高等數(shù)學思想(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學思想方法第一章 函數(shù)與極限主要的思想方法:(1)函數(shù)的思想高等數(shù)學的核心內(nèi)容是微積分,而函數(shù)是微積分的主要研究對象。我 們在運用微積分解決實際問題時, 首先就要從實際問題中抽象出變量與變量之間 的函數(shù)關(guān)系, 這是一個通過現(xiàn)象抽象出本質(zhì)特征的思維過程, 體現(xiàn)的是科學的抽 象是數(shù)學的一個思維方法和主要特征。(2)極限的思想極限的思想方法是微積分的基礎(chǔ)。極限是變量在無限變化過程中的變 化趨勢, 是一個確定的數(shù)值。 把一些實際問題的確定結(jié)果視為一系列的無限近似 數(shù)值的變化趨勢,即函數(shù)或者數(shù)列的極限,這是一種重要的數(shù)學思想方法。第二章 導數(shù)與微分主要的思想方法:(1)微

2、分的思想微分表示自變量有微小變化時函數(shù)的近似變化, 一般地, 求導的過程就 稱為微分 ; 導數(shù)則反映函數(shù)相對于自變量的瞬時變化率。從導數(shù)與微分的概念中 可看出,在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的體現(xiàn),而這也是微積分 的一個基本思想。(2)數(shù)形結(jié)合的思想書本中在引入導數(shù)與微分概念時, 也討論了它們的幾何意義, 這顯然更 好地幫助我們理解這兩個概念。 通過幾何圖形來直觀地理解概念以及定理的證明 等等內(nèi)容是高等數(shù)學中常用的方法, 這是抽象思維與現(xiàn)象思維有機結(jié)合的典型體 現(xiàn)。(3)極限的思想不難發(fā)現(xiàn)導數(shù)概念的引入與定義深刻地體現(xiàn)了極限的思想。(4)邏輯思維方法在本章中,歸納法(從特殊到一般)

3、,分類(整合)法等邏輯思維方法 都得到了充分的體現(xiàn),理解與掌握此類思維方法有助于良好的理性思維的形成。第三章 中值定理與導數(shù)的應(yīng)用主要的思想方法:導數(shù)本質(zhì)上是一種刻畫函數(shù)在某一點處變化率的數(shù)學模型, 它實質(zhì)上反 映了函數(shù)在該點處的局部變化性態(tài); 而中值定理則是聯(lián)系函數(shù)局部性質(zhì)與整體性 質(zhì)的 “橋梁”, 利用中值定理我們就能夠從函數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì), 具體表現(xiàn)為在理論和實際問題中可利用中值定理把握函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)一點處的 導數(shù)與函數(shù)在該區(qū)間整體性質(zhì)的關(guān)系。導數(shù)是一種工具, 而中值定理 (微分基本定理) 則是微分學的理論基礎(chǔ), 它更加深刻地揭示了可導函數(shù)的性質(zhì)。 一方面, 在中值定理及其

4、推導過程中, 不 僅用到了演繹, 分析, 分類等數(shù)理邏輯方法 (鍛煉提升邏輯思維能力 ) , 而且包含 了一些具體的數(shù)學方法,如輔助函數(shù)的構(gòu)造(湊導數(shù)法,幾何直觀解題法,常數(shù) 替代法,倒推法,乘積因子法) ,這就要求我們要培養(yǎng)直覺思維,發(fā)散思維等創(chuàng) 新思維; 另一方面, 導數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用廣泛, 這要求我們要有 應(yīng)用數(shù) 學 的意識。第四章 不定積分主要的思想方法:積分法是微分法的逆運算,即已知函數(shù)的導數(shù),求原函數(shù)問題 (由一個 函數(shù)的導數(shù)求這個函數(shù) ) 。不定積分的積分法 :(1)直接積分法:直接或?qū)⒈环e函數(shù)恒等變形后利用基本積分公式和不 定積分的性質(zhì)求積分;(2)換元積分法 :1.第

5、一類換元法(湊微分法) ; 2. 第二類換元法(主要 有三角代換,根代換,倒代換) ;(3)分部積分法;(4) 幾種特殊類型函數(shù)的積分:有理函數(shù)的積分, 三角函數(shù)有理式的積 分,簡單無理函數(shù)的積分;(5)其它常見的積分方法:拆項法,加減項法,同乘以 (或除以 ) 一因式 法,降次法,先湊微分后化為同名函數(shù)法等。第五章 定積分主要的思想方法 :定積分的幾何意義是函數(shù) f(x)在區(qū)間 a,b的圖形與 x 軸所界定區(qū)域的 面積。 定積分完整地體現(xiàn)了積分思想一種認識問題, 分析問題, 解決問題的 思想方法, 定積分的概念借助極限工具, 以一種結(jié)構(gòu)式的形式嚴格定義, 理解掌 握這種通過“分割” , “近

