小升初圓柱圓錐精講

1、圓柱圓錐在我們的日常生活和生產(chǎn)實際中，經(jīng)常遇到與圓柱和圓錐有關(guān)的物體， 而很 多問題的解決又都與圓柱和圓錐的體積及表面積的計算有密切的關(guān)系， 認(rèn)清物體 的結(jié)構(gòu)特征及圓柱和圓錐的有關(guān)基本數(shù)量關(guān)系，是迅速、準(zhǔn)確解決問題的關(guān)鍵。圓柱體的體積=兀+h,圓柱體的價I面積=2Hrh 圓桂體的我m? = 2Hr Cr + h）, 圓錐體的體積兀云honJ【典型例題】【例1】 如右圖所示，圓錐形容器中裝有5升水，水面高度正好是圓錐高度的一半，這個容器還能裝多少升水？分析與解：本題的關(guān)鍵是要找出容器上半部分的體積與下半部分的關(guān)系。設(shè)圓錐容器的底面積半徑為 r，則水面半徑為-。容器的容積為，-2V11 2二r2h

2、，容器中水的體積為31 2 1 2解： r h r h = 8324這表明容器可以裝 8份5升水，已經(jīng)裝了 1份，還能裝水5X（ 8 1） =35 （升）?！纠?）2】比較甲、容器如圖1（單位：厘米）(2)20乙兩只容器中，哪一只容器盛的水多，多的是少的幾倍? 所示；的L甲、乙兩容器相同（如圖 2），甲容器中水的高度是錐高的-，乙容器中水的高度是32圓錐高的一。3分析與解（1）要想知道甲、乙兩只容器哪一只盛的水多，我們只需依據(jù)條件分別計算一下甲、乙兩 只容器的容積各是多少，即可做出比較。= 7TX102 x 20 = 200071：（立方厘米）= XX20a X10=40007T （立方厘米

3、）通過計算可知，乙容器裝的水多，乙容器是甲容器容積的（4000 n十2000 n =） 2倍。（2 ）我們先分別將兩容器內(nèi)水的體積進(jìn)行計算。2設(shè)圓錐的底面半徑為 r，高為h，則甲容器及乙容器中的水面半徑均為r，甲容器中32 一h，分別用V甲、V乙表示兩容器32無水部分椎體咼位h，而乙容器中有水部分椎體的高為32. 1 (2 .2 2192kr h- ( r) h= r h33381(2 r)2h=r2h338119中水的體積，則有：1V甲=:V乙=1(3V甲:/(192八(82八19V乙 = ( r h)：(r h)二一81 81 8由此可知，甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中的水的【例3

4、】 將一個棱長是20厘米的正方體，旋成一個圓柱體，并且使圓柱體的體積最大, 求此時旋去的那部分體積。分析與解 要想知道旋去的那部分體積，我們應(yīng)首先認(rèn)識清楚，怎樣才能使旋成的圓柱體體積最大？通過分析可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們所旋成的圓柱體的底面直徑和高均為20厘米時，圓柱的體積最大即如圖3去旋.此時，我們只需計算出正方體的體積及所得到的圓柱體的體積， 其差就是所旋去部分的體積?！?Ii |圖3J = 203 = 8000 （立方厘氷）= 7T X 102 X 20 = 2000 K （立方厘米）6280 （立方厘米） V正一 V 躺=50006280=1720 （立方厘米）即：旋去的部分的體積約為 172

5、0立方厘米。【例4】 如圖4中所示圖形是一個底面直徑是20厘米的裝有一部分水的圓柱形容器，水中放著一個底面直徑為 12厘米，高為10厘米的圓錐體鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后， 容器中的 水下降了幾厘米？分析與解 因為玻璃容器是圓柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實際是一個小圓柱,這個圓柱的底面與玻璃容器的底面一樣，是一直徑為20厘米的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積這個小圓柱的高就是水面下降的高度。 因為鉛錘的體積為：1=-X 7T X3X1O=12O7T （立方厘氷）設(shè)水面下降的高度為 x厘米，則小圓柱的體積為：2V2= n X (20 - 2) X x=100 n x (立方厘米)根據(jù)小

6、圓柱的體積等于鉛錘的體積有：120 n =100 n x解此方程得：x=1.2 (厘米)答：鉛錘取出后，容器中的水面下降了1.2厘米。團4【例5】 橫截面直徑為20厘米的一根圓鋼，截成兩段后，兩段表面積的和為7536平方厘米，求原來那根圓鋼的體積是多少(n =3.14 )?分析與解根據(jù)圓柱體的體積公式，體積等于底面積乘以高由于底面直徑已經(jīng)知道，故只需 依據(jù)條件求出圓鋼的長度假設(shè)圓鋼長為x厘米，由于將圓鋼截成兩段后，兩段表面積的和 等于圓鋼的側(cè)面積加上四個底面圓的面積，所以有下面的式子：22 n X( 20* 2)X x+4 n X( 20* 2)=20 n x+400 n依據(jù)題中給出的已知條件

7、，可得方程：20 n x+400 n =7536130-20= 100 （厘米）解方程:圓鋼的體積為：2n X( 20* 2) X 100 31400 (立方厘米) 答：原來那根圓鋼的體積約為31400立方厘米。【例6】用一塊長30厘米，寬20厘米的長方形鐵皮做圓柱形容器的側(cè)面，再用另一塊鐵 皮做底，怎樣做才能使這個圓柱形容器的容積最大？分析與解 我們要回答上述問題，實際上只需考慮兩個方面，即以長方形的長做為圓柱形容器的高，還是以長方形的寬做為圓柱形容器的高？比較兩種情況下圓柱形容器的體積，即可確定方案。若以長方形的長為高， 則長方形的寬即為圓柱形容器的底面周形，所以圓柱形容器的底面半徑為：2

