波動方程法疊前深度偏移4

1、4.7 幾種波動方程疊前深度偏移方法的總結(jié)本節(jié)首先從Helmholtz方程出發(fā)，從方法原理上推導(dǎo)出了頻率-空間域有限差分（FXFD）方法、Fourier有限差分（SSF）方法、分步Fourier（FFD）方法（相屏（PS）方法）和擴(kuò)展的局部Born近似（ELBF）的廣義屏（GS）方法。然后從常速和變速脈沖響應(yīng)角度對比這幾種偏移方法。最后從計(jì)算效率、方法精度和穩(wěn)定性等方面綜合評價(jià)了以上各偏移方法。一幾種波動方程偏移算子在方法原理上的統(tǒng)一前面的第三節(jié)到第六節(jié)依次講述了FXFD方法、SSF方法、FFD方法和GS方法等幾種疊前深度偏移方法。既然它們都是基于單程波波動方程的，那么這幾種偏移方法必然存在一

2、定聯(lián)系。在這里，我們把慢度場分解為常數(shù)參考慢度和慢度擾動（假設(shè)慢度擾動比慢度背景小得多）兩部分。這樣，慢度擾動可以視為波場傳播過程中的二次源。下面從非均勻介質(zhì)的Kirchhoff-Helmholtz積分形式（由波動方程的Green函數(shù)解法得到）出發(fā)，依次推導(dǎo)出GS偏移算子、PS偏移算子或SSF偏移算子（Stoffa, 1990; Wu & de Hoop, 1992; Wu & Huang, 1992, 1996, 1998），F(xiàn)XFD偏移算子和FFD偏移算子（Ristow & Rhl, 1994）。從而使本章中的幾種波動方程疊前深度偏移方法在某種意義下統(tǒng)一起來。均勻介質(zhì)中的齊次Helmhol

3、tz方程為： （4-169）式中，為圓頻率，為介質(zhì)慢度，為水平坐標(biāo)（橫向坐標(biāo)），為波場的頻率域形式。如果將慢度場分解為僅隨深度變化的參考慢度和層內(nèi)的慢度擾動，則有： （4-170）把（4-170）式代入（4-169）式，可得到非均勻介質(zhì)中的Helmholtz方程： （4-171）其中，源項(xiàng)定義為： 4-172）對（4-171）式沿做空間Fourier變換，得到： （4-173）其中，垂直波數(shù)定義為：。按地震波場的疊加原理，對于正向傳播的波場，方程（4-171）的解可以寫成背景波場和散射波場之和： （4-174）其中， （4-175）按波動方程的Green函數(shù)解法可得到散射場： (4-176)下

4、面分幾種情況加以討論：1GS偏移算子、PS偏移算子或SSF偏移算子的推導(dǎo)。如果Green函數(shù)采用常速介質(zhì)中的Green函數(shù)，則有： （4-177）（4-178）如果在屏近似條件下，由de Wolf近似和局部Born近似，并做薄板近似，散射場有如下形式：其中，。在運(yùn)算中為了避開奇點(diǎn)，對做Taylor展開： （4-179）再利用近似： ，則（4-174）式可進(jìn)一步寫成： （4-180）其中， （4-181a） （4-181b）式中， （4-182）式（4-180）即為我們所說的廣義屏偏移算子，如果在小角度近似（，即）條件下，補(bǔ)償項(xiàng)可以忽略，則得到相屏偏移算子或分步Fourier偏移算子： （4-1

5、83）2FXFD偏移算子的推導(dǎo)。如果Green函數(shù)采用第一類Hankel函數(shù)，則有： （4-184）這樣，下行波向下延拓的表達(dá)式可表示為： （4-185）對（4-185）式做積分處理得到（Rhl, 1995）： （4-186）由，整理（4-186）式可得： （4-187）上式由Pade展開得到常規(guī)的單程波方程（Clearbout, 1985）： （4-188）第三節(jié)中的繞射項(xiàng)方程正是具有方程的形式，只是其中的系數(shù)經(jīng)過了優(yōu)化處理。到此我們從Helmholtz方程出發(fā)，得到了頻率-空間域的有限差分偏移算子。3FFD偏移算子的推導(dǎo)。對于（4-187）式，中括號中的第一項(xiàng)與相應(yīng)的有限差分方程的差異為：

