高三導(dǎo)數(shù)壓軸題題型歸納

1、導(dǎo)數(shù)壓軸題題型1. 高考命題回顧例1已知函數(shù)f(x)exln(xm)（2013全國(guó)新課標(biāo)卷）(1)設(shè)x0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m2時(shí)，證明f(x)0.(1)解f(x)exln(xm)f(x)exf(0)e00m1，定義域?yàn)閤|x1，f(x)ex，顯然f(x)在(1,0上單調(diào)遞減，在0，)上單調(diào)遞增(2)證明g(x)exln(x2)，則g(x)ex(x2)h(x)g(x)ex(x2)h(x)ex0，所以h(x)是增函數(shù)，h(x)0至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，又g()0，所以h(x)g(x)0的唯一實(shí)根在區(qū)間內(nèi)，設(shè)g(x)0的根為t，則有g(shù)(t)et0，所以，ett2e

2、t，當(dāng)x(2，t)時(shí)，g(x)g(t)0，g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)ming(t)etln(t2)t0，當(dāng)m2時(shí)，有l(wèi)n(xm)ln(x2)， 所以f(x)exln(xm)exln(x2)g(x)g(x)min0.例2已知函數(shù)滿足（2012全國(guó)新課標(biāo)）(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)若，求的最大值。（1） 令得： 得： 在上單調(diào)遞增 得：的解析式為 且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）得 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增 時(shí)，與矛盾 當(dāng)時(shí)， 得：當(dāng)時(shí)， 令；則 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，的最大值為例3已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。（2011全國(guó)新課標(biāo)）（）求、的值；（）如果當(dāng)，且時(shí)，求的取值范圍。解（） 由

3、于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故即解得，。（）由（）知，所以?？紤]函數(shù)，則。(i)設(shè)，由知，當(dāng)時(shí)，h(x)遞減。而 故當(dāng)時(shí)， ，可得；當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）0從而當(dāng)x0,且x1時(shí)，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）設(shè)0k0,故 (x）0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時(shí)，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故當(dāng)x （1，+）時(shí)，h（x）0，可得 h（x）0時(shí)恒成立，求正整數(shù)k的最大值.例14（創(chuàng)新題型）設(shè)函數(shù)f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()若x=0是F(x)的極值點(diǎn),求a的值；()當(dāng) a=1時(shí),設(shè)P(x1,f(x1), Q(x2, g(x

4、 2)(x10,x20), 且PQ/x軸,求P、Q兩點(diǎn)間的最短距離；()若x0時(shí),函數(shù)y=F(x)的圖象恒在y=F(x)的圖象上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍例15(圖像分析，綜合應(yīng)用) 已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設(shè)（）求的值；（）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；（）方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的范圍導(dǎo)數(shù)與數(shù)列例16（創(chuàng)新型問題）設(shè)函數(shù)，是的一個(gè)極大值點(diǎn)若，求的取值范圍；當(dāng)是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè)是的3個(gè)極值點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)，可找到，使得的某種排列（其中=）依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的及相應(yīng)的；若不存在，說明理由導(dǎo)數(shù)與曲線新題型例17（形數(shù)轉(zhuǎn)換）已知函數(shù), .(1)若, 函數(shù) 在其定義

5、域是增函數(shù),求b的取值范圍;(2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)函數(shù)的最小值;(3)設(shè)函數(shù)的圖象C1與函數(shù)的圖象C2交于點(diǎn)P、Q,過線段PQ的中點(diǎn)R作軸的垂線分別交C1、C2于點(diǎn)、,問是否存在點(diǎn)R,使C1在處的切線與C2在處的切線平行?若存在,求出R的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.例18（全綜合應(yīng)用）已知函數(shù).(1)是否存在點(diǎn),使得函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)的圖像上?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;(2)定義,其中,求;(3)在(2)的條件下,令,若不等式對(duì)且恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)綜合例19（換元替代，消除三角）設(shè)函數(shù)（），其中（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處

6、的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值和極小值；（）當(dāng)， 時(shí)，若不等式對(duì)任意的恒成立,求的值。創(chuàng)新問題積累例20已知函數(shù). I、求的極值. II、求證的圖象是中心對(duì)稱圖形.III、設(shè)的定義域?yàn)?是否存在.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是?若存在,求實(shí)數(shù)、的值；若不存在，說明理由導(dǎo)數(shù)壓軸題題型歸納 參考答案例1解：(1)時(shí)，由，解得. 的變化情況如下表：01-0+0極小值0 所以當(dāng)時(shí)，有最小值.(2)證明：曲線在點(diǎn)處的切線斜率 曲線在點(diǎn)P處的切線方程為. 令，得， ，即. 又， 所以.例2，令當(dāng)時(shí)，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，由，即，解得.當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，,時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減

