高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何題

1、第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何5.1.1 向量的概念例1 在平行四邊形中，設(shè)a，b。試用a和b表示向量、和，這里是平行四邊形對角線的交點（圖58）解 由于平行四邊形的對角線互相平行，所以 ab2即 （ab）2于是 （ab）。因為，所以（ab）.圖58又因ab2，所以（ba）.由于，（ab）.例2 設(shè)液體流過平面S上面積為A的一個區(qū)域，液體在這區(qū)域上各點處的速度均為（常向量）v。設(shè)n為垂直于S的單位向量（圖511（a），計算單位時間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指向一側(cè)的液體的質(zhì)量P（液體得密度為）. （a）（b）圖511解 該斜柱體的斜高| v |，斜高與地面垂線的夾角為v與n的夾角，所以這柱體的高為|

2、 v |cos,體積為 A| v |cos=Av·n.從而，單位時間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指向一側(cè)的液體的質(zhì)量為P= Av·n.例3 設(shè)的三條邊分別是a、b、c(圖515)，試用向量運算證明正弦定理 證明 注意到CB=CA+AB,故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA =ABCA =AB(CB+BA) =ABCB圖515于是得到 CBCA=ABCA =ABCB從而 |CBCA|=|ABCA| =|ABCB|即 absinCcbsinAcasinB所以5.2 點的坐標與向量的坐標例1 已知點A(4,1,7)、B(-3,5,0)，在y軸上求一點M，使得|MA|=|

3、MB|.解 因為點在y軸上，故設(shè)其坐標為，則由兩點間的距離公式，有解得，故所求點為例2 求證以三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.解 因為所以，即為等腰三角形.5.2.2 向量運算的坐標表示例3 設(shè)有點，求向量的坐標表示式。解 由于，而，于是 即例4 已知兩點A（4，0，5）和B（7，1，3），求與方向相同的單位向量e.解 因為（7，1，3）（4，0，5）（3，1,2），所以，于是 e.例5 求解以向量為未知元的線性方程組 其中a（2,1,2），b=(-1,1,-2).解 解此方程組得x=2a3b , y =3a5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)3(1,1,2)=(7,1,10)y=3

4、(2,1,2)5(1,1,2)=(11,2,16).例6 已知兩點A和B以及實數(shù)，在直線AB上求點M，使.解 如圖713所示.由于，因此（），從而（）.以、的坐標（即點A、點B的坐標）代入圖713本例中的點M稱為定比分點，特別地當時，得線段AB的中點為.例7 已知兩點和，計算向量的模、方向余弦和方向角.解 （12, 32,0） =(1, 1,);|= =;.例8 已知三點M( 1, 1, 1)、A( 2, 2, 1)和B( 2, 1, 2), 求AMB.解 作向量，則AMB為向量與的夾角. 這時=( 1, 1, 0)，=( 1, 0, 1)，從而 =11+10+01=1; |=;=.從而cos

5、AMB=,由此得AMB.例9 設(shè)立方體得一條對角線為OM，一條棱為OA，且|OA|=a，求在方向OM上的投影.解 如圖521所示，記MOA，有，于是.圖521例10 設(shè)a（2，1，1），b（1，1，2），計算ab.解 ab.例11 已知三角形ABC的頂點分別是A（1，2，3）、B（3，4，5）、和C（2，4，7），求三角形ABC的面積.解 由向量積對于，可知三角形ABC的面積由于（2，2，2）， （1，2，4），因此于是 例12 設(shè)剛體以等角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，計算剛體上一點M的線速度.解 剛體繞軸旋轉(zhuǎn)時，我們可以用在軸上的一個向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手規(guī)則定出：即以右

