電磁場與交換技術(shù) 第二章

1、電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-1電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-2l 三種常用的正交坐標(biāo)系（三種常用的正交坐標(biāo)系（1.4.1） 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 （方向矢量）（方向矢量） 直角坐標(biāo)系中的長度元、面積元和體積元直角坐標(biāo)系中的長度元、面積元和體積元（1.4. 1）（1.4. 2）（1.4. 3）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-3 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 （方向矢量）（方向矢量） 圓柱坐標(biāo)系中的長度元、面積元和體積元圓柱坐標(biāo)系中的長度元、面積元和體積元（1.4. 5）（1.4. 6）（1.

2、4. 7）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-4 球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系 （方向矢量）（方向矢量） 球面坐標(biāo)系中的長度元、面積元和體積元球面坐標(biāo)系中的長度元、面積元和體積元電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-5 直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系之間的關(guān)系直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系之間的關(guān)系l 三種常用正交坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換（三種常用正交坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換（1.4.2） 直角坐標(biāo)系與球面坐標(biāo)系之間的關(guān)系直角坐標(biāo)系與球面坐標(biāo)系之間的關(guān)系 圓柱坐標(biāo)系與球面坐標(biāo)系之間的關(guān)系圓柱坐標(biāo)系與球面坐標(biāo)系之間的關(guān)系電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分

3、析1-6 廣義坐標(biāo)系廣義坐標(biāo)系 (方向單位矢量方向單位矢量) 廣義柱坐標(biāo)系廣義柱坐標(biāo)系 (方向單位矢量方向單位矢量) 不同坐標(biāo)系中的長度元、面積元和體積元不同坐標(biāo)系中的長度元、面積元和體積元 線積分線積分 或或 、面積分、面積分 或或 和體積分和體積分 不隨位置坐標(biāo)而改變不隨位置坐標(biāo)而改變 隨著位置坐標(biāo)的改變而改變隨著位置坐標(biāo)的改變而改變(方向方向) 三種常用的正交坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換（坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換和方向三種常用的正交坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換（坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換和方向矢量的轉(zhuǎn)換）矢量的轉(zhuǎn)換） 幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-7l 物理量的分類物理量的分類 標(biāo)量場標(biāo)

4、量場 矢量場矢量場電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-8（1.1.1） 單位矢量單位矢量模等于模等于1的矢量叫做單位矢量。的矢量叫做單位矢量。（1.1.2） 矢量表示法矢量表示法在三維空間中，在三維空間中，矢量矢量 可表示為一根有方向的線段可表示為一根有方向的線段該線段的長度該線段的長度 代表該矢量的模，代表該矢量的模，該線段的方向該線段的方向 代表該矢量的方向代表該矢量的方向電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-9 直角坐標(biāo)系中矢量的表示直角坐標(biāo)系中矢量的表示（1.1.3）（1.1.4）（1.1.5） 例如：例如：（1.1.6）（

5、1.1.7）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-10位置矢量與距離矢量位置矢量與距離矢量 場點(diǎn)坐標(biāo)場點(diǎn)坐標(biāo) 源點(diǎn)坐標(biāo)源點(diǎn)坐標(biāo) 場點(diǎn)矢徑場點(diǎn)矢徑 源點(diǎn)矢徑源點(diǎn)矢徑電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-11位置矢量與距離矢量位置矢量與距離矢量 位置矢量位置矢量由坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)引由坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)引向空間某一點(diǎn)的有方向線段，稱向空間某一點(diǎn)的有方向線段，稱為該點(diǎn)的位置矢量或矢徑。為該點(diǎn)的位置矢量或矢徑。 距離矢量距離矢量由由源點(diǎn)源點(diǎn)出發(fā)引向出發(fā)引向場點(diǎn)場點(diǎn)的矢量稱為距離矢量的矢量稱為距離矢量。（1.1.13）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第

6、第1章章 矢量分析矢量分析1-12 一個矢量經(jīng)平移后所得到的新矢量與原矢量相等。一個矢量經(jīng)平移后所得到的新矢量與原矢量相等。 在直角坐標(biāo)系下，兩個相等的矢量必有相等的坐標(biāo)分量。在直角坐標(biāo)系下，兩個相等的矢量必有相等的坐標(biāo)分量。 矢量與標(biāo)量的乘積矢量與標(biāo)量的乘積（1.1.18）（1.1.19） 負(fù)矢量負(fù)矢量與原矢量大小相等，方向相反的矢量。與原矢量大小相等，方向相反的矢量。電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-13 矢量加法和減法矢量加法和減法 矢量加法滿足交換律和結(jié)合律矢量加法滿足交換律和結(jié)合律，矢量減法不滿足交換律。，矢量減法不滿足交換律。（1.1.20）（1.