6、 （4-189a）其中，。中括號中的第二項(xiàng)與相應(yīng)的有限差分方程的差異為： （4-189b）設(shè)，由（4-189）式進(jìn)一步整理（4-186）式得到其頻散關(guān)系： （4-190）（4-190）式正好對應(yīng)付立葉有限差分偏移算子。縱上所述，F(xiàn)XFD、FFD、SSF和GS算子均可從Helmholtz方程出發(fā)，經(jīng)過波動方程的Green函數(shù)解法推導(dǎo)出來。由此說明幾種疊前深度偏移算子在原理上是可以統(tǒng)一起來的。二幾種波動方程疊前深度偏移算子的比較盡管本章中的幾種波動方程疊前深度偏移方法在Kirchhoff-Helmholtz積分意義下是可以聯(lián)系起來的，但它們還是存在許多差異，這些差異決定這些方法各有特點(diǎn)。波動方程有

7、限差分偏移中波場正向傳播和反向傳播的矩陣隨層內(nèi)橫向速度的變化而調(diào)整，因此該類算法能自動適應(yīng)速度場的任意變化。但通常用做波場延拓算子的單程波方程總是存在偏移傾角限制。為了改善這類算子的精度，即使所用的單程波方程在垂向附近較大角度內(nèi)能夠較準(zhǔn)確地描述地震波的傳播特征，通常采用的辦法是采用優(yōu)化系數(shù)的單程波方程，使其階數(shù)盡量低，偏移傾角又盡量高。Fourier類偏移方法的優(yōu)勢在于無偏移傾角限制，計(jì)算效率高。但為了提高其適應(yīng)速度場橫向變化的能力，通常是把速度場分解為常速背景和橫向變速擾動，在頻率-波數(shù)域相移處理（針對常速背景）的基礎(chǔ)上增加對速度擾動的校正處理。由于速度橫向變化在空間坐標(biāo)中才能直觀地反映出來

8、，因此對擾動的補(bǔ)償處理一般在空間域?qū)崿F(xiàn)。由此發(fā)展出來了一系列雙域偏移算法，如分步Fourier偏移、Fourier有限差分偏移和廣義屏偏移等。分步Fourier算法（或相屏算法）作為廣義屏算法的一種小角度近似，從理論上講，在較小的傳播角度范圍內(nèi)才是準(zhǔn)確的，但這種方法比較穩(wěn)健，計(jì)算方便，而且可以解決大多數(shù)地質(zhì)體的成像問題。廣義屏算法本身是在物理上基于薄板近似和屏近似條件，并借助于一系列的數(shù)學(xué)近似方法得到的，在速度場變化劇烈時并非絕對穩(wěn)定，故該方法在處理復(fù)雜地質(zhì)體成像問題時往往要依據(jù)速度場的實(shí)際情況做一些計(jì)算上的調(diào)整。Fourier有限差分偏移算法結(jié)合了相移偏移和有限差分偏移方法的優(yōu)點(diǎn)，對復(fù)雜地質(zhì)

9、體成像具有非常好的效果。1幾種波動方程疊前深度偏移算子的脈沖響應(yīng)比較為了直觀地比較以上幾種偏移算法，我們把這些算法各自的脈沖響應(yīng)（常速和變速）放在一起。圖4-47為背景速度和介質(zhì)速度相等的常速情況，圖（a）、（b）、（c）、（d）、（e）和（f）分別對應(yīng)常規(guī)方程有限差分偏移算子、優(yōu)化系數(shù)的方程有限差分偏移算子、Fourier有限差分偏移算子、分步Fourier偏移算子、相屏偏移算子和擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏偏移算子的常速脈沖響應(yīng)。從圖中（a）、（b）對比可以發(fā)現(xiàn)：優(yōu)化系數(shù)處理可以提高有限差分偏移算子的偏移傾角；圖（c）、（d）、（e）和（f）形狀特征幾乎完全一樣，說明Fourier有限差

10、分偏移算子、分步Fourier偏移算子、相屏偏移算子和擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏偏移算子在常速介質(zhì)條件下是等價(jià)的。有限差分偏移算子的脈沖響應(yīng)與另外幾種算子的脈沖響應(yīng)相比較，明顯存在頻散問題和偏移傾角限制。變速的脈沖響應(yīng)如圖4-48所示，此時，擾動程度為，圖（a）、（b）、（c）、（d）、（e）和（f）分別對應(yīng)常規(guī)方程有限差分偏移算子、優(yōu)化系數(shù)的方程有限差分偏移算子、Fourier有限差分偏移算子、分步Fourier偏移算子、相屏偏移算子和擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏偏移算子的變速脈沖響應(yīng)。與圖4-47相比較，除了圖4-47a、圖4-47b分別與圖4-48a、圖4-48b基本相同外，圖4-

