解析幾何第四版呂林根課后習(xí)題答案

1、第一章 矢量與坐標(biāo)§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量終點(diǎn)各構(gòu)成什么圖形？ （1）把空間中一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)； （2）把平行于某一平面的一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)； （3）把平行于某一直線的一切矢量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)；（4）把平行于某一直線的一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點(diǎn). 解：（1）單位球面； （2）單位圓 A F B E C （3）直線； （4）相距為2的兩點(diǎn)2. 設(shè)點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在矢量、 、O、 、和中，哪些矢量是相等的？解：如圖1-1，在正六邊形ABCDEF中，相等的矢量對(duì)是： 圖1-1 3. 設(shè)在平面上給了一個(gè)四邊形ABCD，點(diǎn)K、L、M、N

2、分別是邊、 的中點(diǎn)，求證：. 當(dāng)ABCD是空間四邊形時(shí)，這等式是否也成立？證明：如圖1-2，連結(jié)AC, 則在DBAC中， KLAC. 與方向相同；在DDAC中，NMAC. 與方向相同，從而KLNM且與方向相同，所以. 4. 如圖1-3，設(shè)ABCD-EFGH是一個(gè)平行六面體，在下列各對(duì)矢量中，找出相等的矢量和互為相反矢量的矢量：(1) 、; (2) 、; (3) 、; (4) 、; (5) 、. 解：相等的矢量對(duì)是（2）、（3）和（5）； 互為反矢量的矢量對(duì)是（1）和（4）。 §1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量應(yīng)滿足什么條件？（1） （2）（3） （4）（5）解：（1）所在

3、的直線垂直時(shí)有； （2）同向時(shí)有 （3）且反向時(shí)有 （4）反向時(shí)有 （5）同向，且時(shí)有§1.3 數(shù)量乘矢量1 試解下列各題 化簡(jiǎn) 已知，求，和 從矢量方程組，解出矢量，解 ， ， 2 已知四邊形中，對(duì)角線、的中點(diǎn)分別為、，求 解 3 設(shè)，證明：、三點(diǎn)共線 證明 與共線，又為公共點(diǎn)，從而、三點(diǎn)共線 4 在四邊形中，證明為梯形 證明 ，為梯形6. 設(shè)L、M、N分別是ABC的三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，證明：三中線矢量, , 可 以構(gòu)成一個(gè)三角形. 證明： 從而三中線矢量構(gòu)成一個(gè)三角形。7. 設(shè)L、M、N是ABC的三邊的中點(diǎn)，O是任意一點(diǎn)，證明+=+. 證明 = 由上題結(jié)論知： 8. 如圖

4、1-5，設(shè)M是平行四邊形ABCD的中心，O是任意一點(diǎn)，證明+4.證明：因?yàn)?+), (+),所以 2(+)所以+4.9 在平行六面體（參看第一節(jié)第4題圖）中，證明 證明 10. 用矢量法證明梯形兩腰中點(diǎn)連續(xù)平行于上、下兩底邊且等于它們長(zhǎng)度和的一半 證明 已知梯形，兩腰中點(diǎn)分別為、，連接、 ， ， ，即 ，故平行且等于 11. 用矢量法證明，平行四邊行的對(duì)角線互相平分. 證明：如圖1-4，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)但 由于而不平行于， ，從而OA=OC，OB=OD。12. 設(shè)點(diǎn)O是平面上正多邊形A1A2An的中心，證明:+.證明：因?yàn)閘,l,+l,l,所以 2(+)l(+

5、),所以 (l2)(+).顯然 l2, 即 l20. 所以 +.13在12題的條件下，設(shè)P是任意點(diǎn)，證明：證明： 即 §1.4 矢量的線性關(guān)系與矢量的分解1在平行四邊形ABCD中，（1）設(shè)對(duì)角線求解：設(shè)邊BC和CD的（2）中點(diǎn)M和N，且求。解： 2在平行六面體ABCD-EFGH中，設(shè)三個(gè)面上對(duì)角線矢量設(shè)為試把矢量寫(xiě)成的線性組合。證明：， ， 3. 設(shè)一直線上三點(diǎn)A, B, P滿足l(l¹1),O是空間任意一點(diǎn)，求證：證明：如圖1-7，因?yàn)?所以 l (),(1+l)+l, 從而 .4. 在中,設(shè).(1) 設(shè)是邊三等分點(diǎn),將矢量分解為的線性組合;（2）設(shè)是角的平分線(它與交于

6、點(diǎn)),將分解為的線性組合解：（1）， ，同理（2）因?yàn)?,且 與方向相同，所以 .由上題結(jié)論有.5在四面體中，設(shè)點(diǎn)是的重心（三中線之交點(diǎn)），求矢量對(duì)于矢量的分解式。解：是的重心。連接并延長(zhǎng)與BC交于P同理 C O （1） G P （2）A B （3） （圖1）由（1）（2）（3）得 即6用矢量法證明以下各題（1）三角形三中線共點(diǎn)證明：設(shè)BC，CA，AB中，點(diǎn)分別為L(zhǎng)，M，N。AL與BM交于，AL于CN交于 BM于CN交于，取空間任一點(diǎn)O，則 A A 同理 N M B L C 三點(diǎn)重合 O 三角形三中線共點(diǎn) （圖2） （第3頁(yè)）7已知矢量不共線，問(wèn)與是否線性相關(guān)？證明：設(shè)存在不全為0的，使得即

