7第7章振動(dòng)理論基礎(chǔ)

1、 第一節(jié)第一節(jié) 振動(dòng)的概念振動(dòng)的概念 第二節(jié)第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)的自由振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的自由振動(dòng) 第三節(jié)第三節(jié) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 第四節(jié)第四節(jié) 減振與隔振簡(jiǎn)述減振與隔振簡(jiǎn)述第七章第七章 振動(dòng)理論基礎(chǔ)振動(dòng)理論基礎(chǔ)v本章主要介紹在彈性范圍內(nèi)一個(gè)自由度系統(tǒng)的振動(dòng)本章主要介紹在彈性范圍內(nèi)一個(gè)自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題，包含了自由振動(dòng)、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和減問(wèn)題，包含了自由振動(dòng)、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和減振隔振等內(nèi)容。學(xué)習(xí)時(shí)要深刻理解振動(dòng)的基本概念，振隔振等內(nèi)容。學(xué)習(xí)時(shí)要深刻理解振動(dòng)的基本概念，掌握不同振動(dòng)模式下的微分方程以及利用微分方程掌握不同振動(dòng)模式下的微分方程以及利用微分方程來(lái)解決具體的實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)了解關(guān)于減振和隔振來(lái)解

2、決具體的實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)了解關(guān)于減振和隔振的基本方法。的基本方法。教學(xué)目的和要求教學(xué)目的和要求v振動(dòng)的基本概念及簡(jiǎn)化方式；振動(dòng)的基本概念及簡(jiǎn)化方式；v質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的微分方程及其解；質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的微分方程及其解；v質(zhì)點(diǎn)受迫振動(dòng)的微分方程及其解；質(zhì)點(diǎn)受迫振動(dòng)的微分方程及其解；v減振和隔振。減振和隔振。教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)v質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的微分方程及其應(yīng)用；質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的微分方程及其應(yīng)用；v質(zhì)點(diǎn)受迫振動(dòng)的微分方程；質(zhì)點(diǎn)受迫振動(dòng)的微分方程；v受迫振動(dòng)的相位、振幅和共振現(xiàn)象。受迫振動(dòng)的相位、振幅和共振現(xiàn)象。教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)第一節(jié)第一節(jié) 振動(dòng)的概念振動(dòng)的概念機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)物體在其平衡位置附近作周期性的機(jī)械運(yùn)動(dòng)

3、或往復(fù)運(yùn)動(dòng)。 振動(dòng)系統(tǒng)的簡(jiǎn)化振動(dòng)系統(tǒng)的簡(jiǎn)化振動(dòng)中最簡(jiǎn)單而且最重要的一種是諧振動(dòng)。諧振動(dòng)。諧振動(dòng)諧振動(dòng)凡是決定其位置的坐標(biāo)按余弦或正弦函數(shù)規(guī)律凡是決定其位置的坐標(biāo)按余弦或正弦函數(shù)規(guī)律隨時(shí)間變化的振動(dòng)都是隨時(shí)間變化的振動(dòng)都是諧振動(dòng)諧振動(dòng)。其運(yùn)動(dòng)方程為。其運(yùn)動(dòng)方程為xoxy0MMtAP)sin(tAx A A為振幅，為振幅，物體物體離開(kāi)平衡位置的最大距離；離開(kāi)平衡位置的最大距離；t+為為相位，相位，由系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定由系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定；x為位移，為位移，物體物體離開(kāi)平衡位置的位移；離開(kāi)平衡位置的位移；即即t=0t=0時(shí)物體的相位；時(shí)物體的相位；即物體在任一時(shí)刻的相位，即物體在任一時(shí)刻的相位，它確

4、定它確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)在該時(shí)刻的簡(jiǎn)諧振動(dòng)在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 為初相位，初相位，為為角頻率，角頻率，周期周期質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)一周所需要的時(shí)間。頻率頻率質(zhì)點(diǎn)在1s內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)2TmkTf2121第二節(jié)第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)的自由振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的自由振動(dòng)一、質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的微分方程及其解一、質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的微分方程及其解skmgxkFs平衡位置平衡位置在離在離O點(diǎn)點(diǎn)x處時(shí)處時(shí)沿沿x軸的合力軸的合力kxxkmgFsx作用于物體上的合力大小與重物的位移大小成正比作用于物體上的合力大小與重物的位移大小成正比(即成線(xiàn)性關(guān)即成線(xiàn)性關(guān)系系)，其方向總是與位移方向相反，即合力總是指向平衡位置。，其方向總是與位移方向相反，即合力總是指向