6、似” 。 “求和” , “取極限”的數(shù)學思想對后面重積分,曲 線積分與曲面積分的學習有重要作用。 定積分與微分學不僅是高等數(shù)學的重要內(nèi) 容,也是研究科學技術(shù)問題的數(shù)學工具?！胺指睢?, “近似” , “求和” , “取極限”所反映出來的積分思想是微積分 的核心思想。第六章 定積分的應(yīng)用主要的思想方法:定積分的應(yīng)用實質(zhì)上是運用定積分理論來分析與解決一些幾何與物理 學中的問題。定積分解決實際問題的方法 :(1)根據(jù)定積分的定義,利用分割,近似替代,求和,取極限這四個步 驟來推導出所求量的積分表達式;(2) “元素法” :將實際問題(幾何,物理)轉(zhuǎn)化為定積分,如計算平面 區(qū)域的面積,平面曲線的弧長,

7、用截面面積計算體積,計算旋轉(zhuǎn)體的體積,計算 變力做功等。在本章的學習中可以增強我們的應(yīng)用數(shù)學的意識并且有助于我們提高 我們應(yīng)用定積分解決實際問題的能力。第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)主要的思想方法:空間解析幾何借助于空間坐標, 建立空間的曲面曲線方程, 利用代數(shù)方 法研究圖形的幾何性質(zhì); 向量代數(shù)在高等數(shù)學中為空間解析幾何服務(wù), 它實質(zhì)是 作為一種研究空間圖形性質(zhì)的重要工具。 空間解析幾何與向量代數(shù)是學習多元函 數(shù)微積分的基礎(chǔ), 學習這部分知識的主要目的是為研究多元函數(shù)微積分理論提供 一個直觀的空間幾何圖形。借助向量研究空間圖形的性質(zhì), 建立空間圖形的方程, 這是本章中體現(xiàn) 的一種重要的數(shù)學思

8、想方法, 我們要樹立應(yīng)用向量這一重要的數(shù)學工具研究與解 決問題的意識;此外本章中最基本的數(shù)學思想是“數(shù)形結(jié)合”的思想。第八章 多元函數(shù)微分學主要的思想方法:多元函數(shù)微分學是一元函數(shù)微分學理論的推廣與發(fā)展, 因此運用類比的 思想方法來學習這一章內(nèi)容會起到事半功倍的作用。 我們要培養(yǎng)類比思想這一創(chuàng) 新的思維。第九章 重積分主要的思想方法:本章中著重討論的二重積分與三重積分的理論是多元函數(shù)積分學的重 要內(nèi)容。 重積分與定積分一樣, 都是某種特殊形式和的極限, 基本思想是 “分割, 近似,求和,取極限” ,定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù),積分區(qū)域是一個確定的 區(qū)間,而二,三重積分的被積函數(shù)是二,三元函數(shù),

9、積分區(qū)域是一個平面有界閉 區(qū)域和一個空間有界閉區(qū)域,因此重積分是一元函數(shù)定積分的推廣與發(fā)展。 重積分的計算方法中體現(xiàn)的基本思想是:將重積分化為累次積分, 而化 為累次積分的關(guān)鍵是由被積函數(shù)的積分區(qū)域的特性來確定定積分的次序和積分 限。第十章 曲線積分與曲面積分主要的思想方法:曲線積分與曲面積分是多元函數(shù)積分學的重要組成部分, 對弧長的曲線 積分和對面積的曲面積分是定積分和二重積分的直接推廣, 兩者又均有物理學背 景, 因此它們在解決幾何與物理學的實際應(yīng)用問題中有重要作用。 在計算上, 將 平面或空間曲線積分化為定積分的計算, 將空間曲面積分化為投影區(qū)域上的二重 積分的計算; 在理論上, 建立了