7、1.21）14電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-14 直角坐標(biāo)系中矢量加法和減法直角坐標(biāo)系中矢量加法和減法 只有矢量和矢量之間才能進(jìn)行相加減。只有矢量和矢量之間才能進(jìn)行相加減。（1.1.24）（1.1.25）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-15 標(biāo)量積標(biāo)量積(the dot product)和矢量積和矢量積(the cross product) 兩個兩個矢量的矢量的標(biāo)量積標(biāo)量積（點(diǎn)積）（點(diǎn)積）定義為定義為這兩個這兩個矢量的模以及矢量的模以及這兩個這兩個矢量矢量 之間夾角的余弦三者的乘積之間夾角的余弦三者的乘積。（1.1.26

8、） 兩個兩個矢量的矢量的矢量積矢量積（叉積）（叉積）的的模等模等于于這兩個這兩個矢量的模以及矢量的模以及這兩個這兩個矢量矢量之間夾角的正弦三者的乘積，而方之間夾角的正弦三者的乘積，而方向垂直于兩矢量所構(gòu)成的平面，其向垂直于兩矢量所構(gòu)成的平面，其指向按指向按“右手法則右手法則”來確定來確定。（1.1.29）16電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-16 “右手法則右手法則”和和“右手螺旋法則右手螺旋法則” 17電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-17電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-18 標(biāo)量積滿足交

9、換律和分配律標(biāo)量積滿足交換律和分配律，矢量積只滿足分配律矢量積只滿足分配律。 若兩個矢量垂直若兩個矢量垂直, ,即它們間夾角為即它們間夾角為9090o o, ,則標(biāo)量積等于則標(biāo)量積等于零零, ,而矢量積最大而矢量積最大, ,等于這兩個矢量模的乘積等于這兩個矢量模的乘積; ;若兩個若兩個矢量平行矢量平行, ,即它們間夾角為零即它們間夾角為零, ,則矢量積等于零則矢量積等于零, ,而標(biāo)而標(biāo)量積最大量積最大, ,等于這兩個矢量模的乘積。等于這兩個矢量模的乘積。 若兩個非零矢量的標(biāo)量積等于零，則這兩個矢量必若兩個非零矢量的標(biāo)量積等于零，則這兩個矢量必相互垂直；若兩個非零矢量的矢量積等于零，則這相互垂直

10、；若兩個非零矢量的矢量積等于零，則這兩個矢量必相互平行。兩個矢量必相互平行。電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-19 標(biāo)量積和矢量積在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算標(biāo)量積和矢量積在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算（1.1.33）（1.1.35） 思考題：兩個矢量恒等式的證明，書思考題：兩個矢量恒等式的證明，書Page.6。20 若某空間中的每一個點(diǎn)都對應(yīng)著某個物理量的一個確定值，就稱若某空間中的每一個點(diǎn)都對應(yīng)著某個物理量的一個確定值，就稱在該空間中定義了這個物理量的在該空間中定義了這個物理量的場場或或函數(shù)函數(shù) 若這個物理量是標(biāo)量，則這個場或函數(shù)稱為若這個物理量是標(biāo)量，則這個場或函數(shù)稱為標(biāo)

11、量場標(biāo)量場或或標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù)。如一幢建筑物內(nèi)的溫度分布、一個區(qū)域內(nèi)的電位分布等等如一幢建筑物內(nèi)的溫度分布、一個區(qū)域內(nèi)的電位分布等等 若這個物理量是矢量，則這個場或函數(shù)稱為若這個物理量是矢量，則這個場或函數(shù)稱為矢量場矢量場或或矢量函數(shù)矢量函數(shù)。如某河流區(qū)段內(nèi)水流的速度分布、一個區(qū)域內(nèi)電場強(qiáng)度的分布等如某河流區(qū)段內(nèi)水流的速度分布、一個區(qū)域內(nèi)電場強(qiáng)度的分布等 若標(biāo)量場中各點(diǎn)標(biāo)量值的大小都相同，則稱場中物理量是若標(biāo)量場中各點(diǎn)標(biāo)量值的大小都相同，則稱場中物理量是常數(shù)常數(shù) 若矢量場中各點(diǎn)矢量大小和方向都相同，則稱場中物理量為若矢量場中各點(diǎn)矢量大小和方向都相同，則稱場中物理量為常矢常矢 若場中的物理量在各

