Leslie人口模型及例題詳解

1、Leslie人口模型現(xiàn)在我們來建立一個(gè)簡單的離散的人口增長模型，借用差分方程模型，僅考慮女性人口的發(fā)展變化。如果僅把所有的女性分成為未成年的和成年的兩組，則人口的年齡結(jié)構(gòu)無法刻劃，因此必須建立一個(gè)更精確的模型。20世紀(jì)40年代提出的Leslie人口模型，就是一個(gè)預(yù)測人按年齡組變化的離散模型。模型假設(shè)(1)將時(shí)間離散化，假設(shè)男女人口的性別比為1:1,因此本模型僅考慮女性人口的發(fā)展變化。假設(shè)女性最大年齡為S歲，將其等間隔劃分成 m 個(gè)年齡段，不妨假設(shè)S為 m 的整數(shù)倍,每隔S/m年觀察一次，不考慮同一時(shí)間間隔內(nèi)人口數(shù)量的變化；(2)記 n)為第i個(gè)年齡組t次觀察的女性總?cè)藬?shù)，記n(t)ni(t),

2、n2(t),nm(t)第i年齡組女性生育率為 bi(注：所謂女性生育率指生女率)，女性死亡率為 di,記S1di,假設(shè) bi,di不隨時(shí)間變化(3)不考慮生存空間等自然資源的制約，不考慮意外災(zāi)難等因素對人口變化的影響(4)生育率僅與年齡段有關(guān)，存活率也僅與年齡段有關(guān)。建立模型與求解根據(jù)以上假設(shè)，可得到方程mn(t1)=bni(t)1 1ni1(t1)Sini(t)i1,2.,m-1寫成矩陣形式為n(t1)Ln(t)b2bm1bm000S2000Sm10n(0)ni(0),n2(0),*(0)假設(shè) n(0)n(0)和矩陣 L L 已經(jīng)由統(tǒng)計(jì)資料給出，則n(t)Ltn(0),t0,1,2,L為了討

3、論女性人口年齡結(jié)構(gòu)的長遠(yuǎn)變化趨勢，我們先給出如下兩個(gè)條件:(i)S Si 0,i i=1,2,，m m-1;(ii)b bi0,i=1,2,，m,且 b bi不全為零。易見，對于人口模型，這兩個(gè)條件是很容易滿足的。在條件(i)、(ii)下，下面的結(jié)果是成立的：定理1L L 矩陣有唯一的單重的正的特征根 0,0,且對應(yīng)的一個(gè)特征向量為2,m1-n*=1,S S1/0,S S1S S2/0,，S S1S S2 S Sm-1/0T(3)定理2若1是矩陣L的任意一個(gè)特征根，則必有 1 11 10。定理3若L第一行中至少有兩個(gè)順次的bi,bi10,則(i)若1是矩陣L的任意一個(gè)特征根，則必有|10。(i

4、ii) Jimn(t)/0=cn*,(4)其中 c c 是與 n(0)n(0)有關(guān)的常數(shù)。定理1至定理3的證明這里省去。由定理3的結(jié)論知道，當(dāng) t t 充分大時(shí)，有n(t)ct0n*(5)biSl其中，L L=0(1)(2)定理4記ibi&SzLSi,q(q()=i/+2/2+m/m，則是 L L 的非零特征根的充分必要條件為q()=1(6)所以當(dāng)時(shí)間充分大時(shí)，女性人口的年齡結(jié)構(gòu)向量趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即年齡結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定形態(tài)，而各個(gè)年齡組的人口數(shù)近似地按-1的比例增長。由(5)式可得到如下結(jié)論：(i)當(dāng)1時(shí)，人口數(shù)最終是遞增的；(ii)當(dāng)1時(shí)，人口遞增；當(dāng) R R1時(shí)，人口遞減。Leslie

