高中數(shù)學(xué)選修21主要內(nèi)容

1、第一章常用邏輯用語1.1命題及其關(guān)系定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題。命題的構(gòu)成條件和結(jié)論定義：從構(gòu)成來看，所有的命題都具由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成在數(shù)學(xué)中，命題常寫成“若p，則q”或者 “如果p，那么q”這種形式，通常，我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件,q叫做命題結(jié)論真命題：如果由命題的條件P通過推理一定可以得出命題的結(jié)論q，那么這樣的命題叫做真命題假命題：如果由命題的條件P通過推理不一定可以得出命題的結(jié)論q，那么這樣的命題叫做假命題四種命題：定義：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)

2、論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆命題定義：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么我們把這樣的兩個命題叫做互否命題其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的否命題定義：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆否命題形式：原命題：若P，則q則：逆命題：若q，則P否命題：若P，則q（說明符號“”的含義：符號“”叫做否定符號“p

3、”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命題：若q，則P四種命題間的相互關(guān)系：由于逆命題和否命題也是互為逆否命題，因此四種命題的真假性之間的關(guān)系如下：（1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系1.2 充分條件與必要條件定義：如果命題“若p，則q”為真命題，即p q,那么我們就說p是q的充分條件；q是p必要條件一般地,如果既有pq ，又有qp 就記作 p q.此時,我們說,那么p是q的充分必要條件,簡稱充要條件.顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.概括地說,如果p q,那么p 與 q互為充要條件.一般地，若pq ,但qp，

4、則稱p是q的充分但不必要條件；若pq，但qp，則稱p是q的必要但不充分條件；若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件1.3 簡單的邏輯連接詞一般地，用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作pq讀作“p且q”。一般地，用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作pq,讀作“p或q”。一般地，我們規(guī)定： 當(dāng)p，q都是真命題時，pq是真命題；當(dāng)p，q兩個命題中有一個命題是假命題時，pq是假命題；當(dāng)p，q兩個命題中有一個是真命題時，pq是真命題；當(dāng)p，q兩個命題都是假命題時，pq是假命題。一般地，對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作p，讀作“非p

5、”或“p的否定”。若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題；命題的否定是否定命題的結(jié)論，而命題的否命題是對原命題的條件和結(jié)論同時進(jìn)行否定。14全稱量詞與存在量詞所有的”“任意一個” 這樣的詞語，這些詞語一般在指定的范圍內(nèi)都表示整體或全部，這樣的詞叫做全稱量詞，用符號“”表示，含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。“存在一個”“至少有一個”這樣的詞語，這些詞語都是表示整體的一部分的詞叫做存在量詞。并用符號“”表示。含有存在量詞的命題叫做特稱命題（或存在命題）。一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱命題P：它的否定PP(x) 特稱命題P：它的否定P：xM，P(x

6、)全稱命題和否定是特稱命題。特稱命題的否定是全稱命題。第二章 圓錐曲線與方程2.1曲線與方程(二)幾種常見求軌跡方程的方法1直接法由題設(shè)所給(或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動點(diǎn)所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動點(diǎn)P的軌跡方程；(2)過點(diǎn)A(a，o)作圓Ox2+y2=R2(aRo)的割線，求割線被圓O截得弦的中點(diǎn)的軌跡對(1)分析：動點(diǎn)P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律：|OP|=2R或|OP|=0解：設(shè)動點(diǎn)P(x，y)，則有|OP|=2R或|OP|=0即x2

7、+y2=4R2或x2+y2=0故所求動點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0對(2)分析：題設(shè)中沒有具體給出動點(diǎn)所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，即圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于弦，它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)由學(xué)生演板完成，解答為：設(shè)弦的中點(diǎn)為M(x，y)，連結(jié)OM，則OMAMkOMkAM=-1，其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓O內(nèi)的一段弧(不含端點(diǎn))2定義法利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件直平分線l交半

8、徑OQ于點(diǎn)P(見圖245)，當(dāng)Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動時，求點(diǎn)P的軌跡方程分析：點(diǎn)P在AQ的垂直平分線上，|PQ|=|PA|又P在半徑OQ上|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R故P點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是定值，可用橢圓定義寫出P點(diǎn)的軌跡方程解：連接PA lPQ，|PA|=|PQ|又P在半徑OQ上|PO|+|PQ|=2由橢圓定義可知：P點(diǎn)軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓3相關(guān)點(diǎn)法若動點(diǎn)P(x，y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法(或代換法)例3 已知拋物線y2=x+1，定點(diǎn)A(3，1)、

9、B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BPPA=12，當(dāng)B點(diǎn)在拋物線上變動時，求點(diǎn)P的軌跡方程分析：P點(diǎn)運(yùn)動的原因是B點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，因此B可作為相關(guān)點(diǎn)，應(yīng)先找出點(diǎn)P與點(diǎn)B的聯(lián)系解：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，且設(shè)點(diǎn)B(x0，y0)BPPA=12，且P為線段AB的內(nèi)分點(diǎn)4待定系數(shù)法求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求例4 已知拋物線y2=4x和以坐標(biāo)軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲曲線方程分析：因為雙曲線以坐標(biāo)軸為對稱軸，實軸在y軸上，所以可設(shè)雙曲線方ax2-4b2x+a2b2=0拋物線和雙曲線僅有兩個公共點(diǎn)，根據(jù)它們的對稱性，這兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)相等，因此方程ax2-4b2x+a2b

