lebesgue測度報告通用

1、wordLebesgue測度【摘 要】本文首先介紹了Lebesgue個人經(jīng)歷和在測度方面的研究，之后介紹了Lebesgue可測集的一些性質(zhì)，最后介紹了本文對Lebesgue測度的理解并嘗試給出了一種對不可測集合舉例的正面證明方法?！娟P(guān)鍵詞】測 度 caratheodory導(dǎo)入法 不可測集合 正面證明 1.Lebesgue其人以及Lebesgue引入Lebesgue測度的動機(jī)11Lebesgue的成長道路亨利·勒貝格Henri Léon Lebesgue)，1875年6月28日生于法國的博韋；1941年7月26日卒于巴黎。數(shù)學(xué)家。勒貝格的父親是一名印刷廠職工，酷愛讀書，很有教

2、養(yǎng)在父親的影響下，勒貝格從小勤奮好學(xué)，成績優(yōu)秀，特別擅長計算不幸，父親去世過早，家境衰落在學(xué)校老師的幫助下進(jìn)入中學(xué)，后又轉(zhuǎn)學(xué)巴黎1894年考入高等師范學(xué)校1897年大學(xué)畢業(yè)后，勒貝格在該校圖書館工作了兩年在這期間，出版了E波萊爾(Borel)關(guān)于點(diǎn)集測度的新方法的 函數(shù)論講義 (Lecons sur la théorie des functions 1898)，特別是研究生R貝爾(Baire)發(fā)表了關(guān)于不連續(xù)實(shí)變函數(shù)理論的第一篇論文這些成功的研究工作說明在這些嶄新的領(lǐng)域中進(jìn)行開拓將會獲得何等重要的成就，從而激發(fā)了勒貝格的熱情從1899年到1902年勒貝格在南錫的一所中學(xué)任教，雖然工作

3、繁忙，但仍孜孜不倦地研究實(shí)變函數(shù)理論，并于1902年發(fā)表了博士論文“積分、長度、面積(Intégrale，longueur，aire)在這篇文章中，勒貝格創(chuàng)立了后來以他的名字命名的積分理論此后，他開始在大學(xué)任教(19021906在雷恩；19061910在普瓦蒂埃)，在此期間，他進(jìn)一步出版了一些重要著作： 積分法和原函數(shù)分析的講義 (Leconssur lintégration et la recherche des fonctions primitives，1904)； 三角級數(shù)講義 (Lecons sur les séries trigonométri

4、ques，1906)接著，勒貝格又于19101919年在巴黎(韶邦)大學(xué)擔(dān)任講師，1920年轉(zhuǎn)聘為教授，這時他又陸續(xù)發(fā)表了許多關(guān)于函數(shù)的微分、積分理論的研究成果勒貝格于1921年獲得法蘭西學(xué)院教授稱號，翌年作為C假設(shè)爾當(dāng)(Jordan)的后繼人被選為巴黎科學(xué)院院士。12引入Lebesgue測度的目的19世紀(jì)以來，微積分開始進(jìn)入嚴(yán)密化的階段。1854年B黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的積分，這一理論的應(yīng)用范圍主要是連續(xù)的函數(shù)。隨著K魏爾斯特拉斯(Weier-strass)和G康托爾(Cantor)工作的問世，在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了許多“奇怪的函數(shù)與現(xiàn)象，致使黎曼積分理論暴露出較大的局限性。幾

5、乎與這一理論開展的同時(18701880年)，人們就巳經(jīng)開展了對積分理論的改造工作。當(dāng)時，關(guān)于積分論的工作主要集中于無窮集合性質(zhì)的探討，而無處稠密的集合具有正的外“容度性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，使集合的測度概念在積分論的研究中占有重要地位。積分的幾何意義是曲線圍成的面積，黎曼積分的定義是建立在對區(qū)間長度的分割的根底上的。因此，人們自然會考慮到如何把長度、面積等概念擴(kuò)充到更廣泛的集合類上，從而把積分概念置于集合測度理論的框架之中。這一思想的重要性在于使人們認(rèn)識到：集合的測度與可測性的推廣將意味著函數(shù)的積分與可積性的推廣。至此，Lebesgue引入了Lebesgue測度。實(shí)變函數(shù)論的核心內(nèi)容是建立一種較Riem