5、模型有著廣泛應(yīng)用，這里我們給出一個(gè)應(yīng)用的例子，供大家參考。公園大象管理南非的一家大型自然公園放養(yǎng)了大約11000頭大象，管理部門希望為大象創(chuàng)造一個(gè)健康的生存環(huán)境，將大象的總數(shù)控制在11000頭左右。每年，公園的管理人員都要統(tǒng)計(jì)當(dāng)年大象的總數(shù)。過去20年里，公園每年都要處理一些大象，以便保持大象總數(shù)維持在11000頭左右，通常都是采用捕殺或者遷移的方法來實(shí)現(xiàn)。統(tǒng)計(jì)表明，每年約處理600-800頭大象。近年來，公眾強(qiáng)烈反對捕殺大象行為，而且即使是遷移少量的大象也是不允許的。但是一種新的給大象打避孕針的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕針后，兩年內(nèi)不再懷孕。公園有一些關(guān)于大象的資料，供建模參考：

6、1幾乎不再遷入或遷出大象；2目前性別比接近1:1,采取控制后，也希望維持這個(gè)比例；3初生象的性別比也是大約1:1,生雙胎的比例為1.35%4母象初次懷孕大約在10-12歲,一直到60歲大約每3.5年懷胎一次，60歲后不再受孕，懷孕期為22個(gè)月；5避孕針可能引起大象每個(gè)月都發(fā)情，但不受孕，因?yàn)榇笙笸ǔＣ?.5年生育1次，所以按月循壞的方案是不足取的；6避孕針對母象沒有副作用，打了避孕針的母象2年內(nèi)不再受孕；7初生象存活到1歲的比例為70%-80%,此后，直至60歲前,存活率都比較均勻，大約在95%以上，大象一般只活到70歲；8公園里不存在捕殺行為，偷獵可以不考慮；公園管理部門有一份過去兩年移出公

7、園大象的粗略統(tǒng)計(jì)，不幸的是沒有捕殺或公園大象的具體數(shù)據(jù)；你的任務(wù)是，構(gòu)造一個(gè)模型，利用模型研究如何采用避孕措施控制公園大象的總數(shù).同時(shí)需要完成以下任務(wù)：1建立并利用*II型推算2-60歲大象可能的存活率，以及目前的大象年齡結(jié)構(gòu)；2估計(jì)每年需要避孕多少大象，才能保證大象總數(shù)控制在11000頭左右，說明數(shù)據(jù)不確定性對你的結(jié)論的影響，評價(jià)一下年齡結(jié)構(gòu)的變化以及對旅游的影響，（你可能被要求觀察30-60年）；3假設(shè)每年可以移出50-300頭大象， 避孕大象數(shù)可以減少多少， 評價(jià)如何根據(jù)經(jīng)濟(jì)效益平衡兩種方案；4有一些反對觀點(diǎn)認(rèn)為，假如出現(xiàn)疾病或者失控的偷獵，使大象總數(shù)突然大幅度下降，即使停止避孕，也會對

8、大象群的恢復(fù)存在不良影響，研究并回答這個(gè)問題；5公園公管理部門正在構(gòu)造模型，特別希望批駁那些以缺乏完整數(shù)據(jù)為由而嘲笑利用模型指導(dǎo)決策的觀點(diǎn).希望你的模型包括一份技術(shù)報(bào)告能給公園管理部門提一些建議，提高公園管理部門的信心，除此之外，你的報(bào)告，還應(yīng)該包括一個(gè)詳細(xì)的技術(shù)流程（最多3頁）回答公共關(guān)心的問題。6假如非洲其它公園對你的模型感興趣，有意利用你的模型，請為公園大象數(shù)在300-25000頭規(guī)模的公園提供一份避孕計(jì)劃，順便考慮一下存活率稍有不同或者可以有遷移的情況附過去兩年的遷出數(shù)據(jù)年齡0123456789總量1103777170686158515251母象15036412931302824222

9、9總量298746961605452595857母象257343329342827312525年齡10111213141516171819總量151505148474948474342母象127272627262528271925總量260636460635952554950母象226363830333424302130年齡20212223242526272829總量142373941424345484947母象118161924172521262927總量253576553565053494340母象229274023292421262416年齡30313233343536373839總量1