7、故由已知不共線得與假設(shè)矛盾， 故不存在不全為0的，使得成立。所以線性無(wú)關(guān)。8. 證明三個(gè)矢量+3+2, 46+2，3+1211共面，其中能否用,線性表示？如能表示，寫(xiě)出線性表示關(guān)系式.證明：由于矢量, , 不共面，即它們線性無(wú)關(guān). 考慮表達(dá)式 l+m+v，即l (+3+2)+m (46+2)+v (3+1211),或 (l+4m3v) +(3l6m12v) +(2l+2m11v) .由于, , 線性無(wú)關(guān)，故有解得 l10，m1，v2.由于 l10¹0，所以能用,線性表示.9證明三個(gè)矢量共面。證明： 三個(gè)矢量線性相關(guān)，從而三個(gè)矢量共面。l(),所以 l,從而 /.故 A，B，C三點(diǎn)共線

8、. §1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)3. 在空間直角坐標(biāo)系O;下，求P(2,3,1)，M(a, b, c)關(guān)于 (1) 坐標(biāo)平面；(2) 坐標(biāo)軸；(3) 坐標(biāo)原點(diǎn)的各個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).解：M (a, b, c)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a, b, c)，M (a, b, c)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a, b, c)，M (a, b, c)關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b, c)，M (a, b, c)關(guān)于x軸平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b,c)，M (a, b, c)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a, b,c)，M (a, b, c)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b, c).類似考慮P (2

9、,3，1)即可.8. 已知矢量, , 的分量如下：(1) 0, 1, 2，0, 2, 4，1, 2, 1；(2) 1, 2, 3，2, 1, 0，0, 5, 6.試判別它們是否共面？能否將表成，的線性組合？若能表示，寫(xiě)出表示式.解:(1) 因?yàn)?0,所以 , , 三矢量共面, 又因?yàn)? 的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，即/，但，故不能將表成, 的線性組合. (2) 因?yàn)?0,所以 , , 三矢量共面.又因?yàn)?, 的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)不成比例，即，故可以將表成, 的線性組合.設(shè) l+m, 亦即0, 5, 6l1, 2, 3+m2, 1, 0從而 解得 l2，m1,所以 2.7已知A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)如下：（1）在標(biāo)架下，

10、（2）在標(biāo)架下，判別它們是否共線？若共線，寫(xiě)出和的線形關(guān)系式.解：（1）因?yàn)?所以 共線（2）設(shè)，但不存在所以不共線.得 所以 .9. 已知線段AB被點(diǎn)C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,試求這個(gè)線段兩端點(diǎn)A與B的坐標(biāo).答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).10.證明：四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面重心所連的線段共點(diǎn)，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)面重心距離的三倍. 用四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)把交點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái).證明：設(shè)四面體A1A2A3A4,Ai對(duì)面重心為Gi, 欲證AiGi交于一點(diǎn)(i1, 2, 3, 4).在AiGi上取一點(diǎn)Pi，使3, 從而，設(shè)Ai (xi, yi, zi)(i1, 2, 3

11、, 4)，則G1,G2,G3,G4,所以P1(,)ºP1(,).同理得P2ºP3ºP4ºP1，所以AiGi交于一點(diǎn)P，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)距離等于這點(diǎn)到對(duì)面重心距離的三倍.§1.6 矢量在軸上的射影1已知矢量與單位矢量的夾角為，且，求射影矢量與射影，又如果，求射影矢量與射影.解 射影= 射影矢量= 射影= 射影矢量=2試證明：射影l(fā)(ll+ln)l1射影l(fā)+射影l(fā)+ln射影l(fā).證明：用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證.當(dāng)n2時(shí)，有射影l(fā)(l1l2)射影l(fā)()+射影l(fā)()l1射影l(fā)+l2射影l(fā).假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即有射影l(fā)()l1射影l(fā)+lk射影l(fā). 欲證當(dāng)nk+1時(shí)

12、亦然. 事實(shí)上射影l(fā)()射影l(fā)()+射影l(fā)()+射影l(fā)()l1射影l(fā)+lk射影l(fā)+lk+1射影l(fā)故等式對(duì)自然數(shù)n成立.§1.7 兩矢量的數(shù)性積1證明：（1） 矢量垂直于矢量；（2）在平面上如 果，且× (i=1,2)，則有.證明：（1） =矢量垂直于矢量 （2） 因?yàn)?,所以，對(duì)該平面上任意矢量lm,()×()(lm)l()+m()l()+m()0,故 ().由的任意性知 .從而 .2已知矢量互相垂直，矢量與的夾角都是，且計(jì)算： 解： 計(jì)算下列各題 （1）已知等邊的邊長(zhǎng)為且求； 已知兩兩垂直且 求的長(zhǎng)和它與的夾角 已知與垂直，求的夾角 已知 問(wèn)系數(shù)取何值時(shí)與垂直？

