清華大學(xué) 楊虎 應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計課后習(xí)題參考答案

1、習(xí)題一1 設(shè)總體的樣本容量，寫出在下列4種情況下樣本的聯(lián)合概率分布. 1）； 2）； 3）； 4）.解 設(shè)總體的樣本為，1）對總體，其中：2）對總體其中：3）對總體4）對總體2 為了研究玻璃產(chǎn)品在集裝箱托運過程中的損壞情況，現(xiàn)隨機抽取20個集裝箱檢查其產(chǎn)品損壞的件數(shù)，記錄結(jié)果為：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，寫出樣本頻率分布、經(jīng)驗分布函數(shù)并畫出圖形.解 設(shè)代表各箱檢查中抽到的產(chǎn)品損壞件數(shù)，由題意可統(tǒng)計出如下的樣本頻率分布表1.1：表1.1 頻率分布表i0 1 2 3 4個數(shù)6 7 3 2 20.3 0.35 0.15 0.1 0.1經(jīng)驗分布函數(shù)

2、的定義式為：，據(jù)此得出樣本分布函數(shù)：圖1.1 經(jīng)驗分布函數(shù)3 某地區(qū)測量了95位男性成年人身高，得數(shù)據(jù)(單位：cm)如下： 組下限165 167 169 171 173 175 177組上限167 169 171 173 175 177 179人 數(shù)3 10 21 23 22 11 5試畫出身高直方圖，它是否近似服從某個正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形.解圖1.2 數(shù)據(jù)直方圖它近似服從均值為172，方差為5.64的正態(tài)分布，即.4 設(shè)總體X的方差為4，均值為，現(xiàn)抽取容量為100的樣本，試確定常數(shù)k，使得滿足.解 因k較大，由中心極限定理,：所以：查表得：，.5 從總體中抽取容量為36的樣本，求樣本均值落

3、在50.8到53.8之間的概率.解 6 從總體中分別抽取容量為10與15的兩個獨立的樣本，求它們的均值之差的絕對值大于0.3的概率.解 設(shè)兩個獨立的樣本分別為：與，其對應(yīng)的樣本均值為：和.由題意知：和相互獨立，且： ， 7 設(shè)是總體的樣本，試確定C，使得. 解 因，則，且各樣本相互獨立，則有：所以： 查卡方分位數(shù)表：c/4=18.31，則c=73.24.8 設(shè)總體X具有連續(xù)的分布函數(shù)，是來自總體X的樣本，且，定義隨機變量：試確定統(tǒng)計量的分布.解 由已知條件得：，其中.因為互相獨立，所以也互相獨立，再根據(jù)二項分布的可加性，有，.9 設(shè)是來自總體X的樣本，試求。假設(shè)總體的分布為：1） 2) 3)

4、4) 解 1) 2) 3) 4) 10 設(shè)為總體的樣本，求與。解又因為 ,所以：11 設(shè)來自正態(tài)總體，定義：，計算.解 由題意知，令：，則 12 設(shè)是總體的樣本，為樣本均值，試問樣本容量應(yīng)分別取多大，才能使以下各式成立：1）；2）；3）。解 1)， 所以：2) 令： 所以： 計算可得：3) 查表可得： ，而取整數(shù)，.13 設(shè)和是兩個樣本，且有關(guān)系式：（均為常數(shù)，），試求兩樣本均值和之間的關(guān)系，兩樣本方差和之間的關(guān)系.解 因： 所以：即：14 設(shè)是總體的樣本.1) 試確定常數(shù)，使得，并求出；2) 試確定常數(shù)，使得，并求出和.解 1）因：，標準化得：，且兩式相互獨立故：可得：，.2） 因：， 所以

5、：， 可得：.15 設(shè)分別是分布和分布的分位數(shù)，求證.證明 設(shè)，則： 所以： 故：.16 設(shè)是來自總體的一個樣本，求常數(shù)，使： . 解 易知，則； 同理，則 又因：，所以與相互獨立. 所以：計算得：c = 0.976.17 設(shè)為總體的容量的樣本，為樣本的樣本均值和樣本方差，求證： 1）； 2）； 3）.解 1）因：， 所以：， 又： 且：與相互獨立 所以： 2） 由1）可得：3） 因：，所以：18 設(shè)為總體的樣本，為樣本均值，求，使得. 解 所以：查表可得：，即.19 設(shè)為總體的樣本，試求：1）的密度函數(shù)； 2）的密度函數(shù)；解 因：， 所以的密度函數(shù)為：， 由定理： 20 設(shè)為總體的樣本，試求

