(實驗班課后鞏固)特殊的平行四邊形(矩形、菱形、正方形)

1、jerry1jerry特殊的平行四邊形【本講主要內(nèi)容】特殊平行四邊形：矩形、菱形、正方形的概念、性質(zhì)和判定【知識掌握】【知識點精析】平行四邊形與各種特殊的平行四邊形之間的聯(lián)系和區(qū)別，是本章的難點，因為齊種特殊 平行四邊形圖形交錯，概念容易混淆，常會出現(xiàn)“張冠李戴”的現(xiàn)彖，也會出現(xiàn)用錯、多用 或少用條件的錯誤突破這一難點的關(guān)鍵是學(xué)好概念，分清這些特殊平行四邊形和一般平行 四邊形之間及待殊平行四邊形之間的從屬關(guān)系1學(xué)概念：抓“限制”，畫樹圖課本上，矩形、菱形、正方形都是在平行四邊形的前提下定義的，也就是說，對平行四 邊形增加不同的限制條件、就分別產(chǎn)生了矩形、菱形和正方形的概念卜面我們把對平行四 邊

2、形的限制，畫成簡明的“樹圖”（形狀象樹枝分杈那樣的圖），把矩形、菱形的定義、性質(zhì) 和判定條件都綜介在樹圖上（而把矩形、菱形的定義、性質(zhì)、判定條件綜介起來，就得到正 方形的定義、性質(zhì)和判定條件），一目了然.#jerry2.學(xué)性質(zhì)：抓“特性”，識共性由于矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四邊形，所以它們具有平行四邊形的一切性質(zhì) （即共性），除此之外，還具有自己的特性.矩形的特性'四個角都是點角 對角線相等（四條邊都相等 菱形的特性對角線互相垂直每一條對角線平分-細(xì)寸角由于正方形足特殊的矩形和特殊的菱形，所以它只有矩形利菱形的一切杵質(zhì):'四個角都是虛角 四條邊都相等正方形的特性對角線相

3、等對角線互相垂直每條對角線半分一組対角這里提醒同學(xué)們注意：學(xué)習(xí)矩形、菱形和正方形的性質(zhì)時，要抓住“特性”，否則，就 無法應(yīng)用“特性”去解決矩形、菱形和正方形的問題，但也不要忽視了它們是平行四邊形, 仍具有一般平行四邊形的性質(zhì)（即共性），忘了“共性”，它們的性質(zhì)也就不全了，如菱形的 對角線性質(zhì)，應(yīng)是“特性+共性”；“對角線互相垂直平分，并且每i條對角平分一組對角”: 如正方形的對角線的性質(zhì)，由“特性+共性”，就得到：“對角線相等，并且互相垂直平分， 每條對角線平分一組對角”在解題時，也要強(qiáng)調(diào)“共性”，否則容易造成思維障礙。3.學(xué)判定：抓“起點”，湊條件矩形、菱形、正方形論基本的判定方法是它們各自

4、的定義，其它的判定方法都是在定義 的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的因為矩形、菱形、正方形，作為特殊的平行四邊形，它們町以在平行 四邊形的前提卜定義，同時，矩形、菱形、正方形，也可以作為特殊的四邊形，在四邊形的 前提卜定義，不過，要把平行四邊形的條件“溶化”進(jìn)去所以，矩形、菱形的判定方法由 于“起點”不同可以分成兩類：一類的“起點”是平行四邊形，另一類的“起點”是四邊形, 而正方形的“起點”有四個一一矩形、菱形、平行四邊形和四邊形在應(yīng)用判定方法時切勿 搞錯了 “起點”，而“起點”不同，判定所需的條件也不同（1）矩形的判定方法:條件結(jié)論有一個角是直角的平行四邊形（是）矩形對角線相等有三個角是直角的四邊形（2）菱

