排列組合與概率統(tǒng)計

1、 排列組合及概率統(tǒng)計基礎(chǔ) 考綱解析 這類問題在各種考試中出現(xiàn)得都比較多，關(guān)鍵在于熟練，同時要注意審題，題意是可能設(shè)置陷阱的地方。對于這類問題，要掌握常用的方法，對于“在”與“不在”的問題，常常直接使用“直接法”或“排除法”，對特殊元素可優(yōu)先考慮。 排列組合及概率論部分的內(nèi)容是比較重要的，因為它很容易和別的部分的知識結(jié)合起來，例如條件概率或一些概率分布很容易運用在可靠性計算及圖、路徑和一些相應(yīng)的算法問題上，所以在復(fù)習(xí)中一定要靈活掌握，從原理出發(fā)，活學(xué)活用，能夠根據(jù)例題將知識運用到別的方面上。 資源鏈接 本講對應(yīng)CIU視頻資源：概率論及數(shù)理統(tǒng)計.jbl。 本講內(nèi)容 10.1 排列組合基礎(chǔ)10.1.

2、1 排列的基本概念及實例從n個不同的元素中，任取m(mn)個元素（被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。如果元素和順序至少有一個不同。則叫做不同的排列。元素和順序都相同的排列則叫做相同的排列。排列數(shù)的計算公式為（其中mn，m，nÎZ）。10.1（1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作7個元素的全排列 = 5040。（2）7位同學(xué)站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計數(shù)原理7×6×5×4×3×2×1 = 7！= 5040。（3）7位同學(xué)站

3、成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作余下的6個元素的全排列 = 720。（4）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計數(shù)原理，第一步，甲、乙站在兩端有種；第二步，余下的5名同學(xué)進行全排列有種，則共有=240種排列方法。（5）7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法一（直接法）：第一步，從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有種方法；第二步，從余下的5位同學(xué)中選5位進行排列（全排列）有種方法，所以一共有=2400種排列方法。對于相鄰問題，常采用“捆綁法”，即先綁后松，關(guān)鍵在于怎么選擇綁定的對象。

4、解法二：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭，且乙站在排尾則有種方法。所以甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有=2400種。10.2 7位同學(xué)站成一排。（1）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素與其余的5個元素（同學(xué)）一起進行全排列有種方法；再將甲、乙兩個同學(xué)“松綁”進行排列有種方法。所以這樣的排法一共有=1440種。（2）甲、乙和丙三個同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上，一共有=720種。（3）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素

5、，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的5個元素中選取2個元素放在排頭和排尾，有種方法；將剩下的4個元素進行全排列有種方法；最后將甲、乙兩個同學(xué)“松綁”進行排列有種方法。所以這樣的排法一共有=960種方法。解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，若丙站在排頭或排尾有2種方法，所以丙不能站在排頭和排尾的排法有種方法。解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的四個位置選擇共有種方法，再將其余的5個元素進行全排列共有種方法，最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”，所以這樣的排法一共有= 9

6、60種方法。10.1.2 組合的基本概念及實例一般地，從n個不同元素中取出m（mn）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。從n個不同元素中取出m（mn）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)。用符號表示。組合數(shù)的計算公式為：或 （n，m Î N*，且mn） 組合數(shù)還具有下面的性質(zhì)：。一般地，從n個不同元素中取出m個元素后，剩下n - m個元素。因為從n個不同元素中取出m個元素的每一個組合，與剩下的n - m個元素的每一個組合一一對應(yīng)，所以從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，等于從這n個元素中取出n - m個元素的組合數(shù)，即：。在這里，

7、主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對應(yīng)”的思想。注意利用組合數(shù)的這些性質(zhì)，在使用中往往可以起到簡化計算的效果。組合問題的關(guān)鍵在于分類，怎樣對情況進行劃分。注意這里的不均勻分組和全排列的問題。注：1規(guī)定。2等式特點：等式兩邊下標同，上標之和等于下標。3此性質(zhì)作用：當時，計算可變?yōu)橛嬎悖軌蚴惯\算簡化。例如：=2002。4或。10.3 一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球。（1）從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？（2）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？（3）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？解：（1） （2） （3）可發(fā)現(xiàn)：。因為從口袋內(nèi)的8個球中所取

