定積分的分部積分法

1、上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回第五節(jié)第五節(jié) 定積分的分部積分法定積分的分部積分法 一、分部積分法一、分部積分法 二、小結(jié)二、小結(jié) 思考題思考題 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xu、)(xv在在區(qū)區(qū)間間 ba,上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導(dǎo)推導(dǎo) ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv一、分部積分公式上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例1 1 計算計算.arcsin2

2、10 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例2 2 計算計算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 *上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回10dxex計算且則令先用換元法tdtdxt

3、xtx2,.2. 1,1; 0,0txtx時當(dāng)時當(dāng)于是10102dttedxetx式右端的積分。再用分部積分法計算上ttevdtduedvtu,則設(shè)于是 101010dtetedttettt11 ee2 10dxex因此例例3解解 10tee上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例4 4 計算計算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 *上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁

4、下頁返回返回例例5 5 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因為因為ttsin沒有初等形式的原函數(shù)，沒有初等形式的原函數(shù)，無法直接求出無法直接求出)(xf，所以采用分部積分法，所以采用分部積分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx*上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 10

5、2cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例6 6 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證 設(shè)設(shè),sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cos xv 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin

6、)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI積分積分 關(guān)于下標的遞推公式關(guān)于下標的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標減到直到下標減到0或或1為止為止上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 . bababavduuvu

7、dv二、小結(jié)（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回思考題思考題設(shè)設(shè))(xf 在在 1 , 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx.上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回思考題解答思考題解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一、一、 填空題：填空題：1 1、設(shè)、設(shè) n n 為正奇數(shù)，則為

8、正奇數(shù)，則 20sin xdxn_；2 2、設(shè)、設(shè) n n 為正偶數(shù)，則為正偶數(shù)，則 20cos xdxn= =_；3 3、 dxxex10_；4 4、 exdxx1ln_；5、 10arctan xdxx_ .二、二、 計算下列定積分：計算下列定積分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；練練 習(xí)習(xí) 題題上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回3 3、 0sin)(xdxxmJm， （m為自然數(shù)）為自然數(shù)）4 4、 01)1cos(sinxdxnxn. .三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 連連續(xù)續(xù)，,1)(,2)0( ff證證明明：3sin )()(0 xdxxfxf .上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一、一、1 1、! !)!1(nn ； 2 2、2! !)!1( nn； 3 3、e21 ； 4 4、)1(412 e； 5 5、23ln21)9341( . .二、二、1 1、211cos1sin ee； 2 2、)11(2e ；練習(xí)題答案練習(xí)題答案 3