(精)2018年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編第三期39開放性問題試題含解析20190124377

1、開放性問題解答題. (08·湖北十堰·12分）已知拋物線y2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(2，0）,（、)與x軸交于另一點(diǎn),連接BC（1）求拋物線的解析式；()如圖,P是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),且SPBC,求證:PBC;(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)，直線BD交x軸于點(diǎn)，使AE與以A,B，E中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似（不重合）?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.【分析】(1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）令y=0求拋物線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，作PO和B的高線，根據(jù)面積相等可得OECF,證明OEGCG，則OG=CG=,根據(jù)三角函數(shù)列式可得的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)P

2、和BC的解析式,k相等則兩直線平行；()先利用概率的知識(shí)分析,B，C，中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，有兩個(gè)三角形與ABE有可能相似,即ABC和CE，當(dāng)AE與以A，B，中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，如圖,根據(jù)存在公共角AEBAC，可得AEB,列比例式可得E的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求直線B的解析式，與拋物線列方程組可得交點(diǎn)的坐標(biāo);當(dāng)BE與以B，E中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，如圖3，同理可得結(jié)論.【解答】解：(1）把點(diǎn)A（,0）,(0、4)代入拋物線yx2bx+c中得:，解得:,拋物線的解析式為：yxx4；(2）當(dāng)y時(shí),x2x4=0,解得:x或4,C(,0）,如圖1，過O作OBP于E，過作FB于F，設(shè)P交x軸

3、于G，SPO=SPC，OEC，易得EGCFG,OG=C2,設(shè)（,2x4）,過P作M軸于M，nPB=,BM=2PM,4+x2x=2，6x=0,x(舍),x2=6,P（6,8)，易得A的解析式為：y=x+2，BC的解析式為:y,APB;(3）以，C，E中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有ABC.BE.E.E,四種，其中AB重合,不符合條件，AC不能構(gòu)成三角形,當(dāng)AB與以A，B，C,中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，存在兩個(gè)三角形:B和BE，當(dāng)ABE與以A，B，中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，如圖2,BAEAC,ABEABC，AB=B=45°,EACB,AE=，（，)，（0,4），易得BE:y=,則x2x44,

4、x（舍）,2=，（,)；當(dāng)ABE與以B,C.E中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，如圖,A=BE，當(dāng)ABEBE時(shí),BECE，=,設(shè)B=2m，CE=4,RtO中，由勾股定理得：BE=OE2+B，3m8m=，（m2)（3m）=,m=2,2=,OE4m4=或，O2，AEB是鈍角,此時(shí)ABE與以B,.E中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不相似，如圖4,(12，0）;同理得BE的解析式為:y=x4,x4=x2x，x或0（舍）（，)；綜上,點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或(,).【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、一元二次方程、三角形面積以及

5、勾股定理，第3問有難度，確定三角形與AB相似并畫出圖形是關(guān)鍵.(208·湖北江漢·1分）拋物線x+x1與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）,與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為D將拋物線位于直線l：y=t(t）上方的部分沿直線l向下翻折,拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個(gè)“M”形的新圖象.(）點(diǎn)A,B，D的坐標(biāo)分別為（，0) , (3，） , （,) ;（2)如圖,拋物線翻折后，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處當(dāng)點(diǎn)E在BC內(nèi)(含邊界)時(shí),求t的取值范圍；（3）如圖,當(dāng)t0時(shí)，若Q是“”形新圖象上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P？若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.【分析】

6、（1)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A.B的坐標(biāo),再利用配方法即可找出拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）由點(diǎn)D的坐標(biāo)結(jié)合對(duì)稱找出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B.的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線B的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于t的一元一次不等式組,解之即可得出t的取值范圍；（3）假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，0)，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m,分m或>及3兩種情況，利用勾股定理找出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值,進(jìn)而可找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，此題得解【解答】解:(）當(dāng)y=0時(shí),有x2x1=0,解得:x=，x,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,），點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)y=x+x1=(2x）1(x)2，點(diǎn)

7、的坐標(biāo)為（,).故答案為:(,）;(3，）；（，）（2)點(diǎn)E.點(diǎn)關(guān)于直線y=t對(duì)稱，點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2t）當(dāng)x0時(shí),y=2+x1=1,點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，)設(shè)線段BC所在直線的解析式為y=kxb,將B(，0）、C（0，1)代入ykx+b,解得:，線段BC所在直線的解析式為y=x.點(diǎn)E在ABC內(nèi)（含邊界)，,解得:t.（3)當(dāng)<或x>3時(shí)，=x+x；當(dāng)x3時(shí),y=xx+1假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m.當(dāng)或m時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m,2+x1)（如圖1）,以CQ為直徑的圓與軸相切于點(diǎn)P，CP，CQ2=CP2+PQ，即m2+（m+m）2=m21+2（m+m1）,整理，得：m1

8、,=,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，)或（,）;當(dāng)m3時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，x2+)（如圖2），以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P，CPPQ,CQ2CP+Q，即m2+(mm+2）m2+1m+（m1），整理，得:11m228+12=,解得:m3，m4=,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（1，0)綜上所述：存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0)、（，0）、（,0)或(,0）3（208·遼寧省盤錦市)如圖1,點(diǎn)E是正方形ABD邊上任意一點(diǎn),以DE為邊作正方形DEFG,連接F，點(diǎn)是線段BF中點(diǎn)，射線M與B交于點(diǎn)H,連接M.(1）請(qǐng)直接寫出CM和EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;（2)把圖1中的正方形DF繞點(diǎn)