12、點(diǎn)所對應(yīng)的值不隨時間而變化，則這個場稱若場中的物理量在各點(diǎn)所對應(yīng)的值不隨時間而變化，則這個場稱為為靜態(tài)場靜態(tài)場或或恒定場恒定場；否則，就稱為；否則，就稱為時變場時變場。電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-2021電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-21 標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值面 等值面等值面函數(shù)均取相同值的曲面。函數(shù)均取相同值的曲面。例如，靜電場中的等位面。例如，靜電場中的等位面。 在三維空間中，每一點(diǎn)對應(yīng)著也僅對在三維空間中，每一點(diǎn)對應(yīng)著也僅對應(yīng)著一個確定的函數(shù)值，因此它必屬應(yīng)著一個確定的函數(shù)值，因此它必屬于也僅屬于一個等值

13、面。于也僅屬于一個等值面。 空間中所有的點(diǎn)均有等值面通過，所空間中所有的點(diǎn)均有等值面通過，所有的等值面均互不相交。有的等值面均互不相交。 對于同一個常數(shù)值對于同一個常數(shù)值 ，可以有多個互，可以有多個互不相交的等值面。不相交的等值面。 如果是在二維空間，函數(shù)均取相同值如果是在二維空間，函數(shù)均取相同值的點(diǎn)構(gòu)成就是一條條的等值線，例如的點(diǎn)構(gòu)成就是一條條的等值線，例如山體的等高線就是一種常用的等值線。山體的等高線就是一種常用的等值線。22電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-22 矢量場的矢量線或通量線矢量場的矢量線或通量線 矢量線矢量線一系列有向曲線。線一系列有向曲線。

14、線上每一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)矢上每一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)矢量場方向，而橫向的矢量線密度量場方向，而橫向的矢量線密度代表該點(diǎn)矢量場大小。例如，電代表該點(diǎn)矢量場大小。例如，電場中的電力線、磁場中的磁力線場中的電力線、磁場中的磁力線 矢量場中的每一點(diǎn)均有一條矢量矢量場中的每一點(diǎn)均有一條矢量線通過，所以矢量線充滿了整個線通過，所以矢量線充滿了整個矢量場所在的空間矢量場所在的空間 矢量線可以匯聚于某一點(diǎn)，但是矢量線可以匯聚于某一點(diǎn)，但是不能相互交叉。不能相互交叉。 矢量場的矢量線滿足的微分方程矢量場的矢量線滿足的微分方程電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-231. 1.

15、標(biāo)量場的方向?qū)?shù)標(biāo)量場的方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)空間某一空間某一點(diǎn)點(diǎn)的的標(biāo)量場沿標(biāo)量場沿某一某一方向的變化率定方向的變化率定義為該標(biāo)量場在義為該標(biāo)量場在該該點(diǎn)沿點(diǎn)沿該該方向的方向?qū)?shù)方向的方向?qū)?shù)（1.2.1） 其中其中電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-24 根據(jù)求導(dǎo)法則根據(jù)求導(dǎo)法則（1.2.2） 方向余弦方向余弦 該方向上的單位矢量該方向上的單位矢量（1.2.3）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-25 標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) 在空間給定點(diǎn)沿在空間給定點(diǎn)沿 方向的方向?qū)?shù)等方向的方向?qū)?shù)等于該點(diǎn)的梯度矢量于該點(diǎn)的梯度矢量 在該方向

16、上的投影在該方向上的投影 。2. 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度 標(biāo)量場標(biāo)量場 的梯度的梯度 大小等于標(biāo)量函數(shù)大小等于標(biāo)量函數(shù)在該點(diǎn)最大在該點(diǎn)最大的的方向?qū)?shù)值，方向指向使函數(shù)值增加最快的方向?qū)?shù)值，方向指向使函數(shù)值增加最快的方向。方向。（1.2.5）（1.2.6） 梯度的表示梯度的表示哈密頓（哈密頓（Hamilton）算子算子 （讀作（讀作del）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-26 直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中的哈密頓算子的哈密頓算子 （1.2.7） 直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中的梯度表示式的梯度表示式 （1.2.8） 算子算子 具有類似于矢量和微分的性質(zhì)，稱為矢量微

