高中數(shù)學(xué)選修節(jié)總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)選修2-3第二章總結(jié)一、知識梳理1.條件概率與事件的獨(dú)立性（1）條件概率:一般地，若有兩個事件A和B，在已知事件B發(fā)生的條件下考慮事件A發(fā)生的概率，則稱此概率為B已發(fā)生的條件下A的條件概率，記為P(AB).一般地，若P（B）>0，則事件B已發(fā)生的條件下A發(fā)生的條件概率是 （2）事件的獨(dú)立性:設(shè)A, B為兩個事件，如果 P(AB)=P(A) P(B) , 則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.事件（或）是否發(fā)生對事件（或）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨(dú)立事件若與是相互獨(dú)立事件，則與，與，與也相互獨(dú)立相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率：兩個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概

2、率的積一般地，如果事件相互獨(dú)立，那么這個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即（3）獨(dú)立重復(fù)性:獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義：指在同樣條件下進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式：一般地，如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件恰好發(fā)生次的概率它是展開式的第項(xiàng)離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機(jī)變量如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：01knP由于恰好是二

3、項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的值，所以稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記b(k；n，p)2.離散型隨機(jī)變量（1）離散型隨機(jī)變量:隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用字母 X , Y， 表示在此基礎(chǔ)之上所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.（2）離散型隨機(jī)變量分布列:設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取得值為x1，x2，x3，取每一個值xi（i=1，2，）的概率為，則稱表x1x2xiPP1P2Pi為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱分布列 離散型隨機(jī)變量分布列的兩個性質(zhì)：任何隨機(jī)事件發(fā)生的概率都滿足:，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1由此你可以得出離散型

4、隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì)：Pi0，i1，2，；P1+P2+=1對于離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率的和 即 （3）離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差:均值或數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱 為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望均值或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平 平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量的概率分布中，令，則有，所以的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值 均值或期望的一個性質(zhì):若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，它們的分布列為x1x2xnPp1p2pn

5、于是 )，由此，我們得到了期望的一個性質(zhì):若B（n,p），則E=np 證明如下：，0×1×2×k×n×又， 01P故若B(n，p)，則np3常用的分布（1）兩點(diǎn)分布 隨機(jī)變量 X 的分布列是像上面這樣的分布列稱為兩點(diǎn)分布列（2）二項(xiàng)分布:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機(jī)變量如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：01knP稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作B(n，p)其中n，p

6、為參數(shù)，并記b(k；n，p)（3）超幾何分布一般地，在含有M 件次品的 N 件產(chǎn)品中，任取 n 件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件 X=k發(fā)生的概率為,其中，且稱分布列X01P為超幾何分布列如果隨機(jī)變量 X 的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量 X 服從超幾何分布. 4正態(tài)分布總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸

7、所圍圖形的面積觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對稱”的特征，具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來表示或近似表示：式中的實(shí)數(shù)、是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線一般地，如果對于任何實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X滿足,則稱 X 的分布為正態(tài)分布正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作如果隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布，則記為X. 經(jīng)驗(yàn)表明，一個隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布（1）正態(tài)分布）是由均值和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的分布通過固定其中一個值，討論均值與標(biāo)準(zhǔn)差對于正態(tài)曲線的影響 （

8、2）通過對三組正態(tài)曲線分析，得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對稱 正態(tài)曲線的作圖，書中沒有做要求，教師也不必補(bǔ)上 講課時教師可以應(yīng)用幾何畫板，形象、美觀地畫出三條正態(tài)曲線的圖形，結(jié)合前面均值與標(biāo)準(zhǔn)差對圖形的影響，引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)正態(tài)曲線的性質(zhì) （3）正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線在x軸的上方，與x軸不相交 曲線關(guān)于直線x=對稱 當(dāng)x=時，曲線位于最高點(diǎn) 當(dāng)x時，曲線上升（增函數(shù)）；當(dāng)x時，曲線下降（減函數(shù)） 并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近 一定時，曲線的形狀由確定 越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；越小曲線越“瘦高”總體分布越集中：五條性質(zhì)中前三條學(xué)生

9、較易掌握，后兩條較難理解，因此在講授時應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的原則，采用對比教學(xué) （4）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:當(dāng)=0、=l時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，（-x+）其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位 任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題 二、典型習(xí)題講解1 人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴枺僭O(shè)撥過了的號碼不再重復(fù)，試求下列事件的概率： （1）第次撥號才接通電話；（2）撥號不超過次而接通電話 解：設(shè)第次撥號接通電話，（1）第次才接通電話可表示為于是所求概率為（2）撥號不超過次而接通電話可表示為：于是所求概

10、率為 2 出租車司機(jī)從飯店到火車站途中有六個交通崗，假設(shè)他在各交通崗到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是 （1）求這位司機(jī)遇到紅燈前，已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率； （2）求這位司機(jī)在途中遇到紅燈數(shù)的期望和方差 解：（1）因?yàn)檫@位司機(jī)第一、二個交通崗未遇到紅燈，在第三個交通崗遇到紅燈，所以（2）易知 3 獎器有個小球，其中個小球上標(biāo)有數(shù)字，個小球上標(biāo)有數(shù)字，現(xiàn)搖出個小球，規(guī)定所得獎金（元）為這個小球上記號之和，求此次搖獎獲得獎金數(shù)額的數(shù)學(xué)期望解：設(shè)此次搖獎的獎金數(shù)額為元，當(dāng)搖出的個小球均標(biāo)有數(shù)字時，；當(dāng)搖出的個小球中有個標(biāo)有數(shù)字，1個標(biāo)有數(shù)字時，；當(dāng)搖出的個小球有個標(biāo)有數(shù)字，個標(biāo)有數(shù)字時，