10、平面閉曲線上對坐標的曲線積分與該曲線圍成的 閉區(qū)域上的二重積分的關(guān)系, 建立了閉曲面上對坐標的曲面積分與該閉曲面圍成 的空間閉區(qū)域上的二重積分的關(guān)系。 這些就幫助我們更加深刻地掌握高等數(shù)學的 思想方法。格林公式的思想方法:格林公式實現(xiàn)了閉區(qū)域上的二重積分與區(qū)域的邊 界曲線上的曲線積分的相互轉(zhuǎn)化,它可視作是定積分中的牛頓 -萊布尼茨公式的 一個推廣。高斯公式的思想方法:高斯公式描述了在空間立體上的三重積分與其邊 界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系,它可視作是牛頓 -萊布尼茨公式和格林公式的 推廣,同時它還是計算曲面積分的一個重要手段。注意在曲面不封閉的情況下, 應(yīng)先添補曲面構(gòu)成封閉曲面,再利用高斯公式

11、,這是計算曲面積分的常用方法。第十一章 無窮級數(shù)主要的思想方法:無窮級數(shù)是一種研究與表示函數(shù)及數(shù)值計算的專門工具與重要方 法,是高等數(shù)學的一個重要組成部分。在本章中,收斂與發(fā)散及其重要理論是建立在極限的基礎(chǔ)之上的, 函數(shù)展開成冪級數(shù)的主要依據(jù)是微分學中的泰勒定理, 冪級數(shù)的運算中要用到求 導數(shù)與定積分的計算, 由此可見, 無窮級數(shù)與微積分的其它內(nèi)容之間有非常緊密 的聯(lián)系。第十二章 常微分方程主要的思想方法:常微分方程是指含有一元未知函數(shù)及其導數(shù)或微分的方程, 它是研 究函數(shù)的重要工具。建立常微分方程要用到導數(shù)的概念, 而解常微分方程則要用到積分 法,因此常微分方程是在微積分基礎(chǔ)上的發(fā)展與應(yīng)用。

12、每種類型的常微分方程都有廣泛的實際背景, 因此我們要有應(yīng)用數(shù) 學的意識, 通過建立數(shù)學模型來求解實際問題中的微分方程, 在求解前需要分析 與明確常微分方程的類型, 并在掌握各種微分方程的相應(yīng)的解法的基礎(chǔ)上求解答 案, 同時掌握變量替換法, 常數(shù)變易法, 待定系數(shù)法等具體的數(shù)學方法對求解微 分方程有重要的作用。七大基本數(shù)學思想方法學習數(shù)學可以簡要地分為三個層次(或稱境界) :第一層次,深刻 和熟練地掌握基礎(chǔ)知識和基本概念及其本質(zhì)并且初步擁有運用數(shù)學思想方法的 意識, 明確各類基礎(chǔ)題型的解題方法與步驟, 在不斷的練習中鍛煉與加強自己的 準確的抽象運算能力和嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰? 第二層次, 在進一步

13、加深對數(shù)學思 想方法的理解的基礎(chǔ)上, 進行專題性質(zhì)的知識總結(jié)從中發(fā)現(xiàn)各部分數(shù)學內(nèi)容內(nèi)在 的緊密聯(lián)系并逐漸做到掌握與運用, 與此同時, 加強數(shù)學建模的意識與應(yīng)用能力, 能夠發(fā)現(xiàn)實際問題中的數(shù)學模型并憑此解決聯(lián)系生產(chǎn)生活實際的應(yīng)用問題; 第三 層次, 深刻地理解與把握各類數(shù)學思想方法, 對某一具體問題有更加深層的研究 (譬如求極限的方法的歸納總結(jié), 涉及絕對值的問題, 高等數(shù)學中應(yīng)用微積分證 明不等式的探討等等) ,在面對新情境新背景下的理論或?qū)嶋H問題時,既能快速 明確問題中的知識載體, 也能在數(shù)學解題能力得到提升與強化的基礎(chǔ)上, 能夠綜 合運用基礎(chǔ)知識與數(shù)學思想方法, 分析與解決具有綜合性的新數(shù)

14、學問題 (平時就 需要加強這一方面的能力) 或更高知識層次的數(shù)學問題 (為此可略覽碩士階段數(shù) 學知識做個大概的了解) 。以此提高數(shù)學思維品質(zhì)(想象力,創(chuàng)新思維,抽象性, 靈活性,深刻性) ?；靖拍钆c基礎(chǔ)知識是“載體” ,解題方法是“手段” ,數(shù)學思想才 是“深化與核心” ,是分析與解決問題的“靈魂” ,深刻理解與熟練運用數(shù)學思想 有助于我們鍛煉與形成高層次的數(shù)學思維,高水平的數(shù)學素質(zhì)。數(shù)學思想是指人們對數(shù)學理論與內(nèi)容的本質(zhì)的認識, 而數(shù)學方法則 是數(shù)學思想的具體化形式,兩者本質(zhì)相同,因此通常混稱為“數(shù)學思想方法” 。 下面是七大基本的數(shù)學思想方法(前四個為常用的思想方法) :一 . 函數(shù)與方