5、平衡位置。這種使物體恢復(fù)到平衡位置的力稱(chēng)為這種使物體恢復(fù)到平衡位置的力稱(chēng)為恢復(fù)力恢復(fù)力。振子僅在恢復(fù)。振子僅在恢復(fù)力作用下的振動(dòng)，稱(chēng)為力作用下的振動(dòng)，稱(chēng)為自由振動(dòng)自由振動(dòng)。 由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程可得將上式除以m，令kxFdtxdmx22mk20222xdtxd通解為)sin(tAx二、振幅和相位二、振幅和相位)sin(tAx0t00,sinvdtdxvAxx時(shí)時(shí)cos)cos(0AvtAdtdxv由此可得由此可得002020tanvxvxA質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的振幅質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的振幅和初相位與運(yùn)動(dòng)的初和初相位與運(yùn)動(dòng)的初始條件有關(guān)。始條件有關(guān)。 三、周期和頻率三、周期和頻率mkkmT22mkTf2121

6、角頻率角頻率周期周期頻率頻率自由振動(dòng)的周期和頻率與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)，完全取決于自由振動(dòng)的周期和頻率與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)，完全取決于振動(dòng)系統(tǒng)中振動(dòng)系統(tǒng)中物體物體(振子振子)的質(zhì)量和彈簧勁度系數(shù)的質(zhì)量和彈簧勁度系數(shù)。因此，自由振。因此，自由振動(dòng)的頻率又稱(chēng)為動(dòng)的頻率又稱(chēng)為固有頻率或自然頻率固有頻率或自然頻率。 固有頻率的計(jì)算固有頻率的計(jì)算根據(jù)彈簧的靜變形來(lái)求。根據(jù)彈簧的靜變形來(lái)求。skmgsmgksgmk即即 sgmk對(duì)在對(duì)在鉛垂方向鉛垂方向振動(dòng)的系統(tǒng)，只要測(cè)得在重力作用下的振動(dòng)的系統(tǒng)，只要測(cè)得在重力作用下的靜變形靜變形，即可求得系統(tǒng)的固有頻率。，即可求得系統(tǒng)的固有頻率。 例例7-1 車(chē)廂如圖所示

7、，空載時(shí)及滿(mǎn)載時(shí)彈簧的靜變形分別為3cm和24cm。求兩種情況下車(chē)廂的固有頻率和每分鐘振動(dòng)的次數(shù)。 sradsradgws/07.18/3980分次分次/6 .172/28. 607.186026060wffsradgws/4 . 624980分次分次/61/28. 64 . 66026060wff 解 空載時(shí)車(chē)廂的固有頻率為每分鐘振動(dòng)的次數(shù)為滿(mǎn)載時(shí)車(chē)廂的固有頻率為每分鐘振動(dòng)的次數(shù)為例例7-2 如圖所示，在無(wú)重彈性梁的中點(diǎn)放置重量為G的物體，其靜變形為2 mm。若將重物B放在梁未變形的位置上無(wú)初速地釋放。求系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程。 stFOxxmg解 此無(wú)重彈性梁相當(dāng)于彈簧，其剛度系數(shù)為/s

8、tkmg取重物平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)微分方程為()stmxmgkxkx 20 xp x/70rad/sstpk mg220000(/)2mm,argtan(/)3 /2Axxppxx初始條件002,0 xmmx stFOxxmg系統(tǒng)的振動(dòng)方程為 x=0.2sin(70t+3 /2)例例7-3 機(jī)器設(shè)備上使用的彈簧，往往不是一個(gè)，而是由幾個(gè)彈簧并聯(lián)或串聯(lián)而成的。求圖所示系統(tǒng)的等效彈簧勁度系數(shù)及固有頻率。 解解 （1）并聯(lián)的彈簧，形變量相同。）并聯(lián)的彈簧，形變量相同。ssskkkkG2121并kGsskG并21kkk并Ggkkmkk21并系統(tǒng)的固有頻率系統(tǒng)的固有頻率（2）串聯(lián)的彈簧，受力相同，每

9、個(gè)彈簧的靜變形為）串聯(lián)的彈簧，受力相同，每個(gè)彈簧的靜變形為11kGs22kGs 系統(tǒng)的總變形為系統(tǒng)的總變形為212111kkGsss串kGsskG串21111kkk串系統(tǒng)的固有頻率系統(tǒng)的固有頻率2121kkGgkkmkk串四、阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響四、阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響 實(shí)際振動(dòng)過(guò)程存在著阻力，這種由彈性恢復(fù)力和阻力共同實(shí)際振動(dòng)過(guò)程存在著阻力，這種由彈性恢復(fù)力和阻力共同作用的振動(dòng)叫作用的振動(dòng)叫阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)。 當(dāng)物體以不大的速度在介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其阻力近似的與物當(dāng)物體以不大的速度在介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其阻力近似的與物體的速度成正比，而方向與速度方向相反，稱(chēng)為體的速度成正比，而方向與速度方向相反，稱(chēng)為