8、出的3個球，可以分為兩類：一類含有1個黑球，一類不含有黑球。因此根據(jù)分類計數(shù)原理，上述等式成立。一般地，從這n+1個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)是，這些組合可以分為兩類：一類含有元素a1，一類不含有a1。含有a1的組合是從這n個元素中取出m -1個元素與a1組成的，共有個；不含有a1的組合是從這n個元素中取出m個元素組成的，共有個。10.4 6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法。（1）分給甲、乙和丙三人，每人兩本；（2）分為三份，每份兩本；（3）分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；（4）分給甲、乙和丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；（5）分給甲、乙和丙三人，每人至少一本。 解

9、：（1）根據(jù)分步計數(shù)原理得到種。（2）分給甲、乙和丙三人，每人兩本有種方法。這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙和丙三名同學(xué)有種方法。根據(jù)分步計數(shù)原理可得：，所以。因此分為三份，每份兩本一共有15種方法。（3）這是“不均勻分組”問題，一共有種方法。（4）在（3）的基礎(chǔ)上再進行全排列，所以一共有種方法。（5）可以分為三類情況：“2、2、2型”即（1）中的分配情況，有種方法；“1、2、3型”即（4）中的分配情況，有種方法；“1、1、4型”，有種方法。所以一共有90+360+90 = 540種方法。要理解概率的意義，所謂概率就是某一事件發(fā)生的可能

10、性相對于所有的可能性來說所占的比值。古典概率圍繞事件進行，注意樣本空間的概念，所謂樣本空間就是所有的可能性，而樣本點就是某一種可能性。注意取球問題是一個非常典型的應(yīng)用，關(guān)鍵就是要把握是否有放回。10.2 概率論及應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)概率論作為一門數(shù)學(xué)分支，它所研究的內(nèi)容一般包括隨機事件的概率、統(tǒng)計獨立性和更深層次上的規(guī)律性。概率是隨機事件發(fā)生的可能性的數(shù)量指標。在獨立隨機事件中，如果某一事件在全部事件中出現(xiàn)的頻率，在更大的范圍內(nèi)比較明顯的穩(wěn)定在某一固定常數(shù)附近。就可以認為這個事件發(fā)生的概率為這個常數(shù)。任何事件的概率值一定介于0和1之間。有一類隨機事件，它具有兩個特點：第一，只有有限個可能的結(jié)果；第

11、二，各個結(jié)果發(fā)生的可能性相同。具有這兩個特點的隨機現(xiàn)象叫做“古典概型”。在客觀世界中，存在大量的隨機現(xiàn)象，其產(chǎn)生的結(jié)果構(gòu)成了隨機事件。如果用變量來描述隨機現(xiàn)象的各個結(jié)果，就叫做隨機變量。隨機變量分為有限和無限，一般又根據(jù)變量的取值情況分成離散型隨機變量和非離散型隨機變量。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量；如果可能的取值充滿了一個區(qū)間，無法按次序一一列舉，這種隨機變量就叫做非離散型隨機變量。在離散型隨機變量的概率分布中，比較簡單而應(yīng)用廣泛的是二項式分布。如果隨機變量是連續(xù)的，那么它有一個分布曲線，實踐和理論都證明：有一種特殊而常用的分布，其分布曲線是有規(guī)律的

12、，這就是正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線取決于這個隨機變量的一些表征數(shù)，其中最重要的是平均值和差異度。平均值也叫數(shù)學(xué)期望，差異度也叫標準方差。10.2.1 古典概率所謂事件A的概率是指事件A發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為P(A)。規(guī)定P(A)0，P() = 1。滿足下列兩條件的試驗?zāi)Ｐ头Q為古典概型：（1）所有基本事件是有限個；（2）各基本事件發(fā)生的可能性相同。在古典概型中，設(shè)其樣本空間所含的樣本點總數(shù)，即試驗的基本事件總數(shù)為NW，而事件A所含的樣本數(shù)，即有利于事件A發(fā)生的基本事件數(shù)為NA，則事件A的概率便定義為：。10.5 （取球問題）袋中有5個白球，3個黑球，分別按下列三種取法在袋中取球。（1）有放回