17、分算子具有類似于矢量和微分的性質(zhì)，稱為矢量微分算子電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-27 梯度的基本公式梯度的基本公式（1.2.9）（1.2.10）（1.2.11）（1.2.12）（1.2.13） 其中，其中， 為常數(shù)；為常數(shù)； ， 為標(biāo)量函數(shù)。為標(biāo)量函數(shù)。例例1.2.1 試證明：試證明： ； 。式中。式中 和和 分別表示對場點(diǎn)坐標(biāo)和源點(diǎn)坐標(biāo)的哈密頓算子。分別表示對場點(diǎn)坐標(biāo)和源點(diǎn)坐標(biāo)的哈密頓算子。電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-28證明：證明：依梯度的基本公式依梯度的基本公式電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢

18、量分析矢量分析1-29 通量線通量線或矢量線或矢量線一系列有方向的曲線，該線上每一點(diǎn)一系列有方向的曲線，該線上每一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)矢量場方向，而橫向的通量線密度代的切線方向代表該點(diǎn)矢量場方向，而橫向的通量線密度代表該點(diǎn)矢量場的大小。表該點(diǎn)矢量場的大小。 通量通量 矢量場穿過曲面矢量場穿過曲面 的通量線的總數(shù)，它可表的通量線的總數(shù)，它可表示為矢量沿該曲面示為矢量沿該曲面 的面積分。的面積分。（1.2.16）（1.2.17）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-30 開口曲面的正法線方向需要事先設(shè)定。通量的正、負(fù)與面開口曲面的正法線方向需要事先設(shè)定。通量的正、負(fù)與

19、面積元矢量的方向選取有關(guān)。積元矢量的方向選取有關(guān)。 閉合曲面的正法線方向規(guī)定為由的內(nèi)部指向外部，即外法閉合曲面的正法線方向規(guī)定為由的內(nèi)部指向外部，即外法線方向。線方向。 通量可以用來描述矢量場在空間的分布。借助于通量的概通量可以用來描述矢量場在空間的分布。借助于通量的概念，矢量又稱為通量密度。例如，電位移也常常稱為電通念，矢量又稱為通量密度。例如，電位移也常常稱為電通量密度。量密度。 發(fā)出通量線的點(diǎn)稱為發(fā)出通量線的點(diǎn)稱為“源源”，吸收通量線的點(diǎn)稱為，吸收通量線的點(diǎn)稱為“溝溝”。例如，靜電場中的正電荷是發(fā)出電力線的例如，靜電場中的正電荷是發(fā)出電力線的“源源”，負(fù)電荷，負(fù)電荷是吸收電力線的是吸收電

20、力線的“溝溝”。 穿過整個閉合曲面的總通量等于穿過整個閉合曲面的總通量等于“源源”發(fā)出的通量線減發(fā)出的通量線減“溝溝”吸收的通量線。吸收的通量線。 幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-31 通量概念描述了空間一個較大范圍內(nèi)場與源之間的關(guān)系通量概念描述了空間一個較大范圍內(nèi)場與源之間的關(guān)系散度概念將描述空間每一點(diǎn)場與源之間的關(guān)系。散度概念將描述空間每一點(diǎn)場與源之間的關(guān)系。 矢量場的散度矢量場的散度 矢量穿過閉合曲面的通量與該矢量穿過閉合曲面的通量與該閉合曲面所包圍的小體積之比的極限。閉合曲面所包圍的小體積之比的極限。（1.2.18） 一個矢量場的散度

21、是一個標(biāo)量，可理解為穿過包圍單位一個矢量場的散度是一個標(biāo)量，可理解為穿過包圍單位體積的閉合表面的通量。因此，人們也習(xí)慣地將散度稱體積的閉合表面的通量。因此，人們也習(xí)慣地將散度稱為通量源密度。為通量源密度。電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-32 三種典型的散度值三種典型的散度值 對于靜電場，在有電荷存在的點(diǎn)上，散度不為零。且對于靜電場，在有電荷存在的點(diǎn)上，散度不為零。且散度大于零處具有正電荷，散度小于零處具有負(fù)電荷散度大于零處具有正電荷，散度小于零處具有負(fù)電荷 對于恒定磁場，因?yàn)椴淮嬖诖藕?，散度必處處為零對于恒定磁場，因?yàn)椴淮嬖诖藕桑⒍缺靥幪帪榱汶姶艌雠c電磁波