6、ann積分而言，適用范圍更廣、使用操作更為簡便的新的積分理論Lebesgue積分，但是介紹Lebesgue積分卻不能象介紹Riemann積分那樣，一開始就定義什么是Lebesgue積分，而是需要先引入測度和可測函數(shù)概念，并且要用足夠的篇幅對它們進(jìn)行討論后才能開始定義Lebesgue積分。Riemann積分具有明顯的直觀性，它的幾何意義是a，b上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)與 軸所成平面曲邊梯形的面積，因此，Riemann積分的定義以及一個函數(shù)的可積性，是與相應(yīng)的平面圖形面積如何確定以及面積是否存在密切相關(guān)的。于是，如果要建立能夠適用于更大函數(shù)類的新的積分理論，首先需要把原有的面積概念加以推廣，以使得更多的點(diǎn)

7、集能具有類似于面積性質(zhì)的度量。如果我們把一般空間中的點(diǎn)集E的度量結(jié)果，稱為E的測度，記作m(E)，那么實(shí)際上就定義了一種特殊的函數(shù)：自變量為點(diǎn)集E，函數(shù)值為測度m(E)。這樣的函數(shù)稱為集函數(shù)，不同的測度理論實(shí)際上就是針對點(diǎn)集定義的不同性質(zhì)的集函數(shù)，換而言之，對點(diǎn)集采用不同的度量工具導(dǎo)致了不同的測度理論。歷史上先后出現(xiàn)過多種測度理論。最早是19世紀(jì)80年代，GPeano提出點(diǎn)集的內(nèi)、外測度的概念，接著1892年CJordan建立起Jordan可測集理論(其測度也稱為容度)，EBorel在1898年的著作中引進(jìn)了Borel集的概念，1910年Legesgue研究了其中的測度，決定性地推進(jìn)了測度理論

8、的開展，也就是通常所說的Lebesgue測度。之后，在勒貝格測度理論的根底上還建立了勒貝格積分，它是黎曼積分的擴(kuò)充。勒貝格對數(shù)學(xué)的主要奉獻(xiàn)屬于積分論領(lǐng)域，這是實(shí)變函數(shù)理論的中心課題。2.Lebesgue可測集的性質(zhì)21可測集的定義假設(shè)對于任意的T屬于Rn，有Caratheodory條件，那么稱為Lebesgue可測集，此時的外測度稱為的測度，記作。注：Lebesgue開始也是利用外測度與內(nèi)測度相等定義可測集，但此方法對處理問題很不方便，故我們采用上述方法。22 Lebesgue可測集的性質(zhì)2.2.1 設(shè)A是直線上的集合。如果對于任意的正數(shù) > 0，存在閉集F和開集G滿足：F A G 和

9、m(G F) < ，就稱集合A是Lebesgue可測集，簡稱可測集。2.2.2 如果集合A是可測集，那么對于任意的 > 0，都存在閉集F A滿足：m(F) > m(A) 事實(shí)上，由可測集的定義，存在閉集F和開集O滿足：m(OF) < 。那么，m(F)+m(O F) m(O) m(A)，由此就得到所要的不等式。 設(shè)A是直線上的集合。如果m(A) = 0，那么稱A是零測集。從可測集的定義，我們?nèi)菀椎玫娇蓽y集的性質(zhì) 引理1 如果A是可測集，那么A的余集Ac = R A也是可測集2 有限個可測集的并集是可測集；有限個可測集的交集是可測集3 兩個可測集的差集是可測集4 零測集是可

10、測集；零測集的子集是可測集5 任何區(qū)間都是可測集證明： 1)：因?yàn)锳是可測集，對于任意的 > 0，存在閉集F和開集G滿足：F A G，且m(G F) < 。于是Fc Ac Gc，集合Gc是閉集，F(xiàn)c是開集，并且m(Fc Gc) =m(G F) < ，所以Ac是可測集；2)：我們只要證明兩個集合的情況。假設(shè)A1,A2是直線上的兩個可測集，記A =A1 A2。由定義，對于任意的 > 0，分別存在開集O1,O2和閉集F1, F2滿足：Fi Ai Oi(i = 1, 2)，并且：m(Oi Fi) < /2。令F = F1 F2,O = O1 O2，那么：F是閉集，O是開集