6、手握住軸，當右手的四個手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時，大拇指的指向就是的方向（圖522）. 圖522設(shè)點M到旋轉(zhuǎn)軸軸上任取一點O做向量r，并以表示與r的夾角，那么a=| r |sin.設(shè)線速度為v，那么由物理學上線速度與角速度的關(guān)系可知，v的大小為| v |=| a=| r |sin;v的方向垂直于通過點M的與軸的平面，即v垂直于與r；又v的指向是使、r、v符合右手規(guī)則，因此有v=r.例13 已知不在一平面上的四點：A（）、B（）、C（）、D（）. 求四面體ABCD的體積. 解 由立體幾何知道，四面體的體積等于以向量、和為棱的平行六面體的體積的六分之一. 因而=由于=,=,=所以=上式中符號

7、的選擇必須和行列式的符號一致.5.3 空間的平面與直線5.3.1 平面例1 已知空間兩點和，求經(jīng)過點且與直線垂直的平面方程。解 顯然就是平面的一個法向量由點法式方程可得所求平面的方程為即例2 求過三點（2，1，4）、（1，3，2）和（0，2，3）的平面的方程。解 先找出這平面的法線向量n. 由于向量n與向量、都垂直，而（3，4，6），（2，3，1），所以可取它們的向量積為n：n14i9jk,根據(jù)平面的點法式方程（1），得所求平面的方程為14(x2)9(y1)(z4)0，即14x9yz150.例3 設(shè)一平面與x，y，z軸的交點依次為P(a，0，0)、Q(0，b，0)、R(0，0，c)三點（圖52

8、4），求這平面的方程（其中a0，b0，c0）.解 設(shè)所求的平面的方程為Ax+By+Cz+D=0.因P(a，0，0)、Q(0，b，0)、R(0，0，c)三點都在平面上，所以點P、Q、R的坐標都滿足方程（2）；即有得.以此代入（2）并除以D（D0），便得所求的平面方程為圖524(5)方程（5）叫做平面的截距式方程，而a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距.例4 因平面通過z軸及點（1，2，3）的平面方程。解 因平面通過z軸，故可設(shè)其方程為 AxBy0又因（1，2，3）點在平面上，將其坐標代入方程，則有A2B0，即A2B故所求平面方程為2BxBy0，即2xy0例5 設(shè)平面的方程為3x2yz50

9、，求經(jīng)過坐標原點且與平行的平面方程。解 顯然所求平面與平面有相同的法向量n（3，2，1），又所求平面經(jīng)過原點，故它的方程為 3x2yz05.2.3 空間直線例6 求經(jīng)過兩點和的直線方程。解 該直線的方向向量可取n=。由點法式方程立即得到所求直線的方程該方程稱為直線的兩點式方程。例7 用直線的對稱式方程及參數(shù)式方程表示直線（4）解 易得（1，0，2）為直線上的一點。直線的方向向量為兩平面的法線向量的向量積，從而s=4i j - 3k.因此，所給直線的對稱式方程為 令=t，得所給直線的參數(shù)方程為5.3.3 點、平面、直線的位置關(guān)系1 點到平面的距離例8 求兩個平行平面，之間的距離。解 在平面上任取

10、一點，則兩平面間的距離d就是點M到的距離，于是d =2 點到直線的距離例9 求點到直線L：的距離解 由直線方程知點在L上，且L的方向向量s=(1,-3,5)。從而代入（11），得點M到L的距離為3. 兩平面之間的夾角例10 一平面通過兩點和且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.解 設(shè)所求平面的一個法線向量為 n（A，B，C）.因(1，0，2)在所求平面上，它必與n垂直，所以有A2C=0(7)又因所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0，所以又有A+B+C=0.(8)由（7）、（8）得到A=2C， BC.由點法式，平面方程為A(x1)+B(y1)+C(z1)=0.將A=2C，BC代入上式，并約去

11、C(C0)，便得2(x1)+(y1)+(z1)=0或2xyz0.這就是所求的平面方程.4兩直線的夾角例11 求直線:和：的夾角.解 直線的方向向量s=(1,4，1)，的方向向量s=(2,2,1).設(shè)直線和的夾角為，那么由公式（5）有cos，故.5. 直線與平面的夾角例12 求過點（1，2，4）且與平面2x3yz40垂直的直線方程。解 因為直線垂直于平面，所以平面的法線向量即為直線的方向向量，從而所求直線的方程為.6平面束例13 求直線在平面x+y+z=0上的投影直線的方程.解 過直線的平面束的方程為即，（14）其中為待定系數(shù)。這平面與平面x+y+z=0垂直的條件是，即.代入（14）式，得投影平