10、線(xiàn)性阻尼線(xiàn)性阻尼。 otx過(guò)阻尼過(guò)阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼欠阻尼當(dāng)阻尼較大時(shí)，運(yùn)動(dòng)已失去當(dāng)阻尼較大時(shí)，運(yùn)動(dòng)已失去周期性，物體不能完成往復(fù)周期性，物體不能完成往復(fù)運(yùn)動(dòng)就停止了運(yùn)動(dòng)。當(dāng)阻尼運(yùn)動(dòng)就停止了運(yùn)動(dòng)。當(dāng)阻尼較小時(shí)，振幅隨時(shí)間而迅速較小時(shí)，振幅隨時(shí)間而迅速減小，最后趨于零。這種情減小，最后趨于零。這種情況稱(chēng)為況稱(chēng)為衰減振動(dòng)衰減振動(dòng)。第三節(jié)第三節(jié) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)一、干擾力及受迫振動(dòng)的概念一、干擾力及受迫振動(dòng)的概念干擾力干擾力在工程實(shí)際問(wèn)題中，很多機(jī)器工作時(shí)，常常受到大小方向隨時(shí)間而變化的作用力，在這個(gè)力的作用下，將引起機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)。這個(gè)隨時(shí)間而變化的力，稱(chēng)為干擾干擾力力(也稱(chēng)為激振力也稱(chēng)為

11、激振力)。受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)由干擾力所引起的振動(dòng)稱(chēng)為受迫振動(dòng)。 21emH tHtemSsinsin21干擾力在鉛直方向的分力為干擾力在鉛直方向的分力為干擾力的力幅干擾力的力幅二、受迫振動(dòng)的微分方程及其解二、受迫振動(dòng)的微分方程及其解Sxkmgdtxdms22tHkxdtxdmsin22即即將上式除以將上式除以m，令，令mk20mHh 得得thxdtxdsin2022通解通解thtAxsinsin220thtAxsinsin220第一項(xiàng)為第一項(xiàng)為自由振動(dòng)自由振動(dòng)，第二項(xiàng)為干擾力引起的，第二項(xiàng)為干擾力引起的受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)。 由于系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)總會(huì)有阻尼存在。所以，第一項(xiàng)代表的自由于系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)總會(huì)有阻尼

12、存在。所以，第一項(xiàng)代表的自由振動(dòng)很快就消失了。因此，振動(dòng)的穩(wěn)定階段只剩下第二由振動(dòng)很快就消失了。因此，振動(dòng)的穩(wěn)定階段只剩下第二項(xiàng)。即項(xiàng)。即 thxsin220當(dāng)干擾力按正弦規(guī)律變化時(shí)，則受迫振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并當(dāng)干擾力按正弦規(guī)律變化時(shí)，則受迫振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并與運(yùn)與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)。同時(shí)，受迫振動(dòng)的頻率、周期分別等于干。同時(shí)，受迫振動(dòng)的頻率、周期分別等于干擾力的頻率、周期。擾力的頻率、周期。 受迫振動(dòng)的振幅為受迫振動(dòng)的振幅為220hBmHh mk202002020202022011/1/1/BkHkHhhB式中，式中，B0表示彈簧在干擾力力幅作用下的靜變形。表示彈簧在干擾力力幅

13、作用下的靜變形。 20011BB幅頻曲線(xiàn)幅頻曲線(xiàn)0220h0，振幅，振幅B隨干擾力頻率隨干擾力頻率的增大而增大。的增大而增大。（1）此時(shí)受迫振動(dòng)的相位與干擾力的相位此時(shí)受迫振動(dòng)的相位與干擾力的相位相同，即二者同相。相同，即二者同相。，振幅，振幅B隨干擾力頻率隨干擾力頻率的增大的增大而減小。而減小。（2）0（3），振幅，振幅B將趨近于零將趨近于零。ththxsinsin202202受迫振動(dòng)的相位與干擾力的相位相差受迫振動(dòng)的相位與干擾力的相位相差180，即二者反相。，即二者反相。 ，振幅，振幅B將將無(wú)限增大，產(chǎn)生強(qiáng)烈的振動(dòng)。這無(wú)限增大，產(chǎn)生強(qiáng)烈的振動(dòng)。這種現(xiàn)象稱(chēng)為種現(xiàn)象稱(chēng)為共振共振。（4）0旋轉(zhuǎn)機(jī)