22、理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-33 直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中的散度表示式的散度表示式 （1.2.22）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-34 散度的基本公式散度的基本公式 注意：這些基本公式均與坐標(biāo)系的類型無關(guān)。它們不注意：這些基本公式均與坐標(biāo)系的類型無關(guān)。它們不但在直角坐標(biāo)系中成立，在其它坐標(biāo)系中仍然成立。但在直角坐標(biāo)系中成立，在其它坐標(biāo)系中仍然成立。 其中，其中， 為常矢；為常矢； 為常數(shù)；為常數(shù)； 為標(biāo)量函數(shù)，為標(biāo)量函數(shù)， 為矢量函數(shù)。為矢量函數(shù)。（1.2.23）（1.2.24）（1.2.25）（1.2.26）例例1.2.2 設(shè)設(shè)

23、 表示空間兩點(diǎn)表示空間兩點(diǎn) 與與 之間之間距離，試求距離，試求 。電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-35解：解：電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-36 值得提醒注意的一點(diǎn)是：在上述計(jì)算中，需假設(shè)距離值得提醒注意的一點(diǎn)是：在上述計(jì)算中，需假設(shè)距離R不不等于零。否則，函數(shù)等于零。否則，函數(shù)(1/R)將出現(xiàn)奇異點(diǎn)。在第將出現(xiàn)奇異點(diǎn)。在第3章討論鏡章討論鏡像法時（像法時（3.7節(jié)）將會證明：節(jié)）將會證明：（1.2.27）（1.2.28）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-37 環(huán)量環(huán)量 矢量場沿空間一條

24、閉合曲線的線積分。矢量場沿空間一條閉合曲線的線積分。（1.2.29） 矢量場的環(huán)量是一個標(biāo)量矢量場的環(huán)量是一個標(biāo)量用來描述一個矢量場的旋用來描述一個矢量場的旋渦特性。大小和正負(fù)取決渦特性。大小和正負(fù)取決于矢量場的分布以及該閉于矢量場的分布以及該閉合曲線積分的環(huán)繞方向。合曲線積分的環(huán)繞方向。電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-38 旋度在某一方向上的投影旋度在某一方向上的投影（rotation或或curl） 矢量場的旋度矢量場的旋度 或或 大小等于該點(diǎn)最大的環(huán)量大小等于該點(diǎn)最大的環(huán)量密度，方向?yàn)槿〉米畲蟓h(huán)量密度的那塊小面積的法線方向密度，方向?yàn)槿〉米畲蟓h(huán)量密度的那

25、塊小面積的法線方向 環(huán)量密度環(huán)量密度矢量沿閉合曲線的環(huán)量與小面積之比的極限矢量沿閉合曲線的環(huán)量與小面積之比的極限,其大小與矢量的分布和閉合曲線的方向有關(guān)。其大小與矢量的分布和閉合曲線的方向有關(guān)。（1.2.30）39電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-39 不同閉合路徑位置情況下的環(huán)量不同閉合路徑位置情況下的環(huán)量電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-40 直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中旋度的推導(dǎo)旋度的推導(dǎo) （1.4.5）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-41 直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中的旋度表示式的旋度表示式

26、 （1.2.34）（1.2.35）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-42 旋度的基本公式旋度的基本公式 注意：這些基本公式均與坐標(biāo)系類型無關(guān)。它們不注意：這些基本公式均與坐標(biāo)系類型無關(guān)。它們不但在直角坐標(biāo)系中成立，在其它坐標(biāo)系中仍然成立但在直角坐標(biāo)系中成立，在其它坐標(biāo)系中仍然成立 其中，其中， 為常矢；為常矢； 為常數(shù)；為常數(shù)； 為標(biāo)量函數(shù)，為標(biāo)量函數(shù)， 為矢量函數(shù)為矢量函數(shù)（1.2.36）（1.2.37）（1.2.38）（1.2.39）例例1.2.3 試證明：試證明： 。電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-43證明：證明：電磁