6、：1）； 2）解 21 設(shè)為總體的一個樣本，試確定下列統(tǒng)計量的分布：1）； 2）；3）解 1）因為：所以：，且與相互獨立，由抽樣定理可得：2）因為：，且與相互獨立，所以：3）因為：，所以：，且與相互獨立，由卡方分布可加性得：.22 設(shè)總體服從正態(tài)分布，樣本來自總體，是樣本方差，問樣本容量取多大能滿足？解 由抽樣分布定理：,查表可得：，.23 從兩個正態(tài)總體中分別抽取容量為20和15的兩獨立的樣本，設(shè)總體方差相等，分別為兩樣本方差，求.解 設(shè)分別為兩樣本的容量，為總體方差，由題意，又因分別為兩獨立的樣本方差：所以：. 24 設(shè)總體，抽取容量為20的樣本，求概率1）；2）.解 1）因，且各樣本間相

7、互獨立，所以：故：2）因：, 所以：25 設(shè)總體，從中抽取一容量為25的樣本，試在下列兩種情況下的值：1） 已知；2） 未知，但已知樣本標準差.解 1） 2）26 設(shè)為總體的樣本，為樣本均值和樣本方差，當(dāng)時，求：1） 2）3）確定C，使.解 1） 2）其中,則 3）其中，則所以： ,計算得：. 27 設(shè)總體的均值與方差存在，若為它的一個樣本，是樣本均值，試證明對，相關(guān)系數(shù). 證明 所以：.28. 設(shè)總體，從該總體中抽取簡單隨機樣本，是它的樣本均值，求統(tǒng)計量的數(shù)學(xué)期望.解 因，為該總體的簡單隨機樣本，令，則有 可得：習(xí)題二1 設(shè)總體的分布密度為：為其樣本，求參數(shù)的矩估計量和極大似然估計量 .現(xiàn)測

8、得樣本觀測值為：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求參數(shù)的估計值 .解 計算其最大似然估計： 其矩估計為： 所以：，.2 設(shè)總體X服從區(qū)間0, 上的均勻分布，即，為其樣本，1)求參數(shù)的矩估計量和極大似然估計量；2)現(xiàn)測得一組樣本觀測值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，試分別用矩法和極大似然法求總體均值、總體方差的估計值.解 1）矩估計量： 最大似然估計量：無解 .此時，依定義可得：2）矩法： 極大似然估計：.3 設(shè)是來自總體X的樣本，試分別求總體未知參數(shù)的矩估計量與極大似然估計量 .已知總體X的分布密度為：1）未知2）未知3）未知4) 未知5），其中參數(shù)未知6），

9、其中參數(shù)未知 7）未知8）解 1） 矩法估計：最大似然估計：.2) 矩估計： 最大似然估計：.3） 矩估計： 聯(lián)立方程： 最大似然估計： ,無解，當(dāng)時，使得似然函數(shù)最大，依照定義，同理可得.4) 矩估計：，不存在 最大似然估計：，無解；依照定義，.5) 矩估計： 即最大似然估計：，無解依定義有：.6) 矩估計： 解方程組可得：最大似然估計： 無解，依定義得， 解得 .7) 矩估計：最大似然估計：.8)矩估計：最大似然估計： .4. 設(shè)總體的概率分布或密度函數(shù)為，其中參數(shù)已知，記，樣本來自于總體X，則求參數(shù)的最大似然估計量 .解 記則；.5 設(shè)元件無故障工作時間X具有指數(shù)分布，取1000個元件工