13、地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后放回袋中，再取下一個球。（2）無放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后不再放回袋中，再取下一個球。（3）一次取球：從袋中任取3個球。在以上取法中均求A=恰好取得2個白球的概率。解：（1）有放回取球NW = 8×8×8 = 83 = 512（袋中八個球，不論什么顏色，取到每個球的概率相等）（先從三個球里取兩個白球，第一次取白球有5種情況，第二次取白球還有五種情況<注意是有放回>，第三次取黑球只有三種情況），。（2）無放回取球NW = 8 ´ 7 ´ 6 = = 336，故。（3）一次取球注意古典概率

14、的這幾個性質(zhì)，在實際應(yīng)用中，基本上都是圍繞著這幾個性質(zhì)展開。注意對于條件概率來說，關(guān)鍵在于理解它的思想，理解在某件事已發(fā)生的前提下其發(fā)生的意義。注意對照例子理解條件概率公式的意義。，故古典概率具有下面的性質(zhì)。l 若AÌB，則P(B -A)=P(B )-P(A)。即差的概率等于概率之差。l 若AÌB，則P(A)P(B )。即概率的單調(diào)性。l P(A)1，對任意事件A，P()=1-P(A)。l 對任意事件A，B，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。10.6 設(shè)A，B，C為三個事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25，P(AB)=0，P(AC)=0，P(BC)

15、=0.125，求A，B，C至少有一個發(fā)生的概率。解：由于ABCÌAB，故0P(ABC)P(AB) = 0，從而P(ABC) = 0。所求概率為P(AÈBÈC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)10.2.2 條件概率在實際問題中，常常需要計算在某個事件B已發(fā)生的條件下，另一個事件A發(fā)生的概率。在概率論中，稱此概率為事件B已發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率，簡稱為A對B的條件概率，記為P(A | B)。一般地，因為增加了“事件B已發(fā)生”的條件，所以P(A | B) ¹ P(A)。設(shè)A、

16、B為兩個事件，且P(B) > 0，則稱為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為。再看一下乘法公式：設(shè)有事件A和B，若P(A) > 0或P(B) > 0，由概率得P(AB) = P(A)P(B | A)，或P(AB) = P(B)P(A | B)。再看n個事件的情況，設(shè)有n個事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1) > 0，則有P(A1A2An) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2)P(An | A1A2An-1)。事實上，由事件的包含關(guān)系有P(A1)P(A1A2)P(A1A2A3).P(A1A2An1)0，故公式右邊的每個條件概率都是有意

17、義的，于是由條件概率定義可得。10.7 甲、乙和丙3人參加面試抽簽，每人的試題通過不放回抽簽的方式確定。假設(shè)被抽的10個試題簽中有4個難題簽，按甲先、乙次及丙最后的次序抽簽。求甲抽到難題簽、甲和乙都抽到難題簽、甲沒抽到難題簽而乙抽到難題簽及甲、乙和丙都抽到難題簽的概率。解：設(shè)A，B和C分別表示甲、乙和丙各抽到難題簽的事件，則有，。在概率中，還經(jīng)常利用已知的簡單事件的概率，推算出未知的復(fù)雜事件的概率。為此，常需把一個復(fù)雜事件分解為若干個互不相容的簡單事件的和，再由簡單事件的概率求得最后結(jié)果，這就需要用到全概率公式。在很多實際問題中若事件A發(fā)生的概率的計算比較困難，則可利用全概率公式轉(zhuǎn)為尋求劃分B

18、1，B2，Bn及計算P(Bi)和P(A | Bi)的問題。10.8 盒中有12只新乒乓球，每次比賽時取出3只，用后放回，求第3次比賽時取到的3只球都是新球的概率。解：設(shè)A表示第3次比賽取到3只新球的事件，Bi (i = 0,1,2,3)表示第2次取到i只新球的事件，由，得。10.9 某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批，假定每一批產(chǎn)品中的次品最多不超過4件，且具有如下的概率：一批產(chǎn)品中的次品數(shù)0.10.20.40.20.1概率01234現(xiàn)進行抽樣檢驗，從每批中隨機抽取出10件來檢驗，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認為該批產(chǎn)品不合格，求一批產(chǎn)品通過檢驗的概率。注意對于貝葉斯公式的應(yīng)用來說，關(guān)鍵在于一個轉(zhuǎn)換，也