10、46424444464947484641母象2422202224 24 23252124總量3835373320 33 30292926母象1716181815 18 1217 1613年齡404142434546474849總量4142 433834 3433303526母象2419 2620201516132011總量1024 25 2221 2211212119母象11 14 1010 121112年齡50515253545556575859總量2118 14母象10總量1510976母象年齡6061626364656667686970總量母象總量母象假設(shè)與分析1大象性別比接近初生象的性

11、別比也是大約,采取控制后，也希望維持這個(gè)比例;2過去兩年遷出的大象是隨機(jī)抽樣，其結(jié)構(gòu)反映了象群總體的年齡結(jié)構(gòu);3避孕是隨機(jī)的，母象是否避孕是不可識別的，假設(shè)各個(gè)年齡的母象是等比例避孕的，比例系數(shù)為k,僅通過調(diào)節(jié)k來控制公園大象數(shù)量；4母象初次懷孕大約在10-12歲簡化假設(shè)大象初孕時(shí)間為11歲，當(dāng)前狀態(tài)下，成年象的成活率為s,生育母象率為r,老年象的成活率是線性逐漸遞減的，因此其成活率可表示為Sis(70i)/10,(60i70)設(shè)初生象活到1歲的存活率為 S0O5避孕針對母象沒有副作用，打了避孕針的母象2年內(nèi)不再受孕；且無論打避孕針前母象是否懷孕，一旦打了避孕針，母象就被避孕或中止懷孕，平均每

12、年有比例的母象處于避孕狀態(tài)；每年母象的避孕率為，每年的避孕方案時(shí)瞬時(shí)完成的。6假設(shè)大象的年齡結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的。數(shù)據(jù)處理與分析(1)2-60歲大象的存活率與年齡結(jié)構(gòu)母象生育率為r=1/3.5+(1+0.0135)/2=0.1448頭/年12歲的母象生育母象的生育率為 r/6。由題設(shè)知道存活率 s(0.95,0.99)。以下是第一年遷移出0至70歲大象數(shù)據(jù)x1=103,77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51,48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,4

13、1,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4,4,4,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2;以下是第二年遷移的0-70歲大象數(shù)據(jù)x2=98,746961605452595857606364606359525549506553565053494340383537332033302929261024252221221121211915510976547023020201000;x=x1+x2;x0=x/norm(x,1);以下是第一年遷移的0-59歲母象數(shù)據(jù)y1=5036412931302824222927272627262528271925

14、18161924172521262927242220222424232521242419262020151613201110984443032;以下是第二年遷移的0-59歲母象數(shù)據(jù)y2=57343329342827312525263638303334243021302927402329242126241617161818151812171613611141010128111296454423240;考慮到有些數(shù)據(jù)較小及抽樣的隨機(jī)性，我們?nèi)纱纬闃拥钠骄底鳛榉治龅幕緮?shù)據(jù)。t1=x1(2:11);t2=x2(2:11);tt=t1+t2;tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=

15、tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9672t1=x1(12:21);t2=x2(12:21);tt=t1+t2;tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9820t1=x1(12:31);t2=x2(12:31);tt=t1+t2;tt1=tt(1:19);tt2=tt(2:20);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=53570.9859t1=x1(12:41);t2=x2(12:41);tt=t1+t2;tt1=tt(1:29);tt2=tt(2:30);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9

16、765t1=x1(12:51);t2=x2(12:51);tt=t1+t2;tt1=tt(1:39);tt2=tt(2:40);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9771t1=x1(12:60);t2=x2(12:60);tt=t1+t2;tt1=tt(1:48);tt2=tt(2:49);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9719n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(2)=0.75;fori=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.98;endn1;fori=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);endn1;N1=n

