簡諧激勵振動理論的應(yīng)用

1、第四節(jié) 簡諧激勵振動理論的應(yīng)用一、 旋轉(zhuǎn)不平衡質(zhì)量引起的強迫振動（一）運動方程及其解在高速旋轉(zhuǎn)機械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激勵來源之一。一個旋轉(zhuǎn)機械的力學模性：設(shè)旋轉(zhuǎn)機械總質(zhì)量為，轉(zhuǎn)子的偏心質(zhì)量為，偏心距為，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角速度為。選靜平衡位置為坐標原點，坐標表示機器離開靜平衡位置的垂直位移，而偏心質(zhì)量的位移為根據(jù)牛頓運動定律，列出系統(tǒng)的振動微分方程整理后，得 （3-18）上式的形式與方程（3-1）相似，只是由代替了，故前面所有的分析都可適用。設(shè) ， ， 則方程（3-18）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為式中振幅為顯然，相位差為可見，偏心質(zhì)量引起的強迫振動的振幅與不平衡質(zhì)量成正比。為了減小振動，旋轉(zhuǎn)機械的

2、轉(zhuǎn)子通常要作平衡試驗，使質(zhì)量分布盡可能均勻。（二）幅頻特性放大因子定義為 （3-19）以放大因子為縱坐標，頻率比為橫坐標，阻尼比為參數(shù)，畫出幅頻特性曲線。由曲線可見：1. 當時，即振幅接近于零。2. 當時，即振幅趨近于常數(shù)，即 而與激勵頻率及阻尼比基本上無關(guān)。3. 共振發(fā)生在 即 時，位于的右邊，共振振幅為當阻尼很小時（），可以認為當 即 發(fā)生共振，共振振幅為例題：一臺慣性式激振器安放在機器正上方，以測定機器的振動特性。激振器有一對帶有偏心質(zhì)量、等速反向旋轉(zhuǎn)的齒輪組成。當旋轉(zhuǎn)角速度為時，偏心質(zhì)量的離心慣性力在水平方向合力為零，在垂直方向合成激振力me2sint，其中m為總的偏心質(zhì)量，e為偏心距

3、。通過改變轉(zhuǎn)速，測得共振時的垂直振幅為1.07cm，而超過共振很遠時，垂直振幅趨于定值0.32 cm。若偏心質(zhì)量為12.7kg，偏心距為15 cm，支承彈簧剛度為k=976.7N/cm。計算（1）支承阻尼器的阻尼比；（2）轉(zhuǎn)速為N=300r/min時機器的垂直振幅。解：設(shè)機器和激振器的總質(zhì)量為M。系統(tǒng)的振動微分方程為（1） 共振時（r =1） 的振幅為 而r 1（超過共振很遠時）時有 所以阻尼比（2） 當轉(zhuǎn)速為N=300r/min時，激勵頻率為 （rad/s）由 和 ，得 （rad/s）頻率比 則機器的振幅為例3-2：橋式起重機運行機構(gòu)采用高速空心軸傳動，軸的兩端由調(diào)位軸承支承，軸上無別的零件

4、?？招妮S的內(nèi)徑d1為，外徑為d2，兩支承間距離為，求軸的臨界轉(zhuǎn)速（r/min）。軸的臨界轉(zhuǎn)速ncr為: 。故只要知道梁的固有頻率即可求出軸的臨界轉(zhuǎn)速ncr。求連續(xù)梁第一階固有頻率時，其模型可按如下簡化（離散化）：將梁離散為三點：兩個端點和一個中點，其中梁的兩端端點的質(zhì)量各為總質(zhì)量的四分之一，即，中點的質(zhì)量為總質(zhì)量的二分之一，即。如圖所示。這樣處理后，可以把梁看作是抗彎剛度為EI、無質(zhì)量的彈性梁。由靜變形法，知 式中是梁中點的靜變形，由材力知二、 基礎(chǔ)運動引起的強迫振動在許多情況下，系統(tǒng)受到的激勵來自于支承的運動，例如固定在機器上的儀表，汽車在不平的路面行駛時的振動等等，都是支承運動引起的強迫振