5、形的判定方法:條件結(jié)論有一組鄰邊相等的平行四邊形（是）菱形對角線互柑垂直四條邊都相等的四邊形對角線互相垂直平分（3）正方形的判定方法:條件結(jié)論有一組鄰邊相等的矩形（是）正方形對角線互相垂直有一個角是直角的菱形對角線相等有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形對角線相等，且互相垂直四條邊都相等，且四個角都相等的四邊形対角線相等且互相陞直平分矩形、菱形、正方形的“掌中寶典”定義性質(zhì)定理矩形有一個角定直角的平行四 邊形叫做矩形. 四個角都是直角： 對角線相等： 矩形是軸對稱圖形L=1c（1）有一個角是直角的平 行四邊形是矩形；判定 （2）對角線相等的平行四 定理邊形是矩形：（3）有三個角是直角的

6、四 邊形是矩形.菱形有一組鄰邊相等的平行四 邊形叫做菱形 四條邊都相等; 對角線互相垂直平分； 每一條對角線平分一組 對角； 菱形是軸對稱圖形.正方形有一組鄰邊相等并且有一 個角是直角的平行四邊形 叫做正方形 四條邊都相等: 四個角都相等： 對角線相等： 對角線互相垂II平分： 每一條對角線平分一組 對角； 正方形是軸對稱圖形.（1）有-組鄰邊相等的平 行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平 行四邊形是菱形；（3）四條邊都相尊的四邊 形是菱形：（4）對角線互相垂直平分 的四邊形是菱形.（1）有一組鄰邊相等的矩 形是正方形：（2）對角線互相垂直的矩 形是正方形：（3）有一個角是直角的菱 形是正

7、方形：（4）對角線相等的菱形是 正方形.判定定理的農(nóng)述句型：具仃什么特殊性質(zhì)的某人類圖形，是這類圖形典例分類剖析（矩形）如圖所示，延長矩形的邊CB至E,使CE = CA, F是AE的中點，求證：BF1FD分析：由ZABE = 90° , F 為 AE 中點，得 BF=|aE=AF,易證 ADFABCF,有ZAFD = ZBFC,又CA=CE,所以CF丄AE,即町證得BF丄FD. 證明：因為四邊形ABCD是矩形，所以ZDAB = ZABC = 90° , AD=BC, 因為F是AE的中點，所以BF=1aE=AF,所以 ZBAF=ZABF,所以 ZDAF=ZCBF在2尸和厶BC

8、F 中，AD=BC, ZDAF=ZCBF, AF=BF所以 ADFABCF,所以 ZAFD = ZCFB,又 CA=CE AF=BF,所以 CF丄AE,所以ZAFD4-ZDFC = 90° , ZCFB +ZDFC = 90° ,所以 BF丄FD評析：已知條件中有直角三角形斜邊中點，要考慮運用直角三角形斜邊中線等于斜邊一 半構(gòu)成等腰三角形求解或證明（菱形例已知菱形的周長為40cm,兩條對角線之比為3 ：4,求菱形的面枳.分析：如圖所示，由菱形的性質(zhì)町得AOAB是直角三角形，它的兩條直角邊Z比等于 菱形的兩條對角線之比，再由勾股定理列方程求解.解：因為菱形ABCD的周長是40

9、cm,所以AB = 10cni因為 OA=£aC，OB=|bD, AC : BD=4 : 3,所以 OA : OB=4 : 3設(shè) OA=4x, OB = 3x,由勾股定理，得（4x） 24- （3x） 2=102,解得 x=2.那么 OA=8, OB = 6.所以 AC = 16, BD = 12, S abcd=|aC BD=*X 16X 12=96cn?評析：由四邊形的兩條對角線和-邊組成的三角形（如圖中厶OAB）是我們經(jīng)常考查 的對象.特殊的四邊形對應(yīng)特殊的三角形.矩形、菱形、正方形對應(yīng)的三角形分別是等腰三 角形、直角三角形、等腰直角三角形.掌握這一點，對于解決四邊形的問題是人