27、場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-441.2.5 梯度、散度、旋度的比較梯度、散度、旋度的比較 一個標(biāo)量函數(shù)的梯度是一個矢量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)一個標(biāo)量函數(shù)的梯度是一個矢量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)標(biāo)量位的最大變化率及其方向；標(biāo)量位的最大變化率及其方向； 一個矢量函數(shù)的散度是一個標(biāo)量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)一個矢量函數(shù)的散度是一個標(biāo)量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)場矢量與通量源之間的關(guān)系；場矢量與通量源之間的關(guān)系； 一個矢量函數(shù)的旋度是一個矢量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)一個矢量函數(shù)的旋度是一個矢量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)場矢量與旋渦源之間的關(guān)系。場矢量與旋渦源之間的關(guān)系。 只有當(dāng)場

28、函數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)時，梯度、散度、旋度只有當(dāng)場函數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)時，梯度、散度、旋度的定義才是有意義的。在某些場量不連續(xù)的交界面上，就的定義才是有意義的。在某些場量不連續(xù)的交界面上，就不可能定義梯度、散度和旋度。不可能定義梯度、散度和旋度。電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-45電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-46 矢量場的矢量場的“源源”有兩種，建立散度的通量源和建立旋度的旋有兩種，建立散度的通量源和建立旋度的旋渦源。要使矢量場是非零場，則必存在產(chǎn)生這種場的一種源。渦源。要使矢量場是非零場，則必存在產(chǎn)生這種場的一種源

29、。非零矢量場不可能既是無源場又是無旋場非零矢量場不可能既是無源場又是無旋場 若一個矢量場的散度處處為零，就不存在通量源，該矢量場若一個矢量場的散度處處為零，就不存在通量源，該矢量場稱為無源場稱為無源場(恒定磁場恒定磁場)。 若一個矢量場的旋度處處為零，就不存在旋渦源，該矢量場若一個矢量場的旋度處處為零，就不存在旋渦源，該矢量場稱為無旋場稱為無旋場(靜電場靜電場)。 存在通量源的矢量場為有源場。在源區(qū)，該矢量場散度不為存在通量源的矢量場為有源場。在源區(qū)，該矢量場散度不為零；在非源區(qū)，該場散度仍然可以為零。零；在非源區(qū)，該場散度仍然可以為零。 存在旋渦源的矢量場為有旋場，但該場旋度僅在旋渦源所在存

30、在旋渦源的矢量場為有旋場，但該場旋度僅在旋渦源所在空間點(diǎn)上不為零，在其它點(diǎn)上仍然可以為零?？臻g點(diǎn)上不為零，在其它點(diǎn)上仍然可以為零。電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-47 大部分矢量恒等式和矢量基本定理都可通過直接計(jì)算來證大部分矢量恒等式和矢量基本定理都可通過直接計(jì)算來證明。為簡單起見，可在直角坐標(biāo)系中證明，對其它正交坐明。為簡單起見，可在直角坐標(biāo)系中證明，對其它正交坐標(biāo)系，也都是成立的。標(biāo)系，也都是成立的。（1.3.1）（1.3.2）（1.3.3）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-48 恒等式恒等式 的意義的意義 任何一個標(biāo)量

31、函數(shù)的梯度的旋度必等于零。任何一個標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度必等于零。 任何一個梯度場必然為無旋場，而任何一個無旋場也必為任何一個梯度場必然為無旋場，而任何一個無旋場也必為有位場。例如靜電場。有位場。例如靜電場。 恒等式恒等式 的意義的意義 任何一個矢量函數(shù)的旋度的散度必等于零。任何一個矢量函數(shù)的旋度的散度必等于零。 任何一個旋度場必為無源場，而任何一個無源場必為有旋任何一個旋度場必為無源場，而任何一個無源場必為有旋場。例如恒定磁場。場。例如恒定磁場。電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-49 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算子算子 在直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯算子在

32、直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯算子例如例如 對于其它坐標(biāo)系對于其它坐標(biāo)系（1.3.4）但但（1.3.9）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-501.3.2 矢量場的基本定理矢量場的基本定理 高斯高斯(Gauss)散度定理散度定理矢量場穿過空間任一閉合曲面的矢量場穿過空間任一閉合曲面的通量等于該矢量的散度在曲面所包圍體積內(nèi)的體積分。通量等于該矢量的散度在曲面所包圍體積內(nèi)的體積分。證明：將體積分割成證明：將體積分割成 N 個的小體積個的小體積（1.3.10）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-51 斯托克斯斯托克斯（Stokes）定理）定理