14、械產(chǎn)生共振時(shí)的轉(zhuǎn)速稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)機(jī)械產(chǎn)生共振時(shí)的轉(zhuǎn)速稱(chēng)為臨界轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速，用，用kn表示。表示。 skgmkn3030300實(shí)踐證明，頻率比在實(shí)踐證明，頻率比在 的范圍內(nèi)時(shí)，振動(dòng)仍然的范圍內(nèi)時(shí)，振動(dòng)仍然很強(qiáng)烈，工程上把這一區(qū)域稱(chēng)為很強(qiáng)烈，工程上把這一區(qū)域稱(chēng)為共振區(qū)共振區(qū)。共振往往是機(jī)器或其。共振往往是機(jī)器或其零件產(chǎn)生破壞的重要原因。因此，在設(shè)計(jì)和使用機(jī)器時(shí)，必須零件產(chǎn)生破壞的重要原因。因此，在設(shè)計(jì)和使用機(jī)器時(shí)，必須使其轉(zhuǎn)速避開(kāi)共振區(qū)使其轉(zhuǎn)速避開(kāi)共振區(qū)。25. 175. 00例例7-4 如圖所示，電機(jī)的質(zhì)量為m130000kg，基礎(chǔ)的質(zhì)量m248000kg，基礎(chǔ)下的地基經(jīng)夯實(shí)后的彈簧剛性系數(shù)為k=1.

15、2109 N/m,轉(zhuǎn)子的角速度=314 rads，轉(zhuǎn)子的偏心引起的干擾力S=9 103 sin t，式中t以秒計(jì)，H以牛頓計(jì)。求 (1)電機(jī)與基礎(chǔ)一起在鉛直方向作受迫振動(dòng)的振幅。(2)電機(jī)的臨界轉(zhuǎn)速nk。 解解 振動(dòng)系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為如圖所示的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)。系統(tǒng)的固有頻率為 sradsradmmkmk/124/108 . 4103102 . 144921022443/1154. 0/108 . 4103109smsmmHh振幅為mmhB62222010387. 0當(dāng)干擾力頻率(即電動(dòng)機(jī)角速度)等于系統(tǒng)固有頻率時(shí)產(chǎn)生共振。故臨界轉(zhuǎn)速為min/7 .1184min/12430

16、3030rrnkkv1）消除振源）消除振源v2）避開(kāi)共振區(qū)）避開(kāi)共振區(qū) v3）適當(dāng)增加阻尼）適當(dāng)增加阻尼v4）采取隔振措施）采取隔振措施 （1）利用彈性件如橡皮、木材等將發(fā)生振動(dòng)的機(jī)器與地基）利用彈性件如橡皮、木材等將發(fā)生振動(dòng)的機(jī)器與地基隔開(kāi)，以減小振源對(duì)周?chē)O(shè)備的影響。這種方法稱(chēng)為隔開(kāi)，以減小振源對(duì)周?chē)O(shè)備的影響。這種方法稱(chēng)為主動(dòng)隔主動(dòng)隔振振。（。（2）利用彈性件將需要保護(hù)的儀器、儀表、精密設(shè)備）利用彈性件將需要保護(hù)的儀器、儀表、精密設(shè)備等與振動(dòng)的地基隔離，以避免周?chē)裨吹挠绊?。這種方法稱(chēng)等與振動(dòng)的地基隔離，以避免周?chē)裨吹挠绊?。這種方法稱(chēng)為為被動(dòng)隔振被動(dòng)隔振。 第四節(jié)第四節(jié) 減振與隔振簡(jiǎn)述減振與隔振簡(jiǎn)述減振和隔振的途徑減振和隔振的途徑本章小結(jié)v1.振動(dòng)中，最簡(jiǎn)單而且最重要的一種是諧振動(dòng)。振動(dòng)中，最簡(jiǎn)單而且最重要的一種是諧振動(dòng)。 諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為v2.質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的微分方程為質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的微分方程為 通解為通解為)sin(tAx0222xdtxd)sin(tAx本章小結(jié)v3.質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的振幅和初相位與運(yùn)動(dòng)初始條件有關(guān)。質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的振幅和初相位與運(yùn)動(dòng)初始條件有關(guān)。 v4.自由振動(dòng)的頻率又稱(chēng)為固有頻率或自然頻率。自由振動(dòng)的頻率又稱(chēng)為固有頻