12、面的方程為即.所以投影直線的方程為7雜例例14 求與兩平面x4z3和2xy5z1的交線平行且過點（3，2，5）得直線方程解 因為所求直線與兩平面的交線平行，所以其方向向量s一定同時垂直于兩平面的法向量n、n，所以可以取s=nn=(4i+3j +k)，因此所求直線方程為.例15 求直線與平面2x+y+z-6=0的交點.解 所給直線的參數(shù)方程為x=2+t，y=3+t，z=4+2t，代入平面方程中，得2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.得t=-1,代入?yún)?shù)方程得交點為x=1，y=2，z=2.例16 求過點（2，1，3）且與直線垂直相交的直線的方程.過點（2，1，3）且垂直于已知直線的平面

13、方程為3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0(9)已知直線的參數(shù)方程為x=-1+3t，y=1+2t，z=-t.(10)將（10）代入（9）求得，從而求得直線與平面的交點為.以點（2，1，3）為起點，點為終點的向量這就是所求直線的方向向量，故所求直線的方程為5.4 曲面與曲線5.4.1 曲面、曲線的方程例1 建立球心在點、半徑為R的球面的方程.解 設(shè)M（x，y，z）是球面上的任一點（圖5-31），那么 |=R.由于|=，所以（2）這就是球心在、半徑為R的球面的方程。如果球心在原點，這時，從而球面方程為 .例2 設(shè)有點A（1，2，3）和B（2，-1，4），求線段AB的垂直平分面的方程.解 由題

14、意知，所求的平面就是與A和B等距離的點的幾何軌跡。設(shè)M（x，y，z）為所求平面上的任一點，由于 |AM|=|BM|，所以 =等式兩邊平方，然后化簡便得 2x - 6y + 2z 7=0例3 方程表示怎樣的曲面？解通過配方，原方程可以改寫成 ，與（2）式比較知原方程表示球心在點、半徑為R=的球面.例4 方程組表示怎樣的曲線？解 方程組中第一個方程表示球心在原點，半徑為2的球面。而方程組中的第二個方程表示一個垂直于z軸的平面，因此他們的交線為一個園，如圖5-33所示。 圖532 圖533 方程組 （2）當給定時，就得到C上的一個點；隨著得變動便可得曲線C上的全部點。方程組（2）叫做空間曲線的參數(shù)方

15、程。例5 如果空間一點M在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度v沿平行于z軸的正方向上升（其中、v都是常數(shù)），那么點M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線.試建立其參數(shù)方程.解 取時間t為參數(shù).設(shè)當t=0時，動點位于x軸上的一點A（a，0，0）處. 經(jīng)過時間t，動點由A運動到M（x，y，z）（圖5-34）.記M在xOy面上的投影為M的坐標為x，y，0.由于動點在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)，所以經(jīng)過時間t，AOM=t。從而x=|OM|cosAOM=acost, y=|OM|sinAOM=asint.由于動點同時以線速度v沿平行于z軸的正方向上升，所以 z=MM=vt。因此螺旋線的參數(shù)方程為 也可以用其他變

16、量作參數(shù)；例如令，則螺旋線的參數(shù)方程可寫為 這里，而參數(shù)為.當OM轉(zhuǎn)過一周時，螺旋線上的點M上升固定的高度.這個高度在工程技術(shù)上叫做螺距. 圖5345.4.2 柱面、旋轉(zhuǎn)面和錐面1.柱面例6 方程在xO y面上表示圓心在原點O、半徑為R的圓，在空間中表示圓柱面（圖5-35），它可以看作是平行于z軸的直線l沿xO y面上的圓移動而形成的。這曲面叫做圓柱面（圖5-35），xO y面上的圓叫做它的準線，這平行于z軸的直線l叫做它的母線.例7 將xO z坐標面上的雙曲線 ，分別繞z軸和x軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解 繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面（圖5-41），它的方程為. 圖