15、程思想1. 函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次的抽象,概括與提煉,它要求 我們要用函數(shù)的概念與性質(zhì)去分析問題,轉(zhuǎn)化問題和解決問題;在實際問題中,函數(shù)思想通過提出該問題中的數(shù)學特征, 建立與構(gòu)造函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學模型 (方 程, 不等式或方程與不等式的混合組) 并利用函數(shù)的性質(zhì), 最后通過求解函數(shù)解 析式來解決問題。2. 方程思想:實際問題 數(shù)學問題 代數(shù)問題 方程問題;方程思想 是解決各類計算問題的基本思想,也是運算能力的基礎(chǔ)。二 . 數(shù)形結(jié)合思想1. 數(shù)學研究的對象是數(shù)量關(guān)系與空間形式,即數(shù)與形兩個方面,在 高等數(shù)學中,關(guān)于空間解析幾何的內(nèi)容就是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。2. 數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì):將抽象

16、的數(shù)學語言與直觀的幾何圖形有機結(jié)合; 關(guān)鍵在于代數(shù)問題與幾何圖形之間的轉(zhuǎn)化, 而代數(shù)問題幾何化 (數(shù)到形的 轉(zhuǎn)化) 相對簡便, 幾何問題代數(shù)化則需要嚴密的推理論證, 它考察我們的邏輯推 理能力的高低。3. 運用數(shù)形結(jié)合思想分析與解決問題的三點注意:掌握相關(guān)概念與運算的幾何意義及幾何圖形 (曲線, 曲面 ) 的代數(shù)特征, 對具體題目而言, 要分析 條件與結(jié)論的幾何意義和代數(shù)意義; 恰當設(shè)參, 合理用參, 建立關(guān)系, 由數(shù)思形, 以形想數(shù),完成數(shù)與形的轉(zhuǎn)化;正確確定參數(shù)的取值范圍。三 . 分類討論思想1. 分類是自然科學研究中的一種邏輯方法, 是一種重要的數(shù)學思想,也是一種重要的解題策略, 它體現(xiàn)

17、了化整為零, 積零為整的思想與歸類整理的方 法。2. 分類討論分為三種情形 :問題涉及的數(shù)學概念是分類進行定義的,如絕對值問題,此為概念型分類討論題型;問題所涉及的數(shù)學定理,公式與 運算性質(zhì), 法則有范圍或有條件限制抑或是分類給出的, 此為性質(zhì)型分類討論題 型; 問題中含字母參數(shù), 這需要根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論, 此為含參型 分類討論題型。3. 進行科學劃分(不漏不重)是解決問題的手段,分類研究才是根 本目的。4. 解決分類討論問題的基本方法與步驟為:首先確定討論對象及所要討論對象的全體的范圍; 其次具體問題具體分析, 選取適當?shù)姆诸悩藴? 合理 分類; 對所分類逐步進行討論, 分級進

18、行, 獲得階段性結(jié)果; 最后進行歸納總結(jié), 綜合得出結(jié)論。四 . 化歸與轉(zhuǎn)化思想1. 化歸與轉(zhuǎn)化的目的:將復雜問題化歸為簡單問題,將較難問題化 為較易問題,將未解決的新背景下的陌生問題轉(zhuǎn)化為已解決的熟悉問題。2. 此數(shù)學思想靈活度高,具有多樣性,無統(tǒng)一模式,我們要用動態(tài) 思維來尋找有利于解決問題的變換(轉(zhuǎn)化)途徑與方法。3. 常用的變換方法:一般與特殊的轉(zhuǎn)化,繁與簡的轉(zhuǎn)化,靈活巧妙 地構(gòu)造轉(zhuǎn)化,命題的等價轉(zhuǎn)化。4. 等價轉(zhuǎn)化思想方法:它可以實現(xiàn)數(shù)與數(shù),形與形,數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)換; 在分析與解決實際問題的過程中, 實現(xiàn)普通語言向數(shù)學語言的翻譯; 函數(shù), 方程,不等式之間的恒等變形。消去法,換元法,數(shù)形結(jié)合法,求值求范圍問題 都體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想。五 . 特殊與一般思想1.特殊到一般的本質(zhì):通過對個例的認識與研究, 形成對事物本質(zhì)的 認知; 這是一個由淺入深, 由現(xiàn)象到本質(zhì), 由局部到整體, 由實踐到理論的過程