橢圓及其標準方程教學設(shè)計

1、課題：2.2.1橢圓及其標準方程教學目標：1 .掌握橢圓的定義、標準方程.2 .會用坐標法求橢圓的標準方程，理解坐標法的基本思想3 .體會數(shù)形結(jié)合的思想.重點：掌握橢圓的定義、標準方程，理解坐標法的基本思想難點：橢圓標準方程的推導與化簡，坐標法的應(yīng)用教學過程：師：大家來看動畫，請說明，用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是什么圖形？如果改變平面與圓錐軸線的夾角，會得到什么圖形？生：觀看動畫，然后得到圓錐曲線的感性認識。師：今天我們就先講 2.2.1橢圓及其標準方程（引出課題并板書）一、橢圓定義師：生活中，存在著許許多多的橢圓，請你舉幾個生活中的橢圓例子生：舉例回答

2、.師：我們?nèi)绾萎嫵鰴E圓？現(xiàn)在大家動手來做一個數(shù)學實驗（3人1組），做完實驗后回答問題.步驟（1）取一條定長的細繩；步驟（2）把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點處；一二二步驟（3）套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出軌跡.師出示問題1:畫出的軌跡是什么曲線？軌跡上的點滿足什么幾何條件？師展示幾個小組的成果，大部分小組畫出來的是橢圓師出示問題2:如何給橢圓下定義？ 生：回答.平面內(nèi)與兩個定點 F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于IF1F2I）的點的軌跡叫做 橢圓，這兩個定點叫做橢圓的 焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的 焦距.（此處，若學生回答不完整， 則其它學生補充，師演示及時補充完整.此處

3、強調(diào)三個方面（1） 平面內(nèi)；（2）到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)；（3）常數(shù)大于IF1F2I，若常數(shù)等于IF1F2I 或小于I F1F2 I的情況，師可演示，讓學生說出結(jié)論 .）師出示練習：已知F1，F(xiàn)2是定點，F(xiàn)1F2 = 8,點M滿足MF1 + MF2 = 8 ,則點M的軌跡是A橢圓 B 直線 C 圓 D 線段二、橢圓標準方程師：我們已經(jīng)認識了橢圓，若要研究它的性質(zhì)，你有什么好的辦法？ 生：思考回答.（生若回答不好，師補充說明，建立橢圓的方程，通過方程研究橢圓的性質(zhì)，這就是坐標法的思想，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想)師出示問題3:觀察橢圓的幾何特征，如何選擇坐標系才能使橢圓的方程簡單？生：思

4、考回答.使盡可能多的點或線落在坐標軸上，原點取在定點或定線段的中點，坐標軸取在定直線上或圖形的對稱軸上 .師生一起選定平面直角坐標系 .(1) (2)生：以第(2)種情況為例，即以經(jīng)過橢圓兩焦點Fi, F 2的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線x軸，建立平面直角坐標系 xOy ,求橢圓的方程.師：巡視，查看學生出現(xiàn)的問題，隨時指導.(學生可能出現(xiàn)的問題：1 .不知設(shè)F1F2 = 2c,尤其不知設(shè) MFi + MF2 = 2a,此時，師可適當引導；2 .不知如何化簡弋X +(y-cf+%；x2+(y+c)2= 2a ，師及時點撥.)師：如何化簡 Mx2 + (y - c)2 + x2 + (y

5、 + c? = 2a ?生：回答.師：(1)方程中只有一個根式時，把根式單獨留在方程的一邊，把其它各項移到另一邊；(2)方程中有兩個根式時， 需將它們分散，放在方程的兩邊，使其中一邊只有一個根式2222 2222、生：化簡得出(a - c )y + a x = a (a - c )師：上式是橢圓的方程嗎？生：思考回答(由于在方程的化簡過程中每一步都是等價變形，因此方程是橢圓的方程.)師：上述方程就是橢圓的方程，現(xiàn)在我們可以把方程兩邊同除以a2(a2 - c2),22得 22 + -22 = 1 .a a - c師：因為a2 - c2 0 ,所以令b = J a2 - c2 ,則式變?yōu)?24 =

6、1(ab0)a2 b2問題4：你能從圖中找出表示a、c、va2 - c2的線段么?師：變形為上述方程的優(yōu)點：1 .橢圓方程類似于直線的截距式方程，形式上對稱；2 .方程中的a、b、c有明確的意義，便于研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)22、一 Vx師：方程一2 + 2 = 1 (ab0)叫做橢圓的標準方程，此時，橢圓的焦點在y軸上，F(xiàn)i(0,- c), abF 2(0, c),這里，c2= a2- b2師出示 問題5:如果以經(jīng)過橢圓兩焦點 Fi, F 2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線y軸，建立平面直角坐標系 xOy , a、b、c的意義同上，那么橢圓的方程是什么？ 22生：)方=1 (a b 0)

7、a b2 x222師：我們把匕+萬=1, x7+A=1(ab 0)都叫做橢圓的標準方程 a ba b師：現(xiàn)在我們對這兩個方程做一下比較 填表.(學生討論回答，教師多媒體出示)不標準方程2士+=l(ab0a bIT -b 二 a if同圖形點焦點坐標共定義同a、b、c的關(guān)系點焦點位置的判定22(師強調(diào)焦點位置的確定，x , y中哪個的分母大，焦點就在其對應(yīng)的坐標軸上.) 練習：你說出一個橢圓的標準方程，請同位說出它的焦點坐標，、，一 ，3 5、例1已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(0,-2), (0,2),并且經(jīng)過點(-2,求它的標準方程.學生板演.22解1：因為橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的標準方

8、程為 4 + 3 = 1(a b 0)a b由橢圓的定義知22222a -pTXZT +心 12+但_2)=2”而 卜 2)12) 2J 12)所以a = ,10 .又因為 c = 2,所以 b2 = a2 - c2 = 10 - 4 = 6.22y x 因此，所求橢圓的標準方程為 10 + -6 = 1.解2:因為橢圓的焦點在x軸上，所以設(shè)它的標準方程為又因為焦點的坐標為(0,-2), (0,2)，所以c = 2.2+ 2 = 1(a b 0) b所以 a2 - b2 = 4( 1)(-又一3)222a5 2(2)2+ 上丁 = 1 (2) b2聯(lián)立(1) (2)解得 a2 = 10, b26.22y x因此，所求橢圓的標準萬程為布+至=1.規(guī)律總結(jié)：求橢圓方程(1)定義法(多與焦點有關(guān))；(2)待定系數(shù)法三、鞏固練習、深化提高練習：1 .如果點M(x, y)在運動過程中，總滿足關(guān)系式x2+(y+3f +；x2+(y3f =10.點M的軌跡是什么曲線？為什么？寫出它的方程 .2 22 .已知Fi、F2是橢圓 a+乙=1的兩個焦點，過 Fi的直線交橢圓于 M、N兩點，若259MFi = 3,則MF2 =,三角形MNF2的周長為.3 .已知橢圓的兩個焦點分別是Fi(2,0)、F2(2,0),且過P(2,3)點，求橢圓的標準方程四、反思小