33、矢量場矢量場沿空間任一閉合曲線沿空間任一閉合曲線的環(huán)量等于該矢量場的旋度穿過以閉合曲線作為邊界曲線的環(huán)量等于該矢量場的旋度穿過以閉合曲線作為邊界曲線的任一開放曲面的通量。的任一開放曲面的通量。證明：將該曲面剖分為證明：將該曲面剖分為N 個小面積個小面積（1.3.11）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-52 格林（格林（Green）第一定理）第一定理或格林第一恒等式或格林第一恒等式 這個定理可以通過令這個定理可以通過令 ，利用高斯散度定理證明。，利用高斯散度定理證明。 格林（格林（Green）第二定理）第二定理或格林第二恒等式或格林第二恒等式（1.3.13）（1

34、.3.12）（1.3.14）（1.3.15）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-53證明：采用反證法。假設(shè)同時存在兩個矢量場證明：采用反證法。假設(shè)同時存在兩個矢量場 和和 ， 它們具有相同的散度和旋度以及邊界條件，即它們具有相同的散度和旋度以及邊界條件，即 令令 則有則有 唯一性定唯一性定理理若在區(qū)域若在區(qū)域 內(nèi)矢量場內(nèi)矢量場 的散度的散度 、旋、旋度度 以及在邊界面以及在邊界面 上的切向分量上的切向分量 或或(法向分量法向分量 )已給定，則矢量場在該區(qū)域內(nèi)的解是唯一的。已給定，則矢量場在該區(qū)域內(nèi)的解是唯一的。由矢量恒等式和格林定理，可證明要滿足上述兩式，必有由

35、矢量恒等式和格林定理，可證明要滿足上述兩式，必有得證。得證。電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-54 亥姆霍茲亥姆霍茲(Helmholtz)定定理理空間有限區(qū)域空間有限區(qū)域 內(nèi)任一矢內(nèi)任一矢量場量場 均可以表示為一個無源場均可以表示為一個無源場 (即即 或或 )和一個無旋場和一個無旋場 (即即 或或 )之和，之和， 即即（1.3.25）（1.3.26）（1.3.24）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-55 亥姆霍茲定亥姆霍茲定理理的一個的一個特例特例空間區(qū)域?yàn)闊o限大，而場源空間區(qū)域?yàn)闊o限大，而場源卻分布在一個有限區(qū)域內(nèi)。在這種情

36、況下，如假設(shè)矢量場卻分布在一個有限區(qū)域內(nèi)。在這種情況下，如假設(shè)矢量場在無限遠(yuǎn)處以足夠快的速度減弱至零，即在無限遠(yuǎn)處以足夠快的速度減弱至零，即則有則有 在無限大空間中，只要知道矢量場的散度和旋度，就能將在無限大空間中，只要知道矢量場的散度和旋度，就能將其定量地確定下來。既無源又無旋的場是不存在的。其定量地確定下來。既無源又無旋的場是不存在的。（1.3.27）（1.3.28）（1.3.29）（1.3.30）電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第1章章 矢量分析矢量分析1-56 正交曲線坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系三個坐標(biāo)面均為一般的曲面。任意兩三個坐標(biāo)面均為一般的曲面。任意兩坐標(biāo)面的交線為第三個坐標(biāo)變量

37、的坐標(biāo)軸，一般為曲線。坐標(biāo)面的交線為第三個坐標(biāo)變量的坐標(biāo)軸，一般為曲線?？臻g任一點(diǎn)有三個坐標(biāo)軸通過，坐標(biāo)軸上的單位矢量相互空間任一點(diǎn)有三個坐標(biāo)軸通過，坐標(biāo)軸上的單位矢量相互正交且符合右手螺旋法則。這三個單位矢量的方向隨空間正交且符合右手螺旋法則。這三個單位矢量的方向隨空間點(diǎn)位置的不同而變化。點(diǎn)位置的不同而變化。 正交曲線坐標(biāo)系的類型很多正交曲線坐標(biāo)系的類型很多, 已出現(xiàn)的有已出現(xiàn)的有 10 多多種。除直角種。除直角坐標(biāo)系這種特殊的正交曲線坐標(biāo)系以外，其它還有圓柱、坐標(biāo)系這種特殊的正交曲線坐標(biāo)系以外，其它還有圓柱、球面、橢圓柱、拋物柱等正交曲線坐標(biāo)系。常用的就是直球面、橢圓柱、拋物柱等正交曲線坐標(biāo)系。常用的就是直角坐標(biāo)系，圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。角坐標(biāo)系，圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系