17、1(12:50);xx=x(12:50);xx=100*xx/norm(xx,1);N1=100*N1/norm(N1,1);t=1:39;plot(t,N1,t,xx);axis(10,40,0,5);title(圖1)通過以上分析大致可以得到，1-60歲大象的存活率約為0.98。0-70歲年齡結(jié)構(gòu)向量見圖2。y0=100*x0/norm(x0,1);a=0:70;bar(a,y0,stacked);title(圖2)下面我們?nèi)?S00.75,StS20.98。m1=zeros(1,71);m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.029;fori=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.9

18、77/1.029;endml;fori=62:7135*40m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);endm1;m1=100*m1/norm(m1,1);bar(a,m1,stacked);title(圖3穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu))plot(a,m1,r-,a,y0,b-.);title(圖4年齡結(jié)構(gòu)當(dāng)前狀態(tài)與穩(wěn)定狀態(tài)比較)polyfit(y0,m1,1)ans=0.1981-0.0694從所給的數(shù)據(jù)來看，象群的年齡結(jié)構(gòu)還沒有達(dá)到相對穩(wěn)定的狀態(tài)。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，大體可以得到l=zeros(71,71);l(1,13)=0.1448/6;l(2,1)=0.75;fori=14:61l(1,i)

19、=0.1448;endl;forj=3:61l(j,j-1)=0.98;end;l;fork=62:71l(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10;endl;eig(l);矩陣的唯一正特征值為1.0322。對于不同的存活率，得到的唯一正特征值為：s00.75,s0.97,p1.023;so0.75,s0.98,p1.0322;s00.75,s0.99,p1.042.下面我們估計(jì)每年處于避孕狀態(tài)母象的比率。此時(shí)，女性生育率為 0.1448(1)。記s00.75,s1電 0.98130.1448(1)s0s11/6,i0.1448(1)s0s11Ls212(14i61)由(6)式得q

20、1314L611解得11n480.376,0.6240.144880s111/6s2(1s48)/(1s2H1-1/(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98-0.98人49)/0.02)ans=0.6240即每年應(yīng)該有62.4%的母象處于避孕狀態(tài)。為了保證有62.4%的母象處于避孕狀態(tài)，下面分析每年應(yīng)該打避孕針母象的比例。在假設(shè)3和假設(shè)5的前提下，如果每年打避孕針母象比例為。母象可以分成3類：即當(dāng)年被打避孕針而上一年沒有被打避孕針或上一年被打避孕針而本年沒有被打避孕針，比例為22(1)；連續(xù)兩年被打避孕針；連續(xù)兩年沒有被打避孕針。只有最后一類母象具有生育能力。因此，只需要

21、滿足方程2(1)21-sqrt(0.376)ans=0.3868ans=0.38680.3868*5500ans=2.1274e+003解得 0.387,即每年大約需要給2127頭母象打避孕針。在方案實(shí)施過程中，實(shí)際上根本不需要打這么多針，因?yàn)樵S多小象還是可以識別的?？梢圆扇‰S機(jī)抽樣的打針方式，對于抽到的小象只計(jì)數(shù)不打針，直至計(jì)滿2127頭母象，就算完成當(dāng)年任務(wù)。采取打避孕針的方案對象群的年齡結(jié)構(gòu)是由一些影響的， 下面給出了打與不打避孕針情況下穩(wěn)定的象群年齡結(jié)構(gòu)與各你阿爸年齡段象群數(shù)的比較。m1=zeros(1,71);m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.0322;fori=3:61m1

22、(i)=m1(i-1)*0.98/1.0322;end;ml;fori=62:71m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);end;m1;n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(2)=0.75;fori=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.98;end;n1;fori=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);end;n1;subplot(1,2,1)a=0:70;plot(a,m1,r-,a,n1,b-);title(圖5年齡結(jié)構(gòu)比較);axis(0,70,0,1);M1=5500*m1/norm(m1,1);N1=5500*n1/norm(