11、48的其它脈沖響應(yīng)與圖4-47的對應(yīng)脈沖響應(yīng)存在明顯差異。這說明有限差分偏移算子能夠自動適應(yīng)速度的橫向變化。從這一點(diǎn)上講，有限差分方法具有其它方法所不具備的優(yōu)勢。而從圖4-48c、4-48d、4-48e和4-48f可以發(fā)現(xiàn)：在變速條件下，分步Fourier偏移算子（相屏偏移算子）的精度不及Fourier有限差分偏移算子和擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏偏移算子。Fourier有限差分算子是相移算子加上有限差分補(bǔ)償項(xiàng)，其脈沖響應(yīng)的特性比圖4-48b還好。圖4-48f為擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏偏移算子的變速脈沖響應(yīng)，其脈沖響應(yīng)曲線與理論曲線吻合程度最好，但由于該算法不是絕對穩(wěn)定的，在速度變化劇

12、烈時計(jì)算不收斂（如圖（f）底部強(qiáng)的陰影）。從計(jì)算效率的角度來看，分步Fourier偏移算子（相屏偏移算子）、有限差分偏移算子、擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏偏移算子和Fourier有限差分偏移算子的運(yùn)行速度是遞減的。本節(jié)統(tǒng)計(jì)了幾種偏移方法在計(jì)算同等條件下的變速脈沖響應(yīng)的CPU時間，如表4-1所示。表4-1 幾種偏移算法變速脈沖響應(yīng)測試所耗CPU時間偏移方法FXFDSSF (PS)FFDGS (ELBF)脈沖響應(yīng)的CPU時間 (秒)31286048 2復(fù)雜介質(zhì)中的多值走時現(xiàn)象及Kirchhoff偏移存在的問題和克服辦法為了說明Kirchhoff偏移在復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造（如Marmousi模型）地震成像

13、中存在的困難，這里特別補(bǔ)充了Marmousi模型中的脈沖響應(yīng)的數(shù)值結(jié)果（由Fourier有限差分算子得到）。如圖4-49所示，圖（a）、（b）和（c）分別為Marmousi模型橫向第150、200和250道的脈沖響應(yīng)，每道置有三個脈沖。從圖上可以看出：平穩(wěn)沉積區(qū)波場傳播方式較為簡單，但在速度場或構(gòu)造復(fù)雜區(qū)域，多值走時或多路徑現(xiàn)象很明顯，在穿過這些區(qū)域時，波前存在分支。常規(guī)的Kirchhhoff偏移只考慮了初至波，沒有考慮續(xù)至波，這樣很難俘獲所有波前分支的能量信息，因而它在復(fù)雜地質(zhì)條件下難以取得較好的成像效果。Marmousi模型的Kirchhoff偏移結(jié)果可以證明這一點(diǎn)。圖4-50為常規(guī)Kir

14、chhoff積分偏移剖面，可見模型淺、中、深各部分的成像效果都很差。圖4-51為Kirchhoff積分法逆時偏移結(jié)果，它雖然比常規(guī)Kirchhoff積分偏移效果要好一點(diǎn)，但淺層三套斷層斷面不清晰，中部的隆起內(nèi)部細(xì)節(jié)模糊，而深層的低速體也沒有成像出來。另外，Kirchhoff積分偏移振幅嚴(yán)重失真。第三章給出的改進(jìn)型Kirchhoff積分偏移方法在地質(zhì)構(gòu)造地震成像的效果上有了明顯提高（見圖3-8a），基本達(dá)到了波動方程FFD法疊前深度偏移的構(gòu)造成像效果（見圖3-8b）。但是，在三大斷裂、鹽丘（隆起）和深部高速體，尤其是低速目的層的保幅性上不如波動方程的FFD法（比較圖3-8a和圖3-8b）。這與所