10、2=0應(yīng)有等根=1664-4Q4b2=0，即a2=2b(以下由學(xué)生完成)由弦長公式得：即a2b2=4b2-a22.2 橢圓把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓（ellipse）其中這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距即當(dāng)動點(diǎn)設(shè)為時，橢圓即為點(diǎn)集焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的簡單幾何性質(zhì)范圍：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，進(jìn)一步得：，同理可得：，即橢圓位于直線和所圍成的矩形框圖里；對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有，從而得到橢圓是以軸和軸為對稱軸，原點(diǎn)為對稱中心；頂點(diǎn)

11、：先給出圓錐曲線的頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點(diǎn)叫做圓錐曲線的頂點(diǎn)因此橢圓有四個頂點(diǎn)，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸；離心率： 橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率（），； 橢圓的第二定義當(dāng)點(diǎn)與一個定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)時，這個點(diǎn)的軌跡是橢圓定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)是橢圓的離心率對于橢圓，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是根據(jù)對稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是對于橢圓的準(zhǔn)線方程是可見橢圓的離心率就是橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的比，這就是離心率的幾何意義由橢圓的第二定義可得：右焦半徑公式為；左焦半徑公式為

12、定義：橢圓上任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形。性質(zhì)一：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中則。性質(zhì)二：已知橢圓方程為左右兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形，若最大，則點(diǎn)P為橢圓短軸的端點(diǎn)。證明：設(shè),由焦半徑公式可知：，在中， = 性質(zhì)三：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中則證明：設(shè)則在中，由余弦定理得： 命題得證。（2000年高考題）已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為若橢圓上存在一點(diǎn)使得求橢圓的離心率的取值范圍。簡解：由橢圓焦點(diǎn)三角形性質(zhì)可知即 ,于是得到的取值范圍是性質(zhì)四：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形，則橢圓的離心率。 由正弦定理得：由等比定理得：而， 。已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(1，

13、0)、F2(1，0)，P為橢圓上一點(diǎn)，且F1F2是PF1和PF2的等差中項(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)P在第三象限，且PF1F2120，求tanF1PF2解：(1)由題設(shè)2F1F2PF1PF22a，又2c2，b 橢圓的方程為1(2)設(shè)F1PF2，則PF2F160橢圓的離心率 則，整理得：5sin(1cos)故，tanF1PF2tan2.3 雙曲線把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)，的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（hyperbola）其中這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距即當(dāng)動點(diǎn)設(shè)為時，雙曲線即為點(diǎn)集焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)

14、的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程范圍：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，進(jìn)一步得：，或這說明雙曲線在不等式，或所表示的區(qū)域；對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有，從而得到雙曲線是以軸和軸為對稱軸，原點(diǎn)為對稱中心；頂點(diǎn)：圓錐曲線的頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點(diǎn)叫做圓錐曲線的頂點(diǎn)因此雙曲線有兩個頂點(diǎn)，由于雙曲線的對稱軸有實虛之分，焦點(diǎn)所在的對稱軸叫做實軸，焦點(diǎn)不在的對稱軸叫做虛軸；漸近線：直線叫做雙曲線的漸近線；離心率： 雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率（）雙曲線第二定義:當(dāng)動點(diǎn)M(x,y) 到一定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到一定直線的距離之比是常數(shù)時,這

15、個動點(diǎn)M(x,y)的軌跡是雙曲線。其中定點(diǎn)F(c,0)是雙曲線的一個焦點(diǎn)，定直線叫雙曲線的一條準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。雙曲線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的線段稱為焦半徑。例如PF是雙曲線的焦半徑。2.4 拋物線(1)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但是沒有漸近線(2)拋物線只有一條對稱軸，這條對稱軸垂直于拋物線的準(zhǔn)線或與頂點(diǎn)和焦點(diǎn)的連線重合，拋物線沒有中心(3)拋物線只有一個頂點(diǎn)，它是焦點(diǎn)和焦點(diǎn)在準(zhǔn)線上射影的中點(diǎn)(4)拋物線的離心率要聯(lián)系橢圓、雙曲線的第二定義，并和拋物線的定義作比較其結(jié)果是應(yīng)規(guī)定拋物線的離心率為1第三章 空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算如同平面向量的概念，我

16、們把空間中具有大小和方向的量叫做向量與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量空間任意兩個向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示因此我們說空間任意兩個向量是共面的空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面向量的運(yùn)算一樣：空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運(yùn)算律：加法交換律：a + b = b + a；加法結(jié)合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（課件驗證）數(shù)乘分配律：(a + b) =a +b空間向量加法的運(yùn)算律要注意以下幾點(diǎn)：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即：因此，求空間若干向量之和時，可通過