19、就是說怎樣完成A發(fā)生條件下B發(fā)生的概率和B解：設(shè)A表示一批產(chǎn)品通過檢驗的事件，Bi (i = 0,1,2,3,4)表示一批產(chǎn)品中含有i件次品，則由，得。10.2.3 貝葉斯公式設(shè)A為樣本空間W的事件，B1，B2，Bn為W的一個劃分，且，則。這一公式稱為貝葉斯公式。若把A視為觀察的“結(jié)果”，把B1，B2，Bn理解為“原因”，則貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并做出了“由果溯因”的推斷。B發(fā)生條件下A發(fā)生的概率的轉(zhuǎn)換，要理解題意。首先要理解獨立性的意義，就是相互間沒有關(guān)系，體現(xiàn)在計算上就是可以乘出來。而對于貝努里試驗來說，公式套用很簡單，但要注意對照例題明確怎樣去判斷重數(shù)。10.10 設(shè)某工廠

20、甲、乙和丙3個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)量依次占全廠的45%，35%和20%。且各車間的次品律依次為4%，2%和5%?，F(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出1個次品，問該產(chǎn)品是由哪個車間生產(chǎn)的可能性大？解：設(shè)A表示產(chǎn)品為次品的事件，B1，B2，B3分別表示產(chǎn)品有甲、乙和丙車間生產(chǎn)的事件，則由，得于是有 ； ； ?？芍摦a(chǎn)品是由甲車間生產(chǎn)的可能性最大。10.2.4 事件的獨立性及貝奴里實驗設(shè)事件A，B滿足，則稱事件A，B是相互獨立的。若事件A，B相互獨立，且，則有，在實際問題中，常常不是根據(jù)定義來判斷事件的獨立性，而是由獨立性的實際含義，即一個事件發(fā)生并不影響另一個事件發(fā)生的概率來判斷兩事件的相互獨立性。假設(shè)在相

21、同條件下進行n次重復(fù)試驗，并且每次試驗只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；同時在每次試驗中，A發(fā)生的概率均一樣，即；而各次試驗是相互獨立的，則稱這種試驗為貝努里概率模型，或稱為n重貝努里試驗。在n重貝努里試驗中，人們感興趣的是事件A發(fā)生的次數(shù)。若表示n重貝努里試驗中A出現(xiàn)k(0kn)次的概率，則n重貝努里試驗A中出現(xiàn)k次的概率計算公式為，。10.11 一大樓有5個同類型的獨立供水設(shè)備，調(diào)查表明，在任意時刻t，每個設(shè)備被使用的概率為0.1，問在同一時刻，（1）恰有兩個設(shè)備被使用的概率是多少？（2）至少有三個設(shè)備被使用的概率是多少？（3）至多有三個設(shè)備被使用的概率是多少？（4）至少有一個設(shè)備被使用

22、的概率是多少？解：在同一時刻觀察5個設(shè)備，它們工作與否是相互獨立的，故可視為5重貝努里試驗，p = 0.1，q = 10.1 = 0.9，于是可得（1）。（2）。（3）。（4）。注意對于離散型隨機變量來說，關(guān)鍵就在它的離散上，作用域是一個個獨立的點，取值時要注意幾個點就對應(yīng)一個區(qū)間。二項分布要注意和貝奴里試驗的對應(yīng)關(guān)系。對于泊松分布來說，主要是公式的運用。連續(xù)型隨機變量首先要理解區(qū)間的概念，是從負無窮到正無窮，但并不是每一10.2.5 離散型隨機變量及其分布為了使各種不同性質(zhì)的試驗?zāi)芤越y(tǒng)一形式表示實驗中的事件，并能將微積分等工具引進概率論，需引入隨機變量的概念。設(shè)試驗的樣本空間為，在上定義一個