11、，滿足：F A O。由于O F (O1 F1) (O2 F2)由外測度的次可加性，我們得到：m(O F) < 。利用de morgan公式，我們就得到：可測集的交集是可測集；3)：由A B = A Bc得到；4)：如果集合A是零測集，對于任意的 > 0，存在開集O使得：A O,m(O) < 。取閉集F = ，就得到A是可測集；5)：課本上給出了詳細(xì)的證明，本文不再加以論證。 開集是可測集，閉集也是可測集。證明： 假設(shè)O是一個開集， 并且包含在一個有限的開區(qū)間(c, d)中。如果O =i(ai, bi)是O的構(gòu)成區(qū)間分解，那么我們有：i(bi ai) d c < 因此對于

12、任意的 > 0，存在自然數(shù)N使得：i=N+1(bi ai) < 。對于每個(ai, bi)(i =1, 2, ,N)，我們?nèi)￠]區(qū)間Fi = ai + /2i , bi /2i ，令F =Ni=1Fi，F(xiàn)是閉集且：m(O F) m(i=N+1Oi) + m(Ni=1Oi F)i=N+1(bi ai) +Ni=1m(Oi Fi) < 3對于一般的開集O =i(ai, bi)，我們可以在直線R上找到一列點(diǎn)cn (n Z)，使得：cn+1 cn 1，并且將開集O分解成一列互不相交的On (cn, cn+1)。例如，我們?nèi)0 = a1，考慮集合I1 = i : (ai, bi) (c

13、0, c0 + 1) = ，顯然1 I1，令d0 =sup bi, i I1，那么iI1(ai, bi) (c0, d0)。如果不存在ai d0，那么我們就取c1 =max d0, c0 + 1。否那么，令I(lǐng) = i, ai d0 , c1 = inf ai, i I，那么c1 c0 + 1。利用上面同樣的方法考慮區(qū)間(c1, c1 + 1)，這樣繼續(xù)下去我們就得到所要的cn。如果O的構(gòu)成區(qū)間中含有無界的區(qū)間(a,)或者(, b)，我們就把它們單獨(dú)取出來，余下的每個On都是包含在一個有界的開區(qū)間中，因此存在閉集Fn On滿足：m(On Fn) < 2|n|+2。這時F =nFn是閉集，并

14、且：m(O F) m(n(On Fn)n2|n|+2 < 。 如果F1和F2是直線上的兩個互不相交的有界閉集，那么m(F1 F2) = m(F1) + m(F2)證明： 由于F1和F2兩個互不相交的有界閉集，那么存在一個正數(shù)，對于任何長度小于或者等于的開區(qū)間至多只能與一個Fi相交。假假設(shè)不然，那么對于任何自然數(shù)n都存在一個開區(qū)間(an, bn), bn an < 1n，并且：(an, bn) Fi = ，于是存在xn F1, yn F2，同時xn, yn (an, bn)。由于xn和yn分別是有界閉集F1和F2中的點(diǎn)列，它們存在收斂子列xnk和ynk,假設(shè)： limkxnk = x

15、0 F1, limkynk = y0 F2，但是：|xnk ynk| bnk ank < 1nk 0，所以得到：x0 = y0 F1 F2，矛盾。因?yàn)椋簃(F1 F2) m(F1) + m(F2)，我們只要證明另外一個不等號就可以了。對于任意的 > 0，存在一個有界開集G F1 F2，滿足：m(F1 F2) > m(G) 。將G分解成它的構(gòu)成區(qū)間G =iI(ai, bi)，如果bi ai > 2，我們將它分解成有限個開區(qū)間的并，(ai, bi) =j(aji , bji )，使得：bji aji < /2。由于區(qū)間Iji 至多只能與一個Fi相交，將與F1相交的區(qū)間

16、的并記為G1，與F2相交的區(qū)間的并記為G2，那么有：F1 G1, F2 G2，并且：G1 G2 G,G1 G2 = 。所以，m(F1) + m(F2) m(G1) + m(G2) = m(G1 G2) m(G) m(F1 F2) + 2令 0，就得到：m(F1) + m(F2) m(F1 F2) 。 如果F1, F2, , Fn是直線上互不相交的有界閉集，那么：m(ni=1Fi) =ni=1m(Fi) 設(shè)F是閉集。如果它包含在有界開集G中，那么：m(G F) = m(G) m(F)證明： 對于開集G F，對于任意的 > 0，存在閉集F1 G F，使得m(F1) > m(G F) 而

