在確定極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：定義定義 2 2 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, PD是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ，總 存 在 正 數(shù)總 存 在 正 數(shù) ， 使 得 對(duì) 于 適 合 不 等 式， 使 得 對(duì) 于 適 合 不 等 式 |00PP的 一 切 點(diǎn)的 一 切 點(diǎn)DP ， 都 有， 都 有 |)(|APf成立，則稱(chēng)成立，則

13、稱(chēng) A A 為為n元函數(shù)元函數(shù))(Pf當(dāng)當(dāng)0PP 時(shí)的極限，記為時(shí)的極限，記為 APfPP )(lim0. .n元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限利用點(diǎn)函數(shù)的形式有利用點(diǎn)函數(shù)的形式有 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, PD是其聚點(diǎn)且是其聚點(diǎn)且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 則稱(chēng)則稱(chēng)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf在點(diǎn)在點(diǎn)0P處連續(xù)處連續(xù). . 設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)，如如果果)(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱(chēng)稱(chēng)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn).三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義3 3例例5 5 討論函數(shù)

14、討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 2)0 , 0(),(fyxf故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 220yx例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的

15、不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在D D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理（3）一致連續(xù)性定理）一致連續(xù)

16、性定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)必定上的多元連續(xù)函數(shù)必定在在D D上一致連續(xù)上一致連續(xù)多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式11

17、1lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處連續(xù)，于是處連續(xù)，于是點(diǎn)點(diǎn)在在的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則是是數(shù)，且數(shù)，且是初等函是初等函時(shí)，如果時(shí)，如果一般地，求一般地，求多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的（注意趨近方式的任意性任意性）四、小結(jié)四、小結(jié)多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義 若點(diǎn)若點(diǎn)),(yx沿著無(wú)數(shù)多條平面曲線趨向于沿著無(wú)數(shù)多條平面曲線趨向于點(diǎn)點(diǎn)),(00yx時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)),(yxf都趨向于都趨向于 A，能

18、否，能否斷定斷定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考題思考題思考題解答思考題解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因?yàn)槿羧≡驗(yàn)槿羧?2yx 244262)(),(yyyyyyf .41一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,則則),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,則則 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3

19、3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,則則 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 則則 ),(yxf_. .函數(shù)函數(shù))1ln(4222yxyxz 的定義域是的定義域是_. .練練 習(xí)習(xí) 題題 6 6、函數(shù)、函數(shù)yxz 的定義域是的定義域是_. . 7 7、函數(shù)、函數(shù)xyzarcsin 的定義域是的定義域是_. . 8 8、函數(shù)、函數(shù)xyxyz2222 的間斷點(diǎn)是的間斷點(diǎn)是_. .二二、 求求下下列列各各極極限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .三、三、 證明：證明：0lim2200 yxxyyx. .四、四、 證明極限證明極限yxxyyx 11lim00不存在不存在 . .一、一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、1213 , , ),(yxf； 3 3