高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)講義教師版

1、復(fù)數(shù)知識(shí)內(nèi)容一、復(fù)數(shù)的概念1 虛數(shù)單位i:（1）它的平方等于，即；（2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立（3）i與1的關(guān)系:i就是的一個(gè)平方根，即方程的一個(gè)根，方程的另一個(gè)根是-i（4）i的周期性：， ， ， 2 數(shù)系的擴(kuò)充：復(fù)數(shù)3 復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示4 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 通常用字母表示，即，把復(fù)數(shù)表示成的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式5 復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí)，叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，就是實(shí)數(shù)6 復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的

2、關(guān)系：7 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等這就是說，如果， ，那么， 二、復(fù)數(shù)的幾何意義1 復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：復(fù)數(shù)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)2 對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為，它所確定的復(fù)數(shù)是表示是實(shí)數(shù)除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)3復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法三、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1 復(fù)數(shù)與的和的定義：2 復(fù)

3、數(shù)與的差的定義：3 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律:4 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:5 乘法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)，(、)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把換成，并且把實(shí)部與虛部分別合并兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)6 乘法運(yùn)算律：（1）（2）（3）7 復(fù)數(shù)除法定義：滿足的復(fù)數(shù)(、)叫復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商，記為：或者8 除法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)復(fù)數(shù) (、)，除以 (，)，其商為（、)，即由復(fù)數(shù)相等定義可知解這個(gè)方程組，得于是有: 利用于是將的分母有理化得：原式(點(diǎn)評(píng):是常規(guī)方法，是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡無理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)，相當(dāng)于我們初中學(xué)

4、習(xí)的的對(duì)偶式，它們之積為是有理數(shù)，而是正實(shí)數(shù)所以可以分母實(shí)數(shù)化 把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法9 共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)例題精講1 復(fù)數(shù)的概念【例1】 已知為虛數(shù)單位），那么實(shí)數(shù)a，b的值分別為（ ）A2，5 B-3，1 C-11 D2，【答案】D【例2】 計(jì)算： （表示虛數(shù)單位）【答案】【解析】 ，而（），故【例3】 設(shè)，則下列命題中一定正確的是（）A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限 B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限C不是純虛數(shù) D是虛數(shù)【答案】D【解析】 【例4】 在下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；若是純

5、虛數(shù)，則實(shí)數(shù)；是虛數(shù)的一個(gè)充要條件是；若是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則是純虛數(shù)；的一個(gè)充要條件是的充要條件是A1B2C3D4【答案】B【解析】 復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，錯(cuò)；時(shí)， ，錯(cuò)；為實(shí)數(shù)時(shí)，也有，錯(cuò)；時(shí)， ，錯(cuò)；正確2 復(fù)數(shù)的幾何意義【例5】 復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】 由已知在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)如果在第一象限，則，而此不等式組無解即在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限【例6】 若，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】 結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，

6、【例7】 如果復(fù)數(shù)滿足，那么的最小值是（ ）A1 B C2 D【答案】A【解析】 設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，因?yàn)椋渣c(diǎn)的集合是軸上以、為端點(diǎn)的線段表示線段上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離此距離的最小值為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，其距離為【例8】 滿足及的復(fù)數(shù)的集合是（ ）A BC D【答案】D【解析】 復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)在單位圓與直線上（表示到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，故軌跡為直線），故選D【例9】 已知復(fù)數(shù)的模為，則的最大值為_【答案】【解析】 ，故在以為圓心，為半徑的圓上，表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率如圖，由平面幾何知識(shí)，易知的最大值為【例10】 復(fù)數(shù)滿足條件：，那么對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（）A圓B橢圓C雙曲線D拋物線【答案】A【解析

7、】 A；設(shè)，則有，化簡得：，故為圓【點(diǎn)評(píng)】的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離；中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為以復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上的點(diǎn)【例11】 復(fù)數(shù)，滿足，證明：【解析】 設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由知，以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，故可設(shè)，所以也可設(shè)，則由向量與向量垂直知，故【例12】 已知復(fù)數(shù)，滿足，且，求與的值【答案】；4【解析】 設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由于，故，故以，為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而，則；【例13】 已知，求【解析】 設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由知，以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，記所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)為，由知， （可由余弦定理得到），故，從而【例14】 已知復(fù)數(shù)滿足，求的最

8、大值與最小值【答案】，【解析】 設(shè)，則滿足方程，又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有3 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【例15】 已知，若，則等于（）A B C D4【答案】B【解析】 【例16】 計(jì)算：【答案】【解析】 原式【例17】 已知復(fù)數(shù)，則的最大值為（）A B C D3【答案】A【解析】，故當(dāng)時(shí)， 有最大值【例18】 對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)，定義集合（）設(shè)是方程的一個(gè)根，試用列舉法表示集合若在中任取兩個(gè)數(shù)，求其和為零的概率；（2）若集合中只有個(gè)元素，試寫出滿足條件的一個(gè)值，并說明理由【答案】（1）；（2）【解析】 （1）是方程的根，或，不論或，于是（2）取，則及于是或取（說明：只需寫出一個(gè)正確答案）【例19】 解關(guān)于