17、F1和F是兩個互不相交的有界閉集，由引理2。2。6得到：m(F1 F) = m(F1) + m(F)( m(G)所以，m(F) + m(G F) < m(F) + m(F1) + = m(F F1) + m(G) + 令 0，得到：m(F) + m(G F) m(G) 設(shè)A是直線上的有界集。如果對于任意的 > 0，存在一個閉集F A，使得m(F) > m(A) ，那么A是可測集。證明： 由于A是有界集，所以存在有界開集G,G A，并且：m(A) > m(G) / 2。由假定，存在閉集F A滿足：m(F) > m(A) /2，所以：m(F) > m(A) /2

18、> m(G) 而對于有界開集G，由引理2.2.8得到：m(G F) = m(G) m(F)，所以m(G F) < 于是A是可測集。 。 設(shè)A1,A2,An是n個包含在某個有界區(qū)間中互不相交的可測集，那么m(ni=1Ai)=ni=1m(Ai)證明： 對于任意的 > 0，由可測集定義的注2。2。2，對于每個Ai，都存在閉集Fi Ai(i = 1, 2, , n)滿足：m(Fi) > m(Ai) 2i ，那么Fi(i = 1, 2, , n)是互不相交的閉集。令F =ni=1Fi，那么F是閉集，且F ni=1Ai，由不等式m(ni=1Ai)ni=1m(Ai) <ni=1

19、m(Fi) + = m(F) + m(ni=1Ai)+ 令 0，得到：m(ni=1Ai)=ni=1m(Ai) 。 引理 設(shè)A1,A2, ,An, 是一列包含在某個有界區(qū)間中互不相交的可測集，那么n=1An是可測集，并且m( n=1An)=n=1m(An)證明： 假設(shè)An a, b。由引理2.2.10，對于任意的自然數(shù)n，都有：ni=1m(Ai) = m(ni=1Ai) b a < 所以n=1m(An) b a < 。于是，對于任意的正數(shù) > 0，存在自然數(shù)N，使得：n=N+1m(An) < 2，存在閉集F滿足：F Nn=1An n=1An，以及：m(F) >m(N

20、n=1An) 2 =Nn=1m(An) 2，所以m(F) n=1m(An) m( n=1An) 于是，A =n=1.An是可測集。對于任意的m Nn=1m(An) <mn=1m(An) + m(A) + 令 0，得到：n=1m(An) = m(A) 。 定理設(shè)A1,A2, ,An, 是直線上互不相交的一列可測集，那么n=1An是可測集，并且m( n=1An)=n=1m(An)證明： 將直線分解成可列個互不相交的有界區(qū)間In，例如In = (n, n+1(n Z)，令A(yù)i,j =Ai Ij，那么Ai,j是可測集，并且互不相交。對于固定的j, Ij是有界區(qū)間，且Ai,j Ij。由引理2.2.

21、11，得到：Bj =i Ai,j是可測集，Bj互不相交，A =jZ Bj。對于任意的 > 0，存在開集Gj和閉集Fj滿足：Gj Bj Fj，并且m(Gj Fj) <2|j|+2令G =j Gj , F =j Fj，那么G是開集，F(xiàn)是閉集，并且G A F, G F j(Gj Fj)所以，m(G F) <j m(Gj Fj) <j2|j|+2 < 于是A是可測集，并且2。2 可測集49nj=nm(Bj) nj=n(m(Fj) + m(Gj Fj)nj=nm(Fj) + m(nj=nFj)+ m(A) + 由此得到：j m(Bj) m(A)，即j m(Bj) = m(A

22、)。n=1 m(An) =n=1 m(j An,j)n=1 j= m(An,j) =j= n=1 m(An,j)= j= m(Bj) = m(A) 。以后，對于可測集A，我們將它的外測度m(A)記為m(A)，稱為可測集A的Lebesgue測度。2.13 綜上所述，我們得到下面的定理1. 開集和閉集都是可測集2. 零測度集是可測集3. 兩個可測集的交是可測集4. 可測集的余集是可測集5. 可列個互不相交的可測集的并是可測集6. 兩個可測集的差是可測集7. 可列個可測集的并是可測集3.本文對Lebesgue測度相關(guān)概念的理解3.1 Lebesgue測度出現(xiàn)的必然性數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，本文覺得測度