10、作時間的記錄數(shù)據(jù)，經(jīng)分組后得到它的頻數(shù)分布為： 組中值 5 15 25 35 45 55 65頻 數(shù) 365 245 150 100 70 45 25如果各組中數(shù)據(jù)都取為組中值，試用最大似然法求參數(shù)的點估計.解 最大似然估計：.6 已知某種燈泡壽命服從正態(tài)分布，在某星期所生產(chǎn)的該種燈泡中隨機抽取10只，測得其壽命(單位：小時)為： 1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948設(shè)總體參數(shù)都未知，試用極大似然法估計這個星期中生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時以上的概率.解 設(shè)燈泡的壽命為,極大似然估計為：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到： .經(jīng)計算得，這個星期生產(chǎn)的燈泡能使用1

11、300小時的概率為0.0075.7. 為檢驗?zāi)撤N自來水消毒設(shè)備的效果，現(xiàn)從消毒后的水中隨機抽取50升，化驗每升水中大腸桿 菌的個數(shù)(假定一升水中大腸桿菌個數(shù)服從Poisson分布)，其化驗結(jié)果如下：大腸桿菌數(shù)/升 0 1 2 3 4 5 6 升 數(shù) 17 20 10 2 1 0 0試問平均每升水中大腸桿菌個數(shù)為多少時，才能使上述情況的概率為最大？解 設(shè)為每升水中大腸桿菌個數(shù)，由3題（2）問知，的最大似然估計為，所以所以平均每升氺中大腸桿菌個數(shù)為1時，出現(xiàn)上述情況的概率最大 .8 設(shè)總體，試利用容量為n的樣本，分別就以下兩種情況，求出使的點A的最大似然估計量 .1）若時； 2）若均未知時 .解

12、1） ，的最大似然估計量為，所以 .2） 的最大似然估計量為，最大似然估計為，由極大似然估計的不變性，直接推出.9 設(shè)總體X具有以下概率分布： x01/31/4011/31/40201/41/431/61/41/241/601/4求參數(shù)的極大似然估計量 .若給定樣本觀測值：1，0，4，3，1，4，3，1，求最大似然估計值 .解 分別計算 ，時樣本觀測值出現(xiàn)的概率：由最大似然估計可得：.10 設(shè)總體X具有以下概率分布：， 求參數(shù)的最大似然估計量 .解 最大似然估計應(yīng)該滿足：結(jié)果取決于樣本觀測值.11 設(shè)是總體X的樣本，設(shè)有下述三個統(tǒng)計量： 指出中哪幾個是總體均值a=EX的無偏估計量，并指出哪一個

13、方差最?。拷?，所以 無偏，方差最小.12 設(shè)總體，為其樣本，1）求常數(shù)，使為的無偏估計量；2）求常數(shù)，使為的無偏估計量 .解 1） 令 得 .2）令 .13 設(shè)是來自總體X的樣本，并且EX =，DX = ，是樣本均值和樣本方差，試確定常數(shù)，使是的無偏估計量 .解所以 .14 設(shè)有二元總體，為其樣本，證明：是協(xié)方差的無偏估計量 .證明 由于所以：，證畢 .15 設(shè)總體，樣本為，是樣本方差，定義，試比較估計量,哪一個是參數(shù)的無偏估計量？哪一個對 的均方誤差最?。拷?1）所以 是的無偏估計2） 所以，可以看出最小 .16 設(shè)總體，為樣本，試證：與都是參數(shù)的無偏估計量，問哪一個較有效？解所以 比較有效

14、.17 設(shè)，是的兩個獨立的無偏估計量，并且的方差是的方差的兩倍 .試確定常數(shù)c1, c2，使得為的線性最小方差無偏估計量 .解： 設(shè) 當(dāng)，上式達到最小，此時 .18. 設(shè)樣本來自于總體X，且(泊松分布)，求，并求C-R不等式下界，證明估計量是參數(shù)的有效估計量 .解 所以其C-R方差下界為 所以 是參數(shù)有效估計量.19 設(shè)總體X具有如下密度函數(shù)，是來自于總體X的樣本，對可估計函數(shù)，求的有效估計量，并確定R-C下界 .解 因為似然函數(shù)所以取統(tǒng)計量得=，所以是無偏估計量令 由定理知 T是有效估計量，由所以 C-R方差下界為.20 設(shè)總體X服從幾何分布：，對可估計函數(shù)，則1）求的有效估計量；2）求；3