10、有益處的.（正方形）例.如圖所示，正方形ABCD,對角線AC、BD相交于點0,菱形AEFC, EH 丄AC,垂足為H,求證：EH=*C分析：要證EH=£fC, EH在矩形OBEH中，得EH=OB=£bD,而FC是菱形AEFC 的邊，CF=AC=BD,所以EH=*C,問題的關(guān)鍵是要證四邊形OBEH是矩形.證明：由正方形 ABCD 得 AC=BD, AC丄BD, ZBOC = 90° .又因為EE丄AC,所以EH/7OB又因為四邊形AEFC是菱形，得AC = CF, ACEF,所以O(shè)HBE因此四邊形OBEH是矩形，因此EE=OB=2bD=£aC=£

11、fC 評析：綜合考査了正方形、菱形的性質(zhì)和矩形的判定方法【解題方法指導(dǎo)】 例1.已知：A ABC中，AB=AC, M為BC的中占，MG丄AB, MD丄 AC, GF丄AC, DE丄AB,垂足分別為G、D、F、E, GF、DE相交于H試判斷四邊形HGMD 的形狀，并證明你的結(jié)論.解：如圖所示，：'MG丄AB, DE丄AB6jerryMG/ZDE 同理MD/GF .-四邊形HGMD為平行四邊形又.AB=AC, M 為BC的中點，ZB=ZC, BM=CMRtABMG = RtACMDMG=MD 化四邊形 HGMD 是菱形.例2在四邊形ABCD中，AB=CDE、F、G、H分別為AD、BC. B

12、D、AC的中點求 證：EF丄GH證明：如圖所示，連結(jié)EG、GF、FH、HE在ZXABD中，E、G分別為AD、BD的中點, EG/AB. EG = AE （三角形中位線定理）EG=ZaB, GF=icD, AB=CD AEG=GF>2 2平行四邊形EGFH是菱形.EF丄GH （菱形的對角線互相垂直）. 注意：畫圖時，不要把一般四邊形ABCD畫成特殊四邊形.例3己知兩邊長為a的正方形ABCD、OKPQ, 0為正方形ABCD的中心 求證：不論OKPQ在什么位置.兩正方形重疊部分為定值分析：既然要證明重疊部分面枳與OKPQ位凰無關(guān)，町將OKPQ繞0點旋轉(zhuǎn)至特殊位 置，求出定值后再證明其面積與在一

13、般位置時面積相等即可.證明：將正方形OKPQ繞O點旋轉(zhuǎn)至圖中正方形OMSH位置.正方形OMSH與正方形ABCD重疊部分為OEC, S/bc=，4又ZOBE=ZOCF, ZBOE=90° -ZEOC=ZCOFt OB=OC,二 AOBE = AOCF，SgBc = Sbe + Sg；c = S心r + S&gc 即正方形OKPQ與正方形ABCD重疊部分面積為寧點評：本例是從爭物的聯(lián)系、變化中探索不變量，找到解決問題的關(guān)鍵，使問題迎刃而 解，基本思路是“一般問題一特殊化一探索解法解決問題”.【考點突破】【考點指要】特殊平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定在中考說明中是C級知識點，它常與平

14、行四邊形、 梯形、全等三角形綜合在一起以選擇題、填空題、解答題和論證題等題型出現(xiàn)在中考題中， 大約占有4一8分左右，近幾年，這部分的考題從以往的論證題轉(zhuǎn)向動于操作、發(fā)現(xiàn)、猜想 和探究的開放題【典型例題分析】例1.(2006年海南省中考題)如圖所示，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點(點G與B、C不重合)，AE丄DG于E, CF/AE交DG于F,(1) 在圖中找出一對全等三角形，并加以證明；(2) 求證：AE=FC+EF(1) AAED = ZSDFC證明：四邊形ABCD是正方形 /.AD=DC, ZADC=90°又 TAE丄DG, CF/AE A ZAED=ZDFC=90&l