23、的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)開展的必然結(jié)果。從學(xué)數(shù)學(xué)開始，分析數(shù)學(xué)一直被局限于假設(shè)干個區(qū)間和點(diǎn)上面，但是X軸是什么樣的？這里對X軸下一個定義。X軸是實(shí)數(shù)集上的點(diǎn)的排列，而我們往常的分析都是基于有一定規(guī)律的點(diǎn)集之上。這里不妨對小數(shù)和點(diǎn)集做一個一一對應(yīng)，孤立點(diǎn)集代表有限小數(shù)，區(qū)間代表無限循環(huán)小數(shù)，那么什么代表無限不循環(huán)小數(shù)呢？本文從馬后炮的角度來看，確實(shí)是存在一種對應(yīng)關(guān)系的。X軸上點(diǎn)集的選取和實(shí)數(shù)子集有一一對應(yīng)關(guān)系。實(shí)數(shù)子集構(gòu)成集族的元中，由區(qū)間構(gòu)成的僅僅占了一局部，剩下的是什么？有什么特殊性質(zhì)或者是否存在和區(qū)間一樣的普遍性質(zhì)？3.2 “推廣的正確性和重要性胡教授在函數(shù)的講述中說：一旦我們發(fā)現(xiàn)一個函數(shù)不連續(xù)，我們

24、就認(rèn)為這個函數(shù)性質(zhì)不好，從而不再關(guān)心它。這種態(tài)度是不對的，就如同一個人的腿部有病變，不能簡單的把腿鋸掉，要看看他腿部病變的程度是否通過外科手術(shù)消除！同樣，本文認(rèn)為，在實(shí)數(shù)子集集族中發(fā)現(xiàn)不符合我們原來研究規(guī)律的點(diǎn)集，同樣不能舍棄，我們要善于發(fā)現(xiàn)未知規(guī)律。在這里，“推廣一詞是至關(guān)重要的，創(chuàng)造大陸和發(fā)現(xiàn)大陸的難度差異不言而喻，同樣，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于創(chuàng)造大陸。如何發(fā)現(xiàn)？根據(jù)去推廣。JAVA程序設(shè)計中類有父類和子類，父類可以有多個子類，子類繼承父類的方法，也擁有專屬子類的特舒方法。本文想說，科學(xué)是相通的。實(shí)數(shù)子集構(gòu)成集族就可以理解為一個“父類，而“區(qū)間可包含孤立點(diǎn)僅僅是其子類。這里我們暫時講剩余全

25、體歸為另一個子類。對于“子類區(qū)間，我們的第一反響是長度是多少？這個問題在這里不再討論。我們要思考的是能否在“父類中找到一個“長度的概念？然后再推廣到所有“子類中？在之前已經(jīng)對相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了證明，此處本文只引用不再證明。區(qū)間的長度是存在并且可以測量的，如何從這一去推廣到不具有區(qū)間性質(zhì)的另一個子類？覆蓋定理給了我們很好的提示，Lebesgue前輩這樣定義了外測度，借用胡教授的直白表述就是：最小覆蓋E的開區(qū)間的長度的和。33 本文對測度定義的一些見解在定義點(diǎn)集可測時，曾對課本的方法有一些不理解，在知道外測度的次可加性之后，為什么令其相等就說明可測。當(dāng)時我很不理解，雖然感覺是對的，但是我怎么也不能理解Lebesgue為什么會直接通過相等作為測度的定義。后來，胡教授上課時給我們點(diǎn)了一下內(nèi)測度的相關(guān)概念，我感覺對可測集的定義應(yīng)該是：當(dāng)m*E=m*E，即內(nèi)外測度相等時，集合E可測。通過上網(wǎng)收集了一些資料，再加上自己對課本的理解，知道了可測的定義有兩種：caratheodory導(dǎo)入法和內(nèi)外測度相等。課本上介紹的就是caratheodory導(dǎo)入法，即先定義外測度，然后通過Caratheodory條件縮小定義域而限制成為測度。課本之所以用這個來定義是因?yàn)榇朔椒ū葦M簡潔，而最初Lebesgue在定義可測的定義時候確實(shí)是通過內(nèi)外測度相等的