8、0 2 H =(厘朮)X 30=3000/ K （立方厘氷）此時容器的容積為：若以長方形的寬為高，則長方形的長即為圓柱形容器的底面周長，此時，圓柱形容器的底面半徑為：30-2H（厘米）此時，圓柱形容器的體積為Iri 5V兀X X 20 = 4500/ n （立方厘氷）I耳通過上述計算，我們可以知道，用長方形較短的一邊做為圓柱形容器的高時，圓柱形容器的容積大。【例7】將一個底面半徑為 20厘米、高27厘米的圓錐形鋁塊，和一個底面半徑為 30厘米、 高20厘米的圓柱形鋁塊，熔鑄成一底面半徑為 15厘米的圓柱形鋁塊，求這個圓柱形鋁塊的 高。解：被熔的圓錐形鋁塊的體積：1 7T X 20 x 27 =

9、 3600H （厘米孑）C3.3被熔的圓柱形鋁塊的體積：n X 302X 20=18000 n （厘米）。熔成的圓柱形鋁塊的高：（3600 n + 18000 n ） + （nX 152） =2 1 600 n - 225 n =96（厘米）。答：熔鑄成的圓柱體高 96厘米。【例8】皮球掉進(jìn)一個盛有水的圓柱形水桶中。皮球的直徑為15厘米，水桶底面直徑為 604厘米。皮球有 4的體積浸在水中。卜土與“卡勺、鼻匕爭一5 3問：皮球掉進(jìn)水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？解：皮球的體積是.- . （厘米T 4皮球浸在水中的部分是562.5HX-= 45071厘米弓）。水面升高的高度是 450 n+

10、900 n = 0.5 （厘米）。答：水面升高了 0.5厘米?！窘忸}在于實踐】一有大、小兩種不帶蓋的圓柱水桶，它們的表面積的和是5433平方分米，小桶和大桶的用料面積的比是1： 2，小桶的底面周長是 62.8分米，大桶的底面周長是 94.2分米.求大小 兩個桶的側(cè)面積各是多少 ？解答：大、小桶側(cè)面積分別是2915.5和1497平方分米。先用按比例分配的方法，大，小桶表面積分別為1811平方分米,3622平方分米，然后各去底 面積就行了 .二把一塊長30厘米，寬20厘米，高5厘米的長方形鋁錠，和一底面周長為 37.68 （厘 米），高30厘米的圓柱形鋁塊，熔鑄成一底面圓半徑為 13厘米的圓錐體鋁

11、塊，求這個圓錐體鋁塊的高是多少？ （ n =3.14 ）分析與解 要想求出最終所得圓錐體的高度，只要能確定其體積就可辦到.而圓錐體是用兩個不同形狀的幾何體熔鑄而成的，故其體積就等于長方體的體積與圓柱體體積的和而長方體的長、寬、高，圓柱體的底面周長和高都是已知的，所以長方體的體積及圓柱體的體積是可計算的。長方體鋁錠的體積為：30X 20X 5=3000 （立方厘米）圓柱體的體積為：需劉 X30 = ttX 36X 30 = 1080tt （立方屋米） 設(shè)圓錐體鋁塊的高為亞則圓錐體鋁塊的體積為 |xTX13iXx = l|?-7ri立方厘氷）根據(jù)題中所述，圓錐體的體積等于長方體體積與圓柱體體積的和

12、，列方程得169 兀 x = 3000 + 1080713解得：x 36.14 （厘米）答：這個圓錐體鋁塊的高為36.14厘米三有一個圓柱體的零件，高 10厘米，底面直徑是 6厘米，零件的一端有一個圓柱形的 圓孔，圓孔的直徑是 4厘米，孔深5厘米（見右圖）。如果將這個零件接觸空氣的部分涂上 防銹漆，那么一共要涂多少平方厘米？分析與解：需要涂漆的面有圓柱體的下底面、外側(cè)面、上面的圓環(huán)、圓孔的側(cè)面、圓孔的底面，其中上面的圓環(huán)與圓孔的底面可以拼成一個與圓柱體的底面相同的圓。涂漆面積為x 2+ 兀 x 6X 10+ 兀 X4X 5=K X (18 + 60 + 20)尸L = 3.14X98=307.

13、72 (厘氷*四有一種飲料瓶的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），容積是 些飲料，正放時飲料高度為20厘米，倒放時空余部分的高度為內(nèi)現(xiàn)有飲料多少立方分米？30分米?，F(xiàn)在瓶中裝有一5厘米（見右圖）。問：瓶分析與解：瓶子的形狀不規(guī)則，并且不知道底面的半徑，似乎 無法計算。比較一下正放與倒放，因為瓶子的容積不變，裝的飲料 的體積不變，所以空余部分的體積應(yīng)當(dāng)相同。20將正放與倒放的空余部分變換一下位置，可以看出飲料瓶的容 積應(yīng)當(dāng)?shù)扔诘酌娣e不變，高為20+ 5=25 （厘米）的圓柱體的體積, 推知飲料占容積的 20 = 4，所以瓶內(nèi)有飲料30 4 =24 （立方分米）2555懸賞一個底面是正方形的容器里放著水，從里面量邊長14厘米，水的高