11、所以 答：此次搖獎獲得獎金數(shù)額的數(shù)字期望是元 4 某學(xué)生語、數(shù)、英三科考試成績，在一次考試中排名全班第一的概率：語文為，數(shù)學(xué)為，英語為，問一次考試中（）三科成績均未獲得第一名的概率是多少？（）恰有一科成績未獲得第一名的概率是多少解：分別記該生語、數(shù)、英考試成績排名全班第一的事件為，則 （）答：三科成績均未獲得第一名的概率是 （）（） 答：恰有一科成績未獲得第一名的概率是5 如圖，兩點(diǎn)之間有條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過的最大信息量分別為 現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大的信息量 （I）設(shè)選取的三條網(wǎng)線由到可通過的信息總量為，當(dāng)時，則保證信息暢通 求線路信息暢通的概率；（II）求選取的三條網(wǎng)線可通

12、過信息總量的數(shù)學(xué)期望 解：（I） （II） 線路通過信息量的數(shù)學(xué)期望 答：（I）線路信息暢通的概率是 （II）線路通過信息量的數(shù)學(xué)期望是6 三個元件正常工作的概率分別為將它們中某兩個元件并聯(lián)后再和第三元件串聯(lián)接入電路 （）在如圖的電路中，電路不發(fā)生故障的概率是多少？（）三個元件連成怎樣的電路，才能使電路中不發(fā)生故障的概率最大？請畫出此時電路圖，并說明理由 解：記“三個元件正常工作”分別為事件，則 （）不發(fā)生故障的事件為 不發(fā)生故障的概率為（）如圖，此時不發(fā)生故障的概率最大 證明如下：圖1中發(fā)生故障事件為不發(fā)生故障概率為圖2不發(fā)生故障事件為，同理不發(fā)生故障概率為7 要制造一種機(jī)器零件，甲機(jī)床廢品

13、率為，而乙機(jī)床廢品率為，而它們的生產(chǎn)是獨(dú)立的，從它們制造的產(chǎn)品中，分別任意抽取一件，求：（1）其中至少有一件廢品的概率；（2）其中至多有一件廢品的概率 解：設(shè)事件“從甲機(jī)床抽得的一件是廢品”；“從乙機(jī)床抽得的一件是廢品” 則（1）至少有一件廢品的概率 （2）至多有一件廢品的概率 8 甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為，被甲或乙解出的概率為，（1）求該題被乙獨(dú)立解出的概率；（2）求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差解：（1）記甲、乙分別解出此題的事件記為 設(shè)甲獨(dú)立解出此題的概率為，乙為 則 9 某保險公司新開設(shè)了一項(xiàng)保險業(yè)務(wù)，若在一年內(nèi)事件發(fā)生，該公司要賠償元設(shè)在一年內(nèi)發(fā)生的概

14、率為，為使公司收益的期望值等于的百分之十，公司應(yīng)要求顧客交多少保險金？解：設(shè)保險公司要求顧客交元保險金，若以 表示公司每年的收益額，則是一個隨機(jī)變量，其分布列為：因此，公司每年收益的期望值為 為使公司收益的期望值等于的百分之十，只需，即，故可得 即顧客交的保險金為 時，可使公司期望獲益 10 有一批食品出廠前要進(jìn)行五項(xiàng)指標(biāo)檢驗(yàn)，如果有兩項(xiàng)指標(biāo)不合格，則這批食品不能出廠 已知每項(xiàng)指標(biāo)抽檢是相互獨(dú)立的，且每項(xiàng)抽檢出現(xiàn)不合格的概率都是 (1)求這批產(chǎn)品不能出廠的概率(保留三位有效數(shù)字)；(2)求直至五項(xiàng)指標(biāo)全部驗(yàn)完畢，才能確定該批食品是否出廠的概率(保留三位有效數(shù)字) 解：(1)這批食品不能出廠的概率是： (2)五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢，這批食品可以出廠的概率是： 五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢，這批食品不能出廠的概率是：由互斥事件有一個發(fā)生的概 率加法可知，五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢，才能確定這批產(chǎn)品是否出廠的概率是： 11 高三（1）班、高三（2）班每班已選出3名學(xué)生組成代表隊，進(jìn)行乒乓球?qū)官?比賽規(guī)則是：按“單打、雙打、單打”順序進(jìn)行三盤比賽； 代表隊中每名隊員至少參加一盤比賽，不得參加兩盤單打比賽 已知每盤比賽雙方勝出的概率均為（）根據(jù)比賽規(guī)則，高三（1）班代表隊共可排出多少種不同的出場陣容？（）高三（1）班代表隊連勝兩盤的概率是多少？ 解：（I）參加單打的隊員有種方法 參