5、動。（一） 運動方程及其解如圖所示是受基礎(chǔ)激勵的振動力學模型。以系統(tǒng)靜平衡位置為坐標原點建立坐標系： - 質(zhì)量塊的位移 - 基礎(chǔ)的位移 設(shè)基礎(chǔ)運動規(guī)律為 由牛頓運動定律，得 （3-20）即 （a）或也可寫成： 利用復(fù)指數(shù)法求解上式。用代換，所以 ， 代入式（a），得 （b）假定方程（b）的解為 （c）式中 - 復(fù)振幅則 帶入方程（b），得 （d）則實振幅為 （e）相位差 （3-27）故方程（b）的解為 （f）由于方程（3-20）中的激勵力是正弦函數(shù)，所以方程（3-20）的解也只能取式（f）的虛部，故方程（3-20）的解為 （g）（二） 幅頻特性令振幅放大因子為 （3-28）以放大因子為縱坐標，

6、頻率比為橫坐標，阻尼比為參數(shù)，畫出幅頻特性曲線。由此可見，它與簡諧激勵力作用下的響應(yīng)曲線基本相同。 所不同的是：1. 當時，振幅等于基礎(chǔ)運動振幅，與阻尼無關(guān)。2. 當時，振幅小于基礎(chǔ)運動振幅，增加阻尼反而使振幅增大。例題：試求圖示系統(tǒng)在上端有基礎(chǔ)運動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。已知和激勵頻率 。解：系統(tǒng)的運動微分方程為即固有頻率為頻率比為 思考問題：（1）此題是用3.2中的式（3-4）還是用3.4.2基礎(chǔ)激勵中的公式（h）來求解該題的響應(yīng)？（2）此題相位差為多少？振幅為相位差為 則系統(tǒng)的響應(yīng)為例題3-3： 如圖為汽車的拖車在波形道路上行駛，引起垂直方向振動的簡化模型。已知，車速。滿載時拖車質(zhì)量 ，?？蛰d時拖車

7、質(zhì)量 。路面成正弦波形，可表示成，其中。求：滿載和空載時車輛的振幅比。解：（1）基礎(chǔ)激勵的頻率（2）空載時的阻尼比 阻尼系數(shù) （3） 滿載和空載時的頻率比滿載時系統(tǒng)的固有頻率滿載時頻率比 空載時系統(tǒng)的固有頻率空載時頻率比 （4）滿載和空載時車輛的振幅比滿載時 空載時 三、 隔振機器超過允許范圍的振動影響著本身的正常運行及壽命，而且還造成環(huán)境污染，影響周圍設(shè)備的正常工作和人體健康，有效地隔振是相當重要的問題。隔振就是在振源和振體之間設(shè)置隔振系統(tǒng)或隔振裝置，以減少或隔離振動的傳遞。隔振分為兩類：主動隔振 - 隔離機械設(shè)備通過支座傳遞至地基的振動，以減少動力的傳遞。被動隔振 - 防止地基的振動通過支

8、座傳遞至需保護的精密設(shè)備或儀器儀表，以減少運動的傳遞。隔振裝置通常由合適的彈性材料及阻尼材料組成，例如鋼彈簧、橡膠、軟木、氈類等。1. 主動隔振振源是機器本身。主動隔振的目的是減少傳遞到地基上的力。其隔振效果用力傳遞率（系數(shù)）表示，它定義為隔振后機器的強迫振動為 ， 故機器通過彈簧傳遞到地基上的力為 機器通過阻尼器傳遞到地基上的力為 其合力為式中 （3-3）所以力傳遞率為 （3-29）2. 被動隔振被動隔振振源來自地基運動。被動隔振的目的是減小傳遞到機器的運動，其隔振效果用位移傳遞率（系數(shù)）來表示，它定義為 顯然有 （3-28）比較主動隔振式（3-29）和被動隔振式（3-28）可知，主動隔振式和被動隔振的原理是相似的。故此，力傳遞率（系數(shù)）和位移傳遞率（系數(shù)）統(tǒng)稱為傳遞率（系數(shù)），用符號表示。所以有傳遞率有如下特點：（1）不論阻尼大小，只有當頻率比（即）時，才有傳遞率，即隔振才起作用。（2）當頻率比后，隨著的增加，傳遞率逐漸減??； 當頻率比之后，傳遞率的減小趨于平緩。故隔振效果提高是有限度的。通常頻率比取值范圍在2.55內(nèi)。（3）當頻率比后，增加阻尼反而使隔振效果變壞，即例題3