15、）驗證的相合性 .解 1）因為似然函數(shù)所以取統(tǒng)計量 .又因為 所以是的無偏估計量，取，由定理得到，是有效估計量2）所以 是相合估計量 .21 設(shè)總體X具有如下密度函數(shù)，是來自于總體X的樣本，是否存在可估計函數(shù)以及與之對應(yīng)的有效估計量？如果存在和，請具體找出，若不存在，請說明為什么 .解 因為似然函數(shù)所以令 所以是的無偏估計量，取，由定理得到，是有效估計量所以：是有效估計量.22 設(shè)是來自于總體X的樣本，總體X的概率分布為：1） 求參數(shù)的極大似然估計量；2） 試問極大似然估計是否是有效估計量？如果是，請求它的方差和信息量；3） 試問是否是相合估計量？解 1）得到最大似然估計量2）所以所以是無偏估

16、計量，由定理得到是有效估計量信息量3）所以，T也是相合估計量 .23 設(shè)樣本來自總體，并且的區(qū)間估計為，問以多大的概率推斷參數(shù)取值于此區(qū)間 .解 設(shè)以概率推斷參數(shù)取值于，在已知方差為1條件下，推斷參數(shù) 的置信度為的置信區(qū)間為所以 ，得到 即以概率推斷參數(shù)取值于.24 從一批螺釘中隨機地取16枚，測得其長度(單位：cm)為： 2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11設(shè)釘長分布為正態(tài)，在如下兩種情況下，試求總體均值的90%置信區(qū)間，1）若已知=0.01cm； 2）若未知；解 因為1

17、） 計算所以 置信區(qū)間為2） 計算所以 置信區(qū)間為.25 測量鋁的密度16次，測得試求鋁的比重的0.95的置信區(qū)間(假設(shè)鋁的比重服從正態(tài)分布) .解 這是正態(tài)分布下，方差未知，對于均值的區(qū)間估計：因為計算 所以 置信區(qū)間為 .26 在方差已知的正態(tài)總體下，問抽取容量n為多大的樣本，才能使總體均值的置信度為的置信區(qū)間長度不大于l？解 均值的置信度為的置信區(qū)間為要使即 .27 從正態(tài)總體中抽取容量為n的樣本，如果要求其樣本均值位于區(qū)間(1.4, 5.4)內(nèi)的概率不小于0.95，問樣本容量n至少應(yīng)取多大？解，所以.28假設(shè)0.5, 1.25, 0.8, 2.0是總體X的簡單隨機樣本值 .已知 .1）

18、 求參數(shù)a的置信度為0.95的置信區(qū)間；2） 求EX的置信度為0.95的置信區(qū)間 .解 1） 服從正態(tài)分布，按照正態(tài)分布均值的區(qū)間估計，其置信區(qū)間為 ，由題意，從總體X中抽取的四個樣本為：其中，代入公式，得到置信區(qū)間為2），由1）知道的置信區(qū)間為，所以置信區(qū)間為.29 隨機地從A批導(dǎo)線中抽取4根，并從B批導(dǎo)線中抽取5根，測得其電阻()為： A批導(dǎo)線：0.143，0.142，0.143，0.137 B批導(dǎo)線：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140設(shè)測試數(shù)據(jù)分別服從和，并且它們相互獨立，又均未知，求參數(shù)的置信度為95%的置信區(qū)間 .解 由題意，這是兩正太總體，在方差未知且相等條件下，對總體均值差的估計： 置信區(qū)間為計算得 所以.30 有兩位化驗員A、B，他們獨立地對某種聚合物的含氯量用相同方法各作了10次測定，其測定值的方差依次為0.5419和0.6065，設(shè)與分別為A、B所測量數(shù)據(jù)的總體的方差(正態(tài)總體)，求方差比/的置信度為95%的置信區(qū)間 .解 由題意，這是兩正太總體方差比的區(qū)間估計： 置信區(qū)間為計算得 所以置信為 .31 隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗，測得炮口速度的樣本標準差s=11(m/s)，設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的標準差的置信度為95%的置信區(qū)間