7、；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),函數(shù)在遞減,遞增,遞減.當(dāng)時(shí)，在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是增函數(shù)，所以對(duì)任意，有，又已知存在，使，所以，（）又當(dāng)時(shí)，與（）矛盾；當(dāng)時(shí)，也與（）矛盾；當(dāng)時(shí)，.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.例3解：根據(jù)題意，得即解得 所以 令，即得12+增極大值減極小值增2因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，則對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，都有，所以所以的最小值為4因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為則因?yàn)?，所以切線的斜率為則=，即因?yàn)檫^點(diǎn)可作曲線的三條切線，所以方程有

8、三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解所以函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)則令，則或02+增極大值減極小值增則 ，即，解得例4解：， 令（舍去）單調(diào)遞增；當(dāng)遞減. 上的極大值.由得設(shè)，依題意知上恒成立， 上單增，要使不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng) 由令，當(dāng)上遞增；上遞減，而，恰有兩個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于 例5解：a，令得或,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.證明：當(dāng)時(shí), ,又不妨設(shè) ， 要比較與的大小，即比較與的大小，又， 即比較與的大小 令,則,在上位增函數(shù)又， ，即 ， 由題意得在區(qū)間上是減函數(shù) 當(dāng)， 由在恒成立設(shè)，則在上為增函數(shù)，. 當(dāng)， 由在恒成立設(shè)，為增函數(shù),綜上：a的取值范圍為.例6解：（1）,， 即在上恒成立設(shè),，時(shí)，單調(diào)減，單調(diào)增，所以時(shí)，

9、有最大值.，所以.（2）當(dāng)時(shí)，,所以在上是增函數(shù)，上是減函數(shù).因?yàn)?，所以?同理.所以又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，取等號(hào).又，,所以,所以，所以：.例7（I）由，因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得極大值，所以，所以；（II）由下表：+0-0-遞增極大值遞減極小值遞增 依題意得：，解得：所以函數(shù)的解析式是： （III）對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有在區(qū)間-2，2有：函數(shù)上的最大值與最小值的差等于81，所以例8解：（），當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù) 在 單調(diào)遞減，在上沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，得，得，在上遞減，在上遞增，即在處有極小值當(dāng)時(shí)在上沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)極值點(diǎn) （）函數(shù)在處取得極值， 令，可得在上遞減，在上遞增，即（）證明：， 令，則只

10、要證明在上單調(diào)遞增，又，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增 ，即，在上單調(diào)遞增，即，當(dāng)時(shí)，有 例9 解：（I）的斜率為1，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），的方程為又與函數(shù)的圖象相切，有一解。由上述方程消去y，并整理得依題意，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，解之，得m=4或m=-2， （II）由（I）可知，單調(diào)，當(dāng)時(shí)，單減。，取最大值，其最大值為2。 （III）證明，當(dāng)時(shí)，例10解：（1）函數(shù)的定義域是由已知令，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由（1）可知當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，綜上所述，（3）由（1）知當(dāng)時(shí)所以在時(shí)恒有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立因

11、此對(duì)任意恒有因?yàn)?，所以，即因此?duì)任意，不等式例11解：（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 函數(shù)在處取得極大值，故. （）令， 則.函數(shù)在上可導(dǎo)，存在，使得.，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，；故對(duì)任意，都有. （）用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，且，由（）得，即，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，設(shè)正數(shù)滿足，令， 則，且. 當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.綜上由，對(duì)任意，結(jié)論恒成立. 例12 解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，故函數(shù)在上是增函數(shù)，當(dāng)，若，在上非負(fù)（僅當(dāng)，x=1時(shí)，），故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時(shí)若，當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)，此時(shí)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)是增函數(shù)故若，在上非正（僅當(dāng)，x=e時(shí)，