13、 解 且 設(shè) 設(shè)與的夾角分別為 ， ，即 ，即 得： 得： 頁(yè)后 4. 用矢量法證明以下各題：(1) 三角形的余弦定理 a2b2c22bccosA;(2) 三角形各邊的垂直平分線共點(diǎn)且這點(diǎn)到各頂點(diǎn)等距.證明：（1）如圖1-21，ABC中，設(shè),，且|a，|b,|c. 則,2()22+22×2+22|cosA.此即 a2b2+c22bccosA.(2) 如圖1-22，設(shè)AB, BC邊的垂直平分線PD, PE相交于P, D, E, F為AB, BC, CA的中點(diǎn), 設(shè), , , 則, , , (+), ().因?yàn)?, ,所以 (+)()(22)0,(+)()(22)0,從而有 222, 即

14、 |2|2|2,所以 ()()(22)0,所以 , 且 |.故三角形各邊的垂直平分線共點(diǎn)且這點(diǎn)到各頂點(diǎn)等距. 已知平行四邊形以1，2，-1，1，-2，1為兩邊 求它的邊長(zhǎng)和內(nèi)角 求它的兩對(duì)角線的長(zhǎng)和夾角 解： 或，. 已知的三頂點(diǎn)試求：三邊長(zhǎng) 三內(nèi)角 三中線長(zhǎng) 角的角平分線矢量（中點(diǎn)在邊上），并求的方向余弦和單位矢量 解： ， = ， 設(shè)它的單位矢量為，且 =§1.8 兩矢量的失性1.已知,試求: 解: 4.原式= .原式=92. 證明：（1）(´)22×2，并說(shuō)明在什么情形下等號(hào)成立.（2） 如果+，那么´´´，并說(shuō)明它的幾何意義.

15、如果,.那么與共線. 如果 那么, 共面. 證明: （1） (´)2|´|2|2|2sin2Ð(,)|2|22×2.要使等號(hào)成立, 必須sin2Ð(,)1, 從而sinÐ(,)1, 故Ð(,)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.（2）由+, 有 (+)´´, 但 ´，于是 ´+´,所以 ´´.同理 由 (+)´, 有 ´´,從而 ´´´.其幾何意義是以三角形的任二邊為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的面積相等.()()= =

16、 與共線. =0 0 共面 3. 如果非零矢量(i1,2,3)滿足，´，´，那么,是彼此垂直的單位矢量，并且按這次序構(gòu)成右手系.證明：由矢性積的定義易知,彼此垂直，且構(gòu)成右手系. 下證它們均為單位矢量.因?yàn)?´，´,所以 |, |,所以 |2|.由于 |¹0，從而 |21，|1.同理可證 |1，|1.從而,都是單位矢量.4.已知: ,求與,都垂直,且滿足下列條件的矢量: 為單位矢量 ,其中. 解: 設(shè).=0 =0 =1 由,得: 設(shè). =10 由, 得: .5. 在直角坐標(biāo)系內(nèi)已知三點(diǎn),試求: 三角形的面積 三角形的三條高的長(zhǎng). 解: , ,

17、=, . . , , . , , . 6.已知: , 試求: 以為邊的平行四邊形的面積. 這平行四邊形的兩條高的長(zhǎng). 解: . 7. 用矢量方法證明：（1）三角形的正弦定理.（2）三角形面積的海倫(Heron)公式，即三斜求積公式：D2p(pa)(pb)(pc).式中p(a+b+c)是三角形的半周長(zhǎng)，D為三角形的面積.證明： (1) 如圖1-13，在ABC中，設(shè)，且|a，|b, |c, 則 +,從而有 ´´´,所以 |´|´|´|,bcsinAcasinBabsinC,于是 .(2) 同上題圖，ABC的面積為D|´|,所以

18、D2(´)2.因?yàn)?(´)2+(×)222,所以 D222(×)2.由于 +,從而 +，()22,所以 (222)(c2a2b2),故有 D2a2b2(c2a2b2)22ab(c2a2b2)2ab+(c2a2b2)(a+b)2c22(ab)2(a+b+c)(a+bc)(c+ab)(cab) ×2p×(2p2c)(2p2b)(2p2a).所以 D2=p(p-a)(p-b)(p-c),或 D=.§1.9 三矢量的混合積1. 設(shè), , 為三個(gè)非零矢量，證明(3) (, , +l+m) =(, , );(4 ) (, , ) =2(, , ).證明：(1)左端=(´)×(+l+m)=(´)×+(´)×(l)+(´)×(m)=(´)×+l(´)×+m(´)×=()+l()+m()=()=右端.(2) 左端=(+)´(+)×(+)=´+´+´×(+)=(´)×+