9、的方程【答案】【解析】 錯(cuò)解：由復(fù)數(shù)相等的定義得分析：“，且成立”的前提條件是，但本題并未告訴是否為實(shí)數(shù)法一：原方程變形為，由一元二次方程求根公式得，原方程的解為，法二：設(shè)，則有，由得：，代入中解得：或，故方程的根為【例20】 已知，對(duì)于任意，均有成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】【解析】 ，對(duì)恒成立當(dāng)，即時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，綜上，【例21】 關(guān)于的方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】【解析】 誤：方程有實(shí)根，解得或析：判別式只能用來判定實(shí)系數(shù)一元二次方程根的情況，而該方程中與并非實(shí)數(shù)正：設(shè)是其實(shí)根，代入原方程變形為，由復(fù)數(shù)相等的定義，得，解得【例22】 設(shè)方程的根分別為，且，求實(shí)數(shù)的值【答

10、案】或【解析】 若，為實(shí)數(shù)，則且，解得若，為虛數(shù)，則且，共軛，解得綜上，或【例23】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：并證明，從而【解析】 時(shí)，結(jié)論顯然成立；若對(duì)時(shí)，有結(jié)論成立，即，則對(duì)，由歸納假設(shè)知，上式，從而知對(duì)，命題成立綜上知，對(duì)任意，有易直接推導(dǎo)知：故有【例24】 若是方程（）的解，求證：【解析】 將解代入原方程得：，將此式兩邊同除以，則有：，即，由復(fù)數(shù)相等的定義得【例25】 設(shè)、為實(shí)數(shù)，且，則=_【答案】4【解析】 由知，即，故，解得，故【例26】 已知是純虛數(shù)，求在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡【答案】以為圓心，為半徑的圓，并去掉點(diǎn)和點(diǎn)【解析】 法一：設(shè)（），則是純虛數(shù)，故，即的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為

11、半徑的圓，并去掉點(diǎn)和點(diǎn)法二：是純虛數(shù)，（且），得到，設(shè)（），則（）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡以為圓心，為半徑的圓，并去掉點(diǎn)和點(diǎn)【例27】 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，求的最值【解析】 由題意，則設(shè)，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)【例28】 若，試求【答案】【解析】 ，又知， 設(shè)（），則， ，即，由復(fù)數(shù)相等定義得，解得故【點(diǎn)評(píng)】復(fù)數(shù)的共軛與模長的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)（）的共軛復(fù)數(shù)為，則；為實(shí)數(shù)；為純虛數(shù)；對(duì)任意復(fù)數(shù)有；，特別地有；，以上性質(zhì)都可以通過復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的具體計(jì)算進(jìn)行證明【例29】 已知虛數(shù)為的一個(gè)立方根， 即滿足，且對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，證明，并求與的值【答案】0；【解析】 法一：，解得：或由題意知，證明與計(jì)算略；法二：由

12、題意知，故有又實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)出現(xiàn)，故的兩根為由韋達(dá)定理有【點(diǎn)評(píng)】利用的性質(zhì)：，可以快速計(jì)算一些相關(guān)的復(fù)數(shù)的冪的問題【例30】 若（），求證：【解析】設(shè)，則有，即，解得，即【例31】 設(shè)是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，且（1）求的值及的實(shí)部的取值范圍；（2）設(shè)，求證：為純虛數(shù)；（3）求的最小值【答案】（1）；的實(shí)部的取值范圍是；（3）1【解析】 （1）設(shè)，則，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，即于是，所以的實(shí)部的取值范圍是（2）因?yàn)?，所以為純虛?shù)（3）因?yàn)?，所以，故?dāng)，即時(shí)，取得最小值【例32】 對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)，定義集合（1）設(shè)是方程的一個(gè)根，試用列舉法表示集合；（2）設(shè)復(fù)數(shù)，求證：【答案】（1）；（2）略【解析】 （

13、1）是方程的根，或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；（2），存在，使得于是對(duì)任意，由于是正奇數(shù)，【例33】 已知復(fù)數(shù)，和，其中均為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，且對(duì)于任意復(fù)數(shù)，有，（1）試求的值，并分別寫出和用表示的關(guān)系式；（2）將作為點(diǎn)的坐標(biāo)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)變到這一平面上的點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)， 試求點(diǎn)經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)的軌跡方程；（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上?若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由【答案】（1）；（2）；（3）這樣的直線存在，其方程為或【解析】 （1）由題設(shè)，于是由，且，得，因此由，得關(guān)系式（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，則其經(jīng)變換后的點(diǎn)滿足，消去，得，故點(diǎn)的軌跡方程為（3）假設(shè)存在這樣的直線，平行坐標(biāo)軸的直線顯然不滿足條件，所求直線可設(shè)為該直線上的任一點(diǎn)，其經(jīng)變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上，即，當(dāng)時(shí)，方程組無解，故這樣的直線不存在當(dāng)，由，得，解得或故這樣的直線存在，其方程為或課后檢測【習(xí)題1】 已知，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為1，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】 ，而