12、），故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時(shí)不等式，可化為, 且等號(hào)不能同時(shí)取，所以，即，因而（）令（），又，當(dāng)時(shí)，從而（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），所以在上為增函數(shù)，故的最小值為，所以a的取值范圍是例13 解：（1）定義域（2）單調(diào)遞減。當(dāng)，令，故在（1，0）上是減函數(shù)，即，故此時(shí)在（1，0）和（0，+）上都是減函數(shù)（3）當(dāng)x0時(shí)，恒成立，令又k為正整數(shù)，k的最大值不大于3下面證明當(dāng)k=3時(shí)，恒成立當(dāng)x0時(shí) 恒成立 令，則，當(dāng)當(dāng)取得最小值當(dāng)x0時(shí)， 恒成立，因此正整數(shù)k的最大值為3例14解：()F(x)= ex+sinxax,.因?yàn)閤=0是F(x)的極值點(diǎn),所以. 又當(dāng)a=2時(shí),若x0, .x=0是F(x)的極小

13、值點(diǎn), a=2符合題意. () a=1, 且PQ/x軸,由f(x1)=g(x2)得:,所以.令當(dāng)x0時(shí)恒成立.x0,+時(shí),h(x)的最小值為h(0)=1.|PQ|min=1. ()令則.因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)恒成立, 所以函數(shù)S(x)在上單調(diào)遞增, S(x)S(0)=0當(dāng)x0,+時(shí)恒成立; 因此函數(shù)在上單調(diào)遞增, 當(dāng)x0,+時(shí)恒成立.當(dāng)a2時(shí),在0,+單調(diào)遞增,即.故a2時(shí)F(x)F(x)恒成立. 例15 解:（）(1) 當(dāng)時(shí)，上為增函數(shù) 故 當(dāng)上為減函數(shù)故 即. .（）方程化為，令， 記 （）方程化為，令， 則方程化為 （）方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，由的圖像知，有兩個(gè)根、， 且 或 ， 記則 或 例16

14、 解： （）時(shí)，令，設(shè)是的兩個(gè)根， （1）當(dāng)或時(shí)，則不是極值點(diǎn)，不合題意； （2）當(dāng)且時(shí)，由于是的極大值點(diǎn)，故 ，即，()解：，令，于是，假設(shè)是的兩個(gè)實(shí)根，且由（）可知，必有，且是的三個(gè)極值點(diǎn)，則，假設(shè)存在及滿足題意，（1）當(dāng)?shù)炔顣r(shí)，即時(shí)，則或，于是，即此時(shí)或 （2）當(dāng)時(shí)，則或若，則，于是，即兩邊平方得，于是，此時(shí)，此時(shí)=若，則，于是，即兩邊平方得，于是，此時(shí)此時(shí)綜上所述，存在b滿足題意，當(dāng)b=a3時(shí)，時(shí)，時(shí)，.例17解:(1)依題意:在(0,+)上是增函數(shù), 對(duì)x(0,+)恒成立, (2)設(shè) 當(dāng)t=1時(shí),ym i n=b+1; 當(dāng)t=2時(shí),ymi n=4+2b 當(dāng)?shù)淖钚≈禐?(3)設(shè)點(diǎn)P、Q

15、的坐標(biāo)是則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為C1在點(diǎn)M處的切線斜率為 C2在點(diǎn)N處的切線斜率為 假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行,則 設(shè) 這與矛盾,假設(shè)不成立.故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行 例18 (1)假設(shè)存在點(diǎn),使得函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)的圖像上,則函數(shù)圖像的對(duì)稱中心為. 由,得, 即對(duì)恒成立,所以解得 所以存在點(diǎn),使得函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的點(diǎn)也在函數(shù)的圖像上. (2)由(1)得. 令,則. 因?yàn)? 所以, 由+得,所以. 所以. (3)由(2)得,所以. 因?yàn)楫?dāng)且時(shí),. 所以當(dāng)且時(shí),不等式恒成立. 設(shè),則. 當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增. 因?yàn)?所以, 所以當(dāng)且時(shí),. 由,得,解得. 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.例19 解：當(dāng)時(shí)，得，且，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，整理得（）解：令，解得或由于，以下分兩種情況討論（1）若，當(dāng)變化時(shí)，的正負(fù)如下表：因此，函數(shù)在處取得極小值，且；函數(shù)在處取得極大值，且（2）若，當(dāng)變化時(shí)，的正負(fù)如下表：因此，函數(shù)在處取得極小值，且；函數(shù)在處取得極大值，且（）證明：由，得，當(dāng)時(shí)，由（）知，在上是減函數(shù)，要使，只要，即設(shè)，則函數(shù)在上的最大值為要使式恒成立，必須，即或所以，在區(qū)間上存在，使得對(duì)任意的恒成立例20 (