15、用方法（與FFD等波動方程法和全格林函數(shù)法相比）沒有考慮續(xù)至波等有效能量密切相關(guān)，這一點(diǎn)對強(qiáng)縱橫向變速的復(fù)雜介質(zhì)情況尤為明顯。目前，基于全格林函數(shù)法（考慮了續(xù)至波等有效能量），研究使用有限差分計(jì)算走時的高效方法已成為可能，加之Kirchhoff積分法在實(shí)用性上易于實(shí)現(xiàn)相對保幅處理。因此，Kirchhoff法疊前深度偏移有著廣闊的應(yīng)用前景。另外，隨著各種波動方程疊前深度偏移方法和算法的進(jìn)一步成熟和完善以及并行機(jī)和微機(jī)集群在地震處理中的廣泛應(yīng)用，波動方程法疊前深度偏移在復(fù)雜構(gòu)造成像和巖性保幅成像中將會有很好的應(yīng)用前景。3幾種波動方程疊前深度偏移算法的Marmousi模型偏移試驗(yàn)前面幾節(jié)分別詳細(xì)介紹

16、了各種波動方程疊前深度偏移算法的Marmousi模型偏移結(jié)果，這里把它們選出來放在一起，以方便對比。圖4-52（a）、（b）、（c）和（d）依次為頻率-空間域優(yōu)化系數(shù)的單程波方程有限差分偏移、Fourier有限差分偏移、分步Fourier（相屏）偏移和擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏偏移的結(jié)果。總體看來，幾種偏移方法在構(gòu)造成像方面都基本達(dá)到了預(yù)期的效果。頻率-空間域有限差分法與Fourier有限差分法偏移對振幅的保持做得較好。但有限差分偏移剖面的信噪比較其它剖面要低，這主要受制于旁軸近似方程的精度和差分頻散等因素的影響。廣義屏偏移在小角度近似下的相屏（分步Fourier）偏移也取得了不錯的結(jié)果。

17、圖4-52d為擴(kuò)展的局部born近似的廣義屏偏移結(jié)果，它采用的延拓步長比前幾種偏移方法的延拓步長小一倍，而且參與計(jì)算的高頻成分也略有減少。該方法的偏移結(jié)果還沒有達(dá)到最佳效果，還有待于進(jìn)一步改進(jìn)。也就是說，本章的數(shù)值試算中Fourier有限差分偏移對復(fù)雜地質(zhì)體的成像效果最好。三討論與結(jié)論 通過本章各節(jié)的詳細(xì)討論，我們可以得出如下結(jié)論：有限差分偏移算法在對速度場橫向變化的適應(yīng)能力方面明顯優(yōu)于其它幾種算法，我們通過提高方程的階數(shù)或優(yōu)化方程的系數(shù)，從而增大算子的偏移傾角；另外，通過在差分計(jì)算中盡量減輕頻散影響，可進(jìn)一步挖掘該類偏移算法的潛力。分步Fourier（相屏）算法具有穩(wěn)健、高效的優(yōu)點(diǎn)，但在構(gòu)造

18、復(fù)雜區(qū)域，相位誤差和振幅誤差都很大，因此該類算法可用于復(fù)雜地質(zhì)體成像初期，作粗略的疊前深度偏移處理用。目前，各種數(shù)值試驗(yàn)都表明，F(xiàn)ourier有限差分偏移算法是復(fù)雜地質(zhì)體成像效果最好的算法，它可用于精細(xì)的疊前深度偏移成像處理。廣義屏算法也具有非常高的成像精度，但為克服其非絕對穩(wěn)定的缺點(diǎn)，一般做減少高頻成分的處理或減小延拓步長，這顯然還是不得已的選擇。因此，該類算法還有待于進(jìn)一步優(yōu)化改進(jìn)。目前，已有效果較為明顯的幾種改進(jìn)和優(yōu)化算法。雖然本章僅進(jìn)行了二維的數(shù)值試驗(yàn)，但是幾類基于共炮集的疊前深度偏移方法的推導(dǎo)都是按三維情況進(jìn)行的。也就是說它們都可以推廣到三維的疊前深度偏移之中。上面所有偏移算子可直接應(yīng)用于基于共炮集的三維疊前深度偏移。為了適應(yīng)野外三維數(shù)據(jù)采集的特點(diǎn)，可在共方位角道集（較適合海上觀測方式）或共炮檢距道集中進(jìn)行三維疊前深度偏移計(jì)算，這時需要對以上偏移算子做相應(yīng)的調(diào)整。 (a) 常規(guī)方程FXFD法 (b) 優(yōu)化方程FXFD法(c) FFD法 (d) SSF法幾種偏移算子的常速脈沖響應(yīng) 6-1圖 (e) PS法 (f) ELBF法圖4-47 幾種波動方程疊前深度偏移算子的常速脈沖響應(yīng)(a) 常規(guī)方程FXFD法 (b) 優(yōu)化