17、541 圖542繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面（圖5-42），它的方程為.3錐面例9 求頂點在原點，準線為的錐面方程。圖543解 設(shè)為錐面上任一點，過原點與M的直線與平面z=c交于點（圖5-44），則有由于OM與共線，故既有，代入，整理得（6）這就是所求錐面的方程，該錐面稱為橢圓錐面圖5445.4.3 二次曲面通常將三元二次方程F（x，y，z）=0所表示的曲面稱為二次曲面。而把平面稱為一次曲面.二次曲面有九種，它們的標準方程如下（1）橢圓錐面 （圖545）（2）橢球面圖545圖546（3）單葉雙曲面（4）雙葉雙曲面 （5）橢圓拋物面 （圖546） （6）雙曲拋物面 （圖547）（7

18、）橢圓柱面 （8）雙曲柱面 （9）拋物柱面 圖546 圖5475.4.4 空間幾何圖形舉例例10 已知兩球面的方程為 （7）和（8）求它們的交線C在xO y面上的投影方程.解 （7）-（8）得 y + z=1.將z=1 y代入（7）或（8）得所求柱面方程為于是投影方程為例11 設(shè)一個立體由上半球和錐面所圍成（圖5-48），求它在 xO y面上的投影.解 半球面和錐面的交線為 C：由上列方程組消去z，得到，這是xO y面上的一個圓，于是所求立體在xO y面上的投影，就是該圓在xO y面上的一個圓， 圖5-48于是所求立體xO y面上的投影，就是該圓在xO y面上所圍的部分：。習題課例1 已知(-

19、3，0，4)，（5，-2，-14），求BAC角平分線上的單位向量.解 由平面幾何的知識知，菱形對角線平分頂角，因此，只要在AB、AC上分別取點B、C，使|AB|=|AC|,則，即為BAC的分角線向量，特別地取、為單位向量，則，（5,-2,-14）于是（5,-2,-14）(-4, -2, -2)= -(2,1,1)其單位向量為 (2,1,1)例2 設(shè)a+3b和7a-5b垂直，a-4b和7a-2b垂直，求非零向量a與b的夾角.解 由a+3b7a-5b，a-4b7a-2b得(a+3b)(7a-5b)=7|a|+16ab -16|b|=0 (1)(a-4b)(7a-2b)= 7|a|-30ab +8|

20、b|=0(2)(1)-(2) 得2ab|b| 即2|a|b|cos()=|b|,從而cos().（1）8（2）15，得161|a|322 ab，得cos().由，推得|a|b|. 所以 cos()=().例3已知|a|13，|b|19，|a+b|=24，求|ab|.解 |a+b|(a+b)(a+b)= |a|+2ab+ |b| 又|ab|(ab)(ab)= |a|2ab+ |b| 兩式相加,得|ab|2( |a|+ |b|)|a+b|以|a|13，|b|19，|a+b|=24代入，得|ab|2（1319）24484.所以|ab|22.例4 設(shè)a+5b，6a+18b，=8(ab)，試證A、B、D三點共線.證 用向量證明三點共線只要證明/,其途徑有兩種：（1）往證=;(2)往證0.可根據(jù)具體情況選擇.本例選（1）=+=(6a+18b)+8(ab)=2a+10b=2(a+5b)=2,所以/，即A、B、D三點共線.例5 已知三個向量a、b、c兩兩都不平行，但(a+b)與c平行，（b+c）與a平行，試證a+b+c=0.證 由于(a+b)/c，(b+c)/a, 所以 即兩式想減得 ac0.因為a與c不平行，所以 0，0.即，因此a+b+c=0.例6 已知直線L：及點P(3,-1,2)，過