15、t;> ZEAD+ZADE=ZroC4-ZADE=90° ZEAD=ZFDC /. AAEIADFC(2) AAED =如FC /. AE = DF, ED = FC VDF=DE+EF /.AE=FC+EF例2.(2006年山東省青離市中考題)已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG/ZDB交CB的延長線于G(1) 求證：AADE = ACBF : (2)若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊 四邊形？并證明你的結(jié)論° 3丿Cr7A£7G(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AZ1=ZC, AD=

16、CB> AB=CD點E、F分別是AB、CD的中點，.AE = 1aB, CF=-CD2 2 /.AE=CFAADE = ACBF(2) 當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，四邊形AGBD是矩形. 證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AD/BC VAG/BD四邊形AGBD是平行四邊形/四邊形BEDF是菱形.I DE=BEVAE=BE AE=BE=DE .*.Z1=Z2, Z3=Z4VZ1+Z2+Z3+Z4=18O° A2Z2+2Z3=180°/. Z2+Z3=90°即ZADB=90° 四邊形AGBD是矩形.例3. (2006年貴州省畢節(jié)地區(qū)中考題)如圖所示，四邊

17、形OABC與ODEF均為正方形，CF交OA于P,交DA于Q(1)求證：AD=CF (2) AD與CF垂直嗎？說說你的理由.(3) 當(dāng)正方形ODEF繞O點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，(1), (2)的結(jié)論是否有變化(不需說 明理由).(1) 證明：四邊形OABC 4 ODEF均為正方形AO=CO, DO=FO, ZAOC=ZDOF=90° ZDOF+ ZFOA=ZAOC+ ZFOA即：ZAOD=ZCOF /. ZXAOD = AC O I /.AD=CF(2) AD丄CF,理由為：AAOD = ACOF AZOCF=ZOADA ZAPQ+ZOAD=ZOCF+ZCPO=90° A ZAQP

18、=90° 即：AD丄CF(3) 當(dāng)正方形ODEF繞O點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，(1) (2)的結(jié)論不會變化【綜合測試】9jerry一、選擇題：1菱形的兩條對角線長分別為12和16,則其周長為（）A 20B 25C 40D. 602順次連接矩形四邊中點所成的四邊形是（）A菱形B正方形 C矩形D.等腰梯形3.已知正方形的邊長為2a,則它的對角線長是（）A 2aB ViaC ViaD. 2Via4能夠判定一個四邊形是矩形的條件是（）A對角線相等B對角線互相垂直C.對角線相等且互相平分D.對角線互相垂直平分5 個四邊形的對角線互相垂直，順次連結(jié)它各邊中點所得的四邊形是（）A平行四邊形B.菱形C.矩形

19、D.正方形二、填空題：1已知矩形的面積為8cm, 邊長為2cm,則矩形的對角線長為r2.若一個正方形的對角線的長為2,則它的面枳是.3菱形兩條對角線之比為3： 4,周長為20,則面枳是r4菱形是軸對稱圖形，它的對稱軸有條5.兩條對角線的平行四邊形是矩形.三、判斷題（正確的在括號內(nèi)打“ J”，錯誤的在扌舌號內(nèi)打“X”）（1）一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形（）（2）兩條對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形（）（3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.（）（4）兩條對角線互相垂直的矩形是正方形-（）（5）等邊三角形是中心對稱圖形（）四、（2006年朝陽區(qū)中考模擬題）己知：如圖，正方

20、形ABCD和正方形AEFG請你在圖中已標(biāo)明字母的點中，連結(jié)出兩 條新的相等線段，并證明你的結(jié)論.（1）連結(jié),則=;（2）證明：五、（2006年南寧巾中考題）將圖（1）中的矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把AABC沿著AD方向平移，得到圖(2)中的AECX除厶小。與OBA，全等外你還町以指出哪兒對全等的三角形(不 能添加輔助線和字母)？請選擇其中一對加以證明.Ati(1)六、已知：如圖所示，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于0, AC上有一點E,過點A 作AG丄EB于G, AG交BD于F(1) 求證：OE=OF：若點E在AC延長線上，AG丄EB,交EB的延長線于點G, AG的延長線交DB 的延長線于點F,其它條件不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請給以證明；如 果不成立，請