17、平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量即：兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立1共線（平行）向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。讀作：平行于，記作：2共線向量定理：對空間任意兩個向量的充要條件是存在實數(shù)，使（唯一）推論：如果為經(jīng)過已知點(diǎn)，且平行于已知向量的直線，那么對任一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實數(shù)，滿足等式，其中向量叫做直線的方向向量。在上取，則式可化為或當(dāng)時，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，此時和都叫空間直線的向量參數(shù)方程，是線段的中點(diǎn)公式3向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行于

18、或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的4共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數(shù)使1空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：；2向量的模：設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：；3向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點(diǎn)在上的射影，作點(diǎn)在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影；可以證明的長度4空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： （1）（2）（3）5空間向量數(shù)量

19、積運(yùn)算律：（1）（2）（交換律）（3）（分配律）1幾個概念(1) 軸上有向線段的值：設(shè)有一軸，是軸上的有向線段，如果數(shù)滿足，且當(dāng)與軸同向時是正的，當(dāng)與軸反向時是負(fù)的，那么數(shù)叫做軸上有向線段的值，記做AB，即。設(shè)e是與軸同方向的單位向量，則(2) 設(shè)A、B、C是u軸上任意三點(diǎn)，不論三點(diǎn)的相互位置如何，總有(3) 兩向量夾角的概念：設(shè)有兩個非零向量和b，任取空間一點(diǎn)O，作，規(guī)定不超過的稱為向量和b的夾角，記為(4) 空間一點(diǎn)A在軸上的投影：通過點(diǎn)A作軸的垂直平面，該平面與軸的交點(diǎn)叫做點(diǎn)A在軸上的投影。(5) 向量在軸上的投影：設(shè)已知向量的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸上的投影分別為點(diǎn)和，那么軸上的有向線段的值

20、叫做向量在軸上的投影，記做。2投影定理性質(zhì)1：向量在軸上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦：性質(zhì)2：兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影的和，即 性質(zhì)3：向量與數(shù)的乘法在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘法。即注意：向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影有本質(zhì)區(qū)別。向量a在坐標(biāo)軸上的投影是三個數(shù)ax、ay、az，向量a在坐標(biāo)軸上的分向量是三個向量ax i 、 ayj 、 azk.2向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)，即，則(1) 加法： 減法： 乘數(shù)： 或 平行：若a0時，向量相當(dāng)于，即也相當(dāng)于向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例即三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式設(shè)，可以用它與三個坐標(biāo)軸的

21、夾角（均大于等于0，小于等于）來表示它的方向，稱為非零向量a的方向角，見圖76，其余弦表示形式稱為方向余弦。圖761 模2 方向余弦由性質(zhì)1知，當(dāng)時，有 任意向量的方向余弦有性質(zhì)： 與非零向量a同方向的單位向量為：3.2 立體集幾何中的向量方法利用向量方法求解空間距離問題，可以回避此類問題中大量的作圖、證明等步驟，而轉(zhuǎn)化為向量間的計算問題例如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC平面ABCD，且GC2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離分析：由題設(shè)可知CG、CB、CD兩兩互相垂直，可以由此建立空間直角坐標(biāo)系用向量法求解，就是求出過B且垂直于平面EFG的向量，它的長即為點(diǎn)B到

22、平面EFG的距離解：如圖，設(shè)4i，4j，2k，以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz由題設(shè)C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(xiàn)(4,2,0)，G(0,0,2)， ，設(shè)平面EFG，M為垂足，則M、G、E、F四點(diǎn)共面，由共面向量定理知，存在實數(shù)a、b、c，使得，(2a+4b,2b4c,2c)由平面EFG，得，于是，整理得：，解得(2a+4b,2b4c,2c)故點(diǎn)B到平面EFG的距離為說明：用向量法求點(diǎn)到平面的距離，常常不必作出垂線段，只需利用垂足在平面內(nèi)、共面向量定理、兩個向量垂直的充要條件解出垂線段對應(yīng)的向量就可以了例2已知正方體

23、ABCD的棱長為1，求直線與AC的距離分析：設(shè)異面直線、AC的公垂線是直線l，則線段在直線l上的射影就是兩異面直線的公垂線段，所以此題可以利用向量的數(shù)量積的幾何意義求解解：如圖，設(shè)i，j，k，以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系xyz，則有，設(shè)n是直線l方向上的單位向量，則n，n，解得或取n，則向量在直線l上的投影為n由兩個向量的數(shù)量積的幾何意義知，直線與AC的距離為向量的內(nèi)積與二面角的計算 在高等代數(shù)與解析幾何課程第一章向量代數(shù)的教學(xué)中，講到幾何空間的內(nèi)積時，有一個例題（見1，p53）要求證明如下的公式： (1)其中點(diǎn)O是二面角P-MN-Q的棱MN上的點(diǎn)，OA、OB分別在平面P和平面Q內(nèi)。， 。為二面角P-MN-Q（見圖1）。圖1 公式（1）可以利用向量的內(nèi)積來加以證明：以Q為坐標(biāo)平面，直線MN為y軸，如圖1建立直角坐標(biāo)系。 記x