23、n1,1);a=0:70;subplot(1,2,2)plot(a,M1,r-,a,N1,b-)title(圖5各年齡段大象數(shù)比較圖)axis(-0,70,0,300)10.90.80.70.60.50.40.30.20.10通過以上兩個(gè)圖的比較，可以發(fā)現(xiàn)采取避孕措施，將使幼象、小象數(shù)減少，中老年象數(shù)增加。由于采取避孕措施， 使得初生小象數(shù)減少， 因此會不可避免地引起象群年齡結(jié)構(gòu)的改變， 下面分析，15年、30年、60年后的象群年齡結(jié)構(gòu)。L=zeros(71,71);L(1,13)=0.1448*0.376/6;L(2,1)=0.75;300圖5年齡結(jié)構(gòu)比較250200150100500圖5各

24、年齡段大象數(shù)比較圖fori=14:61L(1,i)=0.1448*0.376;end;L;forj=3:61L(j,j-1)=0.98;end;L;fork=62:71L(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10;end;L;eig(L);n15=LA15*x0;n30=LA15*n15;n60=LA30*n30;n15=100*n15/norm(n15,1);n30=100*n30/norm(n30,1);n60=100*n60/norm(n60,1);M15=5500*n15/norm(n15,1);M30=5500*n30/norm(n30,1);M60=5500*n60/n

25、orm(n60,1);bar(a,55*y0)title(,圖6a避孕前種群量分布);axis(0,70,0,250)bar(a,M15)title(,圖6b避孕15年后種群量分布);axis(0,70,0,250)bar(a,M30)title(圖6c避孕30年后種群量分布);axis(0,70,0,250)M60=5500*n60/norm(n60,1);bar(a,M60)title(圖6d避孕前種群量分布);axis(0,70,0,250)圖6d避孕前種群量分布n70=LA70*x0;n70=100*n70/norm(n70,1);k1=100*m1/norm(m1,1);圖7給出了避

26、孕前后年齡結(jié)構(gòu)穩(wěn)定狀態(tài)的比較plot(a,k1,r-,a,n70,b-.);title(,圖7避孕前后穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu));axis(0,70,0,5)數(shù)據(jù)不確定性對結(jié)果的影響分別取 s00.7,0.8,、S20.95,0.99/1CC111480.421,0.5790.1448s0sl1/6S2(1S2)/(1S2)1-1/(0.1448*0.7*0.95A11*(1/6+(0.95-0.95人49)/0.05)ans=0.01151-sqrt(1-0.0115)ans=54.543.532.521.510.5圖7避孕前后穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu)0.00581-1/(0.1448*0.8*0.99A11*

27、(1/6+(0.99-0.99人49)/0.01)ans=0.74661-sqrt(1-0.7466)ans=0.49660.012,0.757每年需避孕的母象比例為0.6%49.7%對于每年可以遷移50-300頭大象及 s00.75,s1s2及最經(jīng)濟(jì)的方案。設(shè)增長率為 p,對于SO0.75,ss20.98130.1448(1)s0s11/6,i0.1448(1)s0s11L12(14i61)12/1360q(p)13/p14/pL61/p1令SOSO/P，SISI/p,S2S2/p1111i12130.1448(1)S0s；1/6,140.1448(1)*3)113)2(14i61)q(p)

28、1314L6111O.1448s0s；11/6s2(1s28)/(1s2H當(dāng) p1.01,每年的避孕率為28.2%,每年遷出110頭；當(dāng) p1.02,每年的避孕率為16.8%,每年遷出220頭；當(dāng) p1.025,每年的避孕率為11.3%,遷出275頭。1-1/(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98-0.98人49)/0.02)ans=0.62401-sqrt(0.376)ans=0.3868p=1.01;1-pA12./(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p).A49)/(1-0.98./p)ans=0.48481-sqrt(0.5152)ans=0.28220.98,下面分析避孕方案的變化p=1.02;1-p.A12./(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)A49)/(1-0.98/p)ans=0.30801-sqrt(0.692)ans=0.1681p=1.025;1-p.A12./(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)A49)/(1-0.98/p)ans=0.20361-sqrt(0.7864)ans=0.1132進(jìn)一步分析可以知道，對于 s00.75,5s