9、D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,此時(shí)點(diǎn)恰好落在線段CD上，如圖2,其他條件不變,（1)中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由;(3）把圖1中的正方形EFG繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)E.恰好分別落在線段D.C上，如圖,其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由.【解答】解：（）如圖1,結(jié)論：CM=EM，MEM理由:AEF,DBC,CEF，EFMHBM.在FM和BMH中，F(xiàn)MEBMH,HM=E，E=BH.CD=BC,CECHHC=90°，H=EM，CMME，CME.(如圖,連接AE,四邊形BC和四邊形EDGF是正方形,FDE=45°,CBD=4°,點(diǎn)B.D在同一

10、條直線上C=90°,F=90°,M為F的中點(diǎn),CM=F,=AF，CM=ME.FD=°,EFC=5°.C=FM=，MCFMFC,ME=MEF，MCF+MF=13°，CME=36°135°15°=90°，CM.（)如圖3,連接CF,G,作MNCD于N,在EDM和GDM中,，EDMGDM，MMG,=MGM為BF的中點(diǎn)，F(xiàn)GMNBC,GN=N,又CD,MCMG,MD=M,MG=MC.G+MGD=1°，CG+MED=18°，CE+CDE=10°CDE=90°，C90°

11、;,(1）中的結(jié)論成立4. (8樂山2分)已知AB中，AC90°，點(diǎn)D.E分別在B.AC邊上，連結(jié)BE.A交于點(diǎn)P,設(shè)ACkBD，CD=kE，為常數(shù)，試探究AP的度數(shù):（1）如圖，若k=1,則AP的度數(shù)為 ;(）如圖2,若=,試問（1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，求出APE的度數(shù).(3)如圖3，若k=,且D.E分別在CB.CA的延長(zhǎng)線上,（2）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由解:(1）如圖1，過點(diǎn)A作AFB，過點(diǎn)B作BFD相交于F，連接EF,FBE=APE,FC=C0°,四邊形ADBF是平行四邊形,BD=AF，BF=ADABD,CD=E,AF=ACAC=90

12、°,FAAD,EF=ADB,FEA=ADAD+CAD=0°，F(xiàn)EA+CAD90°=EHD.DB，E=°.F=B,FBE5°，A=45°. 故答案為:45°.(2)(1)中結(jié)論不成立,理由如下：如圖2,過點(diǎn)A作AFCB,過點(diǎn)B作BAD相交于,連接E,FBE=PE，F(xiàn)=C=9°,四邊形ABF是平行四邊形，BDA,BF=A.AC=BD,CD=AE,D=，F(xiàn)ACC=0°，F(xiàn)AAC,FEAAD.DC+CAD90°,FEA+CAD=90°=MD.DB，EFB=90°.在RtFB中,anF

13、E=,FBE=30°，APE=0°,（)(2)中結(jié)論成立，如圖3,作EHD,DB,EH,DH相交于H，連接AH，EADH,HC=C=90°，四邊形EDH是平行四邊形,E=DH,EH=BD.AC=BD,CD=E，.HE=C=0°，ADHEA，ADHAD+AD=90°，HAE+AD90°,HAD90°.在RDAH中,anAH=,AD=0°,PE=30°. （2018萊蕪12分)如圖,拋物線yax2+bxc經(jīng)過A(1,0)，(,)，C(0,3)三點(diǎn),為直線B上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，EBC于E（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)

14、式;(2）如圖1,求線段E長(zhǎng)度的最大值；（3）如圖2,設(shè)A的中點(diǎn)為F,連接C,CF，是否存在點(diǎn)D,使得CD中有一個(gè)角與CFO相等？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式;(2）根據(jù)平行于軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo),可得DM,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得DE的長(zhǎng),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（3）根據(jù)正切函數(shù)，可得CFO,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得H,BH,根據(jù)待定系數(shù)法,可得CG的解析式,根據(jù)解方程組,可得答案.【解答】解：(1)由題意,得,解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x+x+；（2）設(shè)直線BC的解析是為y=k+b,解得y=x3，設(shè)D（a，a+a+3),（0a），過點(diǎn)作DMx軸交BC于M點(diǎn)，如圖1,M（，a+3),DM=（a2+a3)(a+3)=2+3a，DME=OCB，DM=BOC，DEMBOC,OB=，OC3，BC5，DMD=a2+a(a2)2+，當(dāng)a=時(shí),D取最大值，最大值是，（）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)D，C使得中有一個(gè)角與CFO相等,點(diǎn)F為A的中點(diǎn)，OF=,nCF=2,過點(diǎn)B作BGBC，交D的延長(zhǎng)線于G點(diǎn),過點(diǎn)G作G軸,垂足為，如圖2，若DCE=CFO,taDCE=2，BG=1,GBHBO,=，GH=,H=6,G（0，8）,設(shè)直線CG的解析式為y=+b,解