23、單值實函數(shù)X = X(e)，e，對試驗的每個結(jié)果e，X = X(e)有確定的值與之對應(yīng)。由于實驗結(jié)果是隨機的，所以X = X(e)的取值也是隨機的，稱此定義在樣本空間 上的單值實函數(shù)X = X(e)為一個隨機變量。引進隨機變量后，試驗中的每個事件便可以通過此隨機變量取某個值或在某范圍內(nèi)取值來表示。通俗地講，隨機變量就是依照試驗結(jié)果而取值的變量。如果隨機變量X的所有可能取值為有限個或可列個，則稱隨機變量X為離散型隨機變量。下面看一下離散型隨機變量的幾個重要分布。1兩點分布如果隨機變量X為0時概率為q，為1時概率為p，并且q = 1 - p，0 < p < 1，則稱X服從參數(shù)為p的(0

24、-1)兩點分布，簡稱為兩點分布，記為XB(1,P)。2二項分布如果隨機變量X的分布律為，k = 0, 1, 2n，其中0 < p < 1，q = 1 p，則稱X服從參數(shù)為(n，p)的二項分布，記為XB(n，p)。10.12 一批產(chǎn)品的廢品率為0.03，進行20次獨立重復(fù)抽樣，求出現(xiàn)廢品的頻率為0.1的概率。解：令X表示20次獨立重復(fù)抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)。XB(20，0.03)（注意：不能用X表示頻率，若X表示頻率，則它就不服從二項分布），所求的概率為。3泊松分布如果隨機變量X的分布律為PX = k =，k = 0，1，2，其中l(wèi) > 0，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為Xp(l

25、 ) 或者XP(l)。10.13 設(shè)Xp(l)且已知PX = 1 = PX = 2，求PX = 4。解：由于Xp(l)，即X的分布律為PX = k =，k = 0，1，2，于是有，由PX = 1 = PX = 2可得方程，即2l = l2。解得l = 2，0（棄去）。所以Xp(2)于是查表0.0902。10.2.6 連續(xù)型隨機變量及其分布所謂連續(xù)型隨機變量是指此隨機變量的可能取值至少應(yīng)充滿某個區(qū)間且其分布函數(shù)應(yīng)當是連續(xù)的，設(shè)F(x)為隨機變量X的分布函數(shù)，如果存在非負函數(shù)f (x)使得對任意實數(shù)X，有，則稱X為連續(xù)型隨機變量，f (x)為X的概率密度。對于概率密度，有一個重要的結(jié)果：。段上都有

26、定義，區(qū)分概率密度和概率函數(shù)。注意結(jié)合例題體會公式的運用。注意積分區(qū)間段的運用。正態(tài)分布主要注意標準型的使用。10.14 一種電子管的使用壽命為X小時，其概率密度為某儀器內(nèi)裝有三個這樣電子管，試求使用150小時內(nèi)只有一個電子管需要換的概率。解：首先計算一個電子管使用壽命不超過150小時的概率，此概率為，令Y表示工作150小時內(nèi)損壞的電子管數(shù)，則，服從二項分布。于是，此儀器工作150小時內(nèi)僅需要更換一個電子管的概率。1均勻分布如果隨機變量X的概率密度為，則稱X在區(qū)間a，b上服從均勻分布，記為XUa，b；其分布函數(shù)為。10.15 某公共汽車從上午7：00起每隔15分鐘有一趟班車經(jīng)過某車站，即7：0

27、0，7：15，7：30，時刻有班車到達此車站，如果某乘客是在7：00至7：30間等可能地到達此車站候車，問他等候不超過5分鐘便能乘上汽車的概率。解：設(shè)乘客于7點過X分鐘到達車站，則XU0，30，即其概率密度為f (x) = ，于是該乘客等候不超過5分鐘便能乘上汽車的概率為p10X15或25X30 = p10X15 + p25X30=。2指數(shù)分布如果隨機變量X的概率密度為，其中l(wèi) > 0，則稱X服從參數(shù)為l的指數(shù)分布，記為XE(l)，其分布函數(shù)為。10.16 設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為l = 0.015的指數(shù)分布。（1）求px > 100。（2）若要使pX > x < 0.1，問x應(yīng)當在哪個范圍內(nèi)？解：由于XE(0.015)，即其概率密度為，于是，（1）pX > 100 = （2）要pX > 0 <